浙教版八下数学第五章：特殊的平行四边形复习巩固练习
一．选择题
1.顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是（ ）
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
A．正三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．等腰梯形
3．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC＝4，则BD的长为( )
A．8 B．4 C ．2 D．8
4．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，AB＝6，BC＝8，且AB∥DE，则△DEC周长为 ( ) A．3 B．12 C．15 D．19
5．如图，EF过矩形ABCD对角线交点O，且分别交AB、CD于点E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的 ( )
A． B． C． D．
6．在课外活动课上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积是450cm2，则对角线所用的竹条至少需( )
A．30cm B．30cm C．60cm D．60cm
7.如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则阴影部分的面积是（ ）
A． B．2 C．3 D．
8.如图，两个正方形的面积分别为16、9，两阴影部分的面积分别为a，b（a>b），则（a-b）等于 （ ） Ａ．7 Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．4
9.点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连结PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90o，得线段PE，连结BE，则∠CBE等于（ ）
A、75o B、60o C、 45o D、 30o
10.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，则下列结论：
①EF∥AD；? ②S△ABO=S△DCO；③△OGH是等腰三角形；④BG=DG；⑤EG=HF.其中正确的个数是（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个?
填空题
11．矩形的两条对角线的夹角为60°，其中一条边长是3cm，则它的对角线长是_____cm．
12.四边形的四条边长分别为a、b、c、d，其中a、b为对边，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ab＋2cd，则这个四边形一定是____________
13．如图，P是正方形ABCD内一点，且△PBC是等边三角形，则∠PAD＝_______
14.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，，BE平分∠ABC且交CD于E，E为CD的中点，EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，当，时，四边形BGEF的周长为
15.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，OC=2，则点B的坐标是
16。如图，已知中，，以斜边为边向外作正方形，且正方形的对角线交于点，连接。已知 ，，则另一直角边的长为
三．解答题
17.矩形ABCD对角线相交与O，DE//AC，CE//BD.
求证：四边形OCED是菱形.
18.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．
19.如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连结CE.
(1)求证:BD=EC;
(2)若∠E=50° ,求∠BAO的大小.
如图，在四边形中，对角线交于点，
．求的长和四边形的面积．
21.如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点.
（1）求证：△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由.
22.已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2。
(1）若CE=1，求BC的长；(2）求证AM=DF+ME。
23.如图，某市A、B两地之间有两条公路，一条是市区公路AB，另一条是外环公路AD—DC—CB。这两条公路围成等腰梯形ABCD，其中DC∥AB，AB：AD：DC=10:5:2.
（1）求外环公路总长和市区公路长的比；
（2）某人驾车从A地出发，沿市区公路去B地，平均速度是40km/h，返回时沿外环公路行驶，平均速度是80km/h，结果比去时少用了h，求市区公路长。
浙教版八下数学第五章：特殊的平行四边形复习巩固练习答案
一．选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
B
C
B
B
A
A
C
D
填空题
6或 12. 平行四边形 13. 14. 28 15.
16. 7
三．解答题
17.矩形ABCD对角线相交与O，DE//AC，CE//BD.
求证：四边形OCED是菱形.
解：因为DE//AC，CE//BD， 所以四边形OCED是平行四边形.
又因为在矩形ABCD，BD、AC是对角线，
所以AC=BD，OC=OD=AC=BD.
所以四边形OCED是菱形.
18.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．
解：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DEC＝∠EDA，∠BEA＝∠EAD．
又∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA．
∴∠DEC＝∠AEB．
又∵EB＝EC，∴△DEC≌△AEB．
∴AB＝CD．∴梯形ABCD是等腰梯形．
（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．
证明：∵AD∥BC，BE＝EC＝AD，
∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．
∴AB＝ED．
∵AB⊥AC，∴AE＝BE＝EC．
∴四边形AECD是菱形．
过A作AG⊥BE于点G，∵AE＝BE＝AB＝2，
∴△ABE是等边三角形，∠AEB＝60°．∴AG＝．
∴S菱形AECD＝ECAG＝2×＝．
19.如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连结CE.
(1)求证:BD=EC;
(2)若∠E=50° ,求∠BAO的大小.
（1）∵菱形ABCD，∴AB＝CD,AB∥CD,又∵BE=AB，∴四边形BECD是平行四边形，∴BD=EC.
（2）∵BECD,∴BD∥CE,∴∠ABO＝∠E＝50°.又∵菱形ABCD，∴AC⊥BD,∴∠BAO＝90°－∠ABO＝40°
如图，在四边形中，对角线交于点，
．求的长和四边形的面积．
过点D作DF⊥AC
∵∠CED=45°，DF⊥EC，DE=
∴EF=DF=1
又∵∠DCE=30° ∴DC=2
∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=
∴AE=2
∴AC=2+1+=3+
∴S四边形ABCD=
21.如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点.
（1）求证：△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由.
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∵AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∴AM=AD，CN=BC，∴AM=CN，在△MAB≌△NDC，∵ AB=CD，∠A=∠C=90°，AM=CN，∴△MAB≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是菱形，理由如下：连接AN，易证：△ABN≌△BAM，∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，∴BM=DN，∵P、Q分别是BM、DN的中点，∴PM=NQ，∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP，∴△MQD≌△NPB．∴四边形MPNQ是平行四边形，∵M是AB中点，Q是DN中点，∴MQ=AN，∴MQ=BM，∴MP=BM，∴MP=MQ，∴四边形MQNP是菱形．
22.已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2。
(1）若CE=1，求BC的长；(2）求证AM=DF+ME。
（1）∵四边形ABCD是菱形∴CB=CD,AB∥CD∴∠1=∠ACD ,∵∠1=∠2 ∴∠2=∠ACD ∴MC=MD ∵ME⊥CD ∴CD=2CE=2 ∴BC=CD=2
(2) 延长DF,BA交于G，∵四边形ABCD是菱形∴∠BCA=∠DCA , ∵BC=2CF,CD=2CE ∴CE=CF ∵CM=CM∴△CEM≌△CFM, ∴ME=MF∵AB∥CD∴∠2=∠G, ∠GBF=∠BCD∵CF=BF∴△CDF≌△BGF∴DF=GF∵∠1=∠2, ∠G=∠2∴∠1=∠G∴AM=GM=MF+GF=DF+ME
23.如图，某市A、B两地之间有两条公路，一条是市区公路AB，另一条是外环公路AD—DC—CB。这两条公路围成等腰梯形ABCD，其中DC∥AB，AB：AD：DC=10:5:2.
（1）求外环公路总长和市区公路长的比；
（2）某人驾车从A地出发，沿市区公路去B地，平均速度是40km/h，返回时沿外环公路行驶，平均速度是80km/h，结果比去时少用了h，求市区公路长。
解：（1）设AB=10x km，则AD=5x km ，CD=2x km。
∵四边形ABCD是等腰梯形，DC∥AB，
∴BC=AD=5x ∴AD+DC+BC=12x
∴外环公路总长和市区公路长的比为12x：10x=6:5
（2）由（1）可知，外环公路总长为12x km，市区公路长为10x km。
由题意得
解这个方程得 x=1 ∴10x=10
答：市区公路的长为10 km。
浙教版八下数学第五章：特殊的平行四边形能力提升测试
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每题中四个答案只有一个是正确的，请你把正确的答案选出来！
1.如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连结AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（ ????）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
2.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（ ）
A. 3 B.3.5 C.2.5 D.2.8
3.如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC =3，则梯形ABCD的周长是（ ）
A. 26 B. 25 C. 21 D.20
4.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,对角线AC、BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（ ）
A.AC=BD B. OB=OC C. ∠BCD=∠BDC D. ∠ABD=∠ACD
5.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（ ）
A．17 B.18 C.19 D.20
6.菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ）
A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
7.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（ ）
A． 4 B．6 C．8 D．10
8.已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是( )
A. 25 B. 50 C. 25 D.
9.如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的大小为（ ）
A．75° B．65° C．55° D．50°
10.如图，已知菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
温馨提示：填空题要求将最正确最简捷的答案填在空格处！
11.如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB,∠BDE=700，则∠CAD=
12.菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为
13.如图，四边形ABCD是梯形，BD＝AC且BD⊥AC，若AB＝2，CD＝4，则S梯形ABCD＝____
14.我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形。现有一个对角线分别为6cm和8cm的菱形，它的中点四边形的对角线长是 .
15.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BD⊥DC,点E是BC 的中点且DE∥AB,则∠BCD的度数是__________
16.以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是__________．
三．解答题（本部分共7题，共66分）
17（本题6分）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点,与相较于点，与相较于，连接。
(1)求证：四边形是菱形；
(2) 若求MD的长。
18（本题8分）.如图，将矩形沿直线折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，
（1）求证：四边形AFCE为菱形；
（2）设请写出一个、、三者之间的数量关系式
19（本题8分）.如图，?ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．
20（本题10分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．
（1）求证：△ADC△ECD；
（2）若BD=CD,求证四边形ADCE是矩形．
21.（本题10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积.
22（本题12分）如图，已知E是中BC边的中点，连接AE并延长AE交DG的延长线于点F.求证：（1）△ABE≌△FCE.（2）连接AC、BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形.
23(本题12分）在?ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP．已知∠A=60°；
（1）若BC=8，AB=6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值．
（2）试探究当△CPE≌△CPB时，?ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？
浙教版八下数学第五章：特殊的平行四边形能力提升测试答案
选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
C
C
A
C
C
A
B
D
填空题
11. 700 12. 20 13. 9 14. 5 15. 60° 16.
三．解答题
17。（1）证明：四边形是矩形
是的垂直平分线
在和中
是的垂直平分线 四边形是菱形
（2）解：设 则，
在中 则有 解得：
即：
18.（1）证明：由轴对称的性质知：
四边形是矩形，故∥，
，
，
因而，，
即四边形是菱形
（2）由轴对性知： 由于
19.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，AB∥CD．
∴∠E=∠F又∠AOE=∠COF．
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形，
理由如下：
由（1）可知△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF=AC，
∴四边形AECF是矩形．
20.证明:(1)∵△ABC是等腰三角形 ∴∠B=∠ACB. AB=AC
又四边形ABDE是平行四边形 ∴∠B=∠EDC AB=DE
∴∠ACB=∠EDC, AC=DE.DC=DC ∴△ADC△ECD；
（2）∵AB=AC,BD=CD. ∴AD⊥BC. ∴∠ADC=90°
∵四边形ABDE是平行四边形 ∴平行且等于BD 即AE平行且等于DC.
∴四边形ADCE是平行四边形． ∴四边形ADCE是矩形．
21.（1）∵E、F分别是AB、BC的中点
∴EF是三角形ABC的中位线 ∴EF∥AC、EF=AC,
同理得，EH∥BD,HG=AC，EH=FG=BD,
∴EH=FG=EF=HG ∴四边形EFGH为菱形
∵EF∥AC, EH∥BD, AC⊥BD ∴∠EHG=900 ∴菱形EFGH为正方形.
（2）∵在梯形ABCD中，E、G分别是AB、CD的中点.
∴EG为梯形ABCD的中位线 ∴EG=（AD+BC）=3
四边形EFGH的面积=EG2=4.5
22.证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC， ∴∠ABE=∠ECF，
又∵E为BC的中点， ∴BE=CE，
在△ABE和△FCE中，
∵，
∴△ABE≌△FCE（ASA）；
（2）∵△ABE≌△FCE，
∴AB=CF，又AB∥CF，
∴四边形ABFC为平行四边形，
∴BE=EC，AE=EF，
又∵∠AEC=2∠ABC，且∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC=∠ABC+∠EAB，
∴∠ABC=∠EAB，∴AE=BE，∴AE+EF=BE+EC，即AF=BC，
则四边形ABFC为矩形．
23.解：（1）延长PE交CD的延长线于F，
设AP=x，△CPE的面积为y，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=DC=6，AD=BC=8，
∵Rt△APE，∠A=60°，
∴∠PEA=30°，
∴AE=2x，PE=x，
在Rt△DEF中，∠DEF=∠PEA=30°，DE=AD﹣AE=8﹣2x，
∴DF=DE=4﹣x，
∵AB∥CD，PF⊥AB，
∴PF⊥CD，
∴S△CPE=PE?CF，
即y=×x×（10﹣x）=﹣x2+5x，
配方得：y=﹣（x﹣5）2+，
当x=5时，y有最大值，
即AP的长为5时，△CPE的面积最大，最大面积是；
（2）当△CPE≌△CPB时，有BC=CE，∠B=∠PEC=120°，
∴∠CED=180°﹣∠AEP﹣∠PEC=30°，
∵∠ADC=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°﹣120°﹣30°=30°，
∴DE=CD，即△EDC是等腰三角形，
过D作DM⊥CE于M，则CM=CE，
在Rt△CMD中，∠ECD=30°，
∴cos30°==，
∴CM=CD，
∴CE=CD，
∵BC=CE，AB=CD，
∴BC=AB，
则当△CPE≌△CPB时，BC与AB满足的关系为BC=AB．
