第五章 一元一次方程[上学期]

5.1　一元一次方程
【教学目标】
知识目标：1、通过观察，归纳一元一次方程的概念
2、掌握检验一个数是不是方程的解的方法
3、掌握简单一元一次方程的解法
【教学重点、难点】
重点：归纳一元一次方程的概念，检验一个数是不是方程的解的方法。
难点：简单一元一次方程的解法。
【教学过程】
一、课前训练
(1)、在植树活动中，一年级一班有树苗80棵，二班有48棵树苗，如果要使这两个班的树苗一样多，需从一班调x棵到二班，则所列方程是_______________________________
　(2)、一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现由甲单独做4小时，剩下的甲、乙合做要x小时完成，则所列方程是_________________________________
（3）小明种了一棵高度为40厘米的树苗，栽种后每周树苗长高约为12厘米，问大约经过几周后树苗长高到1米？设大约经过周后树苗长高到1米，依题意得方程____________
　同学们这上面所列式子是我们以前学习过的方程，请大家仔细观察一下上面所列方程有什么特点？
归纳一元一次方程的概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程
请试做下面练习：
（1）下列式子中，属于方程的是（ ）
A、 B、 C、 D、
（2）下列方程中，属于一元一次方程的是（ ）
A、 B、 C、+25=0 D、
（3）如果x3m－2＋6=0是一元一次方程，那么m=____________
2．分组讨论两个练习；取什么值时下列方程等号成立
(1)+25=0, (2)
引出方程解的定义:使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解
例1:判断下列各的值是不是方程4(+1)=16的解
(1) =-2 （2）=3
解：（1）把=-2代入方程，得
左边=4（-2+1）=-4
∵；左边≠右边
∴=-2不是原方程的解
（2）把=3代入方程，得
左边=4（3+1）=-4
∵；左边=右边
∴=3是原方程的解
练习：已知x=2是方程2(x－3)＋1=－2x＋a的解，则a=____________.
例2：求上页合作学习第（3）题2 + 0．3 = 5的解
∴=10
课内练习:1、2
课堂小结：一元一次方程的定义
一元一次方程的解及检验方法
作业：作业本
板书设计
5．1一元一次方程
（一）知识回顾
例1、例2
（二）观察发现 （四）课堂练习
练习设计
（三）例题解析
（五）课堂小结
教学反思
　
5.2　一元一次方程的解法
【教学目标】
知识与能力：在理解等式的两个性质的基础上，尝试用检验的方法解一元一次方程。理解移项的概念，使全体学生初步掌握移项法则，并会用这一法则解简单的一元一次方程；使大部分学生掌握移项法则，并在一道题中多次运用这一法则解简单的一元一次方程。
过程与方法：通过对图示变化的归纳，鼓励学生自主探索利用等式的两个性质解一元一次方程的方法，探究移项法则。经历解一元一次方程的实践与探索过程，提高学生观察、归纳、猜想、验证的能力，不断增强解题能力。
情感态度与价值观：提供适当的情景，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣；在合作学习中，学会交流与合作。
【教学重点、难点】
重点：了解利用等式的两个性质解一元一次方程的探索过程，掌握移项法则，熟练的运用移项法则解一元一次方程。
难点：等式性质2的应用以及移项要变号的具体应用。
【教学准备】电脑、投影
【教学过程】
(一)创设情景，提出问题
提问：1什么是方程？与等式的关系？
2.什么是方程的解（根）？解方程？
3.判断下列式子哪些是方程？哪些是一元一次方程？
(1)4x=3x+50；(2)2x＝100；(3)2×3+5=11；(4)2x+3；(5)y2+7=8；(6)z＝0；(7)3y+2=4；(8)－x=4；(9)－＝－；(10)3y+4y；(11)ab=ba；(12)x－＝2(x＋1)
4.说出等式的基本性质，并利用等式的基本性质解上述方程(1)、(2)？观察下图(见教材合作学习)：
(二)合作交流，探索新知
分别观察上述两图，小组讨论下列问题：
1、从甲到乙再到丙的变化过程中，天平称盘上的物体质量发生了什么变化？相应的方程又发生了什么变化？
2、你能用等式的性质说明上述各变化过程的正确性吗？
通过图例归纳，鼓励学生自己总结用等式的性质解简单的一元一次方程。
归纳：上述过程表明，求方程的解，可以运用等式的性质，把方程变形成x=a(a为已知数)的形式。
(三)指导应用，深化理解
例1 解方程：
(1)5x＝50＋4x； (2) -x=4 ；
按课本讲解、板书。（组织学生口头回答例题的解答，注意用检验的方法解一元一次方程。）
探究以下三个问题：
问题1: 上述解题过程应用等式的哪些性质？如何对方程的解进行检验？
问题2：已出现哪一些解一元一次方程的一般步骤？ 各步骤的依据是什么？
问题3：如何正确规范书写解方程的各个步骤？哪些步骤可以省略不写？？
例2:解方程,并口算检验：
(1)8－2x＝9－3x； (2)－x＝x＋5
教师引导学生检验,完成解题过程．
随堂练习：课本练习1(板演),2(先做在书本上再口答)
探究活动1：
(1)简要分析下列错解，写出正确答案：
解方程：－x＝－2x＋6
解：把－2x移到左边，得－x－2x＝6
合并同类项，得－3x＝6
两边都除以－3,得x＝－2
(2)由上题解得过程，你发现了什么问题？应怎样纠正？
(3)解方程：3x＝2x＋7，试着把2x移到等式的左边，怎样移动？这样移动的依据是什么？它简化了解方程的哪一步？
由师生共同得出移项的概念：一般地，把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。移项时，通常把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边。
注意移项必须改变符号后从等式的一边移到另一边。
例3解方程：
(1)5＋2x=1； (2)8－x＝3x＋2
画出移项路线图(见教材)，说明移项和合并同类项在方程变形中经常用到，移项时应注意改变项的符号。
例4解方程
(1)3－(4x－3)＝7； (2) x－＝2(x＋1)(结果保留3个有效数字)
说明：对方程中一边或两边有括号时，一般应先去掉括号，在进行移项、合并同类项等变形求解。
随堂练习：课本5.2(2)练习：1(口答)，2(板演)
探究活动：(1)课本练习3;
(2)应用等式的性质解一元一次方程的一般步骤已经学过的有几个步骤？各个步骤的依据是什么？
(四)归纳小结，反思提高
问题：通过本课的探讨学习，你获得了哪些新的知识，你认为有哪些方面的进步。（让学生进行小结，经过学生个人回顾—同桌交流—给大家说说的过程，总结本节课的所做、所听、所感，让知识系统化、合理化。重视学生之间的相互补充，训练学生的归纳和表述能力，提高学生学习的积极性和主动性）
可以从以下三个方面归纳：
1.知识：等式的两个性质，移项法则，简单的一元一次方程的解法。
2.方法：本节课我们从实例出发，经过比较归纳，得出了应用等式性质解一元一次方程的一般方法和移项法则。今后我们经常要用类似的思想方法研究其他问题。
3.体验：感受生活中解一元一次方程的存在与价值，数学来源于生活，通过探索与交流体验知识的形成过程。
(五)布置作业：课本5.2(1)节作业题的A组、B组和5.2(2)节作业题的A组、B组
【板书设计】
§5.2一元一次方程的解法
（一）知识回顾 例4、例5
（二）观察发现 （四）课堂练习
（三）例题解析 练习设计
（五）课堂小结
【教学反思】
5.3 一元一次方程的应用
本节内容可分3—4课时进行，应用题一直以来是学生学习数学的一只拦路虎，因而我们在教学时应想方设法克服这一教学难点。
【教学目标】
知识目标：1、掌握列方程解应用题的一般步骤。
2、掌握诸如行程问题、等积变形、调配问题、利率问题、工程问题这些常见的数量关系，列出方程。
能力目标：1、会用图示法、列表法、分析应用题中的数量关系。
2、会利用一元一次方程解决简单的实际问题。
情感目标：体验方程是刻画现实世界的有效的数学模型。
【教学重点、难点】
重点：掌握列方程解应用题的一般步骤，及掌握常见的基本数量关系，列出方程，是教学重点。
难点：让学生学会用列表法、图示支分析应用题中的数量关系是教学难点。
【教学过程】
一、创设问题情境
T：×××同学今年你几岁？
S1：14岁。
T：我今年48岁，再经过几年你的年龄正好是我年龄的三分之一？
S1：再过二年。
T：你说说，为什么再过二年你年龄是我年龄的三分之一？
S1：再过二年我16岁，您48岁，正好是三分之一。
T：他说得对吗？
S2：不对，再过二年他年龄16岁，而您50岁了。
T：那你说要再过几年呢？
S2：再过二年不对，再过三年，他17岁，您51岁，正好是。
T：他说得对吗？
S：对
T：这里有一个怎样的基本数量关系？
S2：人的年龄是同步增长的。
T：很好，用等式来表示是：学生年龄 = 老师年龄
1 4 + O = 48 + O
其中O代表再过几年
如果把O用字母x来表示，则可列出方程：，这个方程是什么方程？
S：一元一次方程
T：说明用一元一次方程可以解决许多实际问题，今天开始我们就是要学习“一元一次方程的应用”（板书课题）
二、合作学习
2002年亚运会上我国获得150枚金牌，比1994年亚运会我国获得的金牌数的2倍少38枚，问1994年亚运会我国获得几枚金牌？
1、哪个量是未知的？
2、你能象刚才老师一样，找出一个基本的等量关系吗？
2002年的金牌数=2×1994年的金牌数 少38枚
150 = 2 x - 38
3、方程的解是多少？
三、典例分析
例1：5位教师和一群学生一起去公园，教师按全票的票价是每人7元，学生只收半价，如果买门票共花费206.50元，那么学生有多少人？
分析 题中涉及的数量有人数、票价、总价，它们之间的相等关系是：
人数×票价=总票价；
学生的票价=×教师的票价；
教师的总票价+学生的总票价=206.50
教师与学生共同归纳运用方程解决实际问题的一般步骤：
1、审题：分析题意，找出题中的数量及其关系；
2、设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x）；
3、列方程：根据相等关系列出方程；
4、解方程：求出未知数的值；
5、检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案。
例2：甲、乙两人从A、B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶，出发后经3时两人相遇。已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇后经1小时乙到达B地，问甲、乙行驶的速度分别是多少？
分析 路程=速度×时间
相遇前甲行驶的路程+90=相遇前乙行驶的路程
相遇后乙行驶的路程=相遇前甲行驶的路程
例3：一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周
铺上花岗石，形成一个宽为3米的正方形边框。已知铺这个边框恰好用了192块边长为0.75米的正方形花岗石，问标志性建筑底面的边长是多少米？
阴影部分的面积=192块边长为0.75米的正方形花岗石的面积；
阴影部分可以分割成4个长为（x+3）米，宽为3米的长方形。
例4：学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人。现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？
用列表法分析题意：
甲处 乙处
原有人数 23 17
增加人数 x 20-x
现有人数 23+x 17+20-x
甲处人数 = 2×乙处人数
例5：甲每天生产某种零件80个，甲生产3天后，乙也加入生产同一种零件，再经过5天，两人共生产这种零件940个。问乙每天生产这种零件多少个？
头3天甲生产零件的个数+后5天甲生产零件的个数+后5天乙生产零件的个数=940
例6：小明把压岁钱按定期一年存入银行。当时一年期定期存款的年利率为1.98%，利息税的税率为20%，到期支取时，扣除利息税后小明实得本利扣为507.92元。问小明存入银行的压岁钱有多少元？
本金×利率=利息；
利息×税率=利息税；
本金+利息-利息税=实得本利和
四、课堂练习：分节布置
五、小结：1、列方程解应用题的一般步骤
2、基本的数量关系
3、分析题意的几种基本方法
六、作业布置：分节布置
5.4　问题解决的基本步骤
【教学目标】
知识目标：了解问题解决的四个步骤
能力目标：会初步按问题解决的四个基本步骤，对应用题进行审题，分析数量关系，选择数学模型，设定未知量，列方程，解方程，并进行检验、回顾与反思.。
情感目标：把实际问题转化为数学问题，建立方程的模型，体验一元一次方程与实际的密切联系，生活中的数学.
【教学重点、难点】
重点：按问题解决的四个基本步骤，列方程解应用题.
难点：例1的理解和回顾，例2的分析数量关系.
【教学过程】
一 新课的引入
举一个出门旅行的实例来引入问题解决的基本步骤：要出门旅行前要做些什么？（老师问），学生讨论后，教师概括：理解问题是指我们要明确出发地和目的地、两地之间的交通工具、时间、费用等等.在理解问题的基础上，通过对各种已知信息的分析，各种预想方案的比较，确定实施方案，也就是制定计划。接下来当然就是执行计划-----旅游.在结束旅行回来后回顾过程，获取有益的经验，也就是回顾.但这四个步骤常常是一个反复的过程.所以解决问题的四个基本步骤：理解问题，制定计划，执行计划，回顾.
二 新课
请同学们一起朗读并理解P132上四个步骤的具体要求.
1. 例一（见课本并展示课件）
理解问题
师：我们可以按问题解决的基本步骤来分析思考问题，使我们的思维有条不紊科学地进行。然后仔细阅读例一的资费标准调整表后，考虑我们要解决的问题涉及哪几个关键的量？这些量之间有怎样的数量关系？
生：涉及通话时间、收费标准和话费三个量，他们的关系是：通话时间×收费标准=话费.
师：在21：00拨打一个电话，调整前的话费为3.40元，你能判定这个长话属于哪个时间段？生：3.40×０.０４÷６＝５１０秒〈１时，说明属于２０：００～２２：００这个时间段内.
师：刚才这位同学从时间角度比较得出，还有其他判定方法吗？
生：可从话费角度考虑.如果在２１：００～２２：００通话时间为１时，相应的话费就为０.０４÷（６×３６００）＝２４元　〉３.４元，说明这个通话时间不到１小时.
制定计划
师：现在知道了这个话费是在２１：００～２２：００时间段，我们也应该想到对于同一个电话，无论调整前后收费标准怎样变化，但总有：调整前通话时间＝调整后通话时间.根据前面的分析，可用列方程求解.具体步骤如下：
设所求的话费为Ｘ→用Ｘ的代数式表示调整后的通话时间→列方程→解方程→检验
（强调解题格式与书写规范）
执行计划　　　设所求的话费Ｘ，根据题意，得
　　　　　　　　　　　　　３.４０÷　　　＝Ｘ÷　　　
解这个方程，得Ｘ＝２.５５（元）
答：这个电话在调整后的话费为２.５５元.
回顾　　　　
师：做完了问题应该有个回顾，有利于我们加深对问题的理解，并能举一反三，提高效率.
（1） 检验结果，求解无误，结果符合实际.
（2） 获取了有益的经验，说明求解过程中，“５１０秒小于１时”的检验是必需的，保证２１：００所打的电话再在２０：００～２２：００的时间段内，这样还启发我们对问题条件做适当的修改后继续研究，展示下列各变题：
变题１.调整前的话费改为３０元，那么“执行计划”应做何调整？
（教师简单分析，让学生上讲台板演）
简析：从２１：００～２２：００通话时间１时，相应话费为２４元，那还有６元的话费应该在２２：００以后打的，打了（３０－２４）÷（０.０３÷６）＝１２００（秒），则总通话时间为３６００＋１２００＝４８００（秒），所列方程是
0. ６Ｘ÷０.０３＝４８００，解得Ｘ＝２４.
刚才讲的都是已知调整前话费，求调整后的话费，再进一步可得节省的费用.反思一下，若已知节省的费用，能求出其余的量吗？
变题２.一个从１９：５０分开始打的长话，在调整后话费节省了１.８元，那么这个电话在何时通话结束？调整后的话费是多少？
（学生分组讨论）
教师帮助学生一起归纳得出：在１８：００～２０：００之间，话费降幅为（０.０６÷６）－（０.０３÷６）＝０.００５.从１９：５０到２０：００这１０分内可节省话费０.００５×１０×６０＝３（元）但１.８小于３，即通话不超过１０分，只有
1. ８×（６÷０.０３）＝３６０秒＝６分.
若所设的未知数不变，则６Ｘ÷０.０３＝３６０，解得Ｘ＝１.８.即调整后的话费是１.８元，电话在１９：５６通话结束.
变题３.若将变题２节省的话费改为５元，则在调整后的话费又是多少？
０.００５×１０×６０＝３（元）
（５－３）÷（０.０１÷６）＝２１００（秒）
所以共耗时１０分＋２０分＝３０分，则所列方程应是６Ｘ÷０.０３＝３０×６０，解得Ｘ＝９（元）
师：对一个问题应仔细分析题意，适当地改变已知条件，就可得到新的问题，同学们不妨自行编题，下面我们再来看一题例.
2. 例二（展示课件，详见课本）
师：第一步先“理解问题”（由学生回答）：已知的量有参加两个社的总人数，两个社都参加的人数以及参加每个社的人数之间的数量关系，要求的是参加“书画社”的人数.
　 第二步“制定计划”，不妨借助于几何图形，直观描述各个量之间的关系.由课本中的图，知左边圆的面积表示参加书画社的人数，右边圆的面积表示参加文学社的人数，那么公共部分的面积表示什么量？只参加书画和只参加文学社的人数应该由哪块面积表示？（由一个学生上黑板画图表示），指出思路；
思路１　参加书画人数＋参加文学人数－两个社都参加的人数＝总人数；
思路２　只参加书画人数＋只参加文学人数＋两个社都参加人数＝总人数
第三步“执行计划”　先设定未知数Ｘ，表示有关的未知量，然后请同学分别回答.
第四步“回顾”，让学生检验，无论哪种思路，解得的结果都符合题意，体现一题多解的思想方法.
3. 课堂练习
课本P１３４的课内练习.（学生合作完成，教师巡回检查并指出：本题是等积变形问题，让学生了解对于具体问题，当计算结果需取近似值时，不能都用四舍五入法，有时要根据实际情况选用“进一法”，或“去尾法”.本题考虑锻造时的损耗，为保证加工结果准确，必须留有加工余量，因此采用进一法.）
4. 小结
本节课给出了解决问题的基本步骤.首先要审题，分析各个量之间的关系，确定哪些量已知，哪些量未知.再找到等量关系，制定计划，执行计划中应注意书写要规范，并养成做完题进行回顾，反思的好习惯.
三　布置作业
（1） 课本P１３４的作业题Ａ组都做，Ｂ组有能力的同学完成，Ｃ组课后探究思考.
（2） 作业本①中此节内容.
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