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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第2章 一元二次方程
2.3一元二次方程的应用（2）
【知识重点】
一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤.
(1)审：审清题意，弄清已知量与未知量；
(2)找：找出等量关系；
(3)设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；
(4)列：列出一元二次方程；
(5)解：求出所列方程的解；
(6)验：①检验方程的解是否正确，②是否符合题意；
(7)答：作答.
二、列方程解决实际生活中有关面积计算问题：
1.不规则图形面积的求法一般转化为规则图形来计算，常用的方法是割补法；平移、旋转等几何变换在平面图形面积计算问题中也常常用到，主要起到转化作用.
2.平面内距离计算问题主要是构造直角三角形，利用勾股定理进行计算.
【经典例题】
【例1】如图，要在墙边围一个矩形花圃．花圃的一边靠墙（墙的长度不限），另三边用篱笆围成．如果矩形花圃的面积为50平方米，篱笆长20米，求矩形花圃的长和宽各是多少米？
【例2】在一块长16m、宽12m的矩形草坪上，要修建如图所示的两条宽均为xm的甬路，并使甬路所占面积为原来矩形草坪面积的一半，求甬路的宽．
【例3】某种病毒传播速度非常快，如果最初有两个人感染这种病毒，经两轮传播后，就有五十个人被感染，求每轮传播中平均一个人会传染给几个人？若病毒得不到有效控制，三轮传播后将有多少人被感染？
【例4】如图1，在一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图2的无盖纸盒，若纸盒的底面积是，则纸盒的高是多少？
【例5】参加足球联赛的每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛21场，共有多少个队参加足球联赛？
【例6】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，点P从点A出发沿AC边向点C以1 cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发沿CB边向点B以2 cm/s的速度运动.当点Q到达点B时，点P同时停止运动.
（1）运动几秒时，△PCQ的面积为8 cm2
（2）△PCQ的面积能否等于△ABC面积的一半 若能，求出运动时间；若不能，请说明理由.
【基础训练】
1．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛(每两队之间都赛一场)，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？设共有x支队伍参加比赛，则所列方程为( )
A．x(x+1)=45 B．=45 C．x(x-1)=45 D．=45
2．李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物30件，若设有n人参加聚会，根据题意可列出方程为（ ）
A． B．n（n﹣1）＝30
C．30 D．n（n＋1）＝30
3．某广场有一块正方形的空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形的水池，其余部分种植花草，若喷泉和水池的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为3m，种植花草的区域的面积为100m，设水池半径为xm，可列出方程（ ）
A．（2x+3）2﹣πx2＝100 B．（x+6）2﹣πx2＝100
C．（2x+3）2﹣2x2＝100 D．（2x+6）2﹣2πx2＝100
4．在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某小组成员之间共互赠了30本图书，若设该组共有名同学，那么依题意可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．某小区原有一块长为30米，宽为20米的矩形康乐健身区域，现计划在这一场地四周（场内）筑一条宽度相等的健走步道，其步道面积为214平方米，设这条步道的宽度为x米，可以列出方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，用33米长的竹篱笆一边靠墙（墙长18米）围一个长方形养鸡场，墙的对面有一个2米宽的门，围成的养鸡场的面积为150平方米，设垂直于墙的长方形的宽为x米，则可列出方程为 .
8．如图，在一块长17m、宽12m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为176m2，则修建的路宽应为 m．
9．某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去72张贺卡，则该学习小组 有名成员；
10．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BC＝7cm．动点P在线段AC上从点C出发，沿CA方向运动；动点Q在线段BC上同时从点B出发，沿BC方向运动．如果点P，Q的运动速度均为lcm/s，那么运动几秒时，它们相距5cm．
【培优训练】
11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟
C．3秒钟或5秒钟 D．5秒钟
12．将一个容积为600cm3的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于x的方程为（ ）
A． B．
C． D．
13．若n边形恰好有n条对角线，则n= ．
14．如图是一张长8cm，宽7cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形（阴影部分)，剩余部分可制成底面积是15cm2的有盖的长方体铁盒．设剪去的正方形的边长为xcm． 则列出的方程是
15．如图，要在长、宽分别为50米、40米的矩形草坪内建一个正方形的观赏亭．为方便行人，分别从东，南，西，北四个方向修四条宽度相同的矩形小路与亭子相连，若小路的宽是正方形观赏亭边长的 ，小路与观赏亭的面积之和占草坪面积的 ，求小路的宽．
16．如图，每个正方形由边长为1的小正方形组成，正方形中黑色、白色小正方形的排列规律如图所示，在边长为n(n≥1)的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，当偶数n＝ 时，P2＝5P1.
17．综合与探究：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，则方程：是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
①；②．
（2）已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
18．如图，点为矩形内部一点，过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点，设，，，．
（1）矩形的周长等于 ；
（2）的取值范围是： ▲ ▲ ，若矩形的面积为42，求的值；
（3）求矩形的面积的取值范围．
19．如图， 是边长为 的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是 ，当点 到达点 时，P，Q两点停止运动，设点 的运动时间为 ，解答下列问题：
（1）求 的面积.
（2）当 为何值时， 是直角三角形？
（3）是否存在某一时刻 ，使四边形APQC的面积是 面积的 ？如果存在，求出 的值；如果不存在，请说明理由.
20．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的一角∠MON（∠MON=135°）的两边为边，用总长为120m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块区域，其中区域①为直角三角形，区域②③为矩形，而且四边形OBDG为直角梯形．
（1）若①②③这块区域的面积相等，则OB的长为 m；
（2）设OB=xm，四边形OBDG的面积为ym2，
①求y与x之的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；②x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
【直击中考】
21．将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程： （不必化简）．
22．如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 ．
23．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）.
（1）若矩形养殖场的总面积为36 ，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
24．某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍.物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费.
（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？
（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次括动.为提离大家的积扱性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一.经调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2a%，每户物管费将会减少 a%；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%，每户物管费将会减少 a%.这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少 a%，求a的值.
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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第2章 一元二次方程（解析版）
2.3一元二次方程的应用（2）
【知识重点】
一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤.
(1)审：审清题意，弄清已知量与未知量；
(2)找：找出等量关系；
(3)设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；
(4)列：列出一元二次方程；
(5)解：求出所列方程的解；
(6)验：①检验方程的解是否正确，②是否符合题意；
(7)答：作答.
二、列方程解决实际生活中有关面积计算问题：
1.不规则图形面积的求法一般转化为规则图形来计算，常用的方法是割补法；平移、旋转等几何变换在平面图形面积计算问题中也常常用到，主要起到转化作用.
2.平面内距离计算问题主要是构造直角三角形，利用勾股定理进行计算.
【经典例题】
【例1】如图，要在墙边围一个矩形花圃．花圃的一边靠墙（墙的长度不限），另三边用篱笆围成．如果矩形花圃的面积为50平方米，篱笆长20米，求矩形花圃的长和宽各是多少米？
【答案】解：设围成的矩形花圃的宽为x米，则长为米．
根据题意列方程：
解得：
则．
答：矩形花圃的长10米、宽5米．
【解析】设围成的矩形花圃的宽为x米，则长为米，根据题意列出方程求解即可。
【例2】在一块长16m、宽12m的矩形草坪上，要修建如图所示的两条宽均为xm的甬路，并使甬路所占面积为原来矩形草坪面积的一半，求甬路的宽．
【答案】解：由题意得
∴，（舍）．
∴甬路的宽为4m．
【解析】根据图象列出方程，再求解即可。
【例3】某种病毒传播速度非常快，如果最初有两个人感染这种病毒，经两轮传播后，就有五十个人被感染，求每轮传播中平均一个人会传染给几个人？若病毒得不到有效控制，三轮传播后将有多少人被感染？
【答案】解：设每轮传播中平均一个人会传染给x个人，则第一轮会传染给2x人，第二轮会传染给人，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴（人）.
答：每轮传播中平均一个人会传染给4个人，若病毒得不到有效控制，三轮传播后将有250人被感染
【解析】设每轮传播中平均一个人会传染给x个人，则第一轮会传染给2x人，第二轮会传染给人，根据题意列出方程，再求解即可。
【例4】如图1，在一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图2的无盖纸盒，若纸盒的底面积是，则纸盒的高是多少？
【答案】解：设纸盒的高是xcm，
根据题意，得，
解得，（不符合题意，舍去）
答：纸盒的高是5cm．
【解析】设纸盒的高是xcm，根据题意列出方程，再求解即可。
【例5】参加足球联赛的每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛21场，共有多少个队参加足球联赛？
【答案】解：设共有x个队参加比赛，则每队要参加（x﹣1）场比赛，
根据题意得： ＝21，
整理得：x2﹣x﹣42＝0，
解得：x1＝7，x2＝﹣6（不合题意，舍去）.
答：共有7个队参加足球联赛.
【解析】设共有x个队参加比赛， 则每队要参加（x﹣1）场比赛，则需进行比赛的总场数为，进而根据比赛的总场数是21列出方程，求解即可.
【例6】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，点P从点A出发沿AC边向点C以1 cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发沿CB边向点B以2 cm/s的速度运动.当点Q到达点B时，点P同时停止运动.
（1）运动几秒时，△PCQ的面积为8 cm2
（2）△PCQ的面积能否等于△ABC面积的一半 若能，求出运动时间；若不能，请说明理由.
【答案】（1）解：设 后，可使 的面积为 ．
由题意得， ， ， ，
，
整理得： ，
解得： ， ，
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使 的面积为 ．
（2）解：由题意得： ，
，
，
，该方程无实数解，
所以，不存在使得 的面积等于 的面积的一半的时刻
【解析】（1）设x秒后，△PCQ的面积为8cm2，利用点的运动方向和速度，可表示出AP，PC，CQ的长，利用三角形的面积公式建立关于x的方程，解方程求出x的值.
（2）利用三角形的面积公式可得到关于x的方程，根据方程解的情况，可作出判断.
【基础训练】
1．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛(每两队之间都赛一场)，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？设共有x支队伍参加比赛，则所列方程为( )
A．x(x+1)=45 B．=45 C．x(x-1)=45 D．=45
【答案】D
【解析】 设共有x支队伍参加比赛，
根据题意可得：，
故答案为：D.
2．李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物30件，若设有n人参加聚会，根据题意可列出方程为（ ）
A． B．n（n﹣1）＝30
C．30 D．n（n＋1）＝30
【答案】B
【解析】每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物30件，若设有n人参加聚会，每人送出件礼物，根据题意可列出方程为
故答案为：B
3．某广场有一块正方形的空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形的水池，其余部分种植花草，若喷泉和水池的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为3m，种植花草的区域的面积为100m，设水池半径为xm，可列出方程（ ）
A．（2x+3）2﹣πx2＝100 B．（x+6）2﹣πx2＝100
C．（2x+3）2﹣2x2＝100 D．（2x+6）2﹣2πx2＝100
【答案】D
【解析】设水池半径为xm，正方形的边长为(2x+6)m，
根据题意列出方程（2x+6）2﹣2πx2＝100．
故答案为：D．
4．在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某小组成员之间共互赠了30本图书，若设该组共有名同学，那么依题意可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵该组共有名同学，
∴每个同学都需要捐赠（x-1）本书，共捐x（x-1）本，
根据题意，得，
故答案为：A．
5．如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设道路的宽为xm，根据题意得：
(12 x)(8 x)=77，
故C符合题意．
故答案为：C．
6．某小区原有一块长为30米，宽为20米的矩形康乐健身区域，现计划在这一场地四周（场内）筑一条宽度相等的健走步道，其步道面积为214平方米，设这条步道的宽度为x米，可以列出方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设这条步道的宽度为x米，则健走步道内的健身区长为（30-2x）米，宽（20-2x）米，面积为米，根据题意得，
故答案为：C．
7．如图，用33米长的竹篱笆一边靠墙（墙长18米）围一个长方形养鸡场，墙的对面有一个2米宽的门，围成的养鸡场的面积为150平方米，设垂直于墙的长方形的宽为x米，则可列出方程为 .
【答案】x(33+2-2x)=150
【解析】∵垂直于墙的长方形的宽为x米，
∴垂直于墙的长方形的长为（33+2-2x）米，
∵围成的养鸡场的面积为150平方米，
∴可列方程为： x(33+2-2x)=150 .
故答案为： x(33+2-2x)=150 .
8．如图，在一块长17m、宽12m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为176m2，则修建的路宽应为 m．
【答案】1
【解析】设修建的路宽应为，
由题意得：，
解得或（不符题意，舍去），
则修建的路宽应为，
故答案为：1．
9．某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去72张贺卡，则该学习小组 有名成员；
【答案】9
【解析】设这个小组有x名成员，则小组内每名成员需送出（x 1）张贺卡，
根据题意得：x（x 1）＝72，
解得：x1＝9，x2＝ 8（不合题意，舍去）．
故答案为：9．
10．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BC＝7cm．动点P在线段AC上从点C出发，沿CA方向运动；动点Q在线段BC上同时从点B出发，沿BC方向运动．如果点P，Q的运动速度均为lcm/s，那么运动几秒时，它们相距5cm．
【答案】解：设运动x秒时，它们相距5cm，则CQ＝（7﹣x）cm，CP＝xcm， 根据题意得：x2+（7﹣x）2＝52， 解得：x1＝3，x2＝4． 答：运动3秒或4秒时，它们相距5cm
【解析】设运动x秒时，它们相距5cm，则CQ＝（7﹣x）cm，CP＝xcm，根据勾股定理及PQ＝5cm，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【培优训练】
11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟
C．3秒钟或5秒钟 D．5秒钟
【答案】B
【解析】设运动时间为t秒，则PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，
依题意，得：×2t （8-t）=15，
解得：t1=3，t2=5，
∵2t≤6，
∴t≤3，
∴t=3．
故答案为：B．
12．将一个容积为600cm3的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于x的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得：长方体的长为：15，宽为：，
则根据题意，列出关于x的方程为：．
故答案为：C．
13．若n边形恰好有n条对角线，则n= ．
【答案】5
【解析】依题意有n（n 3）＝n，
∴n（n 3）＝2n，
整理，得n2 5n＝0，
即n（n 5）＝0，
解得n＝0（不合题意，舍去）或n＝5．
故答案为：5．
14．如图是一张长8cm，宽7cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形（阴影部分)，剩余部分可制成底面积是15cm2的有盖的长方体铁盒．设剪去的正方形的边长为xcm． 则列出的方程是
【答案】(4-x)(7-2x)=15
【解析】设长方体铁盒底面长为，宽为
正方形边长为
由题意得：
由得，由得，代入中得：
故答案为：
15．如图，要在长、宽分别为50米、40米的矩形草坪内建一个正方形的观赏亭．为方便行人，分别从东，南，西，北四个方向修四条宽度相同的矩形小路与亭子相连，若小路的宽是正方形观赏亭边长的 ，小路与观赏亭的面积之和占草坪面积的 ，求小路的宽．
【答案】解：设小路的宽为x米，
由题意得，（5x）2+（40+50）x﹣2×x×5x= ×40×50
解得，x=2或x=﹣8（不合题意，舍去）
答：小路的宽为2米．
【解析】根据“小路与观赏亭的面积之和占草坪面积的 ”，建立方程求解即可得出结论．
16．如图，每个正方形由边长为1的小正方形组成，正方形中黑色、白色小正方形的排列规律如图所示，在边长为n(n≥1)的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，当偶数n＝ 时，P2＝5P1.
【答案】12
【解析】由图可得：当n为偶数时
P1=2n，P2=n2-2n，
∵P2＝5P1，
∴n2-2n=5×2n，
n2-12n=0,
∴n（n-12）=0,
∴n=0（舍）或n=12.
故答案为：12.
17．综合与探究：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，则方程：是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
①；②．
（2）已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
【答案】（1）解：①解方程得：，，，，不是“邻根方程”；②，，，，是“邻根方程”；
（2）解：，，，方程是常数）是“邻根方程”，或，或.
【解析】（1）根据邻根方程的定义计算求解即可；
（2）根据题意先求出 ，， 再求解即可。
18．如图，点为矩形内部一点，过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点，设，，，．
（1）矩形的周长等于 ；
（2）的取值范围是： ▲ ▲ ，若矩形的面积为42，求的值；
（3）求矩形的面积的取值范围．
【答案】（1）20
（2）解：1；4；
（3）解：由题意得：，
∵，
∴当时，S随x的增大而增大
∴，
∴．
【解析】（1）由题意得矩形BCFE的周长，
故答案为：20；
（2）∵，，
∴，
解得，
∵，
∴，
解得或（舍去），
故答案为：1，4，x=2；
19．如图， 是边长为 的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是 ，当点 到达点 时，P，Q两点停止运动，设点 的运动时间为 ，解答下列问题：
（1）求 的面积.
（2）当 为何值时， 是直角三角形？
（3）是否存在某一时刻 ，使四边形APQC的面积是 面积的 ？如果存在，求出 的值；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：如图1，过点 作 于点 ，
则 .
∵ .
∴在Rt 中， ，
∴
（2）解：设经过 秒， 是直角三角形，
则 .
在 中， ，
∴ .
若 是直角三角形，则分两种情况：
①当 时， ，
即 ，解得
②当 时， ，
即 ，解得 .
综上所述，当 或 时， 是直角三角形.
（3）解：不存在这样的 .
理由：如图2，作 于 ，
则 ，
∴ ，
∴
，
当四边形APQC的面积是 面积的 时， 的面积是 面积的 ，
即 ，化简得 . ，
∴不存在这样的 ，使四边形APQC的面积是 面积的 .
【解析】(1) 过点 作 于点 ， 根据等边三角形的性质和勾股定理求出AD，然后计算△ABC的面积即可；
(2) 设经过 秒， 是直角三角形， 则 ，然后分两种情况讨论，即①当 时，根据 建立方程； ②当 时，根据建立方程 ，然后分别求解即可；
(3)作 于 ， 根据含30°角的直角三角形的性质表示QE，则可把△BQP的面积用含t的代数式表示，结合 的面积是 面积的 建立关于t的一元二次方程，然后利用一元二次方程的判别式判断即可.
20．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的一角∠MON（∠MON=135°）的两边为边，用总长为120m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块区域，其中区域①为直角三角形，区域②③为矩形，而且四边形OBDG为直角梯形．
（1）若①②③这块区域的面积相等，则OB的长为 m；
（2）设OB=xm，四边形OBDG的面积为ym2，
①求y与x之的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；②x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
【答案】（1）24
（2）解：由题意可知，∠MON=135°，∠EOB=∠D=∠DBO=90°，
∴∠EGO=∠EOG=45°，
∴CF=DE=OB=x，则GE=OE=BD= (120-2x)=40- x
①y=
= （0﹤x﹤60）
②
=
∴当x=15时，y有最大值，最大值为900.
【解析】（1）由题意可知，∠MON=135°，∠EOB=∠D=∠DBO=90°，
∴∠EGO=∠EOG=45°，
∴EG=EO=DB，DE=FC=OB，设OB=CF=DE=x，则 ，
∵①②③这块区域的面积相等，
，
∴x=24或60（舍弃），
∴BC=24m．
故答案为24．
【直击中考】
21．将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程： （不必化简）．
【答案】
【解析】根据题意得长方体的长为cm，宽为xcm，高为1.5cm，列方程为：
.
故答案为：.
22．如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 ．
【答案】
【解析】设剪去的正方形边长为xcm，根据题意得：
．
故答案为：
23．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）.
（1）若矩形养殖场的总面积为36 ，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x，
∴BD=3x，AB=CF=DE= (24-BD)=8-x，
依题意得：3x(8-x)=36，
解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，
此时x的值为2m；
（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，
∵-3<0，
∴当x=4m时，S有最大值，最大值为48 ，
【解析】（1）由题意可得CD=2x，则BD=BC+CD=3x，AB=CF=DE=8-x，根据矩形的面积公式可得关于x的方程，求解即可；
（2）设矩形养殖场的总面积为S，根据矩形的面积公式可得S与x的关系式，然后结合二次函数的性质进行解答.
24．某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍.物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费.
（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？
（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次括动.为提离大家的积扱性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一.经调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2a%，每户物管费将会减少 a%；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%，每户物管费将会减少 a%.这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少 a%，求a的值.
【答案】（1）解：设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套，由题意得：
2（50×2x+80x）＝90000，
解得 x＝250
答：该小区共有250套80平方米的住宅.
（2）解：参与活动一：
50平方米住宅每户所交物管费为100元，有500×40%＝200户参与活动一，
80平方米住宅每户所交物管费为160元，有250×20%＝50户参与活动一；
参与活动二：
50平方米住宅每户所交物管费为100（1﹣ %）元，有200（1+2a%）户参与活动二；
80平方米住宅每户所交物管费为160（1﹣ %）元，有50（1+6a%）户参与活动二.
由题意得100（1﹣ %） 200（1+2a%）+160（1﹣ %） 50（1+6a%）＝[200（1+2a%）×100+50（1+6a%）×160]（1﹣ a%）
令t＝a%，化简得t（2t﹣1）＝0
∴t1＝0（舍），t2＝ ，
∴a＝50.
答：a的值为50.
【解析】（1） 设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套 ，则所有住房的面积为 （50×2x+80x）平方米，根据单价乘以单位面积等于收取的总费用列出方程，求解即可；
（2）首先算出 参与活动一 的50平方米与80平方米的住户的数量及每户每月需要交的物管费，进而算出参与活动一 的50平方米与80平方米的住户的数量及每户每月需要交的物管费，从而根据 参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少 a% 列出方程，求解并检验即可。
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