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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第2章 一元二次方程（解析版）
2.2一元二次方程的解法（1）
【知识重点】
一、一元二次方程的解法——因式分解法：
利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法，这种方法就是把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程，然后求解.
二、因式分解法的操作方法(可以分解的二次三项式)：
先将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的左边分解为两个一次因式的积，再根据两个因式的积等于0，得出这两个因式至少有一个为0，因此这种方法可以将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.
三、常用的因式分解有：提取公因式、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法（选学）
【经典例题】
【例1】解方程：
（1）x2-4x+4=0
（2）2x2-6x=0
（3）(2x-3)2=3(2x-3)
（4）x2-3x-28=0
【答案】（1）解：∵x2-4x+4=0，
∴（x-2）2=0，
∴x-2=0，
∴x1=x2=2；
（2）解：∵2x2-6x=0 ，
∴x2-3x=0，
∴x（x-3）=0，
∴x1=0，x2=3；
（3）解：∵ (2x-3)2=3(2x-3) ，
∴(2x-3) （2x-6）=0，
∴x1=3，x2=；
（4）解：x2-3x-28=0，
∴（x-7）（x+4）=0，
∴x1=7，x2=-4.
【解析】（1）利用因式分解法-完全平方公式，解一元二次方程；
（2）利用因式分解法-提公因式法，解一元二次方程；
（3）利用因式分解法-提公因式法，解一元二次方程；
（4）利用因式分解法-十字相乘法，解一元二次方程.
【例2】用适当的方法解一元二次方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
（2）解：，
整理得：，
则，
解得，．
【解析】（1）此方程是一元二次方程的一般形式，且方程的左边易于利用完全平方公式分解因式，故利用直接开平方法求解即可；
（2）首先将方程的左边利用多项式乘以多项式的法则化简，同时将右边的常数项移到方程的左边，并合并同类项，将方程化为一般形式，观察方程的左边易于利用提取公因式法分解因式，故此题利用因式分解法求解.
【基础训练】
1．一元二次方程的解为（ ）
A．－2 B．2 C．0或－2 D．0或2
【答案】D
【解析】，
x2-2x=0，
x(x-2)=0，
x=0或x-2=0，
∴x=0或2，
故答案为：D．
2．方程的两个根为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】∵，
∴或，
∴，；
故答案为：A.
3．用因式分解法解下列方程，正确的是（ ）
A． ，则
，或
B． ，则
，或
C． ，则
，或
D． ，则
【答案】B
【解析】A、方程的右边不为0，故A错误；
B、∵（2x-2）（3x-4）=0，∴2x-2=0或3x-4=0，故B正确；
C、方程的右边不为0，故B错误；
D、x（x+2）=0，∴x=0或x+2=0，故D错误.
故答案为：B.
4．代数式与4x的值相等，则x的值为 ．
【答案】
【解析】根据题意得：x2-2x=4x，
整理得：x2-6x=0，
分解因式得：x（x-6）=0，
所以x=0或x-6=0，
解得：x1=0，x2=6，
故答案为：x1=0，x2=6．
5．方程的解为 ．
【答案】，
【解析】，
解得，，
故答案为：，．
6．（1）如果（2m+n）2+3（2m+n）=0，则2m+n的值为 .
（2）若实数x，y满足（x2+y2+2）（x2+y2-1）=0，则x2+y2的值为 .
【答案】（1）0或-3
（2）1
【解析】（1）∵ （2m+n）2+3（2m+n）=0，
∴（2m+n）（2m+n+3）=0
解之：2m+n=0或2m+n+3=0
∴2m+n=0或-3.
故答案为：0或-3.
（2）∵ （x2+y2+2）（x2+y2-1）=0
∴x2+y2+2=0或x2+y2-1=0
解之：x2+y2=1或x2+y2=-2，
∵x2+y2≥0
∴x2+y2=1.
故答案为：1.
7．方程x2﹣1＝3（x﹣1）的根为 .
【答案】x＝1或x＝2
【解析】∵（x+1）（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
则x﹣1＝0或x﹣2＝0，
解得x＝1或x＝2，
故答案为：x＝1或x＝2.
8．用适当的方法解方程：．
【答案】解：，
或，
解得：，．
9．解方程：
【答案】解：将方程左边分解因式得：
，
，
所以 或 ，
所以 .
10．下面是小明解一元二次方程（x-5)2=3(x-5)的过程：
解：方程两边都除以（x-5)，得x-5=3，
解得x=8．
小明的解题过程是否正确，如果正确请说明理由；如果不正确，请写出正确的解题过程．
【答案】解：小明的解题过程不正确．
正确的解答：移项，得（x-5)2-3(x-5)=0，
提公因式（x-5)，得（x-5)(x-5-3)=0，
x-5=0或x-5-3=0，
∴x1=5，x2=8．
【培优训练】
11．关于x的方程ax2+bx+c=0的解与(x-1)(x-4)＝0的解相同，则a+b+c的值为 .
【答案】0
【解析】（x-1）（x-4）=x2-4x-x+4=x2-5x+4=0
由两个方程相等可知，a=1，b=-5，c=4
∴a+b+c=0
12．一元二次方程x2-5x-6=0的解是 .
【答案】x1=-1,x2=6
【解析】∵x2-5x-6=0
∴（x-6）（x+1）=0
∴x1=6，x2=-1
13．如果代数式x2+7x+2与x-3相等,那么x= .
【答案】1或5
【解析】根据题意可知，
x2+7x+2=x-3
∴x2+6x+5=0
∴（x+1）（x+5）=0
∴x1=-1，x2=-5
14．方程 的解是 .
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，
∴3-2x=x2，
∴x2+2x-3=0，
∴（x+3）（x-1）=0，
解得，x1=-3，x2=1，
经检验，当x=1时，原方程无意义，当x=3时，原方程有意义，
故原方程的根是x=-3，
故答案为：x=-3．
【注意】根据解无理方程的方法可以解答此方程，注意无理方程要检验．
15．若 ，则 的值为 .
【答案】2.
【解析】∵
∴
∴ ,
解得： (舍去)
故x=2.
16．方程x（x﹣1）=2（1﹣x）的解是 ．
【答案】x=1或x=﹣2
【解析】∵x（x﹣1）=﹣2（x﹣1），
x（x﹣1）+2（x﹣1）=0，
∴（x﹣1）（x+2）=0，
∴x﹣1=0或x+2=0，
解得：x=1或x=﹣2，
故答案为：x=1或x=﹣2．
17．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣13x+36=0的根，则三角形的周长为 ．
【答案】13
【解析】（x﹣4）（x﹣9）=0，
x﹣4=0或x﹣9=0，
所以x1=4，x2=9，
因为3+6=9，
所以第三边长为4，
所以三角形的周长为3+6+4=13．
故答案为13．
18．方程2（x﹣3）2=x2﹣9的解是 ．
【答案】x1=3，x2=9
【解析】方程整理得：2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）=0，
分解因式得：（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）=0，
解得：x1=3，x2=9．
故答案为：x1=3，x2=9
19．若a，b满足a2﹣3ab+2b2=6，且a﹣2b=3，则a﹣b= ．
【答案】2
【解析】∵a2﹣3ab+2b2=6，
∴（a﹣2b）（a﹣b）=6，
∵a﹣2b=3，
∴a﹣b=2．
故答案为2．
20．解方程：
（1）x2－4x－3＝0
（2）（x－1）2－2（x2－1）＝0
【答案】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴原方程的解为： ， ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
原方程的解为： , ．
【解析】【分析】（1）利用配方法进行求解即可；（2）利用因式分解法进行求解即可．
21．解下列方程
（1）（3x－1）2＝2（3x－1）
（2）3x2－2 x＋1＝0
【答案】（1）（3x－1）2＝2（3x－1）
（3x－1）2-2（3x－1）＝0
（3x－1）[（3x－1）-2]＝0
（3x－1）（3x－3）＝0
∴3x－1=0，3x－3=0
解得， ， ；
（2）3x2－2 x＋1＝0
∴ ．
22．解方程：
（1）x2－2x－3＝0
（2）2x2＋1＝3x
【答案】（1）解：x2－2x－3＝0，
∴，
∴x-3=0或x+1=0，
解得：x1=3，x2= -1
（2）解：2x2＋1＝3x
移项得：2x2-3x＋1＝0
∴（2x-1）（x-1）=0，
∴2x-1=0或x-1=0，
解得：x1=1，x2=
23．已知关于x的方程x2-6x+m2-4m-4=0有一个根是-1，求m的值。
【答案】解：∵方程x2-6x+m2-4m-4=0的一个根是-1，
∴1+6+m2-4m-4=0．
整理，得m2-4m+3=0-
解得m1=1，m2=3
24．已知 ，求一元二次方程bx2﹣x+a=0的解．
【答案】解：∵|a﹣1|+ =0，
∴a﹣1=0，b+2=0，
解得：a=1，b=﹣2，
代入方程得：﹣2x2﹣x+1=0，即2x2+x﹣1=0，
分解因式得：（2x﹣1）（x+1）=0，
解得：x=﹣1或x=
25．如图，在Rt△ABC中，∠B=Rt∠，直角边AB、BC的长(AB＜BC)是方程 2－7 ＋12＝0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t(秒)．
（1）求AB与BC的长；
（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为 时运动时间t的值；
（3）点P在运动的过程中，是否存在点P，使△ABP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）∵x2－7x＋12＝(x－3)(x－4)＝0 ∴x1＝3或x2＝4．则AB＝3，BC＝4.
（2）由题意得AB2+BP2=AP2，则32+（t-3）2=10，
解得t1=4，t2=2（舍）.
即t=4时，AP=.
（3）存在点P，使△ABP是等腰三角形.①当AP＝AB＝3时，P在CC，则 t=3+4+5-3=9(秒).
②当BP＝BA＝3时，当P在AC上时， t= (秒)，
当P在BC上时， t=3+3=6 (秒)，③当BP=AP (即P为AC中点)时， ∴t＝3+4+2.5=9.5(秒).
可知当t为9秒或9.5秒或6 (秒)或(秒)时，△ABP是等腰三角形.
【直击中考】
26．若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0，-2 B．0，0 C．-2，-2 D．-2，0
【答案】B
【解析】根据题意，
∵是一元二次方程的一个根，
把代入，则
，
解得：；
∴，
∴，
∴，，
∴方程的另一个根是；
故答案为：B.
27．一元二次方程 的根是 .
【答案】 或
【解析】由题意可知： 或 ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 .
28．方程2x2+1=3x的解为 ．
【答案】
【解析】 2x2+1=3x
2x2-3x+1=0
(2x-1)(x-1)=0，
∴.
故答案为：.
29．若直角三角形的两边长分别是方程 的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
【答案】D
【解析】解方程 得 ，
当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为 ；
当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为 ，面积为 ；
则该直角三角形的面积是6或 ，
故答案为：D.
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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第2章 一元二次方程
2.2一元二次方程的解法（1）
【知识重点】
一、一元二次方程的解法——因式分解法：
利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法，这种方法就是把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程，然后求解.
二、因式分解法的操作方法(可以分解的二次三项式)：
先将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的左边分解为两个一次因式的积，再根据两个因式的积等于0，得出这两个因式至少有一个为0，因此这种方法可以将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.
三、常用的因式分解有：提取公因式、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法（选学）
【经典例题】
【例1】解方程：
（1）x2-4x+4=0
（2）2x2-6x=0
（3）(2x-3)2=3(2x-3)
（4）x2-3x-28=0
【例2】用适当的方法解一元二次方程：
（1）； （2）．
【基础训练】
1．一元二次方程的解为（ ）
A．－2 B．2 C．0或－2 D．0或2
2．方程的两个根为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．用因式分解法解下列方程，正确的是（ ）
A． ，则
，或
B． ，则
，或
C． ，则
，或
D． ，则
4．代数式与4x的值相等，则x的值为 ．
5．方程的解为 ．
6．（1）如果（2m+n）2+3（2m+n）=0，则2m+n的值为 .
（2）若实数x，y满足（x2+y2+2）（x2+y2-1）=0，则x2+y2的值为 .
7．方程x2﹣1＝3（x﹣1）的根为 .
8．用适当的方法解方程：．
9．解方程：
10．下面是小明解一元二次方程（x-5)2=3(x-5)的过程：
解：方程两边都除以（x-5)，得x-5=3，
解得x=8．
小明的解题过程是否正确，如果正确请说明理由；如果不正确，请写出正确的解题过程．
【培优训练】
11．关于x的方程ax2+bx+c=0的解与(x-1)(x-4)＝0的解相同，则a+b+c的值为 .
12．一元二次方程x2-5x-6=0的解是 .
13．如果代数式x2+7x+2与x-3相等,那么x= .
14．方程 的解是 .
15．若 ，则 的值为 .
16．方程x（x﹣1）=2（1﹣x）的解是 ．
17．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣13x+36=0的根，则三角形的周长为 ．
18．方程2（x﹣3）2=x2﹣9的解是 ．
19．若a，b满足a2﹣3ab+2b2=6，且a﹣2b=3，则a﹣b= ．
20．解方程：
（1）x2－4x－3＝0
（2）（x－1）2－2（x2－1）＝0
21．解下列方程
（1）（3x－1）2＝2（3x－1）
（2）3x2－2 x＋1＝0
22．解方程：
（1）x2－2x－3＝0 （2）2x2＋1＝3x
23．已知关于x的方程x2-6x+m2-4m-4=0有一个根是-1，求m的值。
24．已知 ，求一元二次方程bx2﹣x+a=0的解．
25．如图，在Rt△ABC中，∠B=Rt∠，直角边AB、BC的长(AB＜BC)是方程 2－7 ＋12＝0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t(秒)．
（1）求AB与BC的长；
（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为 时运动时间t的值；
（3）点P在运动的过程中，是否存在点P，使△ABP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．
【直击中考】
26．若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0，-2 B．0，0 C．-2，-2 D．-2，0
27．一元二次方程 的根是 .
28．方程2x2+1=3x的解为 ．
29．若直角三角形的两边长分别是方程 的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
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