直角三角形在生活中的应用[下学期]
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文档简介
直角三角形在生活中的应用
教学目标
(一)教学知识点
1.探索直角三角形在生活中应用，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.
2.能够把实际问题转化为数学问题,对结果的意义进行说明.
(二)能力训练要求
发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.
(三)情感与价值观要求
1.在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气.
2.选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望.
教学重点
1. 探索直角三角形在生活中应用,进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.
2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.
教学难点
根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.
教学方法
探索——发现法
教具准备
多媒体演示
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
[师]直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.
下面我们就来看一个问题(多媒体演示).
[师]随着人民生活水平的提高，小轿车越来越多，为了交通安全，某市政府要修
建10 m高的天桥，为了方便行人推车过天桥，需在天桥两端修建40m长的斜道.(如图所示，用多媒体演示)
这条斜道的倾斜角是多少
[生]在Rt△ABC中，BC=10 m，AC＝40 m，
sinA＝.我们查表就可求出∠A.
[师]我们知道，给定一个锐角的度数，这个锐角的三角函数值都唯一确定.给定一个
锐角的三角函数值，这个锐角的大小也唯一确定吗 为什么
Ⅱ.讲授新课
下面请大家再来看一个问题(多媒体演示).
海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗 你是如何想的 与同伴进行交流.
[师]我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的
[生]应该是“上北下南，左西右东”.
[师]请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的.
[生]首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25°处.示意图如下.
[师]货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定
[生]根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险.A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC，D为垂足，即AD的长度.我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10海里比较.
[师]这位同学分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看AD如何求.根据题意，有哪些已知条件呢
[生]已知BC°＝20海里，∠BAD＝55°，∠CAD＝25°.
[师]在示意图中，有两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD.你能在哪一个三角形中求出AD呢
[生]在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°，不能求AD.
[生]在Rt△ABD中，知道∠BAD=55°，虽然知道BC＝20海里，但它不是Rt△ABD的边，也不能求出AD.
[师]那该如何是好 是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑
[生]我发现这两个三角形有联系，AD是它们的公共直角边.而且BC是这两个直角三角形BD与CD的差，即BC＝BD-CD.BD、CD的对角是已知的，BD、CD和边AD都有联系.
[师]有何联系呢
[生]在Rt△ABD中，tan55°＝，BD=ADtan55°；在Rt△ACD中，tan25°＝，CD＝ADtan25°.
[生]利用BC＝BD-CD就可以列出关于AD的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°＝20.
[师]太棒了!没想到方程在这个地方帮了我们的忙.其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一.
下面我们一起完整地将这个题做完.
[师生共析]解：过A作BC的垂线，交BC于点D.得到Rt△ABD和Rt△ACD，从而BD=AD
tan55°，CD＝ADtan25°，由BD-CD＝BC，又BC＝20海里.得
ADtan55°-ADtan25°＝20.
AD(tan55°-tan25°)＝20，
AD=≈20.79(海里).
这样AD≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险.
活动与探究
如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A
处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必
须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40
海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心
200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.
(1)问：B处是否会受到台风的影响 请说明理由.
(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物
(供选用数据：≈1.4， ≈1.7)
[过程]这是一道需借助三角知识解决的应用问题，需抓住问题的本质特征.在转化、抽象成数学问题上下功夫.
[结果](1)过点B作BD⊥AC.垂足为D.
依题意，得∠BAC＝30°，在Rt△ABD中，BD= AB=×20×16=160＜200，
∴B处会受到台风影响.
(2)以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC于E、F，由勾股定理可求得DE=120.
AD=160.
AE=AD-DE=160 -120，
∴=3.8(小时).
因此，陔船应在3.8小时内卸完货物.
Ⅲ.随堂练习
1.一个人从山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300 m，再爬30°的山坡100 m，求山高.(结果精确到0.01 m)
解：如图，根据题意，可知
BC=300 m，BA=100 m，∠C=40°，∠ABF=30°.
在Rt△CBD中，BD=BCsin40°
≈300×0.6428
＝192.8(m)；
在Rt△ABF中，AF=ABsin30°
=100×
2.如图，一灯柱AB被
一钢缆CD固定，CD与地面
成40°夹角，且DB＝5 m，
现再在C点上方2m处加固
另一条钢缆ED，那么钢缆
ED的长度为多少
解：在Rt△CBD中，∠CDB=40°,DB=5 m，
sin40°= ，BC=DBsin40°=5sin40°(m).
在Rt△EDB中，DB=5 m，
BE=BC+EC＝2+5sin40°(m).
根据勾股定理，得DE=≈7.96(m).
所以钢缆ED的长度为7.96 m.
Ⅳ.课堂小结
本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和
解决实际问题的能力.
其实，我们这一章所学的内容属于“三角学”的范畴.请同学们阅读“读一读”，了解“三角学”的发展，相信你会对“三角学”更感兴趣.
V.课后作业
1.(2003年江苏盐城)
如图，Rt△ABC是一防
洪堤背水坡的横截面
图，斜坡AB的长为
12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，
现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号)
2. 如图，某地夏日一天中午，太阳光线
与地面成80°角，房屋朝南的窗户高
AB=1.8 m，要在窗户外面上方安装一个水
平挡板AC，使光线恰好不能直射室内，
求挡板AC的宽度.(结果精确到0.01 m)
[过程]根据题意，将实际问题转化为数
学问题，在窗户外面上方安装一个水平
挡板AC，使光线恰好不能直射室内即光线
应沿CB射入.所以在Rt△ABC中，AB＝1.8 m，
∠ACB＝80°.求AC的长度.
[结果]tan80°＝＝0.317≈0.32(米).
所以水平挡板AC的宽度应为0.32米.
教学目标
(一)教学知识点
1.探索直角三角形在生活中应用，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.
2.能够把实际问题转化为数学问题,对结果的意义进行说明.
(二)能力训练要求
发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.
(三)情感与价值观要求
1.在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气.
2.选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望.
教学重点
1. 探索直角三角形在生活中应用,进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.
2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.
教学难点
根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.
教学方法
探索——发现法
教具准备
多媒体演示
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
[师]直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.
下面我们就来看一个问题(多媒体演示).
[师]随着人民生活水平的提高，小轿车越来越多，为了交通安全，某市政府要修
建10 m高的天桥，为了方便行人推车过天桥，需在天桥两端修建40m长的斜道.(如图所示，用多媒体演示)
这条斜道的倾斜角是多少
[生]在Rt△ABC中，BC=10 m，AC＝40 m，
sinA＝.我们查表就可求出∠A.
[师]我们知道，给定一个锐角的度数，这个锐角的三角函数值都唯一确定.给定一个
锐角的三角函数值，这个锐角的大小也唯一确定吗 为什么
Ⅱ.讲授新课
下面请大家再来看一个问题(多媒体演示).
海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗 你是如何想的 与同伴进行交流.
[师]我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的
[生]应该是“上北下南，左西右东”.
[师]请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的.
[生]首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25°处.示意图如下.
[师]货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定
[生]根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险.A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC，D为垂足，即AD的长度.我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10海里比较.
[师]这位同学分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看AD如何求.根据题意，有哪些已知条件呢
[生]已知BC°＝20海里，∠BAD＝55°，∠CAD＝25°.
[师]在示意图中，有两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD.你能在哪一个三角形中求出AD呢
[生]在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°，不能求AD.
[生]在Rt△ABD中，知道∠BAD=55°，虽然知道BC＝20海里，但它不是Rt△ABD的边，也不能求出AD.
[师]那该如何是好 是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑
[生]我发现这两个三角形有联系，AD是它们的公共直角边.而且BC是这两个直角三角形BD与CD的差，即BC＝BD-CD.BD、CD的对角是已知的，BD、CD和边AD都有联系.
[师]有何联系呢
[生]在Rt△ABD中，tan55°＝，BD=ADtan55°；在Rt△ACD中，tan25°＝，CD＝ADtan25°.
[生]利用BC＝BD-CD就可以列出关于AD的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°＝20.
[师]太棒了!没想到方程在这个地方帮了我们的忙.其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一.
下面我们一起完整地将这个题做完.
[师生共析]解：过A作BC的垂线，交BC于点D.得到Rt△ABD和Rt△ACD，从而BD=AD
tan55°，CD＝ADtan25°，由BD-CD＝BC，又BC＝20海里.得
ADtan55°-ADtan25°＝20.
AD(tan55°-tan25°)＝20，
AD=≈20.79(海里).
这样AD≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险.
活动与探究
如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A
处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必
须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40
海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心
200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.
(1)问：B处是否会受到台风的影响 请说明理由.
(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物
(供选用数据：≈1.4， ≈1.7)
[过程]这是一道需借助三角知识解决的应用问题，需抓住问题的本质特征.在转化、抽象成数学问题上下功夫.
[结果](1)过点B作BD⊥AC.垂足为D.
依题意，得∠BAC＝30°，在Rt△ABD中，BD= AB=×20×16=160＜200，
∴B处会受到台风影响.
(2)以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC于E、F，由勾股定理可求得DE=120.
AD=160.
AE=AD-DE=160 -120，
∴=3.8(小时).
因此，陔船应在3.8小时内卸完货物.
Ⅲ.随堂练习
1.一个人从山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300 m，再爬30°的山坡100 m，求山高.(结果精确到0.01 m)
解：如图，根据题意，可知
BC=300 m，BA=100 m，∠C=40°，∠ABF=30°.
在Rt△CBD中，BD=BCsin40°
≈300×0.6428
＝192.8(m)；
在Rt△ABF中，AF=ABsin30°
=100×
2.如图，一灯柱AB被
一钢缆CD固定，CD与地面
成40°夹角，且DB＝5 m，
现再在C点上方2m处加固
另一条钢缆ED，那么钢缆
ED的长度为多少
解：在Rt△CBD中，∠CDB=40°,DB=5 m，
sin40°= ，BC=DBsin40°=5sin40°(m).
在Rt△EDB中，DB=5 m，
BE=BC+EC＝2+5sin40°(m).
根据勾股定理，得DE=≈7.96(m).
所以钢缆ED的长度为7.96 m.
Ⅳ.课堂小结
本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和
解决实际问题的能力.
其实，我们这一章所学的内容属于“三角学”的范畴.请同学们阅读“读一读”，了解“三角学”的发展，相信你会对“三角学”更感兴趣.
V.课后作业
1.(2003年江苏盐城)
如图，Rt△ABC是一防
洪堤背水坡的横截面
图，斜坡AB的长为
12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，
现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号)
2. 如图，某地夏日一天中午，太阳光线
与地面成80°角，房屋朝南的窗户高
AB=1.8 m，要在窗户外面上方安装一个水
平挡板AC，使光线恰好不能直射室内，
求挡板AC的宽度.(结果精确到0.01 m)
[过程]根据题意，将实际问题转化为数
学问题，在窗户外面上方安装一个水平
挡板AC，使光线恰好不能直射室内即光线
应沿CB射入.所以在Rt△ABC中，AB＝1.8 m，
∠ACB＝80°.求AC的长度.
[结果]tan80°＝＝0.317≈0.32(米).
所以水平挡板AC的宽度应为0.32米.