§2.2（第二课时）一元二次方程的解法
教案（执笔：于国英 2006年2月27日）
教学目标：
1．巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤；
2．会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程。
重点、难点：
1、教学的重点是用配方法解二次项系数的绝对值不是1的一元二次方程。
2、当二次项系数为小数或分数时，用配方法解一元二次方程是本节教学的难点。
教学过程：
教师活动 教学内容 设计意图 学生活动
回顾 1、一元二次方程的开平方法，配方法（a=1） ①进一步梳理和巩固已生成的知识②纵览一元二次方程开平方法和配方法（a=1）解法的区别与联系 板演(并对的练习进行讲评)
2、已学的一元二次方程（开平方法、配方法）解法的步骤 开平方法：形如①先把移项得②方程两边同时加一次项系数一半的平方，得，即，当时，就可以通过开平方法求出方程的根 思考与领悟
新课讲解 引例（当时） 领悟将二次项系数化为1的转化思想 观察与思考，小组讨论
问：先处理什么，再与上节课的配方法相比较 例3 用配方法解下列一元二次方程（1）（2）当二次项系数的绝对值不是否合法的一元二次方程，只要将方程的两边都除以二次项系数，转化为我们能用配方法解二次项系数是1的一元二次方法。 规范书写知道运算程序，突出化归思想，并对易犯的错误经常提醒 领悟与思考
课堂练习 7、学生完成解题后出示答案 课本P32页，课内练习1 领悟方法，会正迁移 2 位学生板演，其余自己做
新课讲解 增加二次项系数为小数与分数的方程 用配方法解下列方程（1）（2） 对具体的计算题会先设计计算程序， 自由回答问题，练习，自愿上黑板计算
课堂练习 整理解法步骤然并进行巩固练习 课本P32页，课内练习2 会正迁移，领悟方法与步骤 学生先做，后挑选部分屏幕展示
课堂小结 15、问：这一节课学习了什么 学生自由回答
布置作业 完成课本作业（做在书上）和作业本（2）天天伴我学 记录2.3一元二次方程的应用（1）
教学目标：
1、 经历一元二次方程的实际应用，体验一元二次方程的应用价值.
2、 会列一元二次方程解应用题.
重点与难点：
本节教学的重点是列一元二次方程解应用题.例2的数量关系比较复杂，学生不容易理解，是本节教学的难点.
教学过程：
教师活动 教学内容 学生活动
一、引例 显示引例（屏幕显示） 要做一个高是8cm，底面的长比宽多5cm，体积是528的长方体木箱，问底面的长和宽各是多少？ 和老师一起读题，理解题意.
二、回顾 1、以前我们已经经历了几次列方程解应用题？ 以前已经经历了三次列方程解应用题：①列一元一次方程解应用题；②列二元一次方程组解应用题；③列分式方程解应用题.在思想方法和解题步骤上有许多共同之处. 回答提问.
2、提问：列方程解应用题的基本步骤怎样？3、对学生的回答进行整理 ①审（审题）；②找（找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系）；③设（设元，包括设直接未知数或间接未知数）；④表（用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量）；⑤列（列方程）；⑥解（解方程）；⑦检验（注意根的准确性及是否符合实际意义）.
对照步骤，引导学生完成解题过程 设长方体的宽为x（cm），则长为（x+5）cm，底面积为x（x+5）.找相等关系：长方体的底面积×高=长方体体积.列方程：x（x+5）×8=528.化简、整理后得解得：.检验：不符合实际情况，舍去.当x=6时，符合题意.∴方程的解为x=6.∴长方体的长为6+5=11（cm）.答：长方体的宽为6cm，长为11cm. 口答，列方程，解方程.
板书：（主题） 一元二次方程的应用
三、新课讲解例1 1、指导学生理解问题. 例1 某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？着重指清“每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元”的含义. 审题，认真思考并积极回答老师的提问.
2、思考：直接设每盆植x株好吗？为什么？启发：设什么为x才好？ 如果直接设每盆植x株，不容易表示其他的相关量.解：设每盆花苗增加的株数为x株.设每盆花苗增加的株数为x株就容易表示其他的相关量. 学生讨论.
3、指导学生用x表示其他相关量. 则每盆花苗有（3+x）株.平均植株盈利为（3-0.5x）元. 回答并表示.
问：接下来干什么？ 平均每株盈利×株数=每盆盈利10元 找相等关系
4、问: 你怎样列方程呢？指导学生解方程，并进行检验.请每位同学自己检验两根.发现什么？ （x+3）(3-0.5x)=10,∴.经检验，都是方程的解，且符合题意.答：每盆植入4株或5株时，每盆的盈利都达到10元. 回答并完成解方程，.检验表示答案.
四、课题练习一 学生完成练习后出示正确答案核对（略）. 已知两个连续正奇数的积是63，利用一元二次方程求这两个数. 两学生在黑板上演示，其他学生在自己练习本上完成.
五、新课讲解例2 显示例2（屏幕显示），问：第一步干什么？ 例2 截止到2000年12月31日，我国的上网计算机总数为892万台；截止到2002年12月31日，我国的上网计算机总数以达2083万台.（1）求2000年12月31日至2002年12月31日我国的上网计算机台数的年平均增长率（精确到0.1%）.注意：叙述年平均增长率时，要有明确规范的说法，如：“从何年到何年的年平均增长率”，“从何月到何月的月平均增长率”，不要随用其他的说法，否则学生解题时容易产生歧义. 审题：找出已知量和未知量及相等关系.
2、分组讨论：请大家以学习小组为单位讨论如下问题，然后以组为单位回答：（1）增长率与什么有关系？ 增长率与时间相关.必须弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长率. 分组讨论，按组回答.
（2）年平均增长率怎么算？纠正学生的各种错误回答并小结；（3）x的正负性有什么意义？ 经过两年的年平均变化率x与原量a和现量b之间的关系是：（等量关系）. 当x>0时表增长，当x<0时表示下降.
3、接下来解第（1）问，直接设所求的年平均增长率为x.利用前面已经找到等量关系.如何列方程？接下来呢？ 解：设2000年12月31日至2002年12月31日我国的上网计算机台数的年平均增长率为x.关系式为，即.解得.∵，∴不合题意，舍去.答：2000年12月31日至2002年12月31日我国的上网计算机台数的年平均增长率为52.8%. 设未知数一齐回答.验根.
再来看第（2）问，2000年12月31日至2002年12月31日的年增长率是什么？2001年12月31日至2003年12月31日的年平均增长率呢？ （2）上网计算机总数2001年12月31日至2003年12月31日的年平均增长与2000年12月31日至2002年12月31日的年平均增长相比，哪段时间年平均增长率较大？解：设2001年12月31日至2003年12月31日我国的上网计算机台数的年平均增长率为y.列出方程为.解这个方程，得（不合题意，舍去）.∴答：上网计算机总数2001年12月31日至2003年12月31日的年平均增长与2000年12月31日至2002年12月31日的年平均增长相比，2001年12月31日至2003年12月31日这段时间的年平均增长率较大. 重新审题：是第（1）题所求的结果，解法如第（1）问，并回答.
六、课题练习二 出示（屏幕显示） 宁波港是一个多功能、综合性的现代化大港，年货物吞吐量位于中国大陆第二，世界排名第五，成功跻身于国际大港行列.如图是宁波港1994年～2004年货物吞吐统计图.（1）统计图中你能发现哪些信息，请说出两个；（2）有人断定宁波港货物吞吐量的年平均增长率不超过15%，你认为他的说法正确吗？青年感说明理由. 学生仔细阅读，在自己的本子上独立完成.
七、课堂小结 问：这节我们学到了什么？ 学会了列一元二次方程解应用题.列一元二次方程解应用题的步骤.经过两年的年平均变化率与原量a和b之间的关系是： （等量关系）.对例1，使用间接设元更能表示其他的相关量. 学生自由问答.
八、作业布置 完成“课内利息”第2题.完成课本“作业题”. 记录
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1§2.1一元二次方程（二）
——因式分解法解一元二次方程
【教学目标】
1.掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤.
2.会用因式分解法解一元二次方程.
【教学重点】
用因式分解法解一元二次方程.
【教学难点】
例3方程中含有无理系数，需将常数项2看成，才能分解因式，是本节教学的难点.
【教学准备】
课件、小黑板
【教学过程】
1. 复习引入
1、将下列各式分解因式：
教师指出：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解.
2、你能利用因式分解解下列方程吗？
请中等学生上来板演，其余学生写在练习本上，教师巡视.
之后教师指出：像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。（板书课题）
2. 新课学习
1、 归纳因式分解法解一元二次方程的步骤：
教师首先指出：当方程的一边为0，另一边容易分解成两个一次因式的积时，用因式分解法求解方程比较方便.然后归纳步骤：（板书）
1 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；
2 将方程的左边分解因式；
3 根据若M·N=0，则M=0或N=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。
2、讲解例2.
（1）解下列一元二次方程：
教师在讲解中不仅要突出整体的思想：把x-2及3x-4和4x-3看成整体，还要突出化归的思想：通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.并且教师要认真板演，示范表述格式，强调两个一元一次方程之间的连结词要用“或”，而不能用且。
（2）想一想：将第（1），（2），（3）题的解分别代人原方程的左、右两边，等式成立吗？
（3）归纳用因式分解法解的一元二次方程的基本类型：
①先变形成一般形式，再因式分解：
②移项后直接因式分解.
在选择方法时通常可先考虑移项后能否直接分解因式，然后再考虑化简后能否分解因式。
2、 讲解例3.
解方程
在本例中出现无理系数，要注意引导学生将将常数项2看成，另外对于方程中出现两个相等的根，教师要做好板书示范。
3、补充例4 若一个数的平方等于这个数本身，你能求出这个数吗？
首先让学生设出未知数，列出方程（），再让学生求解.根据学生的求解情况强调：对于此类方程不能两边同时约去x，因为这里的x可以是0。
三、巩固练习：课本第32页课内练习。
四、体会和分享
能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？
先由学生自由发言，教师再投影演示：
1.能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；
2.用分解因式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将方程的右边化为零；
（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
（3）令每一个因式为零，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
3. 用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0.
4、用分解因式法解一元二次方程的注意点：1.必须将方程的右边化为零；2.方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
5、数学思想：整体思想和化归思想.
五.课后作业
1.书本作业题
2.作业本
3、教与学
【板书设计】
屏幕 2.1一元二次方程（二）——因式分解法解一元二次方程1. 用分解因式法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为零；（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每一个因式为零，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2. 数学思想：整体思想和化归思想.2.1一元二次方程（1）
教学目的：
1、 经历一元二次方程概念的发生过程.
2、 理解一元二次方程的概念.
3、 了解一元二次方程的一般形式，会辨认一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
教学难点和难点:
本节教学重点是一元二次方程的概念，包括它的一般形式.
例1第（4）题包含了代数式的变形和等式变形两个方面，计算容易产生差错，是本节教学的难点.
教学过程
一、合作学习，探究新知
1、列出下列问题中关于未知数x的方程：
（1）把面积为4平方米的一张纸分割成如图所示的正方形和长方形两个部分，求正方形的边长。
设正方形的边长为x,可列出方程______________;
(2)据国家统计局公布的数据，浙江省2001年全省实现生产总值6万亿元，2003年生产总值达9200亿元，求浙江省这两年实现生产总值的年平均增长率。
设年平均增长率为x，可列出方程______________；
（3）从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺.另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗？
设竹竿为x尺，可列出方程______________。
学生自主探索，并互相交流，自己列出方程。
2、观察上面所列方程，说出这些方程与一元一次方程的共同和不同之处.
学生各抒己见，发表自己的发现：共同点：①它的左右两边都是整式，②只含一个未知数；不同点：未知数的最高次数是2。
二、得出新知，运用强化
1、教师指出符合上述特征的方程叫做一元二次方程．板书课题及一元二次方程的定义并指出：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解（或根）。
2、判断下列方程是否是一元二次方程：
3、判断未知数的值x=-1,x=0,x=2是不是方程的根。
通过此题的求解向学生说明：一元二次方程的解（或根）的概念与一元一次方程的解（或根）的概念类似，但解的个数不同。
4. 一元二次方程概念的延伸
提问：一元二次方程很多吗 你有办法一下写出所有的一元二次方程吗
引导学生回顾一元二次方程的定义，分析一元二次方程项的情况，启发学生运用字母，找到一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)
1）提问a＝0时方程还是一无二次方程吗 为什么 (如果a＝0、b≠0就成了一元一次方程了)。
2）讲解方程中ax2、bx、c各项的名称及a、b的系数名称．
3）强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现，但二次项必须存在，而且左边通常按未知数的次数从高到低排列，特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。
5、强化概念
例1 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项：
在本例中教师要讲清方程变形时，哪些属于代数式变形，运用了什么法则；哪些属于等式变形，依据什么性质。并板书示范解题过程。
2.练习：做课内练习第2、3题
3、提高练习：作业题5、7。
三、课堂小结
(1)本节课主要介绍了一类很重要的方程—一一元二次方程（方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程）；
(2)要知道一元二次方程的一般形式ax2十bx十c＝0(a≠0)，并且注意一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中二次项、常数项可以不出现，但二次项必须存在。特别注意的是“＝”的右边必须整理成0；
(3)要很熟练地说出随便一个一元二次方程中二次项、一次项、常数项：二次项系数、一次项系数．
四、布置作业
1、作业本2.1（1）
2、书本作业题
3、教与学2.1（1）
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１§2.2（第一课时）一元二次方程的解法
教学目标：
1． 理解开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义﹒
2．会用开平方法解一元二次方程﹒
3﹒会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
重点、难点：本节教学的重点是开平方法﹒配方法有一个比较复杂的过程，无论从理解和运用上，对学生来说，都有一定的难度，是本节教学的难点﹒
教学过程：
教师活动 教学内容 设计意图 学生活动
回顾 1、给出练习题目 1、节前图利用实际问题情景 ： 若AB=5米，AC=4米，则BC= ？2、课本30页，课内练习1 ①联系实际生活，解一元二次方程的必要性②巩固已有的知识加强和新知识之间的联系 思考解题
2、启发诱导 （1）是否为一元二次方程？（2）把从右边移到左边得，可否用因式分解解？（3）把从左边移到右边得，如何解？依据是什么？ 帮助学生巩固已有的知识，探求新知识 思考讨论
3、讲解新知 一般地，对于行如的方程，根据平方根的定义，可解，．这种解一元二次方程的方法叫做开平方．强调：前提条件是： 强调新知运用依据及条件 默记思考注意
新课讲解 4、屏幕显示题目 例1﹒用开平方法解下列方程：（1）（2） 体验运用新知 两位学生板演，其余自己做
5、巡视，纠正问题 强调：题（2）要把整体看作未知数，化归为，并不是所求的未知数的值，而是的值 规范书写知道运算程序 领悟与练习
6、学生完成解题后出示答案 课本30页，课内练习3 领悟方法，会正迁移 两位学生板演，其余自己做
合作讨论 7、屏幕显示题目 讨论：解方程 让学生体验新知的产生过程 讨论思考
8、启发诱导 我们已经掌握哪些解一元二次方程的方法？这个方程如何变形，就能用因式分解或开平方来解？要把变成的形式，可怎样变形？先移项，得，两边同加一个什么数的平方，左边就是一个完全平方式？ 帮助学生分析，给新知诞生提供信息 观察讨论思考
9、巡视，纠正问题屏幕显示题目 学生解答 体验新知的产生 解答思考
10、提供练习学生完成解题后出示答案 课本30页，课内练习2 体验新知的产生 解答思考矫正
新课讲解 11、简单归纳 配方的步骤：（1）先把方程移项，得．（2）方程的两边同加一次项系数的一半的平方，得，即若，就可以用因式分解法或开平方法解出方程的根梳理新知形成轮廓 思考归纳记忆
12、屏幕显示题目 ；19、例用配方法解下列一元二次方程： （1） （2） 尝试体验运用新知 两位学生板演，其余自己做
13、提醒注意 强调：1、移项变成2、方程的二次项系数为负，则先把二次项系数化为正． 强调运用新知应注意的地方规范书写要求 思考归纳记忆
课堂练习 14、学生完成后，出示答案 课本30页，课内练习4 理解数学的应用价值 练习，自由到黑板上解题
课堂小结 15、问：这一节课学习了什么 1、开平方法解一元二次方程的依据及步骤，．2．配方法解一元二次方程依据及步骤3﹒用配方法解一元二次方程的前提： 巩固梳理知识 学生自由回答
布置作业 完成课本作业（做在书上）和作业本（1）天天伴我学 巩固复习 记录
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