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浙教版2022-2023学年八下数学第二章 一元二次方程 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、方程是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B、不是整式方程，故此选项不符合题意；
C、方程是只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为2（即“次”）的整式方程，符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意；
B、方程是二元一次方程，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
2．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【解析】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
当a=3时，，方程没有实数根，A不符合题意；
当a=2时，，方程没有实数根，B不符合题意；
当a=1时，，方程由两个相等的实根，C不符合题意；
当a=0时，，方程有两个不相等的实数根，D符合题意．
故答案为：D．
3．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
移项得：，
配方得：，
即．
故答案为：B．
4．一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝2
C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝2
【答案】D
【解析】x（x﹣2）+（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
x﹣2＝0或x+1＝0，
所以x1＝2，x2＝﹣1．
故答案为：D．
5．关于x的一元二次方程x2+4x+（1-m）（m-3）=0，下列选项正确的是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．根的个数与m的取值有关
【答案】C
【解析】 x2+4x+（1-m）（m-3）=0
b2-4ac=16-4（1-m）（m-3）=4（m2-4m+7）=4（m-2）2+12
无论m取何值时4（m-2）2+12＞0即b2-4ac＞0
∴此方程有两个不相等的实数根.
故答案为：C.
6．已知三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．12 B．13 C．12或13 D．15
【答案】B
【解析】∵，
即（x﹣3）（x﹣4）=0，
∴x﹣3=0或x﹣4=0，
解得：x=3或x=4，
当x=3时，则三角形的三边3+3=6，无法构成三角形，舍去；
当x=4时，这个三角形的周长为3+4+6=13，
故答案为：B．
7．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约亿元，第三天票房收入约达到亿元，设票房收入每天平均增长率为，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设平均每天票房的增长率为，
根据题意得：．
故答案为：A．
8．如图，在一块长为 ，宽为 的矩形 空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路.四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为 .设道路宽为 ，则以下方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设道路宽为x m，则中间正方形的边长为4x m，
依题意，得：x（20+4x+12+4x）=40，
即32x+8x2=40.
故答案为：B.
9．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点 ，第 行有 个点 ，前 行的点数和不能是以下哪个结果（ ）
A．741 B．600 C．465 D．300
【答案】B
【解析】前 行的点数之和为 ，
若前n行的点数之和为741，则 ，解得 或 舍 ，即前38行的点数之和为741，故此选项不符合题意；
若前n行的点数之和为600，则 ，解得 ， 不是整数，即不存在前 行的点数之和为600，故此选项符合题意；
若前n行的点数之和为465，则 ，解得 或 舍 ，即前30行的点数之和为465，故此选项不符合题意；
若前n行的点数之和为300，则 ，解得 或 舍 ，即前24行的点数之和为300，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
10．下列关于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的命题中：真命题有（ ）
①若a﹣b+c＝0则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+bx+c＝0两根为1和2，则2a﹣c＝0；③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有实根
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
【答案】A
【解析】a﹣b+c＝0，则b＝a+c，△＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，所以①正确；
∵方程ax2+bx+c＝0两根为1和2，
∴1×2＝ ，则c＝2a，
∴2a﹣c＝2a﹣2a＝0，所以②正确；
∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴ac＜0，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个实根，所以③正确.
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如果关于x的一元二次方程的一个解是，则2023-a-b= ．
【答案】2022
【解析】∵一元二次方程的一个解是，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2022
12．若a是方程2x2-x-5=0的一个根，则代数式2a-4a2+1的值是
【答案】-9
【解析】 ∵a是方程2x2-x-5=0的一个根，
∴2a2-a-5=0，
∴2a2-a=5，
∴2a-4a2+1=-2(2a2-a) +1=-2×5+1=-9.
故答案为：-9.
13．若方程有两个相等的根，则方程的根分别是 ．
【答案】，或，
【解析】∵关于x的方程x2﹣（a﹣3）x﹣3a﹣b2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝[﹣（a﹣3）]2﹣4（﹣3a﹣b2）＝＝（a+3）2+4b2＝0，
∴a＝﹣3，b＝0，
把a＝﹣3，b＝0代入x2+ax+b＝0
得：x2﹣3x＝0，
解得：x1＝0，x2＝3．
故答案为：x1＝0，x2＝3．
14．若关于x的一元二次方程a(x－h)2+k=0的解是x1=－2，x2=1，则关于x的一元二次方程a(x－h+3)2+k=0的解是 ．
【答案】x1=－5，x2=－2
【解析】∵ 关于x的一元二次方程a(x－h)2+k=0的解是x1=－2，x2=1，
∴关于x的一元二次方程a(x－h+3)2+k=0的解为x+3=-2或x+3=1
解之：x1=－5，x2=－2.
故答案为：x1=－5，x2=－2.
15．已知关于x的方程x2－(k+2)x+2k=0，若等腰三角形ABC的一边长a=1，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为 ．
【答案】5
【解析】当b＝c时，Δ＝（k+2）2-8k＝0，
解之：k＝2，
方程化为x2 4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2，
∴△ABC的周长＝2＋2＋1＝5；
当b＝a＝1或c＝a＝1时，
把x＝1代入方程得1 （k＋2）＋2k＝0，
解之：k＝1，
∴x2 3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
不符合三角形三边的关系，此情况舍去，
∴△ABC的周长为5.
故答案为：5.
16．设一元二次方程 的两根为 ，则两根分别与方程系数之间有如下关系： 根据该材料选择：已知 是方程 的两根，则 的值为 .
【答案】4
【解析】∵a，b是方程x2+（m+2）x+1＝0的两根，
∴a2+（m+2）a+1＝0，b2+（m+2）b+1＝0，ab＝1，
∴原式＝[a2+（m+2）a+1﹣2a][b2+（m+2）b+1﹣2b]
＝（0﹣2a）（0﹣2b）
＝4ab
＝4．
故答案为：4.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．按照指定方法解下列方程：
（1）（公式法）；
（2）（配方法）；
（3）（因式分解法）．
【答案】（1）解：，，，，，；
（2）解：方程整理得：，配方得：，即，开方得：，解得：，；
（3）解：方程整理得：，分解因式得：，可得或，解得：，．
18．如图，要在墙边围一个矩形花圃．花圃的一边靠墙（墙的长度不限），另三边用篱笆围成．如果矩形花圃的面积为50平方米，篱笆长20米，求矩形花圃的长和宽各是多少米？
【答案】解：设围成的矩形花圃的宽为x米，则长为米．
根据题意列方程：
解得：
则．
答：矩形花圃的长10米、宽5米．
19．小芳家今年添置了新电器已知今年5月份的用电量是120千瓦时，根据去年5至7月用电量的增长趋势，预计今年7月份的用电量将达到240千瓦时.假设今年5至6月用电量月增长率是6至7月用电量月增长率的1.5倍，预计小芳家今年6月份的用电量是多少千瓦时.
【答案】.解：设今年6至7月用电量月增长率为x，则今年5至6月用电量月增长率为1.5x，根据题意得
120（1+1.5x）（1+x）=240，
解得x1= ，x2=-2（不合题意，舍去），
∴小芳家6月份的用电量为
12×（1+1.5x）=120×（1+1.5× ）=180（千瓦时）
答：预计小芳家6月份用电量为180千瓦时.
20．已知关于x的一元二次方程：x2+（k-5）x+4-k=0
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；
（2）若方程的一个根是2，求另一个根及k的值．
【答案】（1）解：∵△=（k-5）2-4×1×（4-k）=k2-2k+1=（k-3）2≥0，
∴无论k取任何值，方程总有实数根．
（2）解：∵x=2是方程x2+（k-5）x+4-k=0的一个根，
∴22+（k-5）×2+4-k=0，
解得：k=2，
设方程的另一个根为x1，则x x1=4-k，
即2×x1=2，
x1=1，
则方程的另一个根为1．
21．已知、、是的三边长，关于的一元二次方程有两个相等的实数根．
（1）请判断的形状；
（2）当，时，求一元二次方程的解．
【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴△ABC为直角三角形；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∴原方程为，
解得：．
22．已知关于x的方程x2+2mx+n=0（m、n是常数）有两个相等的实数根．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明：∵关于x的方程x2+2mx+n=0有两个相等的实数根，∴Δ=（2m）2-4n=0，∴m2=n；
（2）证明：∵n=m2，∴m+n=m+m2=(m+)2-，∵(m+)2≥0，∴m+n≥-．
23．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件.为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润.据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件.设每件童装降价x元.
（1）每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元.
（3）平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意，每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40-x）元；
（2）解：由题意，（40-x）（20+2x）=1200，
整理，得：x2-30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20，
∵适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，
∴x=20，
答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元.
（3）解：平均每天盈利不能达到2000元，理由为：
由（40-x）（20+2x）=2000，整理，得：x2-30x+600=0，
∵△=（-30）2-4×1×600=-1500＜0，
∴所列方程无实数根，
故平均每天盈利不能达到2000元.
24．已知关于x的方程 .
（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根.
（2）若这个方程的两个实根 ， ，满足 ，求m的值.
【答案】（1）证明：∵ ，
无论m取何实数， 的值都大于零.
∴这个方程总有两个不相等的实数根.
（2）解：∵ ， 是方程的两个实数根，
∴ .
又∵ ，
∴ .
∴ ，代入原方程得：
，
化简得： .
解得： ， .
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浙教版2022-2023学年八下数学第二章 一元二次方程 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝2
C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝2
5．关于x的一元二次方程x2+4x+（1-m）（m-3）=0，下列选项正确的是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．根的个数与m的取值有关
6．已知三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．12 B．13 C．12或13 D．15
7．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约亿元，第三天票房收入约达到亿元，设票房收入每天平均增长率为，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在一块长为 ，宽为 的矩形 空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路.四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为 .设道路宽为 ，则以下方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
（第8题） （第9题）
9．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点 ，第 行有 个点 ，前 行的点数和不能是以下哪个结果（ ）
A．741 B．600 C．465 D．300
10．下列关于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的命题中：真命题有（ ）
①若a﹣b+c＝0则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+bx+c＝0两根为1和2，则2a﹣c＝0；③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有实根
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如果关于x的一元二次方程的一个解是，则2023-a-b= ．
12．若a是方程2x2-x-5=0的一个根，则代数式2a-4a2+1的值是
13．若方程有两个相等的根，则方程的根分别是 ．
14．若关于x的一元二次方程a(x－h)2+k=0的解是x1=－2，x2=1，则关于x的一元二次方程a(x－h+3)2+k=0的解是 ．
15．已知关于x的方程x2－(k+2)x+2k=0，若等腰三角形ABC的一边长a=1，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为 ．
16．设一元二次方程 的两根为 ，则两根分别与方程系数之间有如下关系： 根据该材料选择：已知 是方程 的两根，则 的值为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．按照指定方法解下列方程：
（1）（公式法）；
（2）（配方法）；
（3）（因式分解法）．
18．如图，要在墙边围一个矩形花圃．花圃的一边靠墙（墙的长度不限），另三边用篱笆围成．如果矩形花圃的面积为50平方米，篱笆长20米，求矩形花圃的长和宽各是多少米？
19．小芳家今年添置了新电器已知今年5月份的用电量是120千瓦时，根据去年5至7月用电量的增长趋势，预计今年7月份的用电量将达到240千瓦时.假设今年5至6月用电量月增长率是6至7月用电量月增长率的1.5倍，预计小芳家今年6月份的用电量是多少千瓦时.
20．已知关于x的一元二次方程：x2+（k-5）x+4-k=0
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；
（2）若方程的一个根是2，求另一个根及k的值．
21．已知、、是的三边长，关于的一元二次方程有两个相等的实数根．
（1）请判断的形状；
（2）当，时，求一元二次方程的解．
22．已知关于x的方程x2+2mx+n=0（m、n是常数）有两个相等的实数根．
（1）求证：；
（2）求证：．
23．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件.为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润.据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件.设每件童装降价x元.
（1）每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元.
（3）平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由.
24．已知关于x的方程 .
（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根.
（2）若这个方程的两个实根 ， ，满足 ，求m的值.
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