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期高去识,务生活中的数学———一堂数学活动尽管数学起源于生产实践，但历经数千年的演变发展，现行课本中的数学知识大多已完全脱离了最初蕴育数学发展的基壤，使得绝大多数学生认为数学是抽象的、没有生机的学问。难道数学真是静止远离生活的科学吗？不。数学的发展之所以几乎与人类的文明同步，就是因为它充满了生机与活力。解放前，在城镇的大路旁边，有时见到各种碰运气、赌输赢的小摊。其中的一种，叫做转糖摊。笔者在初一代数式教学中，模拟了“转糖摊”小游戏，上了一堂生动活泼的数学活动课，完成了一次对数学知识的探索、发现过程，使学生真正体验到“数学为之用”的道理。
【课前准备】一块圆形纸板，一根粗铁丝，一根线绳，绳头系一重物。
【道具制作】在圆形纸板上画12个扇形格子，顺次序编上号，做成一个圆盘；粗铁丝穿过圆盘中心，做成一个可以转动的轴；轴的上端向外垂直伸出一根悬臂（可将粗铁丝折成90°做成），悬臂端吊一根绳子，绳头上有一重物做为指针。
学生课前就知道要做游戏，一直不知道做什么游戏，心存悬念，充满热情地帮助教师制作道具。
【虚拟游戏规则】假设在圆盘的1号、3号、5号、7号、9号、11号格子里放上价值10元的物品，在2号、4号、6号、8号、10号、12号格子里均放上价值5角钱的物品。谁交上1元钱（假设），就可转一下圆盘，等停转后，指针指到哪一格，便根据那格的数，从下一格起，按格往下数这个数，数到哪一格，放在格里的物品就归谁。
教师边演示边说明游戏规则，学生热情高涨，跃跃欲试，心想：盘子上，单数和双数格子各占一半。数到双数得“5角钱”，虽然亏了；数到单数得“10元钱”，可就赚了。“1元钱”不多，可以碰碰运气。于是争相排队等候，看看谁能得到“10元钱”。
一个学生摇了个3，其它同学都积极参与，帮他算出是6，“1元钱”换了“5角钱”，赔了。
第二个学生马上又摇了个6，结果师生共同算出12，又赔了。这时在众多挤着向前一试的同学后面，就有同学有疑问了，开始动脑了。又几个同学试过了，还是没有得到“10元钱”。只见有几个同学脸上露出了笑容，齐声喊到“没有10元钱，没有10元钱，老师骗人，老师骗人”，而其它同学有的似乎也明白了，有的还想试试，有的却愣住了。
师：为什么说老师骗人呢？
生1：按照这样的数法，是怎样也得不到“10元钱”。
师：为什么呢？
生2：单数的格子里放着价值10元钱的物品，双数的格子里放着价值5角钱的物品。按照这样的数法，是怎样也数不到单数格子上去的。
师（及时点拔）：单数、双数也就是……
生3：单数也就是奇数，双数也就是偶数。
师：为什么数不到奇数格子上去呢？
生4：我一个一个地试过了，不管我摇得几，最后都数到偶数格子了。
师：为什么会出现这种情况呢？
生：……（说不清）
还有部分同学在皱着眉头不知所向。于是教师边板演边说：假如我摇了个奇数3，3+3＝6,6是个偶数；假如我摇了个偶数4，4+4＝8,8也是个偶数。
生（抢答）：我明白了，道理很简单，因为：
奇数+奇数＝偶数；
偶数+偶数＝偶数。
这就是说，不管指针指在奇数还是偶数，最后数到的总是偶数格，赚的可能性是零。
全体学生都露出了笑容，同学们明白了。师把结论写在黑板上。
师：解放前，在城镇的大路旁边，经常见到各种碰运气、赌输赢的小摊。我模拟了其中的一种，叫做转糖摊，却被同学们识别了我的“诡计”。说明我们同学学了数学，就会用数学。
教师及时给学生以成功的喜悦，使学生的热情达到高潮。进一步引导学生回顾小学所学习过的奇数偶数的概念，并运用刚刚学到的代数式的知识，来证明上述结论确实成立；同时又提出奇数+偶数的疑问，并经过证明得出“奇数+偶数＝奇数”的结论。
师：通过这节活动课，同学们学到哪些知识？还有哪些想法？
生1：我知道了奇数+奇数＝偶数；偶数+偶数＝偶数； 奇数+偶数＝奇数，还复习了奇数偶数的概念。
生2：小学的时候，都是老师教给我们一些知识，现在我明白了，有时我们自己也可以发现一些道理。
生3：不管什么道理，都得经过证明，才能说它是正确的还是不正确的。
生4：老师，我还发现，我们学了数学，要会用数学才行，否则我们不就“上当”了吗？
生5：我还可以利用奇数+偶数＝奇数来改造一下这个游戏。我把价值10元钱的物品放在偶数格子里，把价值5角钱的物品放在奇数格子里。规定指针指在哪一格，便根据那格的数，从这一格起，按格往下数这个数。
…… ……
同学们畅所欲言，纷纷发表自己的见解，直到下课同学们还在讨论。
纸上得来终觉浅，绝知此事须躬行。在日常教学中我们要从多方位、多角度着手培养学生用数学的意识，不能单纯看重解应用题和常规建模教学，而将“数学之为用”论为新的“应试”训练，达不到提高学生综合素质的目的，难以真正实现培养学生“用数学于现实世界”的意识和能力。我们应通过创造性的数学活动，让数学应用意识化为信念，伴随学生的学习与生活，成为终生享用的财富。
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5巧算生活中的数学问题
教学目标：
1. 使学生理解加减法中通过凑整来进行简算的算理，掌握简算的技巧，并且能够熟练、灵活地进行简算。
2. 使学生体会简算的必要性，感受到生活中处处存在数学问题，体验数学知识的价值性。
3. 培养学生的估算能力和实际应用知识的能力.
4. 培养学生多读书,读好书的习惯.
教学媒体：多媒体课件、计算器。
教学重点：加减法的一些简算技巧
难 点：理解简算的算理
教学过程：
课前谈话：
1、同学们,冬天你们喜欢什么运动
电脑演示：冬天有很多人喜欢爬山，如果你是人群中的一员，要登上顶峰,你选择哪条路线 请说明理由。
我们每个人可以根据自己的实力,选择适合自己的捷径。
2、通过选择路线，你受到什么启发？
学习中有过类似的情况吗？哪些计算比较简单呢？
师：好了，可以上课了吗？
一、 创设情境、激发兴趣
师：国庆节放假期间，有三个好朋友各带100元钱去买课外书，他们是谁呢？
最后，三个人各买了一套《蜡笔小新》，他们还剩多少钱呢？你是怎样算的？
小明是怎样付的钱呢？小明剩下的钱还可以怎样计算呢？
70－69＋30＝31（元）
师：实际是这样的吗？请看屏幕
电脑演示：小明付70元，再找回1元，把1元与30元和起来，就是剩下的钱。
咱们利用实际的付钱问题，巧妙的帮小明算出了还剩的钱数。
二、 自主探索、感受新知
1、 确定方案：
同学们，你们喜欢看课外书吗？我的女儿也特别喜欢看,现在有这样三套书正在特价出售
电脑演示：《老夫子》 197元
《哈利波特》 99元
《数码宝贝》 75元
师：请你们帮我选两套,再帮我估计一下大约花多少钱，好吗
问:谁愿意帮我？你是怎么想的
板书：197＋99 197＋75 99＋75
2、 计算
师:下面请各组商量一下,从这三种方案中任选一种,自己先想一想怎样计算 然后把想法在组内交流一下,把你们认为比较好的方法都写在作业纸上。给大家5分钟时间.
学生计算,教师巡视指导.
师:哪个组先来汇报 你们是怎么想的
还有哪个组也选的是这两套书 有补充意见吗
其他组说说你们的方案
板书：＝200＋99－3 =200+75-3 =100+75-1
＝197＋100－1 =197+3+72 =100+1+74
＝200＋100－4 =197+70+5
＝197＋3＋96
＝196＋（1＋99）
＝(197+3)+(99-3)
师:这个组想出了这么多种方法,说明他们合作的好,我们为他们鼓鼓掌好吗
师:虽然咱们各组选的方案不同,但是计算时有一个共同点是什么
(凑整)
谢谢同学们的热心帮忙!那我就花296元买前两套书吧.!
板书:296
3、 减法
（1）师：那我还剩多少钱呢
噢，你真棒！你提醒了我!我忘了告诉你们我带了360元.
板书:360
（2）计算
要求：下面请你先在纸上试着算一算我还剩多少钱，然后在组内交流一下，议 一议还有没有别的方法。
师：哪个组愿意先说说 有不同意见吗 说说你们是怎么想的
板书: 360-296
=360-300+4
=360-300-4
到底是＋4还是－4呢 请各组结合实际讨论一下.
实际是这样吗 请看屏幕
电脑演示：付300元钱，又找回4元，最后还剩64元。
三、 揭示课题、形成能力
师：今天你们帮老师解决的是什么问题
那课题就叫巧算生活问题,好吗
板书课题：巧算生活问题
计算时是怎样巧算的？生活中遇到过这种情况吗
(那课题就叫通过凑整来解决问题,好吗 )
解决问题
加减法在巧算时有什么不同点呢？结合例子具体说说
四、 拓展练习、提高能力
请给左面的算式找到好朋友，用线连起来。
129＋88 350－200＋2
276＋103 276＋100－3
350－198 130＋88－1
430－207 430－200－7
130－87 130＋90－3
五、 全课总结
师：本节课你体会最深的是什么？学习上有什么提高？
教学理念：
1、学生主动参与教学过程，是有效学习的必要条件。
好的教学模式在于激发学生自己去学数学，只有当学生通过自己的思考，建立起自己的数学理解力时，才能真正学好数学。只有当学生用内心的创造和体验的方法来学习数学时，才能牢固地掌握数学，学生一旦体验到了学习的乐趣，就会产生获得更多成功的欲望，更为主动的参与，更为积极的思维，全身心的投入到学习过程中过去。
2、贴近数学现实。
请学生帮老师选书正是以学生所具有的“数学现实”为直接出发点，使学生按各自不同的认知方式提炼出了例题模型，符合每一个学生的实际，每个学生都体验到创造的乐趣、学习情绪自然高涨。
3、实现开放教学。
通过选书来实施课堂教学题材的开放，然后以学生讨论汇报的方式进行教与学之间信息和情感的多向交流，实现多边交往互动。此外，这一教学方式又必将促使学生在以后的学习和生活中，勤于积累相关学习和生活的经验，从而把数学学习由课堂引向课外，实现“大课堂学习”。
4、算法多样化。
《义务教育阶段数学课程标准（实验稿）》中关于计算教学改革的一个亮点是“算法多样化”。提倡并鼓励算法多样化可以矫正过去计算教学中算法的“一统化”，有利于“不同的学生学习不同的数学”，有利于“不同的学生在数学上得到不同的发展”。
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4算24点
教材简析：这次实践活动是一次玩扑克牌的数学活动，学生要根据3张或4张牌上的数选择运算方法计算出24来。这不仅可以加强加、减、乘、除的口算练习，而且以激励学生主动探索解决问题的策略，培养合作精神和创新意识，还可以激发学生学习数学的兴趣，使他们更喜欢数学。
教学目的：
1、通过实践活动加强加减乘除的口算练习。
2、通过活动激励学生主动探索解决问题的策略，培养合作精神和创新意识，激发学生学习数学的兴趣。
教学重、难点：
重点：了解计算24点的方法。
难点：用四张牌算24点
教具：A—9的扑克牌
学生已有知识分析：
学生能进行加减乘除的计算，但计算的正确率、计算速度还有待于提高，通过本次活动不但要让学生在玩的过程中提高运用速度和正确率，还要提高运算的灵活性。
设计意图：经调查发现很多学生已经玩过24点，都知道游戏规则，但没人知道玩这项游戏的秘诀与窍门。由此为了激发学生的学习兴趣，教师不是直接告诉学生算24点的游戏规则，而是让学生谈谈游戏规则，同时又抓住学生对玩游戏的秘诀不了解，来激起学生的探索意识、探索兴趣。
教学过程：
（一）导入新授：
你们都学过哪些运算？
根据学生的回答板书：加、减、乘、除
今天我们就来应用这四种运算玩一个游戏：算24点
有谁玩过这种游戏？你知道玩24点的规则吗？
1、明确游戏规则
指名交流总结：每人准备A—9九张扑克牌，把A看作1，可以拿出3张牌，也可拿出4张牌，根据牌上的数，用加减乘除进行计算，每个数只能计算一次，算出得数为24，如果不能算出24，就算和牌，每人都把自己打出的牌收回去。如果能算到24，谁先算出得数24就算获胜。谁的获胜次数最多谁就获得总的胜利。
你知道玩24点的秘诀吗？（把牌上的数字加减乘除，算出结果是24）那就让我们一起来寻找算24点的秘诀吧！
2、用三张牌算24点
是出示7、6、3三张牌，我们就先以这三张牌为起点，请小组中一起讨论如何把
这三张牌上得数字，进行加减乘除算出24 。
生小组合作算24点，师巡示指导指名交流，师板书总结。
再出示三组数①2、3、4②9、8、3③3、5、9让学生边算24边寻找算24的秘诀。
学生计算的方法多种多样，他们发现多数可以凑3和8，4和6，应用口诀进行计算，不能应用口诀的再想办法进行加、减、乘、除混合算。
以小组为单位互相合作，每人拿一张牌，算24点，看看你们刚刚探讨出的方法是否可行。
3人小组为单位进行比赛用三张牌算24点，师巡视指导。
3、用四张牌算24点
用三张牌算24点的方法你们都学会了，那增加一点小难度，用四张牌算24点你们还会吗？
指名四位学生出牌，4人小组探讨计算的方法，指名交流，通过尝试计算、交流使学生发现用四张牌计算方法与用三张牌计算是一样的。
师出牌生独立计算。
（二）试一试
1、 1、以小组为单位完成书上的试一试。
1、 2、开展比赛：以四人小组进行算24点的比赛，比赛获胜次数最多的学生能得到一支笔。
菠萝的价格问题
菠萝又叫凤梨，由于其美丽的金黄色果肉和独特鲜美的味道，倍受顾客的青睐。近来，正值多产菠萝的季节，市场上随处可见出售菠萝的摊位。
众所周知，菠萝除了诱人的香气，爽口的味道外，最著名的，便是那一身顽固不化，令人望而生畏的果皮了。为了方便顾客，商家自然会想到要提供去皮服务。所以，有很多摊位都将菠萝分为两类来卖：带皮的和去皮的。
然而有很多地方，在出售两类菠萝的同时，还提供免费削皮的服务。也许是因为去皮的菠萝定价不合理，也许是因为人主观上总喜欢低价的东西，使得很多人宁可多花时间等待削皮，也不愿去过问那些已去皮的菠萝。
想要让那些去皮菠萝不会无人问律，就要定价合理，也就涉及到那些刺人的皮与菠萝质量的关系，下面是一些统计数据：
菠萝 A B C D E
去皮前： 2.28斤 1.7斤 3.56斤 2.6斤 4.l斤
去皮后： 1.5斤 1.12斤 2.3斤 1.67斤 2.68斤
经计算为34.2％；=35.3％；为35.4％；为35.77％，为34.63％；
粗略估计，菠萝皮的百分比应该大约存在一个定值．由求平均数求得为35.06％。由此可知，一个菠萝皮的质量约占总质量的35％。
由上述可知，果肉的质量约占总质量的65％。要求去皮菠萝的定价，即为求果肉的质量如何分担带皮时菠萝的总价，因此得出：
其中为去皮菠萝的定价，M为带皮时菠萝的质量，P为带皮时的单价。运用此式即可在忽略人工削皮带来误差的情况下，基本合理地由带皮时菠萝的单价推算出去皮菠萝的定价。
以上仅为一种较粗略的方法，顾客也可以用此式大致估算出，去皮菠萝的售价是否合理。
作者也曾在街市上见到手捧已去皮菠萝的小贩，高声叫嚷着5元钱两个，5元钱两个。这是不是最令人动心的价格呢？
每年菠萝销售期，处在2—5月之间，按一般商品的价格涨落规律，在刚上市或快过季时，售价较高，中间多货多销期，售价处于最低位。以今年价格为例：2月初刚上市时，售价高达2.5元／斤，而近期已降到1.3元／斤。据悉，批发价已降为0.9元／斤。按去年的涨落时间分析，在5月底，将回升为2元／斤左右。以上所述，列表可表示为：
2月第一
个10天第二个
10天第三个
8天3月第一
个10天统计至今2.5元/斤2.3元/斤2.1元/斤1.8元/斤1.3元/斤
（以上数据来自对一个商场菠萝售价在10天内的平均售价可能偶有不合理性）
设两个菠萝的质量和为3斤，第一期：；第二期：；第三期：；第四期：；第五期：。
表面来看，刚才所说的5元2个菠萝是一个很诱人的价格，但不可忽略的是菠萝的质量。以上所提供的结果，都是在两个质量和为3斤的基础上计算。可菠萝的密度，中间大，四周小，体积又很不规则，从表面很难看出菠萝的实际重量是多少。
于是想到在研究菠萝体积的手量法。一个成人，（男）拳头的宽度约为10cm，大拇指宽度大约为2.5cm，食指宽度大约为2cm；（女）拳头的宽度约为9.5cm，大拇指宽度约为2cm，食指宽度大约为1.5cm（拇指宽度为拇指第一关节的宽度）。人的柞长基本相同，最大约为20cm。
一个2斤的菠萝，从底部质量，约为一拳宽加上一拇指宽，果肉纯高，约为柞长即20cm左右。一个一斤的菠萝，从底部度量，约为一拳宽，果肉纯高，约为15cm大约是从食指到小指的距离。
由以上即可估算出个数出卖菠萝的大小，大约了解到其价格是否合理。值得注意的是，不能以眼为度（除非有极富经验）国为菠萝基本为圆柱形，看上去很大，有时质量很小。
仅以此文，献上作者对于菠萝售价与购买的一些研究和意见，只望菠萝可以有更好的市场，让更多人享受其独特的滋味。
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3等差数列
教学目标
1．明确等差中的概念．
2．进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式
3．培养学生的应用意识．
教学重点
等差数列的性质的理解及应用
教学难点
灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
教学方法
讲练相结合
教具准备
投影片2张(内容见下面)
教学过程
(I)复习回顾
师：首先回忆一下上节课所学主要内容：
1． 等差数列定义： （n≥2）
2． 等差数列通项公式： （n≥2）
推导公式：
（Ⅱ）讲授新课
师：先来看这样两个例题（放投影片1）
例1：在等差数列 中，已知 ，
，求首项 与公差
例2：梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。
1． 解：由题意可知
解之得 即这个数列的首项是-2，公差是3。
或由题意可得： 即：31=10+7d
可求得d=3，再由 求得1=-2
2． 解设 表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知：
a1=33, a12=110，n=12
∴ ,即时10=33+11
解之得：
因此，
答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.
师：[提问]如果在 与 中间插入一个数A，使 ，A， 成等差数列数列，那么A应满足什么条件？
生：由定义得A- = -A
即：
反之，若 ，则A- = -A
师：由此可可得： 成等差数列，若 ，A， 成等差数列，那么A叫做 与 的等差中项。
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中
5是否和风细雨的等差中项，1和9的等差中项。
9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。
看来，
从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q
则，
生：结合例子，熟练掌握此性质
师：再来看例3。（放投影片2）
生：思考例题
例3：已知数列的通项公式为：
分析：由等差数列的定义，要判定 是不是等差数列，只要看 （n≥2）是不是一个与n无关的常数。
解：取数列 中的任意相邻两项 与 （n≥2），
则：
它是一个与n无关的常数，所以 是等差数列。在 中令n=1，得：
，所以这个等差数列的首项是p=q，公差是p.看来，等差数列的通项公式可以表示为：
，其中 、 是常数。
（Ⅲ）课堂练习
生：（口答）课本P118练习4
（书面练习）课本P117练习2。
师：给出答案
生：自评练习
（Ⅳ）课时小结
师：本节主要概念：等差中项
另外，注意灵活应用等差数列定义及通项公式解决相关问题。
（Ⅴ）课后作业
一、课本P118习题3.2 8，9
二、1．预习内容：课本P119—P120
2．预习提纲：①等差数列的前n项和公式；
②等差数列前n项和的简单应用。
教学后记谈 谈 利 率 的 数 学 模 型
1999年中国人民银行对储蓄利率进行了调整,下. 一般地,如果1年期的年利率为p%,那么本金
表为调整后的定期存款利率表: 100元存m年,分n次存,则到期后本利和为
| 存 期 | 3个月 | 6个月 | 1 年 | 100(1+p%m/n)n,
| 月 利 率(%0〉| 1.65 | 1.80 | 1.875 | 因为 lim 100(1+p%m/n)n=100ep&m ,
| 年利率(%0) | 1.98 | 2.16 | 2.25 | 因此, m年定期的利率不能低于
|存 期| 2年|3 年| 5 年 | pm=[100ep&m-100]/100]/m
| 月 利 率(%0〉|2.205 | 2.25 | 2.40 | =(ep&m –1)/m.
| 年 利 率(%0〉| 2.43 | 2.70 | 2.88 | 而（*）式正是理论年利率的数学模型.我们利用这个
从表中我们不难发现,6个月定期的利率比 3个 数学模式计算一下 1年期、2年期、3年期、5年期
月定期的利率高,1年期的利率比6个月的高, 2年期 的理论年利率.年期的实际年利率2.25%〉.
的比1年期的高,...,5年期的比3年期的利率高. 也 当 m=1 时,p1=2.28%;
就是说,存期越长,利率越高.你可能以为这仅仅是银 当 m=2时, p2=2.30%;
行为了鼓励人们选取较长期限的存款方式,但实际并 当 m=3时, p3=2.33%;
不尽然.事实上,储蓄利率理应这样制定.下面我们从 当 m=5时, p5=2.38%.
数学的角度说明一下其中的道理,看看利率是根据什 列表对照如下:
么数学模型制定的. | 存期 |1年期 | 2年期 | 3年期| 5年期|
假设不论存期长短,年利率都相同.为了便于说 |实际年利率(%〉|2.25 | 2.43 |2.70 | 2.88 |
明问题,我们不妨假设年利率都是15%,会产生什么 |理论年利率(%〉|2.28 | 2.30 |2.33 | 2.38 |
问题呢
若1000元一次存5年,则到期连本带利即本利 从表中可以看出,两年以上的定期存款年利率的
和为1000（1+15%×5〉=1750.00(元〉； 实际值比理论值都高,这也是科学的,符合实际的,它
若1000元存5年,分两次存(即存两年半后,再连 保证了存较长的时间段,比在这个时间段内频繁转
本带利转存两年半,以下类似),则到期本利和为 存的利息收益要高.可见国家在制定利率时是考虑
1000(1+15%×5/2)21890.63(元)； 了上述因素的, 是有科学根据的. 当然, 如果年利
若1000元存5年,分三次存,则到期后本利和为 率p很低,那么即使各档存期的年利率总保持不变,
1000(1+15%×5/3)31953.13(元〉; 与存期长短无关,对个人储户而言,频繁地存入和取
出也意义义不大.因为
若1000元存5年,分n次存,则到期后本利和为
1000(1+15%×5/n)n lim(100 ep&m /100(1+p%m)=1
p0
而 1im1000(1+15%×5/n)n = 1000e75% 2117.00. 即在年利率很低的情况下, 100 元本金存m年,频繁
n
可见, 同样是存5年, 分两次存,不过多一道手 存入和取出与直接存m年,效果差不多.也就是说,前
续,就多得利息140.63元;分三次存,多两道手续,就 面提到的因素对利率的影响正随着利率的不断下调
多得203.13元;...;当转存的次数逐渐增大时,本利 而越来越小. 从中国人民银行 7次下调利率可以看
和就逐渐趋近于2117.00元,即利息比本金1000元还 出,存期越长,利率越高,不过是国家在制定利率时仍
多.因此, 储户为了追求高利息,就会不厌其烦地频 然沿用了上述数学模型,而并非完全是鼓励人们存较
频取出再存人,造成储蓄的混乱.为了避免出现这种 为长期的储蓄,恰恰相反,国家是希望藉此剌激人们
情况,如果1年期的年利率为15%, 则5年期的年利率 的消费.
不能低于 [(2117.00-1000)/1000]/5=22.34% .
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2等奖
分别
概
安全
活动数 列
教学目标
1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同
2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项
3．培养学生推理能力．
教学重点
根据数列的递推公式写出数列的前几项
教学难点
理解递推公式与通项公式的关系
教学方法
启发引导法
教具准备
投影片1张(内容见下页)
教学过程
(I)复习回顾
师：上节课我们学习了数列及有关定义，下面先来回顾一下上节课所学的主要内容．
师：[提问]上节课我们学习了哪些主要内容？
生：[回答]数列、项、表示形式、通项公式、数列分类等等．
(Ⅱ)讲授新课
师：我们所学知识都来源于实践，最后还要应用于生活。用其来解决一些实际问题．
下面同学们来看此图：钢管堆放示意图(投影片)．
生：观察图片，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：1 4＝1+3
第2层钢管数为5；即：2 5＝2+3
第3层钢管数为6；即：3 6＝3+3
第4层钢管数为7；即：4 7＝4+3
第5层钢管数为8；即：5 8＝5+3
第6层钢管数为9；即：6 9＝6+3
第7层钢管数为10；即：7 10＝7+3
若用 表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且 ≤n≤7）
师：同学们运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数。这会给我们的统计与计算带来很多方便。
师：同学们再来看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律2，建立模型二）
生：自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
即
依此类推： （2≤n≤7）
师：对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。
一、 定义：
递推公式：如果已知数列 的第1项（或前几项），且任一项 与它的前一项
（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
说明：递推公式也是给出数列的一种方法。
二、 例题讲解
例1：已知数列 的第1项是1，以后的各项由公式 给出，写出这个数列的前5项。
分析：题中已给出 的第1项即
递推公式：
解：据题意可知：
例2：已知数列 中， ≥3）
试写出数列的前4项
解：由已知得
（Ⅲ）课堂练习
生：课本P113练习 1，2，3（书面练习）
（板演练习1.写出下面各数列的前4项，根据前4项写出该数列的一个通项公式。
（1） ≥2）
（2） ≥3）
师：给出答案，结合学生所做进行评析。
（Ⅳ）课时小结
师：这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，课后注意理解。注意它与通项公式的区别在于：
1． 通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系。
2．
对于通项公式，只要将公式中的n依次取胜，2，3…即可得到相应的项。而递推公式则要已知首项（或前n项），才可求得其他的项。
（V） 课后作业
一、课本P114习题3.1 3，4等差数列的前n项和
教学目标
1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式．
2．了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.
教学重点
熟练掌握等差数列的求和公式
教学难点
灵活应用求和公式解决问题.
教学方法
讲练相结合
教具准备
(I)复习回顾
师：（提问）等差数列求和公式？
生：（回答）
（Ⅱ）讲授新课
师：结合下列例题，掌握一下它的基本应用
例1：求集合 的元素个数，并求这些元素的和。
解由m=100，得
满足此不等式的正整数n共有14个，所以集合m中的元素共有14个，从小到大可列为：
7，7×2，7×3，7×4，…7×14
即：7，14，21，28，…98
这个数列是等差数列，记为 其中
答：集合m中共有14个元素，它们和等于735
例2：已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？
分析：若要确定其前n项求和公式，则要确定 由已知条件可获两个关于 和 的关系式，从而可求得.
解：由题意知 ，
代入公式 , 可得 解得
师：看来，可以由S10与S20来确定Sn。
例3：已知数列 是等差数列，Sn是其前n项和，
还应证：S6，S12-S6，S18-S12成等差数列，设 成等差数列吗？
生：分析题意，解决问题.
解：设 首项是 ，公差为d
则：同理可得 成等差数列.
（Ⅲ）课堂练习
生：9板演练习）课本P122练习本，5，6
师：给出答案，讲评练习.
(Ⅳ)课时小结
师：综上所述：①灵活应用通项公式和n项和公式；
② 也成等差数列.
（V）课后作业然对称
一、课文说明
在自然界里，在日常生活中，有许许多多的物体都是对称的，只是儿童不注意、不知道。例如，植物的叶就是对称生长的；昆虫的触角、眼、足，鸟的翅膀，鱼的胸鳍、腹鳍，哺乳动物的眼、耳、足等，也都是对称生长的；还有家中的物品，建筑物的设计等，也往往是对称的。指导低年级儿童了解什么是对称，有利于培养他们的审美能力，提高他们的文化素质，对他们今后的工作（如从事美术、建筑等工作）也是十分有益的。
本课是选讲课，课文可以分为三部分。
第一部分是指导儿童观察日常生活中常见的物品（如衣服、花瓶）和小动物（如蜻蜓、螃蟹、虾），使他们认识这些物体左右两边的形状、大小和排列都是一一相对的，从而使儿童得到关于对称的感性认识。课文中给出的在中轴线处对折的蝴蝶图，是为便于儿童理解对称现象而设计的。
第二部分是通过一幅画有多种物体的图，让学生从中找出具有对称现象的物体，从而巩固和加深学生对对称这一现象的理解和认识。这幅图中给出的对称的物体是：蟋蟀、七星瓢虫、蚂蚁、乌龟、小亭子；不对称的物体是：蜗牛、一头沉写字台、植物的叶。
第三部分课文设计了一个连线活动。把三只小动物（蜜蜂、蛾、蝉）的图形左右两半部拆开，让学生仔细观察后，利用所学的对称知识，把它们用连线的办法重新组成3只小动物。这一活动也可以巩固前面学习的对称知识，同时增加学生的学习兴趣。
二、目的要求
1．指导学生通过对日常生活用品和常见动物的观察，知道什么是对称。
2．培养学生的审美能力。
三、课前准备
教师准备：1．挂图或幻灯片：花瓶、衣服、蜻蜒、螃蟹、虾；2．挂图或幻灯片：各种对称的和不对称的物体；3．能在中轴线处对折的蝴蝶图。
四、教学过程
导入新课
启发谈话：在课堂上谁爱动脑筋，并勇敢地回答问题，谁就越学习越聪明；谁回答的问题最多、最正确，谁就最聪明。下面我看看哪些同学最聪明。（通过谈话，调动学生学习本课的积极性、主动性）
学习新课
1．指导学生认识什么是对称
（1）出示花瓶实物
提问：你们看看花瓶左右两边的样子相同吗？（要求学生答出：花瓶两边包括“耳朵”的形状、大小都相同）
（2）出示衣服的幻灯片
提问：这件衣服左右两边的样子相同吗？（要求学生答出衣身、衣袖的样子、大小完全一样）
……（用同样的方法学习蜻蜒、螃蟹、虾）
小结：（出示能在中轴线处对折的蝴蝶图）大家看这张蝴蝶图，老师从中间把它对折，对着阳光（或灯光）你们看到了什么情况？像蝴蝶以及前面讲过的五种物体这样，如果从中间折起来，左右两边能完全重合，甚至颜色、斑点、花纹等都完全一样，这样的物体或图形，我们就说它是对称的。对称的东西都好看。
2．指导学生找出图中对称的物体
（1）启发谈话：大家学习得都很好，都能动脑筋，还能勇敢地回答问题。总之，表现得都很聪明。现在我有个问题想来考考你们，看看谁学习得最好。
提问：请大家说说老师的身体是不是对称的？为什么？
（要求学生答出：臂、腿、手、脚、耳、眼、眉毛、鼻孔等左右两边都一样）
（2）继续谈话：第一个问题你们答得不错。看谁能回答第二个问题。
出示：挂图或幻灯片（或者看教科书第47页）
提问：这些物体哪个是对称的？为什么？
小结：教师将对称的物体复述一遍。表扬掌握得好的学生。
巩固、应用
1．教师概述本课所学内容
2．指导学生画连线
启发谈话：刚才的问题很难，大家答得都很好。下面的活动看谁做得又快、又正确。
画线：看教科书第48页，书上画了三只小动物，它们的左右两边没有画在一起，你能不能按照今天学的对称知识，找到同一只动物的左右两边，然后用铅笔画条直线把它们连起来。
汇报：学生汇报是怎样画的线，并说出三只动物的名称。
小结：教师小结活动情况，表扬完全答对的学生。
3．指导学生给本课起名字。
（1）提问：谁能说说这节课我们学习的是什么？谁能给这节课起个名字？
（2）教师板书课题，并让学生读两遍。
布置作业
在自己家里和上学的路上，注意观察有哪些东西是对称的。
五、参考资料
对称 是指以一条线为中轴，轴的左右两侧，或上下两侧，或前后两侧的图形或物体，在形状、大小和排列上是一一相对的。对称是大部分生物形体结构的普遍形式，如人体的眼、耳、四肢就体现了左右两侧形体上的对称。人类创造的大多数生产工具和交通工具在形体结构上也都是对称的。建筑物的外形和内部装饰也都讲究对称。
六、课后小记路
雪段**生活中的数学**
今天星期几？
今天星期几？噢，你可能忘了，拿年历卡
来看一看就知道了。去年的元月20日是星期几？
拿去年的年历表来查一查也可以知道。那么，
公元1954年的2月16日是星期几呢？
这个问题不简单，一下子可不容易查到。
下面这个公式可用来对某年某月某日是星期
几进行推算，它是根据历法的原理得出来的：
S=x-1+[x-1/4]-[x-1/100]+[x-1/400]+c
其中，x表示公元年数，C表示从这年元旦
算到这天为止（包括这天）的天数，[x-1/4]
表示x-4/4的整数部分，余类同。求出S后再用7
来除，如结果恰好为整数，这一天就是星期日；
如余1，则这一天就是星期一......依此类推。
如1954年2月16日是星期几？
先计算出S来。
S=1954-1+[1954-1/4]-[1954-1/100]+
[1954-1/400]+47 =1953+488-19+
4+47=2473.
2473÷7等于353余2，这一天是星期二。
你自己不妨确定几个日子，然后用这个公式
算算看，并查查年历，看看自己的计算是否正确。
**生活中的数学**
请你找一找
某商场采购员到手表厂批发，10箱全钢手表，
提货时由于保管员粗心大意，误将１箱半钢手表
混了进去。全钢手表与半钢手表的外形颜色一模
一样，只是它们的重量不一样。全钢手表每只重
１００克，半钢手表每只重９０克。亲爱的读者，
你能不能只称一次，将１箱半钢手表从１０箱中
找出来。
【解析】将１０箱手表从１到１０编号，然
后第一箱取１只，第二箱取２只，第三箱取３只
……第十箱取１０只，共取出５５只表。如果这
５５只表都是全钢表，则它们的重量为５５００
克，因此，若称得结果比５５００克少１０克，
这说明５５只表中有一只半钢表，所以第一箱是
半钢手表；如果少２０克，则有二只半钢手表，
第二箱是半钢手表。依次类推，就能找出哪一箱
是半钢手表。
**生活中的数学**
狗追狐狸
在北边的A处有一只狗，发现南边距它18米
的B处有一只狐狸，立即追捕。狐狸知道大难来
临，立即向南逃跑，想逃进离它37米远的洞穴C
处，追逃沿同一直线而行。狗跑4步的路程，狐
狸要跑9步，狗跑2步的时间与狐狸跑3步的时间
相等。
聪明的读者，你们认为狗能追上狐狸吗？
【解析】 设狗走４步的路程为x米，则每步走
x/4，狐狸每步走x/9米，设狗跑２步的时间为 t
秒，则它们的速度为:
狗的速度为：V ＝（2x/4〕/t=x/2t ，
狐狸的速度为：V＝(3x/9)/t=x/3t 。
设狗追上狐狸所走的路程为S狗 ，狐狸所走
的路程为S 狐 ，所用的时问为T秒，根据题意得
S狗＝S狐十18。
所以：S狐＝S狗－18 ，
S狐/S狗＝V狐.T / V狗.T
＝V狐／V狗
=（x /3t）／（x /2t）＝２/３，
所以：S狐＝（２/３）S狗．
所以：S狗—１８＝(２/３)S狗．
所以：S狗＝５４．
即狗要跑54米才能追上狐狸，现在狗离狐狸
洞穴55米．所以狐狸在快逃进洞穴之前被狗逮住。
**生活中的数学**
旅游车号码
星期日早晨，小明的妈妈与单位的同事一
同到客运公司乘坐旅游车外出旅游．妈妈出门
片刻，小明发现妈妈将遮阳伞忘在家里，立即
骑车去客运公司给妈妈送伞。车站停车场汽车
云集，使人眼花缭乱，小明正为找不到妈妈乘
坐的旅游车着急时，遇上了邻居王阿姨。王阿
姨告诉他：你妈妈乘坐的那辆旅游车的牌照号
码是个四位数，它的第一位数字与第二位数字
相同，第三位数字与第四位数字相同，恰巧是
一个完全平方数．亲爱的读者，你能帮小明找
到这辆旅游车的牌照号码吗？
【解析】设这个四位数第一、第二位数字为
x，第三、第四位数字为y，则这个四位数为
1000x+100x+10y+y=11(100x+y)。
说明这个四位数能被 11 整除。因为这个四
位数又是一个完全平方数，那么100x+y也能被
11整除。因为100 x+y=99 x+(x+y ) , 99 x能被
11整除，所以x+y能被11整除，因为 x<10 , y<10,
所以x+y＝11。
由于这个四位数是一个正整数的平方得到
的，所以y只能是０、１、４、５、６、９，因
为x+y＝11，所以x＝11－y且 x <１０，解得：
x=7, x=6, x=5, x=2,
y=4; y=5; y=6; y=9 。
由此可知这个四位数只可能是７７４４，
６６５５，５５６６，２２９９，这四个数中，
只有７７４４走一个完全平方数(88的平方等于
7744〕。
这辆旅游车的牌照号码为 ７７４４。
**生活中的数学**
哪一个的空隙大
我们知道，地球是一个椭球体，但在一般计
算中我们却常常把它近似地看成一个球体，其半
径比一个篮球的半径要大得多．现在的问题是：
也做一个金属圈，再把两个圈都增加１米，则这
两个金属圈与原物体之间就都有了空隙。再假如
金属圈与原物体之间的空隙是均匀的，那么大金
属圈与地面之间的空隙大，还是小金属圈与篮球
之间的空隙大？
【解析】本题的结论实在是出人意料的．如果
不加计算的话，很容易犯想当然的错误。设地球
的赤道长为C米，篮球的大圆周长为C。米，并说
地球的半径为R米，篮球的半径为R。米，则有
R＝C/2π ，R。＝C。/2π，
（C＋1)/2π-C/2π=1/2π,
(C。＋1)/2π-C。/2π=1/2π.
可见，空隙的宽度（即周长增加１米时半径
的增加值）均为1/2π，是一样大的。
PAGE
1展剑鱼厘里想是摆方
种桌
桌椅,请画
做一做:若
由你
桌的
