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浙教版2022-2023学年八下数学第二章 一元二次方程 培优测试卷1
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列关于 的方程是一元二次方程的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、当a≠0时是一元二次方程，故A不符合题意；
B、不是一元二次方程，故B不符合题意；
C、是一元二次方程，故C符合题意；
D、不是一元二次方程，故D不符合题意.
故答案为：C.
2．一元二次方程5x2﹣2x=0，最适当的解法是（ ）
A．因式分解法 B．配方法
C．公式法 D．直接开平方法
【答案】A
【解析】∵在方程5x2-2x=0中，常数项为0，
∴解该方程最适当的方法是“因式分解法”.
故答案为：A.
3．用配方法解方程x2-4x+2=0，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵x2-4x+2=0，
移项得x2-4x=-2，
∴x2-4x+4=-2+4，
∴（x-2）2=2，
故答案为：B．
4．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．，且 D．，且
【答案】D
【解析】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴且，
故答案为：D．
5．若关于x的方程x2-2mx+8＝0有两个相等的实数根，则(m-1)(m＋1)的值为（ ）
A．8 B．±8 C．7 D．±7
【答案】C
【解析】∵ 关于x的方程x2-2mx+8＝0有两个相等的实数根，
∴b2-4ac=4m2-32=0
解之：m2=8；
∴(m-1)(m＋1)=m2-1=8-1=7.
故答案为：C.
6．若a，b，c是△ABC的三边，则关于x的方程的根的情况是( )
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】A
【解析】
∵a，b，c是△ABC的三边
∴，
∴
∴
∴原方程没有实数根
故答案为：A．
7．某超市一月份的营业额为300万元，第一季度的营业额共1200万元，如果平均每月增长率为，则有题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵一月份的营业额为300万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为300×（x＋1），
∴三月份的营业额为300×（x＋1）×（x＋1）＝300×（x＋1）2，
∴可列方程为300＋300×（x＋1）＋300×（x＋1）2＝1200.
即300[1＋（x＋1）＋（x＋1）2]＝1200.
故答案为：B.
8．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加株花苗，下面列出的方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设每盆应该多植株，由题意得
，
故答案为：．
9．已知等腰三角形 的边长分别是 ， ，4，且 ， 是关于 的方程 的两根，则 的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．7或8
【答案】D
【解析】 当 时，
且 ， 是关于 的方程 的两根，
，
解得， ，
关于 的方程为 ，
解得： ，
，
分别是 ， ，4为边能组成三角形；
或 时，
是关于 的方程 的根，
，
解得： ，
关于 的方程为 ，
解得： ， ，
，
分别是 ， ，7为边能组成三角形；
综上所述： 的值为7或8.
故答案为：D.
10．设|x2+ax|＝4只有3个不相等的实数根，则a的值和方程的某一个根可能是（ ）
A．a＝4，x＝2+2 B．a＝4，x＝2
C．a＝﹣4，x＝2﹣2 D．a＝﹣4，x＝﹣2
【答案】C
【解析】∵|x2+ax|＝4，
∴x2+ax﹣4＝0①或x2+ax+4＝0②，
方程①②不可能有相同的根，
而原方程有3个不相等的实数根，
∴方程①②中有一个有等根，
而Δ1＝a2+16＞0，
∴△2＝a2﹣16＝0，
∴a＝±4，
当a＝4时，原方程为x2+4x﹣4＝0或x2+4x+4＝0，
原方程的解为：x＝﹣2或﹣2±2 ；
当a＝﹣4时，原方程为x2﹣4x﹣4＝0或x2﹣4x+4＝0，
原方程的解为：x＝2或2±2 ；
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如果关于x的一元二次方程的一个根为1，那么a的值为 ．
【答案】-3
【解析】关于的一元二次方程的一个根为，
，
解得，．
故答案是：．
12．若a、b是方程的两根，则 ．
【答案】2021
【解析】∵a、b是方程x2 +x- 2022 = 0的两根，
∴ a2+a- 2022 = 0， a+b= -1，
∴a2+a= 2022，
∴a2+ 2a+b=a2 +a+a+b= 2022-1=2021
故答案为：2021
13．已知方程 ，则 的值为 ．
【答案】3
【解析】∵ ，
∴，
∴ 或，
∴ 或（舍去），
∴.
故答案为：3.
14．已知关于x的方程ax2-bx-c=0(a≠0)的系数满足a-b-c=0，且4a+2b-c=0，则该方程的根是
【答案】x1=1，x2=-2
【解析】把x=1代入方程ax2-bx-c=0，得出a-b-c=0，
把x=-2代入方程ax2-bx-c=0，得出4a+2b-c=0，
∴该方程的根是x1=1，x2=-2.
故答案为：x1=1，x2=-2.
15．为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对原有的小麦品种进行改良种植研究．在保持去年种植面积不变的情况下，今年预计小麦平均亩产量将在去年的基础上增加a%，因为优化了品种，预计每千克售价将在去年的基础上上涨2a%，全部售出后预计总收入将增加68%，则a的值为 ．
【答案】20
【解析】由题意得：
令则原方程可化简为
∴
解之得： ，（不合题意，舍去）
∴
．
故答案为：20.
16．在△ABC中，已知两边a=3，b=4，第三边为c．若关于x的方程 有两个相等的实数根，则该三角形的面积是
【答案】6或
【解析】∵关于x的方程x +(c 4)x+ =0有两个相等的实数根，
∴△=(c 4) 4×1× =0，
解得：c=5或3，
当c=5时，
∵a=3，b=4，
∴a +b =c ，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC的面积是 ×3×4=6；
当c=3时，如图，
，
AB=BC=3，过B作BD⊥AC于D，
则AD=DC=2，
∵由勾股定理得：BD= ，
∴△ABC的面积是 ×4× =2 ；
故答案为：6或2 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．用适当的方法解下列方程：
（1）4(3x 5)2=(x 4)2；
（2）y2 2y 8=0；
（3）x(x 3)=4(x 1) .
【答案】（1）解：移项，得4(3x 5)2 (x 4)2=0，
分解因式，得 ，
化简，得(7x 14)(5x 6)=0，
所以7x 14=0或5x 6=0，
x1=2，x2=1.2.
（2）解：移项，得y2 2y=8，
方程两边都加上1，得
y2 2y+1=8+1，
所以(y 1)2=9，
所以y 1=±3
y1=4，y2= 2.
（3）解：将方程化为x2-7x+4=0，
∵a=1，b= -7，c=4，
∵b2--4ac=33.
， .
18．某印刷厂一月份印了50万册书，三月份印了60.5万册，那么这个印刷厂印数的月平均增长率是多少？
【答案】解：设这个印刷厂印数的月平均增长率为x．
根据题意，得．
解得，，（不合题意，舍去）．
∴．
答：这个印刷厂印数的月平均增长率为10%．
19．有一块长12cm，宽8cm的长方形铁皮，如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为32cm2的无盖的盒子，求截去的小正方形的边长．
【答案】解：设截去的小正方形的边长为x cm，根据题意列方程，得
（12-2x）（8-2x）=32．
整理，得x2-10x+16=0．
解得x1=8，x2=2．
x1=8不合题意，舍去．
答：截去的小正方形的边长为2cm．
20．已知关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根，
（1）求 k的取值范围，
（2）当k=1时,求方程的解。
【答案】（1）解：∵关于x的方程，有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22-4×1×(-k)=4+4k>0
解得:k>-1
∴k的取值范围为k>-1，
（2）当k=1时,原方程为x2+2x-1=0
解得：
∴方程的解为.
21．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取正整数时，求此时方程的根．
【答案】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，解得：，的取值范围为；
（2）解：为正整数，，原方程为，即，解得：，，当取正整数时，此时方程的根为和．
22．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是3和6，则方程就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程是“倍根方程”，则 ；
（2）若一元二次方程是“倍根方程”，求的值；
【答案】（1）8
（2）解：由一元二次方程得，或，一元二次方程是“倍根方程”，或，当时，，，当时，m=n，综上所述，的值为2或．
【解析】（1）解：设一元二次方程两根为和，则，解得，故答案为：8；
23．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）求每件衬衫应降价多少元，能使商场每天盈利1200元；
（2）小明的观点是：“商场每天的盈利可以达到1300元”，你同意小明的说法吗？若同意，请求出每件衬衫应降价多少元？若不同意，请说明理由．
【答案】（1）解：设每件衬衫应降价元，
根据题意，得，
解得舍去，，
答：每件衬衫应降价20元，能使商场每天盈利1200元；
（2）解：不同意，理由如下：
设每件衬衫应降价元，能使商场每天盈利1300元，
根据题意，得，
化简得，
，
原方程没有实数解，
商场每天的盈利不可能达到1300元．
24．已知关于 的一元二次方程 .
（1）求证：不论 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设 是方程的两个根，且 ，求 的值.
【答案】（1）证明：∵
∴不论 k 为何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵
∴
∴
解得 .
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浙教版2022-2023学年八下数学第二章 一元二次方程 培优测试卷1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列关于 的方程是一元二次方程的是（ ）.
A． B． C． D．
2．一元二次方程5x2﹣2x=0，最适当的解法是（ ）
A．因式分解法 B．配方法
C．公式法 D．直接开平方法
3．用配方法解方程x2-4x+2=0，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．，且 D．，且
5．若关于x的方程x2-2mx+8＝0有两个相等的实数根，则(m-1)(m＋1)的值为（ ）
A．8 B．±8 C．7 D．±7
6．若a，b，c是△ABC的三边，则关于x的方程的根的情况是( )
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
7．某超市一月份的营业额为300万元，第一季度的营业额共1200万元，如果平均每月增长率为，则有题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加株花苗，下面列出的方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知等腰三角形 的边长分别是 ， ，4，且 ， 是关于 的方程 的两根，则 的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．7或8
10．设|x2+ax|＝4只有3个不相等的实数根，则a的值和方程的某一个根可能是（ ）
A．a＝4，x＝2+2 B．a＝4，x＝2
C．a＝﹣4，x＝2﹣2 D．a＝﹣4，x＝﹣2
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如果关于x的一元二次方程的一个根为1，那么a的值为 ．
12．若a、b是方程的两根，则 ．
13．已知方程 ，则 的值为 ．
14．已知关于x的方程ax2-bx-c=0(a≠0)的系数满足a-b-c=0，且4a+2b-c=0，则该方程的根是
15．为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对原有的小麦品种进行改良种植研究．在保持去年种植面积不变的情况下，今年预计小麦平均亩产量将在去年的基础上增加a%，因为优化了品种，预计每千克售价将在去年的基础上上涨2a%，全部售出后预计总收入将增加68%，则a的值为 ．
16．在△ABC中，已知两边a=3，b=4，第三边为c．若关于x的方程 有两个相等的实数根，则该三角形的面积是
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．用适当的方法解下列方程：
（1）4(3x 5)2=(x 4)2；
（2）y2 2y 8=0；
（3）x(x 3)=4(x 1) .
18．某印刷厂一月份印了50万册书，三月份印了60.5万册，那么这个印刷厂印数的月平均增长率是多少？
19．有一块长12cm，宽8cm的长方形铁皮，如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为32cm2的无盖的盒子，求截去的小正方形的边长．
20．已知关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根，
（1）求 k的取值范围，
（2）当k=1时,求方程的解。
21．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取正整数时，求此时方程的根．
22．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是3和6，则方程就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程是“倍根方程”，则 ；
（2）若一元二次方程是“倍根方程”，求的值；
23．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）求每件衬衫应降价多少元，能使商场每天盈利1200元；
（2）小明的观点是：“商场每天的盈利可以达到1300元”，你同意小明的说法吗？若同意，请求出每件衬衫应降价多少元？若不同意，请说明理由．
24．已知关于 的一元二次方程 .
（1）求证：不论 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设 是方程的两个根，且 ，求 的值.
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