数学解题应遵循的原则[下学期]
图片预览
文档简介
初中数学学法指导课2 骆新强 2005、10、2
数学解题策略的制定应遵循的原则（2课时）
一、教学目标：
1、知识、能力目标：
通过复习，使学生能熟练应用各种解题方法和解题思想，真正能做到从大处着眼，小处着手，有目的、有计划、有条不紊地解决数学问题，象所说的真正教会学生“有目的的思考”和“富有成果的思考”。
2、情感目标：
使学生真正感受到数学这套思维体操的优美与和谐。
二、学法指导：
在学法上采用教师引导学生积极、有效的思维，自己发现和归纳解题方法，确定解题策略，体会各条原则在制定解题策略时的作用和地位。
三、重、难点：
目的性原则、熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、和谐化原则和全面性原则在解数学题中制定解题策略时的综合运用。
四、教学过程：
探索解题途径是一种高级心理活动的思维过程，是一种创造性的活动，在这个过程中，人们的思维必须得到定向、控制和调节。定向，就是确定思维过程的方向；控制，就是控制信息量，排除干扰，删除多余和错误的因素；调节，就是及时地调节思维活动的过程和方向，提高思维活动的频率。那么，定向、控制和调节的依据又是什么呢？这就是数学解题思想应遵循的原则：目的性原则，熟悉化原则，简单化原则，具体化原则，和谐化原则以及全面性原则。
1
1、目的性原则：就是确定解题策略时必须首先明确问题的目标，如果目标不明确，那解题只能是漫无目的地瞎碰瞎撞。
例1、若是关于的方程的根，则=____________。
分析：很容易想到的解法是，先解方程求出值，再代入待求式中计算，但运算将很繁琐。如果进一步明确题意，要求的是分式的值，而不是的值，由条件可得，再运用整体的思想，将视为一个整体，再着眼于局部，把待求式进行局部的改造，让式子中尽量出现结合综合除法求解。
解：∵ 是关于的方程的根，∴，
∴
。
例2、对任何实数都有一共同实数解，求此实数解。
分析：本题是一个含有字母系数的高次方程，用一般方法降次，显然繁而难。这个题目的难点就在于给我们的目标不够明确，考虑到如果我们知道这个实数解，岂不是把这个实数解代入验证就可以了吗？为了使目标浮现出来，考虑特殊值代入，分别取和，代入可得，而这两个方程只有公共解，因此方程的共同的实数解是。
解：因是任意实数，不妨取和两种特殊情形。（1）将代入原方程有；(2)将代入原方程有。解得两个方程的公共解为。
将代入原方程显然满足方程。
∴对任何实数原方程都有一个共同实数解。
例3、已知，求证：三数中至少有一个为1。
分析：由于结论较分散，直接证明不容易，若把结论等价地变更为求证：，这样一来，目的就明确多了。于是，运用执果索因和由因导果的思想方法就很容易找到解题途径。（1）先倒推：
（2）再顺推：，所以，即，
又已知，故成立。
解：由题设知：，
又，∴。
∴三者中至少有一个为0，即三数中至少有一个为1。
2、熟悉化原则：解题策略的确定，应有利于把陌生的问题转化为与之有关的熟悉问题，以便充分利用熟悉的知识与方法。
例4、设，且，化简 。
分析：显然，直接代入求解将很繁琐，联想到我们熟悉的例1的解法，把条件变形为，从而类似于例1求解。
解：∵，
∴原式
。
例5、解方程。
分析：这是一个含的四次方程，其解法是我们感到陌生的。考虑到9=32，6=2×3，如果运用化归的思想，把常数3看作变数，为已知数，则上述方程就转化为关于“3”的一元二次方程，一元二次方程的解法是我们所熟悉的。
解：将原方程变形：。
∴原方程组的解为。
例6、解方程：。
分析：去括号得一个四次方程，其解法是我们陌生的，考虑作些变更，将原方程变更为：，设，得
，再设，得一元二次方程：。
解：原方程可化为，设，则:
，再设，则，
即；
或，其判别式，此方程无解；
∴原方程的解为。
3、简单化原则：解题策略的确定应有利于把复杂问题转化为较简单的问题，使问题易于解决。
例7、设为实数，试求出关于的方程的实数根的范围。
分析：若从入手，不易发现其解题思路，正难则反，但如果将主元与参数换位，即把方程整理成关于的一元二次方程，然后用判别式即可求解。
解：将原方程整理成关于的一元二次方程，得，∵为实数，
∴其判别式。
例8、设三个方程中，至少有一个方程有实数根，求的取值范围。
分析：正难则反，考虑这三个方程均无实根时，的取值范围。
解：考虑这三个方程均无实根时的范围，此时，三个方程的判别式的值均小于0，
，
∴时三个方程均无实根，即时至少有一个方程有实数根。
2
例9、在直角中，是直角边，是斜边，求证：。
分析：采用降次类比，时即。类似以上证法得，易得证。
解：∵是直角边，是斜边，∴，
∴，
∴。
例10、如图，设四边形的面积为1，为的三等分点；
为三等分点，连结。求证：四边形的面积为。
分析：由于四边形的任意性，直接证明困难，考虑特殊情形，
让重合，证明对于结论成立，这是我们熟悉的，如图，易得
。
=。
回到一般情形，如图，连结，则四边形被分成类似于上述三角形，只不过未被三等分。为了能够利用上面特例所提供的结论，取上的三等分点为，连结，则，
∴，即：，
易证，∴。
证明：先证明这个结论在三角形中成立。如图中，三等分边， 三等分边，则：，
∴
。
如图，在四边形ABCD中，连结，并取的三等分点，连结，则，
∴。
又由题设可知∥，∥，
∴，∴，
∴，
∴。
4、具体化原则：解题策略的确定应有利于把比较抽象的问题转化为比较具体的问题，以便更好
地把握问题中涉及的各个对象之间的联系。
例11、已知正数满足，求证：。
分析：如果单从代数的角度去考虑，则思路不易通畅。但从条件正数满足，联想到以为边长的正三角形，通过直观的几何图形，就很容易得出要证的结论。或构造以为边长的正方形，把长和宽分别为，和的长方形嵌入其中，各长方形面积和小于正方形面积。
证明一：在边长为的正中，在上分别取，使
，显然，
∵
，即。
证明二：如图，在边长为的正方形中，，
即。
5、和谐化原则：解题策略的确定应有利于使问题的条件或结论的表现形式，更符合数与形内部固有的和谐统一的特点，以突出问题本身固有的内在联系。
例12、设，求证：。
分析：已知条件是整式，而结论是分式，不和谐，且条件简单，结论较复杂，所以，可运用执果索因的逆推思想探索解题途径，并将分式化为整式，使条件和结论和谐化：
。
证明：
。
例13、证明顶点在单位圆（半径为1的圆）上的锐角三角形的三内角的余弦
的和小于该三角形周长的一半。
分析：如图，要证，由于不等式的左边
是三角函数，而右端是线段，不好直接比较大小。运用化归的思想，将三角函数变更为线段，使其两端的数量关系和谐化。设为的外接单位圆的圆心，作于，于，于，则；同理， ，只需证明：即可。
在锐角中，为外心，故在形内，也在内，故有：，
证明：如图，锐角内接于⊙，分别作于，于，
于，则；同理，，
在锐角中，为外心，故在形内，也在内，
∵在四边形中，
∴，
又∵为锐角，∴为钝角，而为锐角，
∴在中，，∴，同理：，∴，
同理可证：,
∴。
6、全面性原则：解题策略的确定应多侧面、多角度去进行分析、思维（包括逆向思维），运用多方面的知识，选取最优策略。
例14、为的边上的点。求证：不可能相互平分。
分析：条件中两点是边上的任意两点，不便于由此开始顺推。又结论是不可能互相平分也不便于由此开始倒推。由于结论是“不可能”，所以考虑运用反面思维策略。
证明：假设互相平分，则四边形为平行四边形，
∥，与中、两边相交矛盾。
∴不可能相互平分。
例15、解关于x的不等式组 。
分析：分、和三种情况讨论。
解：分、和三种情况讨论。
①当时，原不等式的解为；
②当时，，原不等式的解为；
③当时，，原不等式的解为。
目的性原则、熟悉化原则、简单化原则、具体化原则以及和谐化原则都是确定解题策略应遵循的基本原则。它们间既有区别又有联系，是相辅相成的。对于每一道数学题，我们都应该根据上述原则，进行有目的，富有成果的思考，从而实现解题的目的。
数学解题策略的制定应遵循的原则（2课时）
一、教学目标：
1、知识、能力目标：
通过复习，使学生能熟练应用各种解题方法和解题思想，真正能做到从大处着眼，小处着手，有目的、有计划、有条不紊地解决数学问题，象所说的真正教会学生“有目的的思考”和“富有成果的思考”。
2、情感目标：
使学生真正感受到数学这套思维体操的优美与和谐。
二、学法指导：
在学法上采用教师引导学生积极、有效的思维，自己发现和归纳解题方法，确定解题策略，体会各条原则在制定解题策略时的作用和地位。
三、重、难点：
目的性原则、熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、和谐化原则和全面性原则在解数学题中制定解题策略时的综合运用。
四、教学过程：
探索解题途径是一种高级心理活动的思维过程，是一种创造性的活动，在这个过程中，人们的思维必须得到定向、控制和调节。定向，就是确定思维过程的方向；控制，就是控制信息量，排除干扰，删除多余和错误的因素；调节，就是及时地调节思维活动的过程和方向，提高思维活动的频率。那么，定向、控制和调节的依据又是什么呢？这就是数学解题思想应遵循的原则：目的性原则，熟悉化原则，简单化原则，具体化原则，和谐化原则以及全面性原则。
1
1、目的性原则：就是确定解题策略时必须首先明确问题的目标，如果目标不明确，那解题只能是漫无目的地瞎碰瞎撞。
例1、若是关于的方程的根，则=____________。
分析：很容易想到的解法是，先解方程求出值，再代入待求式中计算，但运算将很繁琐。如果进一步明确题意，要求的是分式的值，而不是的值，由条件可得，再运用整体的思想，将视为一个整体，再着眼于局部，把待求式进行局部的改造，让式子中尽量出现结合综合除法求解。
解：∵ 是关于的方程的根，∴，
∴
。
例2、对任何实数都有一共同实数解，求此实数解。
分析：本题是一个含有字母系数的高次方程，用一般方法降次，显然繁而难。这个题目的难点就在于给我们的目标不够明确，考虑到如果我们知道这个实数解，岂不是把这个实数解代入验证就可以了吗？为了使目标浮现出来，考虑特殊值代入，分别取和，代入可得，而这两个方程只有公共解，因此方程的共同的实数解是。
解：因是任意实数，不妨取和两种特殊情形。（1）将代入原方程有；(2)将代入原方程有。解得两个方程的公共解为。
将代入原方程显然满足方程。
∴对任何实数原方程都有一个共同实数解。
例3、已知，求证：三数中至少有一个为1。
分析：由于结论较分散，直接证明不容易，若把结论等价地变更为求证：，这样一来，目的就明确多了。于是，运用执果索因和由因导果的思想方法就很容易找到解题途径。（1）先倒推：
（2）再顺推：，所以，即，
又已知，故成立。
解：由题设知：，
又，∴。
∴三者中至少有一个为0，即三数中至少有一个为1。
2、熟悉化原则：解题策略的确定，应有利于把陌生的问题转化为与之有关的熟悉问题，以便充分利用熟悉的知识与方法。
例4、设，且，化简 。
分析：显然，直接代入求解将很繁琐，联想到我们熟悉的例1的解法，把条件变形为，从而类似于例1求解。
解：∵，
∴原式
。
例5、解方程。
分析：这是一个含的四次方程，其解法是我们感到陌生的。考虑到9=32，6=2×3，如果运用化归的思想，把常数3看作变数，为已知数，则上述方程就转化为关于“3”的一元二次方程，一元二次方程的解法是我们所熟悉的。
解：将原方程变形：。
∴原方程组的解为。
例6、解方程：。
分析：去括号得一个四次方程，其解法是我们陌生的，考虑作些变更，将原方程变更为：，设，得
，再设，得一元二次方程：。
解：原方程可化为，设，则:
，再设，则，
即；
或，其判别式，此方程无解；
∴原方程的解为。
3、简单化原则：解题策略的确定应有利于把复杂问题转化为较简单的问题，使问题易于解决。
例7、设为实数，试求出关于的方程的实数根的范围。
分析：若从入手，不易发现其解题思路，正难则反，但如果将主元与参数换位，即把方程整理成关于的一元二次方程，然后用判别式即可求解。
解：将原方程整理成关于的一元二次方程，得，∵为实数，
∴其判别式。
例8、设三个方程中，至少有一个方程有实数根，求的取值范围。
分析：正难则反，考虑这三个方程均无实根时，的取值范围。
解：考虑这三个方程均无实根时的范围，此时，三个方程的判别式的值均小于0，
，
∴时三个方程均无实根，即时至少有一个方程有实数根。
2
例9、在直角中，是直角边，是斜边，求证：。
分析：采用降次类比，时即。类似以上证法得，易得证。
解：∵是直角边，是斜边，∴，
∴，
∴。
例10、如图，设四边形的面积为1，为的三等分点；
为三等分点，连结。求证：四边形的面积为。
分析：由于四边形的任意性，直接证明困难，考虑特殊情形，
让重合，证明对于结论成立，这是我们熟悉的，如图，易得
。
=。
回到一般情形，如图，连结，则四边形被分成类似于上述三角形，只不过未被三等分。为了能够利用上面特例所提供的结论，取上的三等分点为，连结，则，
∴，即：，
易证，∴。
证明：先证明这个结论在三角形中成立。如图中，三等分边， 三等分边，则：，
∴
。
如图，在四边形ABCD中，连结，并取的三等分点，连结，则，
∴。
又由题设可知∥，∥，
∴，∴，
∴，
∴。
4、具体化原则：解题策略的确定应有利于把比较抽象的问题转化为比较具体的问题，以便更好
地把握问题中涉及的各个对象之间的联系。
例11、已知正数满足，求证：。
分析：如果单从代数的角度去考虑，则思路不易通畅。但从条件正数满足，联想到以为边长的正三角形，通过直观的几何图形，就很容易得出要证的结论。或构造以为边长的正方形，把长和宽分别为，和的长方形嵌入其中，各长方形面积和小于正方形面积。
证明一：在边长为的正中，在上分别取，使
，显然，
∵
，即。
证明二：如图，在边长为的正方形中，，
即。
5、和谐化原则：解题策略的确定应有利于使问题的条件或结论的表现形式，更符合数与形内部固有的和谐统一的特点，以突出问题本身固有的内在联系。
例12、设，求证：。
分析：已知条件是整式，而结论是分式，不和谐，且条件简单，结论较复杂，所以，可运用执果索因的逆推思想探索解题途径，并将分式化为整式，使条件和结论和谐化：
。
证明：
。
例13、证明顶点在单位圆（半径为1的圆）上的锐角三角形的三内角的余弦
的和小于该三角形周长的一半。
分析：如图，要证，由于不等式的左边
是三角函数，而右端是线段，不好直接比较大小。运用化归的思想，将三角函数变更为线段，使其两端的数量关系和谐化。设为的外接单位圆的圆心，作于，于，于，则；同理， ，只需证明：即可。
在锐角中，为外心，故在形内，也在内，故有：，
证明：如图，锐角内接于⊙，分别作于，于，
于，则；同理，，
在锐角中，为外心，故在形内，也在内，
∵在四边形中，
∴，
又∵为锐角，∴为钝角，而为锐角，
∴在中，，∴，同理：，∴，
同理可证：,
∴。
6、全面性原则：解题策略的确定应多侧面、多角度去进行分析、思维（包括逆向思维），运用多方面的知识，选取最优策略。
例14、为的边上的点。求证：不可能相互平分。
分析：条件中两点是边上的任意两点，不便于由此开始顺推。又结论是不可能互相平分也不便于由此开始倒推。由于结论是“不可能”，所以考虑运用反面思维策略。
证明：假设互相平分，则四边形为平行四边形，
∥，与中、两边相交矛盾。
∴不可能相互平分。
例15、解关于x的不等式组 。
分析：分、和三种情况讨论。
解：分、和三种情况讨论。
①当时，原不等式的解为；
②当时，，原不等式的解为；
③当时，，原不等式的解为。
目的性原则、熟悉化原则、简单化原则、具体化原则以及和谐化原则都是确定解题策略应遵循的基本原则。它们间既有区别又有联系，是相辅相成的。对于每一道数学题，我们都应该根据上述原则，进行有目的，富有成果的思考，从而实现解题的目的。