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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第3章 数据分析初步（解析版）
3.3方差和标准差
【知识重点】
在评价数据的稳定性时，我们通常将各数据偏离平均数的波动程度作为指标.
一、方差：
一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差.
方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.
二、标准差:
一组数据的方差的算术平方根称为这组数据的标准差.
即
【经典例题】
【例1】数据-1，0，2，3，1的方差是 ，标准差是 .
【答案】2；
【解析】 -1，0，2，3，1的 平均数为：（ -1+0+2+3+1）÷5=1，
其方差为：[(-1-1)2+(0-1)2+(2-1)2+(3-1)2+(1-1)2]÷5=2；
其标准差为：.
故答案为：2，。
【分析】根据平均数的计算方法算出这组数的平均数，再算出这组数据的每一个数据与其平均数的差的平方和的平均数，就是这组数据的方差，最后算出方差的算术平方根即可得出其标准差。
【例2】我市射击队为了从甲、 乙 两名运动员中选出一名运动员参加省运动会比赛，组织了选拔测试，两人分别进行了五次射击，成绩（单位：环）如下：
甲 10 9 8 9 9
乙 10 8 9 8 10
你认为应选择哪位运动员参加省运动会比赛.
【答案】解：甲的平均成绩是： （10＋9＋8＋9＋9）＝9.
乙的平均成绩是： （10＋8＋9＋8＋10）＝9.
甲成绩的方差是：
＝[（10－9）2＋（9－9）2＋（8－9）2＋（9－9）2＋（9－9）2]÷5＝0.4.
乙成绩的方差是：
＝[（10－9）2＋（8－9）2＋（9－9）2＋（8－9）2＋（10－9）2]÷5＝0.8.
∵ ，
∴ 甲的成绩较稳定，
∴ 应选择甲运动员参加省运动会比赛.
【分析】先分别计算出甲和乙成绩的平均数，再利用方差公式求出甲和乙成绩的方差，最后根据方差的大小进行判断即可.
【例3】已知一组数据 ， ， 的平均数和方差分别是2， ，那么另一组数据 ，2 ， 的平均数和方差分别是 ， ．
【答案】3；
【解析】①∵数据x1，x2，x3的平均数为2，方差为， ∴=2，， ∴=3， ∴数据2x1-1，2x2-1，2x3-1的平均数为3；
②∵， =， ∴数据2x1-1，2x2-1，2x3-1的方差为，
故答案为：3、.
【分析】根据平均数和方差的计算公式得出=2，，从而得出=2，，
=，即可得出答案.
【结论】一组数据的每个数据加上或减去同一常数，则平均数也加上或减去这个常数，而方差不变；一组数据的每个数据扩大到原来的n倍或缩小为原来的，则平均数也扩大到原来的n倍或缩小为原来的，而方差扩大到原来的n2倍或缩小为原来的.
【基础训练】
1．甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均数都是8环，方差分别是，则两人射击成绩波动情况是（ ）
A．甲波动大 B．乙波动大
C．甲、乙波动一样大 D．无法比较
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∴甲的成绩较稳定，波动较小，乙的成绩波动较大，
故答案为：B
2．有甲、乙两组数据，如下表所示：
甲 11 12 13 14 15
乙 12 12 13 14 14
两组数据的方差分别是、，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】×（11+12+13+14+15）=13，
×[（11-13）2+（12-13）2+（13-13）2+（14-13）2+（15-13）2]=2，
×（12+12+13+14+14）=13，
×[（12-13）2+（12-13）2+（13-13）2+（14-13）2+（14-13）2]=0.8，
∵2＞0.8，
∴．
故答案为：B．
3．为了从四名同学中选出一人参加计算机编程比赛，对他们进行了多次测试，并对每个人的测试成绩的平均数及方差进行了统计（如下表），则应选的同学是（ ）
学生 学生一 学生二 学生三 学生四
平均数 95 96 96 95
方差 5 5 4.8 4.8
A．学生一 B．学生二 C．学生三 D．学生四
【答案】C
【解析】根据题意得：学生二与学生三成绩的平均数高于学生一与学生四的，且学生三成绩的方差低于学生二的，
∴应选的同学是学生三．
故答案为：C
4．在方差的计算公式中，数字10和20表示的意义分别是（ ）
A．数据得个数和平均数 B．数据的方差和平均数
C．数个数和方差 D．以上都不对
【答案】A
【解析】根据方差计算公式可得：10表示的意义是数据的个数，20表示的意义是平均数，
故答案为：A．
5．若x1，x2，x3， ，xn的平均数为8，方差为2，则关于x1＋2，x2＋2，x3＋2，……，xn＋2，下列结论正确的是（ ）
A．平均数为8，方差为2 B．平均数为8，方差为4
C．平均数为10，方差为2 D．平均数为10，方差为4
【答案】C
【解析】样本x1+2，x2+2，x3+2，…xn+2，对于样本x1，x2，x3，…xn来说，
每个数据均在原来的基础上增加了2，根据平均数、方差的变化规律得：
平均数较前增加2，而方差不变，即：平均数为8+2=10，方差为2，
故答案为：C．
6．将数据a、b、e、d、e、f的每一个数据都增加5，则下列说法中错误的是（ ）
A．平均数增加5 B．中位数增加5 C．众数增加5 D．方差增加5
【答案】D
【解析】∵数据a、b、e、d、e、f的每一个数据都增加5，
∴中位数增加5，众数增加5，故B、C正确，不符合题意；
根据题意得：新数据为：a+5，b+5，c+5，d+5，e+5，f+5，
原数据的平均数为，
∴，
∴新数据的平均数为
，
即平均数增加5，故A正确，不符合题意；
原数据的方差为，
新数据的方差为 ，
∴方差不变，故D错误，符合题意；
故答案为：D.
7．小明利用公式S2=[（5-）2+（8-）2+（4-）2+（7-）2+（6-）2]计算5个数据的方差，则这5个数据的标准差S的值是 。
【答案】
【解析】∵这5个数据的平均数=（5+8+4+7+6）÷5=6，
∴方差s2==2，
∴s==，
故答案为：.
8．数据的平均数是4，方差是3，则数据的平均数和方差分别是 ， ．
【答案】5；3
【解析】∵数据x1，x2，x3，x4的平均数是4，
∴
∴
∴数据x1+1，x2+1，x3+1，x4+1的平均数为5，
∵数据x1，x2，x3，x4的方差是3，
∴
∴
∴数据x1+1，x2+1，x3+1，x4+1的方差为3．
故答案为5，3．
9．一台机床生产一种零件.在10天中，每天出次品的数量如下表.
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
次品 1 1 3 2 2 0 3 1 2 0
求次品数量的平均数和方差.
【答案】解：次品数量的平均数：
，
，
方差 ，
，
，
.
10．在东京奥运会比赛前，有甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表，则这四人成绩最好且发挥最稳定的是 ．
选手 甲 乙 丙 丁
平均数（环） 9.4 9.4 9.2 9.2
方差（环2） 0.035 0.015 0.025 0.027
【答案】乙
【解析】由题意得：
∵甲和乙的平均数相等，且大于丙和丁的平均数，且，
∴这四人成绩最好且发挥最稳定的是乙，
故答案为：乙．
11．
为了选拔一名学生参加全市诗词大赛，学校组织了四次测试，其中甲乙两位同学成绩较为优秀，他们在四次测试中的成绩（单位：分）如表所示：
甲 90 85 95 90
乙 98 82 88 92
通过计算，甲同学在这四次测试中的平均分为90分，分别求出两位同学测试成绩的方差.从成绩稳定性的角度出发，你认为选谁参加比赛较合适？
【答案】解： （分）
∵
∴选择甲参加比赛较合适
12．为了考察甲、乙两种玉米的生长情况，在相同的时间，将它们种在同一块实验田里，经过一段时间后，分别抽取了10株幼苗，测得苗高如下（单位：cm）：
甲：8，12，8，10，13，7，12，11，10，9；
乙：11，9，7，7，12，10，11，12，13，8．
（1）分别求出两种玉米的平均高度；
（2）哪种玉米的幼苗长得比较整齐？
【答案】（1）甲组数据的平均数=×（8+12+8+10+13+7+12+11+10+9）=10cm；
乙组数据的平均数=×（11+9+7+7+12+10+11+12+13+8）=10cm；
（2）s2甲=×[（8﹣10）2+（12﹣10）2+…+（9﹣10）2]=3.6cm2；
s2乙=×[（11﹣10）2+（9﹣10）2+…+（8﹣10）2]=4.2cm2．
s2甲＜s2乙．
所以甲玉米幼苗长得比较整齐．
【培优训练】
13．已知一组数据的方差为，数据为：－1，0，3，5，x，那么x等于（ ）
A．－2或5.5 B．2或－5.5 C．4或11 D．－4或－11
【答案】A
【解答】设数据的平均数为m，则①
整理得②
把①代入②，解得：x=-2或5.5．
故选A．
14．跳远运动员李强在一次训练中，先跳了6次的成绩如下：7.6，7.8，7.7，7.8，8.0，7.9（单位：m）．这六次成绩的平均数为7.8，方差为．如果李强再跳两次，成绩分别为7.6，8.0，则李强这8次跳远成绩与前6次的成绩相比较，其方差 （ ）．
A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定
【答案】A
【解析】李强再跳两次，成绩分别为7.6，8.0，
这组数据的平均数为（m），
这8次跳远成绩的方差为，
∵0.0225>，
∴方差变大，
故答案为：A．
15．一组数据的方差计算公式 ，则该方差计算公式中的值是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ 方差计算公式
∴这组数据为1，2，3，3.
平均数为.
故答案为：B.
16．一个样本为1，3，2，2，a，b，c，已知这个样本的众数为，平均数为2，那么这个样本的方差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵众数为3，可设a=3，b=3，c未知，
∴平均数=（1+3+2+2+3+3+c）=2，
解得：c=0，
∴这个样本的方差为：
S2=[（1-2）2+（3-2）2+（2-2）2+（2-2）2+（3-2）2+（3-2）2+（0-2）2]=，故D符合题意．
故答案为：D．
17．某班50名同学参加安全知识竞赛成绩统计如下表，其中两个数据被覆盖，关于成绩的四个统计量：①众数，②中位数，③平均数，④方差，一定与被覆盖数据无关的是（ ）
成绩（分） 93 94 95 96 97 98
人数 ■ 12 14 10 ■ 6
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】A
【解析】 ①∵50-(12+14+10+6)=8，∴被覆盖的两类人数之和为8人，
∴95分人数14，出现的次数最多，∴众数是95；
②∵93分人数小于8，∵8+12<20<25，∵12+14=26>25，∴中位数是95；
③④∵93分和97分的人数不固定，平均数和方差是不固定的；
综上所述，一定与被覆盖数据无关的是①② .
故答案为：A.
18．某班有50人，一次数学测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小颖没有参加此次集体测试，因此计算其他49人的平均分为92分，方差s2＝23．后来小颖进行了补测，成绩是92分，关于该班50人的数学测试成绩，下列说法正确的是（ ）
A．平均分不变，方差变小 B．平均分不变，方差变大
C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变
【答案】A
【解析】∵小颖的成绩和其他49人的平均数相同，都是92分，
∴该班50人的测试成绩的平均分为92分，方差变小，
故答案为：A．
19．设x1，x2，…，xn的平均数为，方差为S2，若S2=0，那么（ ）
A．x1=x2=…=xn，=0 B．=0
C．x1=x2=x3=…=xn D．中位数为0
【答案】C
【解析】∵x1，x2，…xn的平均数为x，方差为s2，s2=0，
∴每个数与平均数的差都为0，
∴x1=x2=x3=…=xn，
故答案为：C.
20．八年级一班的学生平均年龄是a岁，方差是b，一年后该班学生到九年级时，下列说法正确的是（ ）
A．平均年龄不变 B．年龄的中位数不变
C．年龄的众数不变 D．年龄的方差不变
【答案】D
【解析】过一年后该班学生到九年级时，平均年龄是a+1岁，方差是b，
故答案为：D.
21．已知一组数据的平均数是2，方差是1，那么另一组数据的平均数和方差分别是（ ）
A．0 -1 B．6 3 C．4 9 D．4 1
【答案】C
【解析】∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，
∴3x1 2，3x2 2，3x3 2，3x4 2，3x5 2的平均数是x1，x2，x3，x4，x5的平均数的3倍减2，
∴3x1 2，3x2 2，3x3 2，3x4 2，3x5 2的平均数为：3×2 2＝4，
∵当一组数据同时加上一个常数不影响方差，乘以一个常数则其方差变为原来的常数的平方倍，
∴3x1 2，3x2 2，3x3 2，3x4 2，3x5 2的方差为：32×1＝9.
故答案为：C.
22．为迎接体育测试，小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某一周每天做引体向上的个数，如下表：
其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据唯一的众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是 。
【答案】
【解析】∵平均数为12，
∴这组数据的和=12×7=84，
所以被墨汁覆盖的数的和=84-11-12-13-12=36，
又∵这组数据的众数为13，
∴被覆盖的三个数为：10，13，13，
所以这组数据的方差s2=
=.
故答案为：.
23．如果一组按从小到大排序的数据a，b，c的平均数是b，方差是S2，那么数据a+99，b+100，c+101的方差将 S2（填“大于”“小于”或“等于”）.
【答案】大于
【解析】∵一组按从小到大排序的数据a，b，c的平均数是b，方差是S2，
∴ （a+b+c）＝b，
S2＝ [（a﹣b）2+（b﹣b）2+（c﹣b）2]，
∵数据a+99，b+100，c+101的平均数是： （a+99+b+100+c+101）＝b+100，
∴数据a+99，b+100，c+101的方差是：
[（a+99﹣b﹣100）2+（b+100﹣b﹣100）2+（c+101﹣b﹣100）2]
＝ [（a﹣b﹣1）2+（b﹣b）2+（c﹣b+1）2]
＝ [（a﹣b）2+1﹣2（a﹣b）+（b﹣b）2+（c﹣b）2+1+2（c﹣b）]
＝ [（a﹣b）2+（b﹣b）2+（c﹣b）2]+ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]
＝S2+ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]，
∵a＜b＜c，
∴b﹣a＞0，c﹣b＞0，
∴ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]＞0，
∴S2+ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]＞S2，
故答案为：大于.
24．已知一组不全等的数据：x1，x2，x3，……，xn，平均数是2020，方差是2021，则新数据：2020，x1，x2，x3，……，xn的平均数是 ，方差 2021（填“＝、＞或＜”）.
【答案】2020；＜
【解析】∵x1，x2，x3…xn，平均数是2020，方差是2021，
∴×（x1+x2+x3+…+xn）＝2020，S2＝ [（x1﹣2020）2+（x2﹣2020）2+……+（xn﹣2020）2]＝2021，
∴x1+x2+x3+…+xn＝2020n，（x1﹣2020）2+（x2﹣2020）2+……+（xn﹣2020）2＝2021n，
则2020，x1，x2，x3…xn的平均数是 （2020+x1+x2+x3+…+xn）＝ （2020n+2020）＝2020，
S′2＝ [（2020﹣2020）2+（x1﹣2020）2+（x2﹣2020）2+……+（xn﹣2020）2]
＝ [（x1﹣2020）2+（x2﹣2020）2+……+（xn﹣2020）2]＜S2，即S′2＜2021.
故答案为：2020，＜.
25．已知数据 ， ， ， 的方差是 ，则 ， ， ， 的方差为 .
【答案】1.6
【解析】0.1×42=1.6.
26．某学校九（1）班40名同学的期中测试成绩分别为 ， ， ，……， .已知 + + +……+ = 4800，y= + + +……+ ，当y取最小值时， 的值为 .
【答案】120
【解析】y=40a
2-2（a
1+a
2+a
3+…+a
40）a+a
12+a
22+a
3
2+…+a
402，
=40（a-）2+X
所以当a==120
时，y有最小值．
27．
（1）已知三组数据，通过计算完成填表：
数据 平均数 方差
1，2，3，4，5
11，12，13，14，15
3，6，9，12，15
（2）【分析数据】请你比较三组数据的大小及统计量的结果，写出其中一些规律性的结论。
（3）【解决问题】请你用发现的结论来解决以下的问题。
已知数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为a，方差为b，则
（1）数据x1+3，x2+3，x3+3，…，xn+3的平均数为 ，方差为 。
（2）数据x1-3，x2-3，x3-3，…，xn-3的平均数为 ，方差为 。
（3）数据3x1，3x2，3x3，…，3xn的平均数为 方差为 。
（4）数据2x1-3，2x2-3，2x3-3，…，2xn-3的平均数为 ，方差为 。
【答案】（1）解：1，2，3，4，5 这五个数的平均数为：（1+2+3+4+5）÷5=3，
方差为：÷5=2，
11，12，13，14，15 这五个数的平均数为：（11+12+13+14+15）÷5=13，
方差为：÷5=2，
3，6，9，12，15 这五个数的平均数为：（3+6+9+12+15）÷5=9，
方差为：÷5=18，
故补充表格如下，
数据 平均数 方差
1，2，3，4，5 3 2
11，12，13，14，15 13 2
3，6，9，12，15 9 18
（2）解：一组数据的每个数据加上或减去同一常数，则平均数也加上或减去这个常数，而方差不变；一组数据的每个数据扩大到原来的n倍或缩小为原来的，则平均数也扩大到原来的n倍或缩小为原来的，而方差扩大到原来的n2倍或缩小为原来的.
（3）a+3；b；a-3；b；3a；9b；2a-3；4b
【解析】（3）①利用（2）规律：
一组数据的每个数据加上同一常数，则平均数也加上这个常数，而方差不变，
∵数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为a，方差为b ，
∴x1+3，x2+3，x3+3，…，xn+3的平均数为a+3，方差为b；
②利用（2）中规律：
一组数据的每个数据减去同一常数，则平均数也减去这个常数，而方差不变，
∵数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为a，方差为b ，
∴x1-3，x2-3，x3-3，…，xn-3的平均数为a-3，方差为b；
③利用（2）中规律：
一组数据的每个数据扩大到原来的n倍，则平均数也扩大到原来的n倍，而方差扩大到原来的n2倍，
∵数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为a，方差为b ，
∴数据3x1，3x2，3x3，…，3xn的平均数为3a，方差为9b；
④∵数据2x1-3，2x2-3，2x3-3，…，2xn-3为原数据先扩大2倍后，再每个数据减3，
∴利用（2）中规律，可得：
平均数为2a-3，方差为4b.
故答案为： a+3 ， b ； a-3 ， b ； 3a ， 9b ； 2a-3 ， 4b .
【直击中考】
28．（2022·丹东）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.2环，方差分别是s甲2＝0.12，s乙2＝0.59，s丙2＝0.33，s丁2＝0.46，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【解析】∵s甲2＝0.12，s乙2＝0.59，s丙2＝0.33，s丁2＝0.46，
∴s甲2＜s丙2＜s丁2＜s乙2，
∴成绩最稳定的是甲，
故答案为：A．
29．（2022·嘉兴）A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（ ）
A． ＞ 且 ＞ ．
B． ＜ 且 ＞ ．
C． ＞ 且 ＜ ．
D． ＜ 且 ＜ ．
【答案】C
【解析】 解：A、∵ > 且 > ，
∴A运动员成绩要好于B运动员的成绩，但A运动员方差大于B运动员的方差，即A运动员成绩不稳定，
∴A选项不符合题意；
B、∵ ＜ 且 > ，
∴A运动员成绩要低于B运动员的成绩，且A运动员方差大于B运动员的方差，即A运动员成绩不稳定，
∴B选项不符合题意；
C、∵ > 且 ＜ ，
∴A运动员成绩要好于B运动员的成绩，且A运动员方差小于B运动员的方差，即A运动员的成绩稳定，
∴C选项符合题意；
D、∵ ＜ 且 ＜ ，
∴A运动员方差小于B运动员的方差，即A运动员成绩稳定，但A运动员成绩要低于B运动员的成绩，
∴D选项不符合题意.
故答案为：C.
30．（2022·台州）从 A、B两个品种的西瓜中随机各取7个，它们的质量分布折线图如图．下列统计量中，最能反映出这两组数据之间差异的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】D
【解析】A品种西瓜的平均数为；
B品种西瓜的平均数为；
平均数不能反映出这两组数据之间差异，故A不符合题意；
A、B组数据的众数为5，不能反映出这两组数据之间差异，故C不符合题意；
A、B组数据的中位数都为5，不能反映出这两组数据之间差异，故B不符合题意；
A种数据波动较小，B组数据波动较大，
∴最能反映出这两组数据之间差异是方差，故D符合题意；
31．（2021·台州）超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）平均数和方差分别为 ，s2，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差 ，s12，则下列结论一定成立的是（ ）
A． ＜ B． ＞ C．s2＞s12 D．s2＜s12
【答案】C
【解析】∵顾客从一批大小不一的鸡蛋中选购了部分大小均匀的鸡蛋，
∴ ＜s2， 和 1的大小关系不明确，
故答案为：C
32．（2017·嘉兴）已知一组数据 ， ， 的平均数为 ，方差为 ，那么数据 ， ， 的平均数和方差分别是（ ）
A．， B．3， 4 C．5， 2 D．5， 4
【答案】B
【解析】平均数为（a 2 + b 2 + c 2 ）=（3×5-6）=3.
原来的方差：=4
新的方差：=4
故选B.
33．（2020·宁波）今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数 (单位：千克)及方差 (单位：千克2)如下表所示：
甲 乙 丙
45 45 42
1.8 2.3 1.8
明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种 .
【答案】甲
【解析】∵甲、乙、丙作比较，甲、乙平均数较大，
∴产量高，
甲、乙比较，甲的方差较小，
∴产量较稳.
∴甲的产量既高又稳定.
故答案为：甲.
34．（2021·金华）小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学测试了6次，获得如下测试成绩折线统计图.根据图中信息，解答下列问题：
（1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量.
（2）求小聪成绩的方差.
（3）现求得小明成绩的方差为 （单位：平方分）.根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由.
【答案】（1）解：平均数：
（分）
（分）
（2）解： （平方分）
（3）解：答案不唯一，如：
①从平均数看， ，∴两人的平均水平一样.
②从方差来看， ，∴小聪的成绩比较稳定，小明的成绩波动较大.
③从平均数和方差来看， ， ，∴两人的平均水平一样，但小聪的成绩更稳定.
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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第3章 数据分析初步
3.3方差和标准差
【知识重点】
在评价数据的稳定性时，我们通常将各数据偏离平均数的波动程度作为指标.
一、方差：
一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差.
方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.
二、标准差:
一组数据的方差的算术平方根称为这组数据的标准差.
即
【经典例题】
【例1】数据-1，0，2，3，1的方差是 ，标准差是 .
【例2】我市射击队为了从甲、 乙 两名运动员中选出一名运动员参加省运动会比赛，组织了选拔测试，两人分别进行了五次射击，成绩（单位：环）如下：
甲 10 9 8 9 9
乙 10 8 9 8 10
你认为应选择哪位运动员参加省运动会比赛.
【例3】已知一组数据 ， ， 的平均数和方差分别是2， ，那么另一组数据 ，2 ， 的平均数和方差分别是 ， ．
【基础训练】
1．甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均数都是8环，方差分别是，则两人射击成绩波动情况是（ ）
A．甲波动大 B．乙波动大
C．甲、乙波动一样大 D．无法比较
2．有甲、乙两组数据，如下表所示：
甲 11 12 13 14 15
乙 12 12 13 14 14
两组数据的方差分别是、，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．为了从四名同学中选出一人参加计算机编程比赛，对他们进行了多次测试，并对每个人的测试成绩的平均数及方差进行了统计（如下表），则应选的同学是（ ）
学生 学生一 学生二 学生三 学生四
平均数 95 96 96 95
方差 5 5 4.8 4.8
A．学生一 B．学生二 C．学生三 D．学生四
4．在方差的计算公式中，数字10和20表示的意义分别是（ ）
A．数据得个数和平均数 B．数据的方差和平均数
C．数个数和方差 D．以上都不对
5．若x1，x2，x3， ，xn的平均数为8，方差为2，则关于x1＋2，x2＋2，x3＋2，……，xn＋2，下列结论正确的是（ ）
A．平均数为8，方差为2 B．平均数为8，方差为4
C．平均数为10，方差为2 D．平均数为10，方差为4
6．将数据a、b、e、d、e、f的每一个数据都增加5，则下列说法中错误的是（ ）
A．平均数增加5 B．中位数增加5 C．众数增加5 D．方差增加5
7．小明利用公式S2=[（5-）2+（8-）2+（4-）2+（7-）2+（6-）2]计算5个数据的方差，则这5个数据的标准差S的值是 。
8．数据的平均数是4，方差是3，则数据的平均数和方差分别是 ， ．
9．一台机床生产一种零件.在10天中，每天出次品的数量如下表.
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
次品 1 1 3 2 2 0 3 1 2 0
求次品数量的平均数和方差.
10．在东京奥运会比赛前，有甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表，则这四人成绩最好且发挥最稳定的是 ．
选手 甲 乙 丙 丁
平均数（环） 9.4 9.4 9.2 9.2
方差（环2） 0.035 0.015 0.025 0.027
11．
为了选拔一名学生参加全市诗词大赛，学校组织了四次测试，其中甲乙两位同学成绩较为优秀，他们在四次测试中的成绩（单位：分）如表所示：
甲 90 85 95 90
乙 98 82 88 92
通过计算，甲同学在这四次测试中的平均分为90分，分别求出两位同学测试成绩的方差.从成绩稳定性的角度出发，你认为选谁参加比赛较合适？
12．为了考察甲、乙两种玉米的生长情况，在相同的时间，将它们种在同一块实验田里，经过一段时间后，分别抽取了10株幼苗，测得苗高如下（单位：cm）：
甲：8，12，8，10，13，7，12，11，10，9；
乙：11，9，7，7，12，10，11，12，13，8．
（1）分别求出两种玉米的平均高度；
（2）哪种玉米的幼苗长得比较整齐？
【培优训练】
13．已知一组数据的方差为，数据为：－1，0，3，5，x，那么x等于（ ）
A．－2或5.5 B．2或－5.5 C．4或11 D．－4或－11
14．跳远运动员李强在一次训练中，先跳了6次的成绩如下：7.6，7.8，7.7，7.8，8.0，7.9（单位：m）．这六次成绩的平均数为7.8，方差为．如果李强再跳两次，成绩分别为7.6，8.0，则李强这8次跳远成绩与前6次的成绩相比较，其方差 （ ）．
A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定
15．一组数据的方差计算公式 ，则该方差计算公式中的值是（ ）
A．3 B． C． D．
16．一个样本为1，3，2，2，a，b，c，已知这个样本的众数为，平均数为2，那么这个样本的方差为（ ）
A． B． C． D．
17．某班50名同学参加安全知识竞赛成绩统计如下表，其中两个数据被覆盖，关于成绩的四个统计量：①众数，②中位数，③平均数，④方差，一定与被覆盖数据无关的是（ ）
成绩（分） 93 94 95 96 97 98
人数 ■ 12 14 10 ■ 6
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
18．某班有50人，一次数学测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小颖没有参加此次集体测试，因此计算其他49人的平均分为92分，方差s2＝23．后来小颖进行了补测，成绩是92分，关于该班50人的数学测试成绩，下列说法正确的是（ ）
A．平均分不变，方差变小 B．平均分不变，方差变大
C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变
19．设x1，x2，…，xn的平均数为，方差为S2，若S2=0，那么（ ）
A．x1=x2=…=xn，=0 B．=0
C．x1=x2=x3=…=xn D．中位数为0
20．八年级一班的学生平均年龄是a岁，方差是b，一年后该班学生到九年级时，下列说法正确的是（ ）
A．平均年龄不变 B．年龄的中位数不变
C．年龄的众数不变 D．年龄的方差不变
21．已知一组数据的平均数是2，方差是1，那么另一组数据的平均数和方差分别是（ ）
A．0 -1 B．6 3 C．4 9 D．4 1
22．为迎接体育测试，小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某一周每天做引体向上的个数，如下表：
其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据唯一的众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是 。
23．如果一组按从小到大排序的数据a，b，c的平均数是b，方差是S2，那么数据a+99，b+100，c+101的方差将 S2（填“大于”“小于”或“等于”）.
24．已知一组不全等的数据：x1，x2，x3，……，xn，平均数是2020，方差是2021，则新数据：2020，x1，x2，x3，……，xn的平均数是 ，方差 2021（填“＝、＞或＜”）.
25．已知数据 ， ， ， 的方差是 ，则 ， ， ， 的方差为 .
26．某学校九（1）班40名同学的期中测试成绩分别为 ， ， ，……， .已知 + + +……+ = 4800，y= + + +……+ ，当y取最小值时， 的值为 .
27．
（1）已知三组数据，通过计算完成填表：
数据 平均数 方差
1，2，3，4，5
11，12，13，14，15
3，6，9，12，15
（2）【分析数据】请你比较三组数据的大小及统计量的结果，写出其中一些规律性的结论。
（3）【解决问题】请你用发现的结论来解决以下的问题。
已知数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为a，方差为b，则
（1）数据x1+3，x2+3，x3+3，…，xn+3的平均数为 ，方差为 。
（2）数据x1-3，x2-3，x3-3，…，xn-3的平均数为 ，方差为 。
（3）数据3x1，3x2，3x3，…，3xn的平均数为 方差为 。
（4）数据2x1-3，2x2-3，2x3-3，…，2xn-3的平均数为 ，方差为 。
【直击中考】
28．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.2环，方差分别是s甲2＝0.12，s乙2＝0.59，s丙2＝0.33，s丁2＝0.46，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
29．A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（ ）
A． ＞ 且 ＞ ．
B． ＜ 且 ＞ ．
C． ＞ 且 ＜ ．
D． ＜ 且 ＜ ．
30．从 A、B两个品种的西瓜中随机各取7个，它们的质量分布折线图如图．下列统计量中，最能反映出这两组数据之间差异的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
31．超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）平均数和方差分别为 ，s2，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差 ，s12，则下列结论一定成立的是（ ）
A． ＜ B． ＞ C．s2＞s12 D．s2＜s12
32．已知一组数据 ， ， 的平均数为 ，方差为 ，那么数据 ， ， 的平均数和方差分别是（ ）
A．， B．3， 4 C．5， 2 D．5， 4
33．今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数 (单位：千克)及方差 (单位：千克2)如下表所示：
甲 乙 丙
45 45 42
1.8 2.3 1.8
明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种 .
34．小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学测试了6次，获得如下测试成绩折线统计图.根据图中信息，解答下列问题：
（1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量.
（2）求小聪成绩的方差.
（3）现求得小明成绩的方差为 （单位：平方分）.根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由.
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