4.1比例线段（3）学案

4.1比例线段(3)学案
学习目标：1.了解比例中项的概念
2．会求已知线段的比例中项
3．通过实例了解黄金分割
4.利用黄金分割进行简单的计算和作图
教学重点：黄金分割的概念及其简单应用
教学难点：例5的作图牵涉到线段的倍分关系与和差关系，比较复杂
学习准备：
1. 已知线段a，b，c，其中c是a和b的比例中项，a=4，b=9，则c等于（ ）
A. 4 B. 6 C. 9 D. 36
2. 如果线段AB上的一点P把AB分割为两条线段PA，PB，当PA2=PB·AB，即PA≈0.618AB时，则称点P是线段AB的黄金分割点. 现已知线段AB=10，点P是线段AB的黄金分割点，那么线段PA的长约为（ ）
A. 6.18 B. 0.382 C. 0.618 D. 3.28
3. 在比例尺是1∶200 000的长春市交通图上，人民广场与净月潭之间的距离约为10厘米，则它们之间的实际距离约为 千米．
4. 一条线段的中点有 个，黄金分割点有 个.
一、探索研讨
【活动1】
1、比例中项概念：一般地，如果三个数满足比例式（ ），则就叫做的______.即.
注意：判断b是a、c的比例中项，只要或b2＝ac成立。
2、做一做：
（1）1是不是和的比例中项？如果是比例中项，请写出相应的比例式。
（2）已知线段，求的比例中项。
（3）取一张长与宽之比为∶1的长方形纸，将它（上述矩形）对折.请判断图4－4中的两张长方形纸的长与宽这4条线段是否成比例？是的比例中项吗？
【活动2】
1、黄金分割概念：如图，如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，使，那么称线段AB被点P__________,点P叫做线段AB的黄金分割点，线段AP与AB的比叫做_______。
4、推导如何求黄金比的数值：设，则AP=_____ PB=AB-AP=AB-______
所以由得____________即____________，
解得x=________，所以______.
注意：（1）黄金比要记住，可以直接应用到题目中。
（2）对于线段AB，较长线段AP是较短线段BP与整条线段AB的比例中项；即
【活动3】
例5.已知线段AB＝a，用直尺和圆规作出它的黄金分割点
【活动4】
二、巩固练习
1.已知数3，6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是___________（只需填写一个数）.
2.如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，BC＝mAB，求m的值.
三、当堂检测
1、求线段a，b的比例中项：
（1） ； （2）
2．已知点p是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，求：
（1）(结果保留2个有效数字)；
（2）若AB=2，求PB。
3．一本书的宽与长之比为黄金比。已知它的宽为14cm，问它的长为多少cm（精确到0.1cm）？
4．已知线段AB如图。
（1）作出AB的黄金分割点（只要求作出图形，并保留作图痕迹）
(2)做一个长方形，使它的长为AB，宽与长之比为黄金比.
5．有些植物茎上，相邻两张叶子成的角，这种角度使植物的通风和采光的效果最佳。这一度数与怎样的角的度数成黄金比？
6、1：也是一个有趣的比，已知线段AB如图，用直尺和圆规求作AB上的一点P，使AP:AB=1：。
四、反思归纳
1、本节课学习的内容：
2、数学思想方法归纳：