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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第2章 一元二次方程
2.2一元二次方程的解法（2）
【知识重点】
一、直接开平方法：
1. 直接开平方法概念：利用平方根的定义直接开平方，可以将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
2.直接开平方法适用范围： 直接开平方法适用于解形如(r≥0)的一元二次方程，根据平方根的定义可知，mx+n 是r的平方根，当r≥0时，mx+n =,；当r<0时，方程没有实数根.
3.用直接开平方法求一元二次方程的根需要注意：一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.
二、配方法(二次项系数为1)：
1. 定义：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负数，如(n≥0)形式，然后再用直接开方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
2.配方法的理论根据：是完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x2±2bx+b2=(x±b)2 .
【经典例题】
【例1】解方程：
（1）； （2）；
（3）（3x﹣1）2=（x+1）2 （4）（2x+3）2=x2﹣6x+9
【例2】如果正方形的边长为x，它的面积与长为12、宽为8的矩形面积相等，求x的值.
【例3】配方法解方程
【基础训练】
1．一元二次方程x2-9=0的解是（ ）
A．x=3 B．x=-3 C．x=±3 D．x=9
2．用直接开平方法解方程时，可以将其转化为或，其依据的数学知识是（ ）
A．完全平方公式 B．平方根的意义
C．等式的性质 D．一元二次方程的求根公式
3．用配方法解方程x2+2x=1，应在方程两边同时加上（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．1
4．用配方法解方程x2﹣6x+5＝0，配方后可得（ ）
A．（x﹣3）2＝5 B．（x﹣3）2＝4
C．（x﹣6）2＝5 D．（x﹣6）2＝31
5．把方程化成（a，b为常数）的形式，a，b的值分别是（ ）
A．2，7 B．2，5 C．，7 D．，5
6．方程4（x﹣1）2＝1的根是 ．
7．一元二次方程的解是 .
8．若将方程x2+mx+8＝0用配方法化为（x﹣3）2＝n，则m+n的值是
.
9．若一元二次方程（x-3）2=1的两根为Rt△ABC的两直角边的长，则Rt△ABC的面积是
10．解下列方程：
（1）（直接开平方法）
（2）（配方法）
（3）（因式分解法）
【培优训练】
11．已知一元二次方程式的两根为、，且，求之值为何？（ ）
A．9 B．-3 C． D．
12．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
13．对于任意的实数，代数式的值是一个（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．无法确定
14．关于 的方程 的解是 ， 均为常数， ，则方程 的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
15．一元二次方程（x+5）2=（1-3x）2的根是 .
16．若一元二次方程ax2=b，当ab>0时的两个根分别是m+1与2m-4，则m= ；当ab 0时，一元二次方程ax2=b没有实数解.
17．在 中， ， ， ，则a的值是 ．
18．若 ，则 = .
19．已知关于x的方程a（x+m）2+b=0（a，b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x1=3，x2=7，则方程 的解是 .
20．阅读下列材料，并回答后面的问题：
数学课上，李老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：
解：
∵
∴
∴当时，代数式的最小值是－7
通过阅读，求代数式的最小值．
【直击中考】
21．方程（x+1）2=9的解是 .
22．解方程：
23．解方程：
24．一元二次方程式x2﹣8x=48可表示成（x﹣a）2=48+b的形式，其中a、b为整数，求a+b之值为何（ ）
A．20 B．12 C．﹣12 D．﹣20
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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第2章 一元二次方程（解析版）
2.2一元二次方程的解法（2）
【知识重点】
一、直接开平方法：
1. 直接开平方法概念：利用平方根的定义直接开平方，可以将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
2.直接开平方法适用范围： 直接开平方法适用于解形如(r≥0)的一元二次方程，根据平方根的定义可知，mx+n 是r的平方根，当r≥0时，mx+n =,；当r<0时，方程没有实数根.
3.用直接开平方法求一元二次方程的根需要注意：一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.
二、配方法(二次项系数为1)：
1. 定义：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负数，如(n≥0)形式，然后再用直接开方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
2.配方法的理论根据：是完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x2±2bx+b2=(x±b)2 .
【经典例题】
【例1】解方程：
（1）；
【答案】（1）解：，
∴，
解得：；
【解析】此题左边是一个式子的完全平方，右边是一个正数，故直接利用开平方法进行计算即可；
（2）；
【答案】（1）解：
开平方，得，
∴，；
【解析】两边同时开平方可得x-1=±11，求解即可；
（3）（3x﹣1）2=（x+1）2
【答案】解：方程两边直接开方得：
3x﹣1=x+1，或3x﹣1=﹣（x+1），
∴2x=2，或4x=0，
解得：x1=1，x2=0．
【解析】方程两边直接开方，再按解一元一次方程的方法求解．
（4）（2x+3）2=x2﹣6x+9
【答案】解：由原方程，得
（2x+3）2=（x﹣3）2，
直接开平方，得
2x+3=±（x﹣3），
则3x=0，或x+6=0，
解得，x1=0，x2=﹣6．
【解析】先把原方程的右边转化为完全平方形式，然后直接开平方．
【例2】如果正方形的边长为x，它的面积与长为12、宽为8的矩形面积相等，求x的值.
【答案】解：依题意得：x2=12×8
∴x2=96
∴
答：x的值为 .
【解析】根据正方形的面积等于矩形的面积，列出方程，再开平方即可求出x的值，注意x代表的实际意义.
【例3】配方法解方程
解：∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，；
观察方程特点：二次项系数是1，一次项系数为偶数，因此利用配方法解方程，先移项（常数项移到方程的右边），再配方（方程的两边同时加上一次项系数一半的平方），左边利用完全平方公式分解因式，后边合并同类项，进而利用直接开平方法求解即可；
【基础训练】
1．一元二次方程x2-9=0的解是（ ）
A．x=3 B．x=-3 C．x=±3 D．x=9
【答案】C
【解析】 x2-9=0，
∴ x2=9，
∴x=±3.
故答案为：C.
2．用直接开平方法解方程时，可以将其转化为或，其依据的数学知识是（ ）
A．完全平方公式 B．平方根的意义
C．等式的性质 D．一元二次方程的求根公式
【答案】B
【解析】用直接开平方法解方程时，可以将其转化为或，其依据的数学知识是平方根的意义．
故答案为：B．
3．用配方法解方程x2+2x=1，应在方程两边同时加上（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．1
【答案】D
【解析】 x2+2x=1，
x2+2x+1=1+1，
（x+1）2=2，
x+1=或-，
∴x=-1+或-1-.
故答案为：D.
4．用配方法解方程x2﹣6x+5＝0，配方后可得（ ）
A．（x﹣3）2＝5 B．（x﹣3）2＝4
C．（x﹣6）2＝5 D．（x﹣6）2＝31
【答案】B
【解析】x2﹣6x+5＝0，
x2﹣6x＝﹣5，
x2﹣6x+9＝﹣5+9，
（x﹣3）2＝4，
故答案为：B．
5．把方程化成（a，b为常数）的形式，a，b的值分别是（ ）
A．2，7 B．2，5 C．，7 D．，5
【答案】C
【解析】，
，
，
，
∴，，
故答案为：C.
6．方程4（x﹣1）2＝1的根是 ．
【答案】
【解析】，
，
．
故答案为：.
7．一元二次方程的解是 .
【答案】
【解析】，
，
.
故答案为：.
8．若将方程x2+mx+8＝0用配方法化为（x﹣3）2＝n，则m+n的值是
.
【答案】-5
【解析】 ，
移项： ，
配方得： ，
∴ ，
∵方程 利用配方法可化成 ，
∴ ，
∴
∴ .
故答案为：-5.
9．若一元二次方程（x-3）2=1的两根为Rt△ABC的两直角边的长，则Rt△ABC的面积是
【答案】4
【解析】∵（x-3）2=1，
∴x-3=1或x-3=-1，
∴x1=4，x2=2，
∴Rt△ABC的两条直角边为4和2，
∴Rt△ABC的面积=×4×2=4.
故答案为：4.
10．解下列方程：
（1）（直接开平方法）
（2）（配方法）
（3）（因式分解法）
【答案】（1）解：，
，
，
解得：；
（2）解：，
，
，
，
解得：；
（3）解：，
，
，
解得：．
【解析】（1）给方程两边同时除以4，然后利用直接开平方法进行计算；
（2）首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上4，再对左边的式子利用完全平方公式分解可得(x+2)2=2，接下来利用直接开平方法进行计算；
（3）将右边的式子移至左边，提取公因式(2x+1)可得(2x+1)(2x+1+3)=0，据此求解.
【培优训练】
11．已知一元二次方程式的两根为、，且，求之值为何？（ ）
A．9 B．-3 C． D．
【答案】C
【解析】，
或，
所以，，
即，，
所以.
故答案为：C.
12．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
【答案】C
【解析】x2+6x+c＝0，
移项得：
配方得： 而（x+3）2＝2c，
解得：
故答案为：C.
13．对于任意的实数，代数式的值是一个（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．无法确定
【答案】A
【解析】 ，
，
．
故答案为：A.
14．关于 的方程 的解是 ， 均为常数， ，则方程 的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】 关于 的方程 的解是 ， ， 均为常数， ，
把 当做第一个方程中的 ，则方程 可变形为
则 或 ，
解得 ， .
方程 的解是 ， ，
故答案为：B.
15．一元二次方程（x+5）2=（1-3x）2的根是 .
【答案】x1=-1，x2=3
【解析】∵ （x+5）2=（1-3x）2，
∴x+5=±（1-3x），
∴x+5=1-3x或x+5=-1+3x，
解之：x1=-1，x2=3.
故答案为：x1=-1，x2=3.
16．若一元二次方程ax2=b，当ab>0时的两个根分别是m+1与2m-4，则m= ；当ab 0时，一元二次方程ax2=b没有实数解.
【答案】1；<
【解析】 ax2=b，
x2=，
∵ab>0，∴>0，
∴x=±，
∴ （m+1）+（2m-4）=0，
解得m=1，
当ab<0，<0，
∴x2=<0，
∴原方程没有实数解.
故答案为：1，＜.
17．在 中， ， ， ，则a的值是 ．
【答案】9
【解析】∵ ，
∴设 ， ，
由勾股定理得：
，
解得： (负值已舍)，
∴ ．
故答案为： ．
18．若 ，则 = .
【答案】3
【解析】∵ ，
∴ ，或 ，
∵ ， ，
∴ ，
即 .
故答案为：3.
19．已知关于x的方程a（x+m）2+b=0（a，b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x1=3，x2=7，则方程 的解是 .
【答案】 或
【解析】∵方程 的解为：x1=3，x2=7，
∴ ，
解得： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 .
20．阅读下列材料，并回答后面的问题：
数学课上，李老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：
解：
∵
∴
∴当时，代数式的最小值是－7
通过阅读，求代数式的最小值．
【答案】解：x2－6x+7
=x2－6x+9－2
=（x2－6x+9）－2
=（x－3）2－2，
∵（x－3）2≥0，
∴（x－3）2－2≥－2，
当x=3时，代数式x2－6x+7的最小值为－2．
【解析】先求出 x2－6x+7=（x－3）2－2， 再根据 （x－3）2≥0， 求解即可。
【直击中考】
三、中考
21．（2020·扬州）方程（x+1）2=9的解是 .
【答案】2或-4
【解析】根据直接开方法即可解出方程.
（x+1）2=9
x+1=±3
x=2或-4.
22．（2019·安徽）解方程：
【答案】解：x-1=±2，
x-1= 2或x-1=-2，
解得：x=-1或x=3.
【解析】利用直接开平方法直接将方程转化为两个一次方程，解出x值即可.
23．（2022·齐齐哈尔）解方程：
【答案】解：∵
∴或
解得，．
【解析】利用直接开平方法求解一元二次方程即可。
24．（2017·台湾）一元二次方程式x2﹣8x=48可表示成（x﹣a）2=48+b的形式，其中a、b为整数，求a+b之值为何（ ）
A．20 B．12 C．﹣12 D．﹣20
【答案】A
【解析】∵x2﹣8x=48，
∴x2﹣8x+16=48+16，
∴（x﹣4）2=48+16，
∴a=4，b=16，
∴a+b=20．
故答案为：A．
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