第五单元《一次函数》单元测试卷（困难）（含解析）

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浙教版初中数学八年级上册第五单元《一次函数》单元测试卷
考试范围：第五单元；考试时间：120分钟；分数：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从地到地，乙驾车从地到地，他们分别以不同的速度匀速行驶．已知甲先出发分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离千米与甲出发的时间分之间的关系如图所示，当乙到达终点时，甲还需分钟到达终点．( )

A. B. C. D.
早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，小明妈妈发现小明的作业本落在家里，便带上作业本骑车追赶，途中追上小明两人稍作停留，妈妈骑车返回，小明继续步行前往学校，两人同时到达．设小明在途的时间为，两人之间的距离为，则下列选项中的图象能大致反映与之间关系的是( )
A. B.
C. D.
如图，在中，，，点从点沿边，匀速运动到点，过点作交于点，线段，，，则与之间函数关系的图象大致是( )
A. B.
C. D.
如图，矩形中，点是边的中点，点在边上，且，动点从点出发，以每秒的速度沿的方向运动，到达点时停止．设点运动秒时，的面积为，如图是关于的函数图象，则图中，的值分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
下列函数其中是自变量中，不是正比例函数的个数有( )
；；是常数；．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
已知下列函数：，其中是一次函数的个数是
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
已知，如图点，，点为轴上一点，当最大时，点的坐标为( )
A. B. C. D.
如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，以线段为边，在第一象限内作正方形，直线与轴交于点，与线段交于点，将正方形沿轴负半轴方向平移个单位长度，使点落在直线上．有下列结论：
的面积为；点的坐标是；点到轴距离是；其中正确结论的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图所示，直线分别与轴、轴交于点、，以线段为边，在第二象限内作等腰直角，，则过、两点直线的解析式为( )
A.
B.
C.
D.
在平面直角坐标系中和的图象有两个交点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
如图是函数的图象，则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
在“加油向未来”电视节目中，王清和李北进行无人驾驶汽车运送货物表演，王清操控的快车和李北操控的慢车分别从，两地同时出发，相向而行．快车到达地后，停留秒卸货，然后原路返回地，慢车到达地即停运休息，如图表示的是两车之间的距离米与行驶时间秒的函数图象，根据图象信息，计算、的值分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，在中，，是边上一动点，设，两点之间的距离为，，两点之间的距离为，表示与的函数关系的图象如图所示．则线段的长为 ，线段的长为 ．
下列函数中：；；；；其中是的一次函数的是______ 填所有正确答案的序号．
如图，点在轴上，直线与两坐标轴分别交于，两点，，分别是线段，上的动点，则的最小值为______．
若直线：与直线：的交点坐标为，则直线：与直线：的交点坐标为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的关系根据图象解答下列问题：
甲、乙两地之间的距离为
请解释图中点的实际意义
求慢车和快车的速度．
本小题分
一个长方形的周长是，一边长是．
求它的另一条边长关于的函数表达式以及的取值范围；
请画出这个函数的图象．
本小题分
正方形的面积是边长的函数，它的表达式是如果正方形的边长的变化范围很小，例如从变到，我们来观察面积的变化情况：
分别计算从变到，从变到，从变到，从变到时，面积增大了多少；
根据第题的计算结果，当边长从变到时，正方形的面积可不可以看成边长的一次函数？由此受到启发，你能做出什么猜测？
本小题分
为了增强农民抵御大病风险的能力，政府积极推行农村医疗保险制度．某县根据本地的实际情况，制定了纳入医疗保险的农民住院医疗费用的报销规定：享受医保的农民可在定点医院住院治疗，由患者先垫付医疗费用，住院治疗结束后凭发票到县医保中心报销．住院医疗费用的报销比例标准如下表．
费用范围 元以下含元 元以上的部分
报销比例标准 不予报销
设某位享受医保的农民在一次住院治疗中的医疗费用为元，按规定报销的医疗费用为元，试写出与的函数关系式．
若该农民在这次住院治疗中的医疗费用为元，则他在这次住院治疗中报销的医疗费用和自付的医疗费用各为多少元？
本小题分
在平面直角坐标系中，直线是常数，与坐标轴分别交于点，点，且点的坐标为．
求点的坐标；
如图，将线段绕点顺时针旋转到，作直线交轴于点，求直线的解析式；
在的条件下，在轴上找点使的面积是面积的一半，求出点的坐标．
本小题分
如图，直线的解析式为，点的横坐标是，，与轴所夹锐角是．
求点坐标；
求直线的函数表达式；
若直线与轴的交点为点，求的面积；
在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请直接写出点的坐标．
本小题分
希望艺术团准备采购甲，乙两种道具，某经销商知道了活动的方案后，主动联系希望艺术团，对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按元件的价格出售设希望艺术团购买甲种道具件，付款元，与之间的函数关系如图所示．
直接写出当和时，与之间的函数关系式
若希望艺术团计划一次性购买甲，乙两种道具共件，且甲种道具不少于件，但又不超过件如何分配甲，乙两种道具的购买量，才能使希望艺术团付款总金额元最少
若甲、乙两种道具的进货价格分别为元件和元件经销商按中甲，乙两种道具购买量的分配比例卖出两种道具共件，且销售完件道具获得的利润不少于元，求的最小值．
本小题分
定义符号的含义为：当时，；当时，．
例如，，．
已知函数；
当时，______；
若，则的取值范围是______；
当时，求的值．
已知函数，则其函数值的取值范围是______；
已知，，当为常数且与线段有三个公共点时，直接写出的取值范围．
本小题分
如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量千瓦时关于已行驶路程千米的函数图象．
根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为千瓦时时汽车已行驶的路程．当时，求千瓦时的电量汽车能行驶的路程．
当时，求关于的函数表达式，并计算当汽车已行驶千米时，蓄电池的剩余电量．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了用图象表示变量之间的关系的有关知识，根据路程与时间的关系，可得甲乙的速度，根据相遇前甲行驶的路程除以乙行驶的速度，可得乙到达站需要的时间，根据相遇前乙行驶的路程除以甲行驶的速度，可得甲到达站需要的时间，再根据有理数的减法，可得答案．
【解答】
解：由纵坐标看出甲先行驶了千米，由横坐标看出甲行驶千米用了分钟，
甲的速度是千米分钟，
由纵坐标看出两地的距离是千米，
设乙的速度是千米分钟，由题意，得
，
解得千米分钟，
相遇后乙到达站还需分钟
相遇后甲到达站还需分钟，
当乙到达终点时，甲还需分钟到达终点，
故选D．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数图象，动点函数的图象的有关知识，读懂题意，把整个过程分解成分段图象是解题的关键．根据题意，把图象分为四段，第一段，小明从家出发去学校到妈妈发现小明的作业本落在家里，第二段妈妈骑车追赶到追上小明，第三段两人稍作停留，第四段妈妈骑车返回，小明继续步行前往学校，两人同时到达．分析图象，然后选择答案．
【解答】
解：根据题意可得，与的函数关系的大致图象分为四段，
第一段，小明从家出发去学校到妈妈发现小明的作业本落在家里，两人的距离在慢慢增大，
第二段，妈妈骑车追赶到追上小明，两人的距离在减小，
第三段，两人稍作停留，两人的距离为，
第四段，妈妈骑车返回，小明继续步行前往学校，两人同时到达，两人的距离在快速增大，
纵观各选项，只有选项的图象符合．
故选B．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了动点问题的函数图象，解决这类问题要先进行全面分析，根据图形变化特征或动点运动的背景变化进行分类讨论，然后动中找静，写出对应的函数式．
分两种情况：当点在上时，即时；当点在上时，即时，求出这两种情况下的长，则的函数式可用表示出来，对照选项即可判断．
【解答】
解：是等腰直角三角形，，
．
当点在上时，即时，
，，
是开口向上的抛物线，当时，；
当点在上时，即时，
，则，，
，
是开口向下的抛物线，当时，．
综上所述，答案符合运动过程中与的函数关系式．
故选D．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了动点问题的函数图像，掌握三角形的高与面积的关系是解题关键．根据题意，按照动点从点出发，以每秒的速度沿的方向运动，分不同运动阶段，结合函数图象，求得矩形的边长，进一步求得答案．
【解答】
解：动点从点到运动时，的面积不变为定值，动点从秒运动到秒，共秒，
以每秒的速度沿的方向运动，所以
点是边的中点，所以
动点从点到运动时，的面积从逐渐增大到定值，动点从秒运动到秒，共秒，
所以，
点在边上，且，所以，，
动点从点出发时，的面积为：
动点从点到运动时，的面积从定值逐渐减小到，动点从秒运动到秒，共运动秒，
所以
即图中、的值分别是，．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义条件是：为常数，，自变量次数为，
根据正比例函数的定义条件进行逐一分析即可．
【解答】
解：是正比例函数；
，整理得是正比例函数；
是常数，当时候，不是正比例函数；
，不是正比例函数，
所以有不是正比例函数，总共两个
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解决本题的关键一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为根据一次函数的定义解答即可．
【解答】
解：不是一次函数，不符合题意；
是一次函数，符合题意；
是二次函数，不符合题意；
是一次函数，符合题意；
不一定是一次函数，不符合题意；
是一次函数的个数是个，
故选B．
7.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了轴对称、待定系数法求一次函数的解析式以及一次函数图象上点的坐标特征．此题难度较大，解题的关键是找到点，注意数形结合思想与方程思想的应用．作关于轴对称点，连接并延长，的延长线与轴的交点即为所求的点；首先利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而求得点的坐标．
【解答】
解：作关于轴对称点，连接并延长交轴于点，
，
的坐标为，
连接，
设直线的解析式为：，
解得：
直线的解析式为：，
当时，，
点的坐标为：，
当，，不共线时，根据三角形三边的关系可得：，
当，，共线时，取得最大值．
故选A．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一次函数的综合、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．
求得、的坐标，然后根据三角形面积公式求得面积，即可判断；
如图作于，于，利用三角形全等，求出点、坐标即可判断；
联立方程求得交点的纵坐标，即可判断；
把的纵坐标代入，求得平移后的横坐标，根据平移前后的横坐标即可判断．
【解答】
解：直线与坐标轴分别交于，两点，
，，
的面积为，故结论错误；
如图作于，于，与交于点，
四边形是正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
同理可以得到：，，
，，，故结论正确；
由，解得，
的纵坐标为，
点到轴距离是，故结论正确；
，
将正方形沿轴负方向平移个单位长度，使点恰好落在直线上，
把代入得，，
，
正方形沿轴负方向平移个单位长度后，点恰好落在直线上时，，故结论正确；
故选：．
9.【答案】
【解析】解：对于直线，令，得到，即，，
令，得到，即，，
过作轴，可得，
，
为等腰直角三角形，即，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，即，
，
设直线的解析式为，
，
，
解得．
过、两点的直线对应的函数表达式是．
故选：．
过作垂直于轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及，利用得到三角形与三角形全等，由全等三角形对应边相等得到，，由求出的长，即可确定出坐标，然后根据待定系数法即可求得过、两点的直线对应的函数表达式．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数点的坐标特征，一次函数图象与系数的关系，一次函数与一元一次不等式的关系等知识，关键是用分类讨论进行讨论；先确定的图象，由的函数图象一定过定点，然后讨论和的图象有一个交点和无交点时的取值范围，从而确定和的图象有两个交点时的取值范围即可．
【解答】
解：如图所示，
因为的函数图象一定过定点，
所以当中的时与直线有一个交点，
当时，和 的图象有一个交点，
当时，和 的图象无交点，
当直线过点时，，此时和 的图象只有一个交点，
故当时，和 的图象无交点，
由上可得，和 的图象有两个交点时，
的取值范围为：
故选A．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点交点、原点等，做到数形结合．根据函数图象知：一次函数过点；将此点坐标代入一次函数的解析式中，可求出、的关系式；然后将、的关系式代入中进行求解即可．
【解答】
解：一次函数经过点，
，．
函数值随的增大而减小，则；
解关于，
移项得：，即；
两边同时除以，因为，因而解集是．
故选C．

12.【答案】
【解析】解：速度和为：米秒，
由题意得：，解得：，
因此慢车速度为：米秒，快车速度为：米秒，
快车返回追至两车距离为米的时间：秒，因此秒．
故选：．
由图象可知，两车经过秒相遇，继续行驶秒，两车的距离为米，可求速度和为米秒，
距离为米，在快车到地停留秒，两车的距离增加米，慢车的速度为：米秒，
而根据题意米的距离相当于慢车行驶秒的路程，故速度为米秒，
因此，，解得：米，从而可求慢车速度为：米秒，快车速度为：米秒，
快车返回追至两车距离为米的时间：秒，因此秒．
考查函数图象的识图能力，即从图象中获取有用的信息，熟练掌握速度、时间、路程之间的关系是解决问题的前提，追及问题和相遇问题的数量关系在本题中得到充分应用．
13.【答案】，
【解析】
【解答】
解：从图象看，当时，，即时，，
当时，，即时，、重合，此时，
即当时，为以点为顶点，腰长为的等腰三角形，如下图：
过点作于点，
在中，，，则，
在中，，
故答案为：，．
【分析】
从图象看，当时，，即时，，当时，，即时，、重合，此时即当时，为以点为顶点、腰长为的等腰三角形，进而求解．
本题考查的是动点问题的函数图象，此类问题关键是弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是一次函数的定义，掌握一次函数的一般形式是解题的关键．依据一次函数、反比例函数、二次函数的定义求解即可．
【解答】
解：是正比例函数也是一次函数，故正确；
是反比例函数，故错误；
是二次函数，故错误；
是一次函数，故正确；
可变形为，是一次函数．
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：如图，点关于的对称点，过点作交于点，连接，，
则，
当、、三点共线，且、重合时，为的最小值，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
把代入，
得，
，
直线的解析式为：，
解方程组，
得，
，
，
故的最小值为，
故答案为：．
作点关于的对称点，过点作于，则的最小值，根据直线的解析式得到直线的解析式，得到的坐标，求得的长度便可．
本题考查轴对称最短问题、一次函数的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是利用对称性找到点、点位置，属于中考常考题型．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线与直线平行，则；若直线与直线相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．
把分别代入与，得到关于，，进而得出，然后解与所组成的方程组求得、的值即可．
【解答】
解：把分别代入、得，，
，
解
得，
，
，
把代入得，
直线：与直线：的交点坐标为，
故答案为．
17.【答案】解：
图中点的实际意义：当行驶时，慢车和快车相遇．
由图象可知，慢车行驶的路程为，
所以慢车的速度为．
当慢车行驶时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为，
所以慢车和快车行驶的速度之和为，
所以快车的速度为．
【解析】见答案．
18.【答案】解：由周长为的长方形的一边长是，得，即因为，所以．
由知，当时，，当时，，即该直线经过点和故其函数图象如图所示：．
【解析】本题考查了一次函数的应用和函数自变量的取值范围，利用矩形周长公式得出不等式组是解题关键
根据长方形的周长公式，可得答案；
由中的函数解析式画出函数图象即可．
19.【答案】解：，，，，
即从变到，从变到，从变到，从变到时，面积依次增大了，，，；
因为由变到时，正方形面积的变化值不是定值，所以正方形的面积不可以看成边长的一次函数．
猜测：面积与边长不成一次函数关系．
【解析】本题考查了一次函数的定义，能理解一次函数的定义是解此题的关键，注意：形如、为常数，的函数叫一次函数．
根据表格中的数据，计算出的相邻两个值之间所对应的面积之差即可求解；
比较计算面积的差值，看看是否相等，相等即为一次函数，若不相等，则不是一次函数．
20.【答案】解：；
当时，，
那么自付的费用为元．
答：报销的医疗费为元，自付的医疗费为元．
【解析】本题是利用一次函数的有关知识解答实际应用题，一次函数的综合应用题常出现于销售、收费、行程等实际问题当中，由此看来一次函数是常用的解答实际问题的数学模型，是中考的常见题型．
可根据表中给出的报销条件，然后根据报销的医疗费住院治疗费用的报销部分对应的报销比例，来列出函数关系式；
因为“该农民在这次住院治疗中的医疗费用为元”显然超过了起付线，代入式即可．
21.【答案】解：将代入解析式可得：，
，
，
当时，，解得：，
；
过点作轴于点，
由旋转可知，，，
，
又，
，
在与中，
≌，
，，
，
，
设直线的解析式为，则
，
，
；
，
，
，
当时，，，
设，则
，
，
或，
的坐标为或．
【解析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式、全等三角形的判定与性质、一次函数图像上点得坐标特征．
先将的坐标代入，求出，即可求出的坐标；
过点作轴于点，证明≌，进而可得，待定系数法求解即可；
先求出，设，可得，列方程即可求解．
22.【答案】解：过点作轴于点，如图所示．
，，
为等腰直角三角形，
，．
，
，
点的坐标为．
把代入，得，
点的坐标为．
设直线的表达式为，
将、代入，
，
解得：，
直线的函数表达式为．
把代入，得，
点的坐标为，
．
与的面积相等，
，
把代入，，
点的坐标为．
【解析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
过点作轴于点，则为等腰直角三角形，由此得出、，结合即可得出，再根据点所在的象限即可得出点的坐标；
由点的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标，根据点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的函数表达式；
将代入直线的函数表达式中即可求出点的坐标，再根据三角形的面积公式即可得出的面积；
由与的面积相等可得知，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标．
23.【答案】解：当时，设，根据题意得，
解得；
；
当时，设，
根据题意得，
解得
．
；
设购进甲种道具为件，则购进乙种道具件，
，
当时，．
当 时．元，
当时，．
当时，元，
，
当时，总费用最少，最少总费用为元．
此时乙种道具件．
答：购进甲种道具为件，购进乙种道具件，才能使希望艺术团付款总金额元最少
由题意可设甲种道具为件，乙种道具为件
当时，即，
，
解得，
与矛盾，故舍去
当时，即
则，
解得，
，
的最小值为．
【解析】本题主要考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．
由图可知与的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．
设购进甲种道具为件，则购进乙种道具件，根据实际意义可以确定的范围，结合付款总金额元与甲，乙两种道具的购买量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少．
根据的结论分情况讨论．
24.【答案】 或
【解析】解：当时，，，
；
故答案为：；
，
，
解得，
故答案为：；
当时，或，
解得或；
联立方程组，
解得或，
如图所示：
，
函数值的取值范围是或．
故答案为：或；
为常数且与线段有三个公共点，
与两个交点，与有一个交点，
令，
解得或，
当时，
令，即，
，
，
如图所示：
当时，，
解得，
当时，，
解得，
；
当时，
令，即，
，
，
如图所示：
当时，，
解得，
当时，，
解得，
，
综上所述，的取值范围或．
把当分别代入和中取较小的值即可；
根据新定义得出，解不等式即可；
把分别代入和中求值即可；
先求出和的交点坐标，再根据新定义求的取值范围；
为常数且与线段有三个公共点时，得出与两个交点，与有一个交点，然后分和两种情况讨论即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，新定义，关键是对新定义的理解和掌握．
25.【答案】解：由图象可知，蓄电池剩余电量为千瓦时时汽车已行驶了千米．
千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：千米；
设，把点，代入，
得，
，
，
当时，．
答：当时，函数表达式为，当汽车已行驶千米时，蓄电池的剩余电量为千瓦时．
【解析】由图象可知，蓄电池剩余电量为千瓦时时汽车已行驶了千米，据此即可求出千瓦时的电量汽车能行驶的路程；
运用待定系数法求出关于的函数表达式，再把代入即可求出当汽车已行驶千米时，蓄电池的剩余电量．
本题考查了一次函数的应用，难度不大，解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．
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