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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第2章 一元二次方程
2.4一元二次方程根与系数的关系
【知识重点】
一、一元二次方程根与系数关系：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，那么x1+x2= ，x1·x2= .
二、一元二次方程根与系数关系的应用，概括有下面几种：
1．题目中告诉方程的一个根，求另一个根以及确定方程某个参数的值；
2．已知方程，求关于方程的两根的代数式的值或求作方程；
3．把两个实数作为方程的两个根，求作方程；
4．不解方程判断两个根的符号.
【经典例题】
【例1】若一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则的值是（ ）
A．-1 B．3 C．2或-1 D．-3或1
【例2】若，是方程的两根，则 的值 ．
【例3】设 是方程x2+2x-9＝0的两个实数根，求 和 的值.
【例4】已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋4k－3=0，当Rt△ABC的斜边a= ，且两直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长.
【基础训练】
1．若是方程的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A．3 B．4 C．﹣3 D．－4
2．一元二次方程的两个根为，则等于（ ）.
A． B． C． D．
3．若α、β是方程x2+2x﹣2017＝0的两个实数根，则α β的值为（ ）
A．2017 B．2 C．﹣2 D．﹣2017
4．已知 是一元二次方程 的两个根，且 ，则a，b的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
5．若一元二次方程的两根为，，则的值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
6．如果关于x的一元二次方程的一个根为3，那么此方程的另一个根为 ．
7．若关于的一元二次方程的两根互为相反数，则 ．
8．若一元二次方程有两个不相等的实数根，，且，则的值是 ．
9．已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，求+的值．
10．设x1、x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：
（1）（x1﹣x2）2；
（2）．
【培优训练】
11．关于x的一元二次方程的两实数根，则的值是（ ）
A．8 B．32 C．8或32 D．16或40
12．已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A．-5 B．-4 C．1 D．0
13．已知关于的一元二次方程（为常数）．设，为方程的两个实数根，且，试求出方程的两个实数根和的值．
14．设a、b为x2+x﹣2011=0的两个实根，则a3+a2+3a+2014b=（ ）
A．2014 B．﹣2014 C．2011 D．﹣2011
15．已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则 的值为（ ）
A．﹣402 B． C． D．
16．已知α，β是方程x2+2014x+1=0的两个根，则（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
17．设α、β是方程x2+2x﹣2021＝0的两根，则α2+3α+β的值为 ．
18．已知a、b是一元二次方程的两个实数根，求的值 ．
19．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，等腰的一边长为7，若恰好是另外两边的边长，则的周长为 .
20．关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为
21．若a≠b，且 则 的值为
22．若方程 的根也是方程 的根，则 .
23．关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2=0有两个实数根x1、x2
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1、x2满足|x1|+|x2|=|x1x2|﹣1，求k的值．
24．一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0．
（1）若方程有两实数根，求m的范围．
（2）设方程两实根为x1，x2，且|x1﹣x2|=1，求m．
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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第2章 一元二次方程（解析版）
2.4一元二次方程根与系数的关系
【知识重点】
一、一元二次方程根与系数关系：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，那么x1+x2= ，x1·x2= .
二、一元二次方程根与系数关系的应用，概括有下面几种：
1．题目中告诉方程的一个根，求另一个根以及确定方程某个参数的值；
2．已知方程，求关于方程的两根的代数式的值或求作方程；
3．把两个实数作为方程的两个根，求作方程；
4．不解方程判断两个根的符号.
【经典例题】
【例1】若一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则的值是（ ）
A．-1 B．3 C．2或-1 D．-3或1
【答案】B
【解析】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
根据一元二次方程根与系数的关系可得，，
，
，即，
，
解得：或，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再将其代入可得，即，再求出m的值即可。
【例2】若，是方程的两根，则 的值 ．
【答案】
【解析】，是方程的两根，
，，
，
故答案为：-2.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=6，x1x2=8，然后代入计算即可.
【例3】设 是方程x2+2x-9＝0的两个实数根，求 和 的值.
【答案】解：由韦达定理，得
∴ =
故答案为 ，18
【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到 ，根据 ， ，代入即可求代数式的值.
【例4】已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋4k－3=0，当Rt△ABC的斜边a= ，且两直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长.
【答案】解：∵b,c是x2－(2k＋1)x＋4k－3=0的两个根,∴b+c=2k+1,bc=4k-3,
在Rt△ABC中,b2+c2=31,
∴(b+c)2-2bc=31,即(2k+1)2-2(4k-3)=31,
整理,得k2-k-6=0,解得k1=-2,k2=3,
当k=-2时,b+c=-3<0,舍去,
当k=3时,b+c=7,符合题意.
∴△ABC的周长= +7
【解析】【分析】先利用韦达定理得到b与c的关系,再利用勾股定理构造关于k的一元二次方程,根据b,c是三角形的两条边这一隐藏条件对k的值进行排除,即可求出周长.
【基础训练】
1．若是方程的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A．3 B．4 C．﹣3 D．－4
【答案】A
【解析】 是方程的一个根，设另一根为
即方程的另一个根是
故答案为：A
2．一元二次方程的两个根为，则等于（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵一元二次方程的两个根为，
∴，
故答案为：D．.
3．若α、β是方程x2+2x﹣2017＝0的两个实数根，则α β的值为（ ）
A．2017 B．2 C．﹣2 D．﹣2017
【答案】D
【解析】∵α、β是方程x2+2x﹣2017＝0的两个实数根，
∴α β＝﹣2017.
故答案为：D.
4．已知 是一元二次方程 的两个根，且 ，则a，b的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ∵ ，
∴ ，
解得a=-，b=1.
故答案为：D.
5．若一元二次方程的两根为，，则的值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
【答案】A
【解析】根据题意得，，
所以．
故答案为：A．
6．如果关于x的一元二次方程的一个根为3，那么此方程的另一个根为 ．
【答案】2
【解析】设方程的另一根为t，
根据根与系数的关系得，
解得，
即方程的另一个根为2.
故答案为：2.
7．若关于的一元二次方程的两根互为相反数，则 ．
【答案】-2
【解析】设是一元二次方程的两根，
∴，
∵方程的两根互为相反数，
∴，解得：，
当时，原方程为，
此时方程无解；
当时，原方程为，
解得：；
∴．
故答案为：-2
8．若一元二次方程有两个不相等的实数根，，且，则的值是 ．
【答案】3
【解析】根据题意得，，，
∴，即，解方程得，，，
当时，原方程为，，原方程无实数根；
当时，原方程为，，原方程有两个不相等的实根，符号题意，
∴的值是3．
故答案为：3.
9．已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，求+的值．
【答案】解：∵实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，
∴a+b=1，ab=﹣1，
∴+===﹣3．
【解析】根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=﹣1，再利用完全平方公式变形得到+==，然后利用整体代入的方法进行计算．
10．设x1、x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：
（1）（x1﹣x2）2；
（2）．
【答案】解：根据根与系数的关系可得：x1+x2=﹣2，x1 x2=．（1）（x1﹣x2）2=x12+x22﹣2x1x2=x12+x22+2x1x2﹣4x1x2=（x1+x2）2﹣4x1x2==10．（2）=x1x2+1+1+==．
【解析】欲求（x1﹣x2）2与的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
【培优训练】
11．关于x的一元二次方程的两实数根，则的值是（ ）
A．8 B．32 C．8或32 D．16或40
【答案】B
【解析】由题意得：，，
∴，
，
，
，
；
故答案为：B.
12．已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A．-5 B．-4 C．1 D．0
【答案】B
【解析】把x=a代入方程得：a2+3a-2=0，即a2+3a=2，
由根与系数的关系得：a+b=-3，
则原式=（a2+3a）+2（a+b）
=2-6
=-4．
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程的根及根与系数的关系可得a2+3a-2=0，a+b=-3，然后将原式变形为（a2+3a）+2（a+b），再整体代入计算即可.
13．已知关于的一元二次方程（为常数）．设，为方程的两个实数根，且，试求出方程的两个实数根和的值．
【答案】解：∵，为方程的两个实数根，
∴，
∵，
解得：，．
将代入中，得：，
解得：．
14．设a、b为x2+x﹣2011=0的两个实根，则a3+a2+3a+2014b=（ ）
A．2014 B．﹣2014 C．2011 D．﹣2011
【答案】B
【解析】∵a为x2+x-2011=0的根，
∴a2+a-2011=0，
∴a2+a=2011，
∴a3+a2+3a+2014b=a（a2+a）+3a+2014b
=2011a+3a+2014b
=2014（a+b），
∵a、b为x2+x-2011=0的两个实根，
∴a+b=-1，
∴a3+a2+3a+2014b=-2014．
故答案为：B,
15．已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则 的值为（ ）
A．﹣402 B． C． D．
【答案】C
【解析】将9n 2+2010n+5=0变形得：5×（ ） 2+2010× +9=0，
又5m2+2010m+9=0，
∴m与 为方程5x2+2010x+9=0的两个解，
则m = = ．
故答案为：C
16．已知α，β是方程x2+2014x+1=0的两个根，则（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】∵α，β是方程x2+2014x+1=0的两个根，
∴α+β=﹣=﹣2014，α β==1，
（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）
=（αβ+2016α+α2）（αβ+2016β+β2）
=α（β+2016+α） β（α+2016+β）
=αβ （2016﹣2014）（2016﹣2014）
=4．
故选D．
17．设α、β是方程x2+2x﹣2021＝0的两根，则α2+3α+β的值为 ．
【答案】2019
【解析】根据题意知，α2+2α﹣2021＝0，即α2+2α＝2021．
又∵α+β＝﹣2．
所以α2+3α+β＝α2+2α+（α+β）＝2021﹣2＝2019．
故答案为：2019．
18．已知a、b是一元二次方程的两个实数根，求的值 ．
【答案】0
【解析】根据根与系数的关系得到，
．
故答案为：．
19．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，等腰的一边长为7，若恰好是另外两边的边长，则的周长为 .
【答案】17
【解析】若等腰的腰长为7，
把代入方程得：
，
解得：，
若，则原方程为：，
解得：，
三边为7，7，3（符合题意），
若，则原方程为：，
解得：，
三边为7，7，15（不合题意，舍去），
若等腰底长为7，
则，
解得：，
原方程为：，
解得：，
三边为3，3，7（不合题意，舍去），
综上可知：三边为7，7，3，周长为：，
即这个三角形的周长为17．
故答案为：17．
20．关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为
【答案】
【解析】∵x1＋x2＝4，
∴x1＋3x2＝x1＋x2＋2x2＝4＋2x2＝5，
∴x2＝，
把x2＝代入得：（）2－4×＋m＝0，
解得：m＝．
故答案为：．
21．若a≠b，且 则 的值为
【答案】1
【解析】由题意知：a、b是方程， 的两个不相等的实数根，
∴a+b=4，ab=1，
∵ ，
∴ ，
∴ = .
故填：1.
22．若方程 的根也是方程 的根，则 .
【答案】-5
【解析】∵ x2-3x+1=0, ∴x2=3x-1,
∴x4+ax2+bx+c=(3x-1)2+ax2+bx+c=0,
∴9x2-6x+1+ax2+bx+c=0,
∴(9+a)x2+(b-6)x+c+1=0,
∵ x2-3x+1=0,
∵x1+x2= , ∴3a+b=-21,
∵x1x2==1, ∴a=c-8,
∴3a+b=a+b+2a=a+b+2(c-8)=a+b+2c-16=-21,
∴a+b+2c=-21+16=-5.
故答案为：-5.
23．关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2=0有两个实数根x1、x2
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1、x2满足|x1|+|x2|=|x1x2|﹣1，求k的值．
【答案】解：（1）根据题意得△=（2k+1）2﹣4（k2+2）≥0，
解得k≥；
（2）根据题意得x1+x2=﹣（2k+1）＜0，x1x2=k2+2＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∵|x1|+|x2|=|x1x2|﹣1，
∴﹣（x1+x2）=x1x2﹣1，
∴2k+1=k2+2﹣1，
整理得k2﹣2k=0，解得k1=0，k2=2，
∵k≥，
∴k=2．
【解析】（1）根据判别式的意义得到△=（2k+1）2﹣4（k2+2）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣（2k+1）＜0，x1x2=k2+2＞0，则利用有理数的乘法性质可判断x1＜0，x2＜0，然后去绝对值得到﹣（x1+x2）=x1x2﹣1，则2k+1=k2+2﹣1，整理得到k2﹣2k=0，再解关于k的方程即可得到满足条件的k的值．
24．一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0．
（1）若方程有两实数根，求m的范围．
（2）设方程两实根为x1，x2，且|x1﹣x2|=1，求m．
【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0有两个实数根，
∴m≠0且△≥0，即（﹣2m）2﹣4 m （m﹣2）≥0，
解得m≠0且m≥0，
∴m的取值范围为m＞0．
（2）∵方程两实根为x1，x2，
∴x1+x2=2，x1 x2=，
∵|x1﹣x2|=1，
∴（x1﹣x2）2=1，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2=1，
∴22﹣4×=1，
解得：m=8；
经检验m=8是原方程的解．
【解析】（1）根据关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0有两个实数根，得出m≠0且（﹣2m）2﹣4 m （m﹣2）≥0，求出m的取值范围即可；
（2）根据方程两实根为x1，x2，求出x1+x2和x1 x2的值，再根据|x1﹣x2|=1，得出（x1+x2）2﹣4x1x2=1，再把x1+x2和x1 x2的值代入计算即可．
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