图形面积的计算
执教人： 杭州市拱宸中学 钱红英
一、教学目标：
1、 让学生体会求几何图形面积的基本方法
2、通过亲身经历探索日常生活中图形变化的过程，提高学生探索问题和解决问题的能力 二、教学设想：
1、重点：运用平移、旋转、对称及等积变形的方法求图形的面积
2、难点：经历探索日常生活中图形变化的过程．
3、疑点：熟练、灵活地运用平移、旋转、对称及等积变形的方法求图形的面积
4、基本教学思路：从日常生活中的问题（拱形桥）出发，让学生体会求图形面积的方法，然后给出一些图形让学生通过平移、旋转、对称等方式，把图形面积转化为规则图形的面积的计算，并通过一些变式练习，从中体会求图形面积的方法；最后给出日常生活中的一些实际问题，使学生体会到数学来源于生活又应用于生活。
三、教学过程：
（一）课前演练：
在学生回忆扇形面积的基础上，解决下列问题：
1、扇形AOB的半径为12cm，∠AOB=120°，求扇形AOB的面积（精确到0.1cm2）
2、给出图片（圆弧拱桥）圆弧形桥拱,其每拱的跨度为40m,拱形的半径为40m,求拱形的面积.
让学生引出数学问题：求图中弓形AB的面积
引出求阴影部分面积的方法，引出课题。
（二）体会求图形面积的方法：
1、扇形的半径都为1，求图中阴影部分的面积.
2、如图：圆的半径相等，图1、图2、图3的阴影部分的面积分别记为P、Q、S，试判断P、Q、S的大小？
3、两个同心圆，其中两条直径互相垂直，大圆的半径是2，小圆半径为1，求图中阴影部分的面积和为 。
4、三个同心扇形的圆心角∠AOB=120°，半径OA为6cm，C、D为弧AB的三等分点，则阴影部分的面积等于 cm2
在学生解答的基础上，教师归纳求阴影部分面积的方法
（三）中考题型：
（2006杭州市中考题）如图，点P在圆O外，PA与圆O相切于A点，OP与圆周相交于C点，点B与点A关于直线PO对称，已知OA = 4，PA = 4.求
(1) ∠POA的度数；
(2) 弦AB的长；
(3) 阴影部分的面积
变式练习：A是半径为1的圆O外一点，OA =2，AB是圆O的切线,B为切点，弦BC OA，连AC，则阴影部分的面积等于（ ）
A、 B、 C、 D、
（四）典型例题：
如图，正方形ABCD的边长为2,以四边为直径向正方形内部作半圆，求图中阴影部分面积.
（五）开放创新题
（1）如下图，计算边长为1的正方形中阴影部分的面积为 .
(2)请你再设计一个使阴影部分的面积与图中阴影部分面积相等的一个图形
（六）能力升级：
当汽车在雨天行驶时，为了看清楚道路，司机要启动前挡风玻璃上的雨刷器，如图是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆AB与雨刷CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB绕A点转动90°时，雨刷CD扫过的面积是多少？小明仔细观察了雨刷器的转动情况，量得CD=80cm, ∠DBA=20°,端点C、D与点A的距离分别是115cm、35cm，他经过认真思考，认为只需选用其中的部分数据就能求得结果，你知道小明是怎样计算的吗？
（七）小结：
1、分析出特殊图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求；
2、通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将特殊的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的图形的面积。
（八）探究题：
下面我们来探究有关粉刷墙壁时刷具扫过面积的问题：
（1）甲工人用的刷具是一根细长的棍子，长度AB为20cm（宽度忽略不计）他用刷具绕A点旋转90°，则刷具扫过的面积是多少？
（2）乙工人用的刷具形状是圆形，直径CD为20cm，点O、C、D在同一直线上，OC=30cm，他把刷具绕O点旋转90°，则刷具扫过的面积是多少？(共23张PPT)
杭州市拱宸中学 钱红英
1、扇形面积公式：
解:∵n＝1200,r=12厘米
≈150.796
（cm2 ）
扇形OAB的半径为12cm，∠AOB=120°，求扇形OAB的面积（精确到0.1cm2）
课前热身：
答:扇形AOB的面积为150.8 cm2
下面是圆弧形桥拱,其每拱的跨度为40 m,拱形的半径为40m,求拱形桥截面中弓形部分的面积.
转化为数学模型为:
有一圆弧形桥拱,拱的跨度AB=40 m,拱形的半径R=40m,求弓形的面积.
解:如图:由已知得:BD=
=20
∵在直角三角形BOD中:OB=40,
∴∠BOD=60°,OD=20
∠AOB=120°
∴S弓形=
△
S弓形=S扇形+S△
如图：扇形的半径都为1，求图中四个扇形的面积之和.
S=π
如图：圆的半径相等，图1、图2、图3的阴影部分的面积分别记为P、Q、S，试判断P、Q、S的大小？
P=Q=S
1、两个同心圆，其中两条直径互相垂直，大圆的半径是2，小圆半径为1,求图中彩色部分的面积和为 。
2、三个同心扇形的圆心角∠AOB=120°，半径OA为6cm，C、D为弧AB的三等分点，则彩色部分的面积和等于 cm2
c
D
如图，点P在圆O外，PA与圆O相切于A点，OP与圆周相交于C点，点B与点A关于直线PO对称，已知OA = 4，PA = 4 .求
(1) ∠POA的度数；
(2) 弦AB的长；
(3) 阴影部分的面积
(中考题）
中考题型：
A是半径为1的圆O外一点，OA =2，AB是圆O的切线,B为切点，弦BC OA，连AC，则彩色部分的面积等于（ ）
A、 B、 C、 D、
B
如图，正方形ABCD的边长为2,以四边为直径向正方形内部作半圆，求图中蓝色部分面积.
S阴影=4×S半圆-S正方形
典型例题
若正方形ABCD改为菱形ABCD, 边长为2,以
四边为直径向菱形内部作半圆，你能否求出
图中蓝色部分面积.
开放创新题
（1）如下图，计算边长为1的正方形中圆的面积为 .
(2)请你设计一个使阴影部分的面积与图中阴影部分面积相等的一个图形（充分利用对称性、角度等使图形美观）
当汽车在雨天行驶时，为了看清楚道路，司机要启动前挡风玻璃上的雨刷器，如图是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆AB与雨刷CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB绕A点转动90°时，雨刷CD扫过的面积是多少？小明仔细观察了雨刷器的转动情况，量得CD=80cm, ∠DBA=20°,端点C、D与点A的距离分别是115cm、35cm，他经过认真思考，认为只需选用其中的部分数据就能求得结果，你知道小明是怎样计算的吗？
1、分析出特殊图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求；
2、通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将特殊的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的图形的面积。
求一些特殊图形的面积：
下面我们来探究有关粉刷墙壁时刷具扫过面积的问题：
（1）甲工人用的刷具是一根细长的棍子，长度AB为20cm（宽度忽略不计）他用刷具绕A点旋转90°，则刷具扫过的面积是多少？
（2）乙工人用的刷具形状是圆形，直径CD为20cm，点O、C、D在同一直线上，OC=30cm，他把刷具绕O点旋转90°，则刷具扫过的面积是多少？
正三角形ABC的边长为1，求在转动过程中三角形所扫过的面积。
在底面直径为40cm，高1m的圆柱形油桶装入油后封严，要移动到其他地方，可采用横放滚动的方法节省力气，如当它横放地面时，桶中油面宽为 cm，求油的质量（ =0.8kg/m3，V体=S截面.h，结果精确到0.1kg）
三角形ABC是等腰直角三角形，AC=3，以BC为直径的半圆与斜边AB交于点D，则图
中阴影部分（淡蓝）的面积为多少？
S阴影
例6、如图，计算机白色屏幕上有一矩形着色画刷ABCD已知AB=1，AD= 。当画刷以B为中心，按顺时针旋转到A1B1C1D1位置（点A1落在对角线BD上）时，屏幕被着色的面积是多少？
解:S=S矩形ABCD+S扇形DBD１
∵ AB=1，AD=
∴∠ADB=30°,BD=2
∠DBD1=60°
∴S= +
