第2章 特殊三角形单元测试卷（困难 含答案）

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浙教版初中数学八年级上册第二单元《特殊三角形》单元测试卷
考试范围：第二单元；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知，点在内部，与关于对称，与关于对称，则，，三点构成的三角形是( )
A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形
如图，等边三角形的边长为，点是的中心，，绕点旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：；；四边形的面积始终等于；周长的最小值为上述结论中正确的个数是( )
A. B. C. D.
已知的三边长分别为、、，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画条( )
A. B. C. D.
已知的三边，，都是正整数，且满足，如果，那么这样的三角形共有．( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，在中，，，平分，点在射线上，点为边上一动点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
已知中，，，点为三条内角平分线的交点，若，则，的值分别为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
如图，在中，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( )
A. B. C. D.
如图，在中，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( )
A. B. C. D.
如图，在中，，，，分别为线段，上一点，且，连接、交于点，延长交于点以下四个结论正确的是( )
；若，则；若平分，则；连结，若，则．
B. C. D.
如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交、边于点、若点为的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为( )
A. B. C. D.
下列各组条件中，能判断两个直角三角形全等的是( )
A. 两组直角边对应相等 B. 一组边对应相等
C. 两组锐角对应相等 D. 一组锐角对应相等
如图，等边和等边，其中、、三点共线，连接、、、，下列说法中：平分；；；正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，在等边三角形中，，点，，分别是边，，边上的动点，则周长的最小值为______．
已知一个等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长是______．
如图，将一张直角三角形纸片已知，折叠，使得点落在点处，折痕为将纸片展平后，再沿着将纸片按着如图方式折叠，边交于点若是等腰三角形，则的度数可能是_______．
如图，，的平分线、交于点，过点作，，垂足分别为、有下列结论：
平分其中，正确的是 填序号．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
如图，已知，点是内部的一个定点，点、分别是、上的动点．
要使得的周长最小，试在图上确定点、的位置．
若，要使得的周长的最小值为，求的度数．
本小题分
请画出关于轴对称的其、、分别是、、的对应点，不写画法；
直接写出、、三点的坐标：
的面积是______．
本小题分
综合与探究：在平面直角坐标系中，已知，且，满足．
求，两点的坐标；
已知中，，求点的坐标；
已知，试探究在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
本小题分
如图，已知：是的平分线上一点，，，垂足分别为点，求证：
；
是的垂直平分线．
本小题分
读读做做：
平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加恰当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁．
请根据上述思想解决教材中的问题：
如图，，则______用“”、“”或“”填空；
倒过来想：
写出中命题的逆命题，判断逆命题的真假并说明理由．
灵活应用
如图，已知，在的平分线上取两个点、，使得，求证：．
本小题分
如图，点是等边内一点，，以为一边作等边三角形，连接，．
当时，试判断的形状，并说明理由
探究：当为多少度时，是等腰三角形
本小题分
如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于、两点，点的坐标为，点的坐标为，连接、，过作轴，垂足为，交于若，
求一次函数和反比例函数的表达式
求的面积
在直线上是否存在一点，使得是直角三角形，求出所有可能的点坐标．
本小题分
如图，于点，连结，，，，点在线段上运动时不与，重合，点在线段上，满足，连结当为中点时，恰好与点重合．
求的长．
若，运动到中点时，求证：直线．
连结，当是等腰三角形时，请写出所有符合条件的的长．
本小题分
在中，，点是直线上一点不与重合，以为一边在的右 侧作，使，连接．
如图，当点在线段上，如果，则_______度；
设，．
如图，当点在线段上移动，则之间有怎样的数量关系？请说明理由；
当点在直线上移动，则之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．作出图形，连接，根据轴对称的性质可得，，，然后求出，再根据等腰直角三角形的定义判定即可．
【解答】
解：如图，连接，
与关于对称，与关于对称，
，，，
，
，
，
，，三点构成的三角形是等腰直角三角形．
故选A．

2.【答案】
【解析】解：连接、，如图，
为等边三角形，
，
点是的中心，
，、分别平分和，
，即，
而，即，
，
在和中
，
≌，
，，所以正确；
，
四边形的面积，所以正确；
作，如图，则，
，
，
，，
，
，
即随的变化而变化，
而四边形的面积为定值，
；所以错误；
，
的周长，
当时，最小，的周长最小，此时，
周长的最小值，所以正确．
故选：．
连接、，如图，利用等边三角形的性质得，再证明，于是可判断≌，所以，，则可对进行判断；利用得到四边形的面积，则可对进行判断；作，如图，则，计算出，利用随的变化而变化和四边形的面积为定值可对进行判断；由于的周长，根据垂线段最短，当时，最小，的周长最小，计算出此时的长则可对进行判断．
本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了等腰三角形的定义，利用作为要或底，画出符合题意的图形即可．
【解答】
解：如图所示：
当，，，时，都能得到符合题意的等腰三角形，
这样的直线最多可画条，
故选B．
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】解：在射线上截取一点，使得，
平分，
，
在和中，
≌，
．
作于．
，
当、、共线，且垂直时，的值最小，最小值为，
，，
，，
在中， ，
的最小值是的长，即为，
故选：．
在射线上截取一点，使得，则≌，可得作于可得，推出当、、共线，且垂直时，的值最小，最小值为，
本题考查轴对称最短问题、等腰三角形的性质、直角三角形度角性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
6.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，交于点．
，平分，
，，
，平分，
，
设，
在和中，
，
≌，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
故选：．
如图，过点作于点，交于点设，证明≌，推出，推出，在中，，可得，解得，推出，由，推出，可得，，即可解决问题．
本题考查等腰三角形的性质，平面向量，三角形法则，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．
以为圆心，长为半径画弧，交于点，就是等腰三角形；
以为圆心，长为半径画弧，交于点，就是等腰三角形；
以为圆心，长为半径画弧，交于点，就是等腰三角形；
以为圆心，长为半径画弧，交于点，就是等腰三角形；
作的垂直平分线交于，则是等腰三角形；
作或的垂直平分线交于，则和是等腰三角形．
【解答】
解：如图，一共有个等腰三角形：
故选D．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．
以为圆心，长为半径画弧，交于点，就是等腰三角形；
以为圆心，长为半径画弧，交于点，就是等腰三角形；
以为圆心，长为半径画弧，交于点，就是等腰三角形；
以为圆心，长为半径画弧，交于点，就是等腰三角形；
作的垂直平分线交于，则是等腰三角形；
作或的垂直平分线交于，则和是等腰三角形．
【解答】
解：如图，一共有个等腰三角形：
故选D．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，熟练掌握“等腰三角形三线合一”，“直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半”，是解题的关键．
先证明≌，再证明≌，得是的平分线，进而即可判断；先证明，根据直角三角形的性质，即可判断；根据角平分线的性质，得点到的三边距离都相等，结合“等积法”即可判断；由≌，通过三角形内角和定理进而即可判断．
【解答】
解：，，，
≌，
，
，
，
，
即：，
，
，
≌，
，
即是的平分线，
，故正确；
，
，
由可知：，，
又，
≌，
，
点是的中点，
，故正确；
平分，平分，
点是角平分线的交点，
点到的三边距离都相等，且等于，
，，，
，
，，
，即：，故正确；
连接，
若，则，
≌，
，
，
又，
，
，，
，，
又，
，
，
，
，
，
，
，故正确，
故选D．

10.【答案】
【解析】解：连接，
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
，
，
，
的长为的最小值，
的周长最短．
故选：．
连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故AD，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故AD的长为的最小值，由此即可得出结论．
本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：、可以利用边角边判定两三角形全等，故本选项正确；
B、两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，要判定两直角三角形全等，起码还要两个条件，则选项错误；
C、两个锐角分别相等，只有角没有边，不能判定全等，此选项错误；
D、一组锐角对应相等，隐含一个条件是两直角相等，根据角对应相等，不能判定三角形全等，故选项错误．
故选：．
利用、、进行判定．
本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是注意直角三角形性质的使用两锐角互余，一个角是．
12.【答案】
【解析】解：作于，于．
，都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，
于，于．
，
，
≌，
，
平分，故正确；
，，，
≌，
，故正确
≌，
，
，
是等边三角形，
，
，故正确；
，
，
，
，故正确，
故选：．
作于，于由≌，≌，角平分线的判定定理以及即可一一判断即可．
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积、平行线的判定、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形是解决问题的关键．
13.【答案】
【解析】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，，，，过点作于，过点作于．
，，，，，，
，，
，周长的最小值是．
三角形是等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
当取得最小值时，取得最小值，即周长取得最小值．
当时，即点与点Ⅰ重合时，周长取得最小值为，
，
，
．
周长的最小值是．
故答案为：．
作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，，，，过点作于，过点作于根据轴对称的性质，两点之间，线段最短确定周长的最小值是，根据等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质和直角三角形的边角关系确定，再根据垂线段最短确定当时，周长取得最小值为，最后根据等边三角形的性质和直角三角形的边角关系即可求解．
本题主要考查的是轴对称路径最短问题，作出点关于、的对称点，将的周长转化为的长是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：当腰为时，，
、、不能组成三角形；
当腰为时，，
、、能组成三角形，
该三角形的周长为．
故答案为：．
分腰为和腰为两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，再根据三角形的周长公式求值即可．
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，由三角形三边关系确定三角形的三条边长为解题的关键．
15.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了翻折变换，三角形内角和定理，直角三角形斜边中线性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．由翻折可得，，所以，所以，，若是等腰三角形，有三种情况：当时，，当时，，当时，，然后分别列式计算即可解决问题．
【解答】
解：由翻折可知：，，
，
，
，
，
，
，，
若是等腰三角形，有三种情况：
当时，，
，
解得；
当时，，
，
不符合题意舍去；
当时，，
，
解得．
综上所述：的度数可能是或．
故答案为：或．
16.【答案】
【解析】解：作于．
平分，平分，，，
，，
，
点在的角平分线上到角的两边距离相等的点在角的平分线上，
故本小题正确；
，，
，
，
很明显，
错误，
故本小题错误；
在与中，
，
，
同理可得，
，
，
故本小题正确
平分，平分，
，，
，
故本小题正确．
综上所述，正确．
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质以及到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，有一定综合性，但难度不大，只要仔细分析便不难求解．
作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可以证明点到、的垂线段相等，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明正确；根据四边形的内角和等于可以证明错误；根据的结论先证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明正确；利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用与写出关系式整理即可得到正确．
17.【答案】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，交于，于，此时，的周长最小．
连接，，，，如图，
点与点关于对称，
垂直平分，
，，，
同理，可得，，，，，
，
又的周长，
，
是等边三角形，
，
．

【解析】本题主要考查了轴对称的性质在最短路线问题中的运用、等边三角形的判定与性质等有关知识．
作点关于的对称点为，关于的对称点为，连接，分别交、于点、，此时的周长为，周长最小；
连接，，，，根据，得出是等边三角形，即可求得的度数．
18.【答案】
【解析】解：如图所示，即为所求；
点的坐标为、的坐标为、的坐标为；
的面积是，
故答案为：．
分别作出、、三点关于轴的对称点，然后顺次连接即可．
根据坐标系中的位置写出坐标即可．
割补法求解可得．
此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
19.【答案】解： 、满足，
，，
，，
，；
如图，过点作轴于点，
则，
，
，
，
，
，
在和中，
≌，
，，
，
则点的坐标为；
存在，或或．
【解析】
【分析】
本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、非负数的性质，根据非负数的性质分别求出、的值、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
根据非负数的性质分别求出、的值，进而求出，两点的坐标；
证明≌，根据全等三角形的性质得到，，求出点的坐标；
分三种情况，根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】
解：见答案；
见答案；
存在，如图，
当，点在点的右侧时，点的坐标为，
当，点在点的左侧时，点的坐标为，
当时，，点的坐标为，
综上所述：点的坐标为或或．
20.【答案】证明：是的平分线上一点，，，
，
；
在和中，
≌，
，
又是的平分线，
是的垂直平分线．
【解析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，再根据等边对等角证明即可；
利用“”证明和全等，根据全等三角形的对应边相等可得，然后根据等腰三角形三线合一证明．
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．
21.【答案】解：过作，如图所示：
则，
，，
，
即；
故答案为：；
解：逆命题为：若，则；
该逆命题为真命题；理由如下：
过作，如图所示：
则，
，，
，，
，
，
，
；
证明：过点作，交于点，如图所示：
则，
，，
是的一个外角，
，
又，，
，
，
平分，
，
．
【解析】本题考查了命题与定理、平行线的性质与判定、逆命题、三角形的外角性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解决问题的关键．
过作，则，由平行线的性质得出，，即可得出结论；
过作，则，证出，得出，即可得出结论；
过点作，交于点，则，由平行线的性质得出，，由三角形的外角性质得出，证出，得出，由角平分线得出，即可得出结论．
22.【答案】解：是直角三角形．
理由如下：
和是等边三角形，
，，．
．
在和中，
．
．
，
．
又，
．
是直角三角形．
设，，，，
则，，，
，即．
分三种情况讨论：
要使，需，
要使，需，
．
要使，需，
．
综上所述，当为或或时，是等腰三角形．

【解析】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的判定以及等腰三角形的判定，掌握相关的判定定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
由等边三角形的性质可得，再证出，求出的度数，即可解答．
先求出的度数，分三种情况讨论，根据等腰三角形的判定定理计算即可．
23.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为，
点的纵坐标为，且在反比例函数图象上，
，
一次函数也过、两点，
，，
一次函数的表达式为；
如图，过点作轴于交于，
，
直线的解析式为，
，
，
，
；
如图中，
当时，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
当时，，
．
当时，可得直线的解析式为，
当时，，
．
当时，易知，
则，
将代入，
得，
可得，，
综上所述，满足条件的点坐标为或或或．
【解析】此题主要考查了反比例函数综合题、待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定和性质，解本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；
先求出的解析式，进而求出，用三角形的面积公式即可得出结论．
根据直角三角形的性质，分三种情形分别讨论求解即可解决问题．
24.【答案】解：于点，，，
，，
当为中点时，恰好与点重合，
，，
；
延长交于，如图：
点运动到中点时，恰好与点重合，
是的斜边上的中线，
，
，
，，
，
，
；
当是等腰三角形时，有、、三种情况：
当，如图：
，
即，
当时，如图：
设，
则，
在中，，根据勾股定理可得，即
解得：，
，
即，
；
当时，如图：
此时点与重合，点与重合，不合题意．
综上所述，当是等腰三角形时，的长为或．
【解析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解答本题的关键是掌握利用勾股定理求线段长的思路与方法．
首先利用勾股定理求出的长，然后根据当为中点时，恰好与点重合，得出，，再根据进行解答，即可求解；
延长交于，根据点运动到中点时，恰好与点重合，得出是的斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，根据等腰三角形的性质、对顶角的性质得出，根据，，得出，进而得出，即可证明结论成立；
当是等腰三角形时，有三种情况：当，当时，当时，分情况画出图形，结合图形，利用等腰三角形的性质、勾股定理求出的长即可．
25.【答案】解：；
，
理由：，

即
在与中，
，
≌，

，
，
，
；
当点在延长线上时，，
当点在的延长线上时，

【解析】
【分析】
本题考查的知识点有全等三角形的判定、全等三角形的性质、分类讨论思想解题关键是全等三角形 的判定与 性质两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角．
先根据已知条件和全等三角形的判定定理得出≌，再根据三角形全等得出对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；
在第问的基础上，将转化成三角形的内角和；
是和第 的拓展和延伸，要注意分两种情况即“当点在射线上时”和“当点在射线的反向延长线上时”分别求解即可．
【解答】
解： ，

即
在与中，

≌，
，
，
，
，
又
．
故答案为；
见答案；
当点在延长线上时，．
，
理由：，
，
在和中
，
≌，
，
，
，
；
当点在的延长线上时，．
，
理由：，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
即
综上所述，当点在延长线上时，；当点在的延长线上时，

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