浙教版2022-2023学年数学八年级下册第2章 一元二次方程（解析版）
2.2一元二次方程的解法（3）
【知识重点】
一、配方法解一元二次方程的一般步骤(二次项系数不为1)：
1.将方程化成一般式；
2.方程的两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；
3.移项：把常数项移到方程的右边，使方程的左边为二次项和一次项；
4.配方：在方程的两边各加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方式；
5.求解：如果方程的右边整理后是非负数，就用开平方法求解，如果右边是负数，则指出原方程无解.
二、配方法的重要性：配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.
【经典例题】
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【例1】配方法解方程：
解： 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1
【解析】观察方程特点：二次项系数不是1，利用配方法解方程，先等式两边同时除以2,再移项（常数项移到方程的右边），再配方（方程的两边同时加上一次项系数一半的平方），左边利用完全平方公式分解因式，后边合并同类项，进而利用直接开平方法求解即可；
【例2】用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）
【答案】解：ax2+bx+c＝0，
ax2+bx＝﹣c，
x2+ x＝﹣ ，
x2+ x+（ ）2＝﹣ +（ ）2，
（x+ ）2＝ ，
当b2﹣4ac＞0时，x1＝ ，x2＝ ；
当b2﹣4ac＝0时，x1＝x2＝﹣ ；
当b2﹣4ac＜0时，方程无解．
【解析】首先将常数项移至右边，然后方程两边同时除以a，将二次项系数化为1，再给两边同时加上一次项系数一半的平方“ （ ）2 ”，然后对左边的式子利用完全平方公式分解，右边合并同类项可得(x+ )2＝，接下来分b2-4ac＞0、b2-4ac＝0、b2-4ac＜0，利用直接开平方法进行计算即可.
【例3】已知9x2-18（2-k）x+18（6-k）是关于x的完全平方式，求常数k的值.
【答案】解：∴9x2-18（2-k）x+18（6-k）=9[x2-2（2-k）x+2（6-k）]是关于x的完全平方式，
∴（2-k）2=2（6-k），即k2-2k-8=0，
配方得（k-1）2=9，即k-1=±3
解得k1=4，k2=-2.
【解析】先把原式变形为9[x2-2（2-k）x+2（6-k）]，再根据完全平方式的结构特征得出
（2-k）2=2（6-k），从而得出k2-2k-8=0，利用配方法得出（k-1）2=9，直接开平方得出k-1=±3，即可得出k的值.
【例4】阅读下面的解答过程.
求
的最小值.
解： .
，即
的最小值为0，
的最小值为4.
仿照上面的解答过程，求
的最小值和
的最大值.
【答案】解 ，
∵
∴
则 的最小值是 .
∵
∴
的最大值是5
【解析】利用配方法把m2+m+4化为
的形式，再利用偶次方的非负性即可得出m2+m+4的最小为
；利用配方法把4-x2+2x化为-（x-1）2+5的形式，再利用偶次方的非负性即可得出4-x2+2x的最大值是5.
【基础训练】
1．如图是小明在解方程 x2-2x-1= 0时的过程，他在解答过程中开始出错的步骤是（ ）
A．第①步 B．第②步 C．第③步 D．第④步
【答案】C
【解析】x2-2x-1=0，
∴x2-4x-2=0，
∴x2-4x=2，
∴x2-4x+4=2+4，
∴（x-2）2=6，
∴x=2±，
∴他在解答过程中开始出错的步骤是第③步.
故答案为：C.
2．用配方法解一元二次方程，下面配方正确的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由原方程得，
，
，
．
故答案为：A．
3．设，，其中a为实数，则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定．
【答案】D
【解析】N-M=- ()
=
=，
∵a的取值范围不确定，
∴无法判定N-M的符号，即无法判定M与N的大小．
故答案为：D．
4．已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣10，当实数a变化时，x与y的大小关系是（ ）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x＞y、x＝y、x＜y都有可能
【答案】A
【解析】∵3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣10，
∴，
∴，
∵不论a为何值，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
5．用配方法解一元二次方程2x2+3x+1＝0，变形为（x+h）2＝k，则h＝ ，k＝ ．
【答案】；
【解析】
二次项系数化为1，得 ，
移项，得 ，
等式两边同时加上一次项系数的一半的平方，得 ，
配方，得 ，
则 ， ，
故答案为： ， ．
6．若 ，则 .
【答案】1；-9
【解析】
=2（x-1）2-9.
∴m=1，n=-9.
故答案为：1，-9.
7．已知，那么的值是 ．
【答案】-5
【解析】∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：-5．
8．解方程（配方法）
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
，
即；
（2）解：，
，
，
，
，
或，
即．
【解析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可。
9．解方程
（1）配方法解方程2x2﹣12x﹣12＝0；
（2）（x＋2）（x＋3）＝1
【答案】（1）解：∵2x2﹣12x﹣12＝0，
∴x2﹣6x﹣6＝0，
∴x2﹣6x＝6，
∴x2﹣6x+9＝6+9，即（x﹣3）2＝15，
∴x﹣3＝±，
∴x1＝3+，x2＝3﹣；
【解析】（1）利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）利用公式法求解一元二次方程即可。
10．解一元二次方程：
（1）；（用配方法）
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
所以，；
【解析】由配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，方程两边同时除以二次项的系数2将二次项的系数化为1，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方“”，左边配成完全平方式，再两边开平方”即可求解；
11．解一元二次方程：
；
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
则，；
【解析】由配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程的两边都除以2，将二次项的系数化为1，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方“1”，左边配成完全平方式，再两边开平方”即可求解；
12．阅读下列材料，并回答后面的问题：
数学课上，李老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：
解：
∵
∴
∴当时，代数式的最小值是－7
通过阅读，求代数式的最小值．
【答案】解：x2－6x+7
=x2－6x+9－2
=（x2－6x+9）－2
=（x－3）2－2，
∵（x－3）2≥0，
∴（x－3）2－2≥－2，
当x=3时，代数式x2－6x+7的最小值为－2．
【解析】先求出 x2－6x+7=（x－3）2－2， 再根据 （x－3）2≥0， 求解即可。
【培优训练】
13．设实数，，满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】
，
故 的最大值为 ．
故答案为：C.
14．已知满足，则的值为（ ）
A．1 B．－5 C．－6 D．－7
【答案】A
【解析】∵，
∴（a2+2b）+（b2-2c）+（c2-6a）=7+（-1）+（-17），
∴a2+2b+b2-2c+c2-6a=-11
∴（a2-6a+9）+（b2+2b+1）+（c2-2c+1）=0，
∴（a-3）2+（b+1）2+（c-1）2=0
∴a-3=0，b+1=0，c-1=0，
∴a+b-c=3-1-1=1．
故答案为：A．
15．若 为任意实数，且 ，则 的最大值为（ ）
A．10 B．84 C．100 D．121
【答案】C
【解析】
，
，
的最大值为100.
故答案为：C.
16．若a、b、c分别为△ABC的三条边长，且a2－6a+b2－10c+c2＝8b－50，则这个三角形的形状是 ．
【答案】直角三角形
【解析】∵a2－6a+b2－10c+c2＝8b－50，
∴（a2－6a+9）+（b2－8b+16）+（c2-10c+25）＝0，
∴（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0，
∴a-3=0，b-4=0，c-5=0，
解得：a=3，b=4，c=5，
∵32+42=52，
∴这个三角形是直角三角形．
故答案为：直角三角形
17．若a，b为有理数，且2a2﹣2ab+b2﹣6a+9＝0，则a+2b＝ ．
【答案】9
【解析】∵2a2﹣2ab+b2﹣6a+9＝0，
∴a2﹣2ab+b2+a2﹣6a+9＝0，
∴（a﹣b）2+（a﹣3）2＝0，
∴a﹣b＝0，a﹣3＝0，
∴a＝b＝3，
∴a+2b＝9.
故答案为：9.
18．设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为 ．
【答案】3
【解析】原式=（x2+2x+1）+（4x2﹣8xy+4y2）+3=4（x﹣y）2+（x+1）2+3，
∵4（x﹣y）2和（x+1）2的最小值是0，
即原式=0+0+3=3，
∴5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为3．
故答案为：3
19．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法。配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等.
例如：分解因式：x2＋2x－3.
原式.
例如：求代数式的最小值.
原式=2x2+4x-6=2(x+1)2-8
∴当时，有最小值，最小值是－8.
（1）请用上述方法分解因式： ；
（2）试说明：x、y取任何实数时，多项式的值总为正数；
（3）当m、n为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值.
【答案】（1）（a+1）（a-3）
（2）解：
（3）解：原式
∴当 ，
即 ， 时，最小值为5.
【解析】（1）
20．阅读以下文字并解决问题：对于形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在中间先加上一项，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去，则整个多项式的值不变． 即：，像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．
（1）利用“配方法”因式分解：
（2）如果，求的值．
【答案】（1）解：x2+4xy﹣5y2
=（x2+4xy+4y2）﹣4y2﹣5y2
=（x+2y）2﹣（3y）2
=（x+2y+3y）（x+2y﹣3y）
=（x+5y）（x﹣y）；
（2）解：∵a2+2b2+c2﹣2ab﹣6b﹣4c+13=0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣6b+9）+（c2﹣4c+4）=0，（a﹣b）2+（b﹣3）2+（c﹣2）2=0，
∴a﹣b=0，b﹣3=0，c﹣2=0，
解得：a=b=3，c=2，
∴a+b+c=8．
【解析】（1）参照题干中的计算方法利用配方法求解即可；
（2）利用配方法将原式变形为（a﹣b）2+（b﹣3）2+（c﹣2）2=0，根据非负数之和为0的性质可得a﹣b=0，b﹣3=0，c﹣2=0，再求出a、b、c的值，最后将a、b、c的值代入计算即可。
21．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．
（1）解决问题：
已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式 ；
（2）若可配方成（m、n为常数），则 ；
（3）探究问题：
已知，则 ；
（4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
（5）拓展结论：
已知实数x、y满足，求的最值．
【答案】（1）
（2）-2
（3）-2
（4）解：当时，S为“完美数”，理由如下：
，
∵
∴．
（5）解：∵，
∴，即，
∴
．
当时，最大，最大值为6．
【解析】（1）解：∵
∴10是“完美数”
故答案为．
（2）解：∵
∴
∴
故答案为-2．
（3）解：
∴
∴．
故答案为-2．
22．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
（1）请你说明这个等式的正确性；
（2）若，，，你能很快求出的值；
（3）已知实数x，y，z，a满足，，，且．求代数式的值．
【答案】（1）解：等式右边左边，得证
（2）解：当，，时，
（3）解：，
，
，，，
，，，
原式．
【解析】（1）利用完全平方公式计算求解即可；
（2）根据 ，，， 利用完全平方公式计算求解即可；
（3）先求出 ， 再计算求解即可。
23．先阅读，后解题．
已知，求m和n的值．
解：将左边分组配方：．即．
∵，，且和为0，
∴且，∴m＝－1，n＝－3．
利用以上解法，解下列问题：
（1）已知：，求x和y的值．
（2）已知a，b，c是的三边长，满足且为直角三角形，求c．
【答案】（1）解：∵
∴
∴x＋2＝0，y－1＝0
∴x＝－2，y＝1．
（2）解：∵
∴
∴
∴a－4＝0，b－3＝0
∴a＝4，b＝3
∵是直角三角形
∴或
∴c的值为5或．
【解析】（1）模仿例题将等式左边分组配方，根据非负数之和为0可求出x、y的值；
（2）先将等式配方为， 根据非负数之和为0可求出a、b的值，分两种情况：当c为斜边和直角边时，利用勾股定理分别求解即可.
【直击中考】
24．（2022·聊城）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则a+b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】∵，
∴，，
则，即，
∴，，
∴．
故答案为：B．
25．（2014·南通）已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于 ．
【答案】4
【解析】∵m﹣n2=1，即n2=m﹣1≥0，m≥1，
∴原式=m2+2m﹣2+4m﹣1=m2+6m+9﹣12=（m+3）2﹣12，
则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于（1+3）2﹣12=4．
故答案为：4．
26．（2022·四川）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是 ．
【答案】6
【解析】 ∵a－b2＝4，
∴b2＝a-4，
a2－3b2＋a－14
=a2-3(a-4)+a-14
=a2-2a-2
=(a-1)2-3，
∵b2＝a-4≥0，
∴a≥4，
∵当a>1时，a2-2a-2的值随a增加而增大，
∴当a=4时，a2-2a-2的最小值为6，
即a2－3b2＋a－14的最小值是6.
故答案为：6.
27．（2021·荆州）已知：a是不等式 的最小整数解，请用配方法解关于x的方程 .
【答案】解：∵ ；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
∵a是不等式 的最小整数解，
∴ ；
∴关于x的方程 ；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
∴ ， .中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2022-2023学年数学八年级下册第2章 一元二次方程
2.2一元二次方程的解法（3）
【知识重点】
一、配方法解一元二次方程的一般步骤(二次项系数不为1)：
1.将方程化成一般式；
2.方程的两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；
3.移项：把常数项移到方程的右边，使方程的左边为二次项和一次项；
4.配方：在方程的两边各加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方式；
5.求解：如果方程的右边整理后是非负数，就用开平方法求解，如果右边是负数，则指出原方程无解.
二、配方法的重要性：配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.
【经典例题】
【例1】配方法解方程
【例2】用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）
【例3】已知9x2-18（2-k）x+18（6-k）是关于x的完全平方式，求常数k的值.
【例4】阅读下面的解答过程.
求
的最小值.
解： .
，即
的最小值为0，
的最小值为4.
仿照上面的解答过程，求
的最小值和
的最大值.
【基础训练】
1．如图是小明在解方程 x2-2x-1= 0时的过程，他在解答过程中开始出错的步骤是（ ）
A．第①步 B．第②步 C．第③步 D．第④步
2．用配方法解一元二次方程，下面配方正确的是
A． B．
C． D．
3．设，，其中a为实数，则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定．
4．已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣10，当实数a变化时，x与y的大小关系是（ ）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x＞y、x＝y、x＜y都有可能
5．用配方法解一元二次方程2x2+3x+1＝0，变形为（x+h）2＝k，则h＝ ，k＝ ．
6．若 ，则 .
7．已知，那么的值是 ．
8．解方程（配方法）
（1） （2）
9．解方程
配方法解方程2x2﹣12x﹣12＝0；
10．解一元二次方程：（用配方法）
；
11．解一元二次方程：（用配方法）
；
12．阅读下列材料，并回答后面的问题：
数学课上，李老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：
解：
∵
∴
∴当时，代数式的最小值是－7
通过阅读，求代数式的最小值．
【培优训练】
13．设实数，，满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
14．已知满足，则的值为（ ）
A．1 B．－5 C．－6 D．－7
15．若 为任意实数，且 ，则 的最大值为（ ）
A．10 B．84 C．100 D．121
16．若a、b、c分别为△ABC的三条边长，且a2－6a+b2－10c+c2＝8b－50，则这个三角形的形状是 ．
17．若a，b为有理数，且2a2﹣2ab+b2﹣6a+9＝0，则a+2b＝ ．
18．设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为 ．
19．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法。配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等.
例如：分解因式：x2＋2x－3.
原式.
例如：求代数式的最小值.
原式=2x2+4x-6=2(x+1)2-8
∴当时，有最小值，最小值是－8.
（1）请用上述方法分解因式： ；
（2）试说明：x、y取任何实数时，多项式的值总为正数；
（3）当m、n为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值.
20．阅读以下文字并解决问题：对于形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在中间先加上一项，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去，则整个多项式的值不变． 即：，像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．
（1）利用“配方法”因式分解：
（2）如果，求的值．
21．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．
（1）解决问题：
已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式 ；
（2）若可配方成（m、n为常数），则 ；
（3）探究问题：
已知，则 ；
（4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
（5）拓展结论：
已知实数x、y满足，求的最值．
22．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
（1）请你说明这个等式的正确性；
（2）若，，，你能很快求出的值；
（3）已知实数x，y，z，a满足，，，且．求代数式的值．
23．先阅读，后解题．
已知，求m和n的值．
解：将左边分组配方：．即．
∵，，且和为0，
∴且，∴m＝－1，n＝－3．
利用以上解法，解下列问题：
（1）已知：，求x和y的值．
（2）已知a，b，c是的三边长，满足且为直角三角形，求c．
【直击中考】
24．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则a+b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
25．已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于 ．
26．已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是 ．
27．已知：a是不等式 的最小整数解，请用配方法解关于x的方程 .
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