第4章 图形与坐标单元测试卷（困难 含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版初中数学八年级上册第四单元《图形与坐标》单元测试卷
考试范围：第四单元；考试时间：120分钟；分数：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
如图，一个动点在第一象限内及轴，轴的正半轴上按一定的规律运动．在第一分钟时，它从原点运动到，第二分钟时从运动到，然后它接着按图中箭头所示方向在与轴，轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动个单位．在第结束时，这个动点所在位置的坐标是( )
A. B. C. D.
如图，长方形的各边分别平行于轴或轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿长方形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以个单位秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以个单位秒匀速运动，则两个物体运动后的第次相遇地点的坐标是( )
A. B. C. D.
如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，根据这个规律，第个点的纵坐标为( )
A. B. C. D.
在直角坐标系中，为坐标原点，已知，在轴上确定一点，使为等腰三角形，则符合条件的点的个数共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点第次碰到矩形的边时，点的坐标为( )
A. B. C. D.
在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动其行走路线如图所示，第次移动到，第次移动到，，第次移动到则的面积是( )
A. B. C. D.
如图，在直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换，依次得到、、、、，的直角顶点的坐标为( )
A. B. C. D.
如图，矩形的各边分别平行于轴与轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以个单位秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以个单位秒匀速运动，则两个物体运动后的第次相遇地点的坐标是( )
A. B. C. D.
如图，的半径为，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示图案，已知，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
如图，已知的三个顶点，，，作关于直线的对称图形若点恰好落在轴上，则的值为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
定义：在平面直角坐标系中，把从点出发沿纵或横方向到达点至多拐一次弯的路径长称为点、的“实际距离”如图，若点、的坐标分别为、，则点、的“实际距离”为，即或环保低碳的共享单车正式成为市民出行喜欢的交通工具．设、、三个小区的坐标分别为、、若点表示单车停放点，且满足点到点、、的“实际距离”相等，则点的坐标为________．
九年级某班有名学生，所在教室有行列座位，用表示第行第列的座位，新学期准备调整座位．设某个学生原来的座位为，若调整后的座位为，则称该生作了平移，并称为该生的位置数．若某生的位置数为，则当取最小值时，的最大值为 ．
如果，在轴上，那么点的坐标是___________．
如图，点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，，按这样的运动规律，经过第次运动后动点的坐标是____．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
我国法定节假日的确定为大家带来了很多便利、现在我们用坐标来表示下列这些节日：用表示元旦即月日，用表示清明节即月日，用表示儿童节即月日，
请写出教师节所对应的坐标______，国庆节所对应的坐标______；
在右图坐标系中描出点、、、、，并顺次连接、、、、；
求出中所画出的图形的面积．
本小题分
天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离单位：可用公式来估计，其中单位：是眼睛离海平面的高度．
如果一个人站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是时，能看到多远？
若登上一个观望台，使看到的最远距离是中的倍，已知眼睛到脚底的高度为米，求观望台离海平面的高度？
如图，货轮与观望台相距海里，如何用方向和距离描述观望台相对于货轮的位置______．
本小题分
国昌实验中学八年级合作学习小组的同学学习了全等三角形的概念后，聪明的正宇同学代表本小组给其他小组内的同学出了这样一个问题：在直角坐标系中，点，，，若有一个直角三角形与全等，且它们只有一条公共直角边，这样的直角三角形有几个若有，请写出第三个顶点的坐标．
本小题分
在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点，若为等腰直角三角形，求点的坐标．
本小题分
等腰中，，点、点分别是轴、轴两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点；
如图，若，，求点的坐标；
如图，当等腰运动到使点恰为中点时，连接，求证：
如图，在等腰不断运动的过程中，若满足始终是的平分线，试探究：线段、、三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．
本小题分
在平面直角坐标系中，点，，，且．
若，求点，点的坐标
如图，在的条件下，过点作平行轴，交于点，求点的坐标
若，且，求的值．
本小题分
在平面直角坐标系中的点和图形，给出如下的定义：若在图形上存在一点，使得、两点间的距离小于或等于，则称为图形的关联点．
当的半径为时，
在点，，中，的关联点是______ ．
点在直线上，若为的关联点，求点的横坐标的取值范围．
的圆心在轴上，半径为，直线与轴、轴交于点、若线段上的所有点都是的关联点，直接写出圆心的横坐标的取值范围．
本小题分
在平面直角坐标系中，点，，在轴负半轴上取点，使，作，直线交的延长线于点
根据题意，可求得______；
求证：≌；
动点从点出发，沿路线运动，速度为每秒个单位，到点处停止运动；动点从点出发，沿运动，速度为每秒个单位，到点处停止运动二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止在某时刻，作于点，于点，问两动点运动多长时间与全等？
本小题分
如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是长方形，，点是的中点，是线段上一动点，当是等腰三角形时，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了点的坐标的变化规律，观察出点的个数按照平方数的规律变化是解题的关键．观察不难发现，点的个数按照平方数的规律变化，并且横坐标是奇数时按照运动
方向点的纵坐标变大，横坐标是奇数时，按照运动方向点的纵坐标变小，求出与最接近的平方数，然后解答即可．
【解答】
解：第分钟结束时，点运动的路程是，
，，
第分钟结束时的点为从点开始运动的第个点，
坐标为．
故选A．
2.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了点的坐标变化规律以及行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题．
利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为和，物体乙是物体甲的速度的倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【解答】
解：矩形的边长为和，因为物体乙是物体甲的速度的倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为：，由题意知：
第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在边相遇；
第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在边相遇；
第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在点相遇；
此时甲、乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，
，
两个物体运动后的第次相遇地点的是：第二次相遇地点，
即物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在边相遇；
此时相遇点的坐标为：．
故选D．
3.【答案】
【解析】
【分析】根据点的坐标的变化可得出“第个点的坐标为，为正整数”，依此规律可得出第个点的坐标为，再结合第个点在第个点的上方个单位长度处，即可求出第个点的坐标，此题得解．
【解答】解：观察图形，可知：第个点的坐标为，第个点的坐标为，第个点的坐标为，第个点的坐标为，，
第个点的坐标为，为正整数．
，
第个点的坐标为．
又，
第个点在第个点的上方个单位长度处，
第个点的坐标为．
故答案为：．
本题考查了规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化，找出变化规律“第个点的坐标为，为正整数”是解题的关键．
4.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．此题应该分情况讨论．以为腰或底分别讨论．当是顶角顶点时，是以为圆心，以为半径的圆与轴的交点，共有个，若是底边时，是的中垂线与轴的交点，有个，即可得．
【解答】
解：如图所示：
若作为腰时，有两种情况，
当是顶角顶点时，是以为圆心，以为半径的圆与轴的交点，共有个，若是底边时，是的中垂线与轴的交点，有个；
当是顶角顶点时，是以为圆心，以为半径的圆与轴的交点，有个；
若是底边时，是的中垂线与轴的交点，有个．
以上个交点没有重合的．故符合条件的点有个．
故选B．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是平面直角坐标系中点的坐标，用坐标描述位置，图形规律问题，首先根据反射角与入射角的定义作出图形，由图形规律可知每次反弹为一个循环组依次循环，用除以，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【解答】
解：根据反射角与入射角的定义作出图形，
，
观察图形可知，经过次反弹后动点回到出发点，
，
当点第次碰到矩形的边时为第个循环组的第次反弹，
点的坐标为．
故选B．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查点的坐标的变化规律，解题的关键是根据图形得出下标为的倍数时对应长度即为下标的一半，据此可得．由知，据此得出，据此利用三角形的面积公式计算可得．
【解答】
解：由题意知，
，
，
，
则的面积是，
故选A．
7.【答案】
【解析】解：由题意可得，
旋转三次和原来的相对位置一样，点、，
，，，
旋转到第三次时的直角顶点的坐标为：，
旋转第次的直角顶点的坐标为：，
又旋转第次直角顶点的坐标与第次一样，
旋转第次的直角顶点的坐标是．
故选：．
根据题目提供的信息，可知旋转三次为一个循环，图中第三次和第四次的直角顶点的坐标相同，由时直角顶点的坐标可以求出来，从而可以解答本题．
本题考查规律性：点的坐标，解题的关键是可以发现其中的规律，利用发现的规律找出所求问题需要的条件．
8.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了点的变化规律以及行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题．解本题的关键是找出规律每相遇三次，甲乙两物体回到出发点．利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为和，物体乙是物体甲的速度的倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【解答】
解：矩形的边长为和，因为物体乙是物体甲的速度的倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为：，由题意知：
第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在边相遇；
第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在边相遇；
第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在点相遇；
此时甲乙回到原出发点，
则每相遇三次，甲乙两物体回到出发点，
，
两个物体运动后的第次相遇地点的是边相遇，且甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，
此时相遇点的坐标为：，
故选B．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直角三角形的性质，若要使取得最小值，则需取得最小值连结，交于点，当点位于位置时，取得最小值，过点作轴于点，根据勾股定理可求解，进而求解．
【解答】
解：，
，
，
，
若要使取得最小值，则需取得最小值，
连结，交于点，当点位于位置时，取得最小值，过点作轴于点．
则，，
，
又，
，
．
故选C．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用以及坐标与图形的性质，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设长方形纸片的长为，宽为，根据点的坐标，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再观察坐标系，可求出点的坐标．
【解答】
解：设长方形的长为，宽为
则
解得
，，
点的坐标为．
故选B．
11.【答案】
【解析】解：点关于轴的对称点为，
在第三象限．
故选：．
首先根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得对称点的坐标，再根据坐标符号判断所在象限即可．
此题主要考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化特点．
12.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查的角平分线的性质，勾股定理和三角形的面积首先根据关于直线的对称图形，若点恰好落在轴上，求出，，，，然后根据面积法得出，再整理化简即可求出的值．
【解答】
解：过点作，垂足为，
、、，关于直线的对称图形，点恰好落在轴上，
，，，，
平分，，，
，
，
，
，
，
整理化简得，
，
故选D．
13.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了坐标确定位置等知识，正确理解实际距离的定义是解题关键．
若设，构建方程组即可解决问题．
【解答】
解：设，由“实际距离”的定义可知：
点只能在区域内，
，，
又到，，距离相等，
，
，
要将与中绝对值去掉，
需要判断在的左侧和右侧，以及在的上侧还是下侧，
将矩形分割为部分，若要使到，，的距离相等，
由图可知只能在矩形中，
故，，
则方程可变为：，
解得，，，
则．
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了新定义问题，坐标确定位置，二元一次方程的解以及代数式求值，解题关键是理解新定义“位置数”．
先由新定义结合求出的最小值为，再由、为正整数确定、的值，进而得出的最大值．
【解答】
解：，
，
又，
，即，
，，且、都是整数，
的最小值为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
即的最大值为．
故答案为．

15.【答案】
【解析】
【分析】
解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征，轴上的点的横坐标为．
点在轴上则该点横坐标为，可解得的值，从而得到点的坐标．
【解答】
解：在轴上，
，得，
即即点的坐标为．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题是规律探究题，解题关键是找到动点运动过程中，每运动多少次形成一个循环．分析点的运动规律，找到循环次数即可．
【解答】
解：分析图象可以发现，点的运动每次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位．
当第循环结束时，点位置在，在此基础之上运动三次到
故答案为：
17.【答案】， ，
【解析】解：根据规定，得
，．
所求图形的面积．
根据规定，知月份是点的横坐标，日期是点的纵坐标；
根据点的坐标即可画图；
结合图形，知图形的面积是两个三角形的面积，根据三角形的面积公式求解．
此题考查了描点的方法以及根据点的坐标求三角形的面积的方法，同时注意对生活常识的熟悉．
18.【答案】南偏西方向，相距海里
【解析】解：当时，，
舍或，
答：当眼睛离海平面的高度是时，能看到远；
当时，可得，
解得，
则观望台离海平面的高度为米；
观望台在货轮的南偏西方向，相距海里位置，
故答案为：南偏西方向，相距海里．
求出时的值即可得；
求出时的值，再减去米即可得答案；
根据方位角定义可得．
本题主要考查解一元二次方程和坐标确定位置，根据题意得出一元二次方程和方位角的定义是解题的关键．
19.【答案】解：如图若以为公共边，则可以画个直角三角形：、和顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为．
若以为公共边，则可以画个直角三角形：、和顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为．
所以这样的直角三角形共有个．

【解析】略
20.【答案】解：如解图，满足题意的点的坐标为或或或或或．

【解析】
【分析】此题主要考查了坐标与图形，以及勾股定理逆定理的应用，关键是要分类讨论，不要漏解．首先画出坐标系，分别以为直角顶点，为直角顶点，为直角顶点，利用坐标系找出点坐标，注意要细心，不要漏解．
21.【答案】解：过点作轴于点，
，
．
是等腰直角三角形，，
，，，
．
在和中，
≌，
，，
，
；
证明：过点作交轴于点，
，
．
，
．
，，
，
．
在和中，
≌，
．
，
，
在和中，
≌，
，
；
在上截取，连接
由对称性得，．
．
．
是的平分线，
，
．
在和中，
≌，
，，
，
．
．
在和中，
≌
，
，
．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．
过点作轴于点通过证≌得，，求得的值，就可以求出的坐标；
过点作交轴于点，先证明≌就可以得出，，再证明≌就可以得出结论；
在上截取，连接，由对称性得，，可证，再证明≌就可以得出结论．
22.【答案】解：，
，且，
，，
点，；
连接， ，
设点的坐标为，
，
，即．
或连接， ，
，
；
分两种情况：
点在第一象限时，过作轴，如下图所示：
则轴，四边形是直角梯形，
直角梯形的面积的面积的面积，
，
整理得：，
，
；
点在第四象限时，过作轴，过作，交直线于，如下图所示：
则轴，四边形是直角梯形，
直角梯形的面积的面积的面积，
，
整理得：，
，
；
综上所述，若，且，的值为或．
【解析】本题考查了三角形的面积、偶次方和算术平方根的非负性质、坐标与图形性质、梯形面积公式、方程组的解法以及分类讨论等知识；本题综合性强，有一定难度．
由偶次方和算术平方根的非负性质得出，，得出，，即可得出答案；
根据题意可知点为中点，即可得出点的坐标．
分两种情况讨论，由直角梯形的面积减去两个直角三角形的面积得出方程，即可得出答案．
23.【答案】解：，；
根据定义分析，可得当上的点到原点的距离在到之间时符合题意，
设，当时，
由距离公式得，，
，
当时，，
解得：；
点的横坐标的取值范围为：，或；
直线与轴、轴交于点、，
，，
如图，
当圆过点时，此时，，
，
如图，
当直线与小圆相切时，切点为，
，
直线的解析式为，
直线与轴的夹角，
，
，
圆心的横坐标的取值范围为：；
如图，
当圆过点，则，，
如图，
当圆过点，连接，此时，，
，
．
圆心的横坐标的取值范围为：；
综上所述；圆心的横坐标的取值范围为：或．
【解析】解：点，，，
，，，
与的最小距离为，与的最小距离为，与的最小距离为，
的关联点是，；
故答案为：，；
见答案；
见答案。
根据点，，，求得，，，于是得到结论；
根据定义分析，可得当上的点到原点的距离在到之间时符合题意，设，根据两点间的距离公式得到即可得到结论；
根据已知条件得到，，如图，当圆过点时，得到，如图，当直线与小圆相切时，切点为，得到，于是得到结论；如图，当圆过点，则，得到，如图，当圆过点，连接，
根据勾股定理得到，于是得到结论．
本题考查了一次函数的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，两点间的距离公式，正确的作出图形是解题的关键．
24.【答案】解：；
证明：，，
，
．
，
，
，
．
在与中，
≌；
设运动的时间为秒，当时，
易证≌．
当点、分别在轴、轴上时，，
得：，
解得；
当点、都在轴上时，
得：，
解得；
当点在轴上，在轴上时，若二者都没有提前停止，
则，
得：，
解得，不合题意；
当点运动到点停止时，
有，
解得．
综上所述：当两动点运动时间为、、秒时，与全等．
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定，坐标与图形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
根据题意，即可求得；
根据全等三角形的判定方法“”证明≌；
分类讨论：当点、分别在轴、轴上时，求；
当点、都在轴上时，求；
当点在轴上，在轴上时，若二者都没有提前停止，求；
当点运动到点停止时，求．
【解答】
解：根据题意，可求得，
故答案为；
见答案；
见答案．
25.【答案】解：四边形是长方形，，
，，
点是的中点，
，
当时，在中，，，由勾股定理可求得，此时点坐标为；
当时，过作于点，如图，
在中，，，
由勾股定理可求得，且，
则，
此时点坐标为，；
根据已知条件及勾股定理计算得或；
当时，点为的垂直平分线与的交点，则．
综上可知，满足题意的点的坐标为或或或．
【解析】本题考查了坐标与图形的性质、等腰三角形的性质，正确分类讨论是解题关键．根据四边形是长方形，，点是的中点，得，分、和三种情况，结合坐标与图形的性质和勾股定理可求得点的坐标．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)