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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第2章 一元二次方程（解析版）
2.1一元二次方程
【知识重点】
一、一元二次方程定义：
像方程3x2+4x6=0的等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程.
二、一元二次方程的解(或根)：
能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根).
三、一元二次方程的一般形式：
1.任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0的形式.
2.ax2+bx+c=0(a，b，c为已知数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数.
【经典例题】
【例1】将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】解：5x2﹣1＝4x化成一元二次方程一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0，
它的二次项系数是5，一次项系数是﹣4，常数项是﹣1．
【解析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，据此解答即可.
【例2】若关于x的一元二次方程(m-1) +2x+-1=0的常数项为0，求m的值是多少？
【答案】解∶由题意得，时，
即时，一元二次方程的常数项为0．
【解析】根据一元二次方程的定义“含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程”可得关于m的方程和不等式，解之可求解.
【例3】若关于x的方程 是一元二次方程，求m的值．
【答案】解：∵关于x的方程 是一元二次方程，
∴m+1≠0，且|m|+1=2，
解得m+1≠0，且m=1或m=-1，
∴m=1，
故答案为：m=1．
【解析】根据一元二次方程二次项系数不为0，x的最高次数为2列关系式即可求解。
【基础训练】
1．关于的方程是一元二次方程的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D．
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、是一元一次方程，不是一元二次方程，故A不符合题意；
B、是不等式，不是一元二次方程，故B不符合题意；
C、是分式方程，不是一元二次方程，故C不符合题意；
D、是一元二次方程，故D符合题意.
故答案为：D.
3．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A．是一元一次方程，故A不符合题意；
B．是一元二次方程，故B符合题意；
C．是分式方程，故C不符合题意；
D．是二元一次方程，故D不符合题意；
故答案为：B．
4．关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．5，-2，-1 B．5，2，-1 C．-5，2，1 D．-5，-2，-1
【答案】B
【解析】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是：
故答案为：B．
5．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
∴，
∴．
故答案为：B
6．若一元二次方程的常数项是0，则的值是（ ）
A．2或-2 B．2 C．-2 D．4
【答案】C
【解析】一元二次方程程的常数项为0，
，
，
，
故答案为：C．
7．一元二次方程5x2– 3x = 4＋2x化为一般形式是 ．
【答案】5x2– 5x -4=0
【解析】5x2– 3x = 4＋2x化为一般式为5x2– 5x -4=0，
故答案为：5x2– 5x -4=0．
8．一元二次方程6x2+2x=-2的二次项系数、一次项系数、常数项之和是 ．
【答案】10
【解析】原方程变形为，
二次项系数为6、一次项系数为2、常数项为2，
二次项系数、一次项系数、常数项之和为．
故答案为：10．
9．已知方程 是一元二次方程，求 的值.
【答案】解：由题意，得
解|m|-2=2得m=±4，
当m=4时，m+4=8≠0，
当m=-4时，m+4=0不符合题意的要舍去，
∴m的值为4.
【解析】由一元二次方程的概念可得m+4≠0且|m|-2=2，求解可得m的值.
10．学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：
①它的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）
②它的二次项系数为5
③常数项是二次项系数的倒数的相反数
你能写出一个符合条件的方程吗？
【答案】：由①知这是一元二次方程，由②③可确定 ，而 的值不唯一确定，可为任意数，熟悉一元二次方程的定义及特征是解答本题的关键．
这个方程是5x2－2x－ =0.
【解析】开放性的命题，由题知：此题是一个一元二次方程，由②③可确定 a 、 c ，而 b 的值不唯一确定，可为任意数，从而得出答案。
【培优训练】
11．将一元二次方程化成一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】一元二次方程 的一般形式 ，
其中二次项系数3，一次项系数-8，常数项是-10，
故答案为：D．
12．如图，公园要在一块长为100米，宽为80米的矩形场地上修建三条宽度相等的道路，其中两条纵向，一条横向，横向道路与纵向道路垂直．剩余部分摆放不同的花卉，要使摆放花卉面积为7488m2，则道路的宽为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．100×80﹣100x﹣80×2x＝7488
B．（100﹣2x）（80﹣x）＝7488
C．（100﹣2x）（80﹣x）+2x2＝7488
D．100x+80×2x＝512
【答案】B
【解析】设道路的宽为x米，
根据题意得： （100﹣2x）（80﹣x）＝7488 .
故答案为：B.
13．我校九年级某班学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1275张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝1275 B．x（x+1）＝1275
C．2x（x+1）＝1275 D．＝1275
【答案】A
【解析】∵每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，且全班有x名学生，
∴每个同学需送出（x﹣1）张相片．
依题意得：x（x﹣1）＝1275.
故答案为：A.
14．某种品牌的手机经过八、九月份连续两次降价，每部售价从1000元降到了810元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程（ ）
A．1000（1﹣2x）＝810 B．1000（1﹣x）2＝810
C．800（1＋2x）＝1000 D．800（1＋x）2＝1000
【答案】B
【解析】第一次降价后的价格为元；第二次降价后的价格为元，所以，可列方程为：．
故答案为：B.
15．一个长方形牧场的面积为8100平方米，长比宽多19米，设宽为x米，由题意可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设宽为x米，则长为（x+19）米，
由题意，得：（x+19）·x=8100.
故答案为：A.
16．将一元二次方程化成一般形式可得 ．
【答案】
【解析】，
，
．
故答案为：.
17．若关于的方程是一元二次方程，则 ．
【答案】-1
【解析】关于的方程是一元二次方程，
且，
解得：，
故答案为：-1．
18．构造一个一元二次方程，要求：①常数项不为0；②有一个根为﹣1．这个一元二次方程可以是 （写出一个即可）．
【答案】x2+2x+1=0
【解析】∵设这个方程为（x+ a）（x+b）=0，
∵一元二次方程有一根为-1，
∴有一个因式为x+1，
∵常数项不为0，
可设另一个因式为：x+1，
则(x+1)(x+1)=0，即x2+2x+1=0.
故答案为：x2+2x+1=0.
19．已知关于x的一元二次方程m(x－1)2＝－3x2＋x的二次项系数与一次项系数互为相反数，则m的值为多少？
【答案】解：m(x－1)2＝－3x2＋x，
mx2-2mx+m+3x2-x=0，
(m＋3)x2－(2m＋1)x＋m＝0，
二次项系数为：m+3，一次项系数为：-（2m+1），
由题意，得m＋3－(2m＋1)＝0，解得m＝2.
【解析】先将方程转化为一般形式，再根据二次项系数与一次项系数互为相反数，建立关于m的方程，解方程求出m的值.
20．试证：不论k取何实数，关于x的方程(k2-6k+12)x2=3-(k2-9)x必是一元二次方程.
【答案】解：∵k2-6k+12=（k-3）2+3＞0，
且未知数的最高次数是2；是整式方程；含有一个未知数，
∴不论k取何实数，关于x的方程(k＋12)x2＝3－(k)x必是一元二次方程
【解析】将二次项系数k2-6k+12转化为（k-3）2+3，可得（k-3）2+3＞0，可解答。
【直击中考】
21．方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是 ( )
A．x2－5x+5=0 B．x2+5x+5=0 C．x2+5x－5=0 D．x2+5=0
【答案】A
【解析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】一元二次方程x2-2（3x-2)+（x+1)=0的一般形式是x2-5x+5=0．
故选A．
22．一元二次方程2x2-bx=1的常数项为（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．±1
【答案】A
【解析】要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．
【解答】∵一元二次方程2x2-bx=1化成一般形式是一元二次方程2x2-bx-1=0，
∴该方程的常数项是-1．
故选A．
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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第2章 一元二次方程
2.1一元二次方程
【知识重点】
一、一元二次方程定义：
像方程3x2+4x6=0的等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程.
二、一元二次方程的解(或根)：
能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根).
三、一元二次方程的一般形式：
1.任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0的形式.
2.ax2+bx+c=0(a，b，c为已知数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数.
【经典例题】
【例1】将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．
【例2】若关于x的一元二次方程(m-1) +2x+-1=0的常数项为0，求m的值是多少？
【例3】若关于x的方程 是一元二次方程，求m的值．
【基础训练】
1．关于的方程是一元二次方程的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
4．关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．5，-2，-1 B．5，2，-1 C．-5，2，1 D．-5，-2，-1
5．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．若一元二次方程的常数项是0，则的值是（ ）
A．2或-2 B．2 C．-2 D．4
7．一元二次方程5x2– 3x = 4＋2x化为一般形式是 ．
8．一元二次方程6x2+2x=-2的二次项系数、一次项系数、常数项之和是 ．
9．已知方程 是一元二次方程，求 的值.
10．学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：
①它的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）
②它的二次项系数为5
③常数项是二次项系数的倒数的相反数
你能写出一个符合条件的方程吗？
【培优训练】
11．将一元二次方程化成一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，公园要在一块长为100米，宽为80米的矩形场地上修建三条宽度相等的道路，其中两条纵向，一条横向，横向道路与纵向道路垂直．剩余部分摆放不同的花卉，要使摆放花卉面积为7488m2，则道路的宽为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．100×80﹣100x﹣80×2x＝7488
B．（100﹣2x）（80﹣x）＝7488
C．（100﹣2x）（80﹣x）+2x2＝7488
D．100x+80×2x＝512
13．我校九年级某班学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1275张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝1275 B．x（x+1）＝1275
C．2x（x+1）＝1275 D．＝1275
14．某种品牌的手机经过八、九月份连续两次降价，每部售价从1000元降到了810元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程（ ）
A．1000（1﹣2x）＝810 B．1000（1﹣x）2＝810
C．800（1＋2x）＝1000 D．800（1＋x）2＝1000
15．一个长方形牧场的面积为8100平方米，长比宽多19米，设宽为x米，由题意可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
16．将一元二次方程化成一般形式可得 ．
17．若关于的方程是一元二次方程，则 ．
18．构造一个一元二次方程，要求：①常数项不为0；②有一个根为﹣1．这个一元二次方程可以是 （写出一个即可）．
19．已知关于x的一元二次方程m(x－1)2＝－3x2＋x的二次项系数与一次项系数互为相反数，则m的值为多少？
20．试证：不论k取何实数，关于x的方程(k2-6k+12)x2=3-(k2-9)x必是一元二次方程.
【直击中考】
21．方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是 ( )
A．x2－5x+5=0 B．x2+5x+5=0 C．x2+5x－5=0 D．x2+5=0
22．一元二次方程2x2-bx=1的常数项为（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．±1
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