第1章 从自然数到有理数
本套教材以“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”三条主线，并根据本学段学生的年龄特征、学习经验、认知规律和各领域数学知识自身的逻辑体系展开。三条主线之间既有联系，又相对独立。第三学段从“数与代数”开始，其目的是充分考虑与第二学段、第一学段的衔接，从新梳理数的发展过程，使学生感受数学来源于生活，生活离不开数学，从而增加学生学习数学的兴趣，以及探索由于需要而再次扩充数系的必要性。
第一章安排了“从自然数到有理数”。本章的主要内容有：回顾前两学段学过的关于“数”的知识，进一步理解自然数、分数的产生和发展的实际背景，通过学生身边的例子体验自然数与分数的意义和在计数、测量、排序、编码等方面的应用；从相反意义的量的表示，理解有理数产生的必然性，合理性；学习有关有理数、数轴、相反数、绝对值等知识，初步理解有理数可以用数轴上的点表示，为以后的进一步学习打下基础。数在大小比较是今后学习不等式的重要基础，数轴在各个数学领域里都有重要的应用。
正数、负数的概念对有理数概念的建立起了关键性的作用，数轴不仅能直观解释其余的相关概念，而且是解决许多数学问题的重要工具。因此，正数、负数及数轴是本章才学中的重点。正数、负数概念的建立需要一个学生从未经历过的数学抽象过程，数轴涉及数和形两个方面，绝对值涉及较复杂的符号问题，这些是本章教学中的难点。
本章教学时间约需9课时 ，具体安排如下：
1.1 从自然数到分数 2课时
1.2 有理数 1课时
1.3 数轴 1课时
1.4 绝对值 1课时
1.5 有理数大小的比较 1课时
复习评价2课时，机动使用1课时，
合计 9课时
一、教科书内容和课程教学目标
（1）本章知识结构框图如下：
（2）本章教学目标如下：
目标类别 目标层次知识点及相关技能 知识技能目标 过程性目标
了解 理解 掌握 灵活运用 经历(感受) 体验(体会) 探索
有理数 从自然数到有理数的发展过程 √ √
有理数的概念 √ √
识别正负数 √
用正、负数表示相反意义的量 √ √
表示具有相反意义的量时，规定正负的相对性 √ √
有理数的分类 √ √
我国古代在数的发展上的贡献 √ √
数轴 数轴的概念 √ √
数轴的画法 √ √
读出数轴上的点所表示的有理数 √ √
在数轴上标出表示有理数的点 √ √
在数轴上表示具有某种实际意义的量 √ √
相反数的概念 √ √
互为相反数的两个数在数轴上点的位置关系 √ √
求一个数的相反数 √ √
数形结合与转化 √ √
绝对值 绝对值的概念 √ √
绝对值的几何意义 √ √
求一个数（不涉及字母表示的数）的绝对值 √ √
互为相反数的两个有理数的绝对值相等 √ √
求绝对值等于某一正数的有理数 √ √
绝对值的简单应用 √ √
有理数大小的比较 从实例形成对有理数大小概念的认识 √ √
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大 √ √
正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数 √ √
两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小 ，绝对值大的数反而小 √ √
用绝对值比较两个数的大小 √ √
利用数轴比较若干个数的大小 √ √
能用不等号正确连接几个有理数 √ √
没有最大的和最小的有理数（运用数轴） √ √
关于有理数大小比较的简单推理及书定(包括符号“∵”“∴”的使用) √ √
（3）本章教学要求
①使学生初步体验数学与现实世界的密切联系，生活中处处有数学。
②初步了解自然数的各种应用及从自然数、分数扩充到有理数是来源于生活实践。
③在具体情景中理解具有相反意义的量的含义，会用有理数表示相反意义的量。感受用有理数表示具有相反意义的量时，规定正、负的相对性。
④能用数轴上的点表示有理数，借助数轴理解相反数、绝对值及比较有理数的大小，体会从数与形两个方面考虑问题的方法。
二、本章编写特点
（1）体现数学来源于生活，素材与学生现实紧密结合
从学生身边的现实例子说起，外出乘车、购买彩票等是学生亲身经历、感受过的，比较亲切、容易接受。这些素材来源于现实，且经过提练，体现了一定的教育价值，体现了数系扩充的必要性。月球表面温度的变化、关于跨海大桥的报道、5个城市气温的比较等无一不是学生所熟悉和感兴趣的，使新知识的引入有了比较扎实的基础。从解决实际问题的欲望而促进对数学学习的兴趣。
（2）重视内容承上启下，突出知识形成与应用过程
为了引出有理数的概念，教材从新回顾了自然数、分数的产生过程，起到与前两个学段衔接的作用，也进一步说明了数的产生与发展是与生产、生活紧密相连的。由于记事、测量与分配物品的需要，人类发明了自然数与分数。人们为了要表示相反意义的量引入了负数。但这又不是简单的重复，在新学段学习时赋于了新的内容。如自然数在计数、排序、编码方面的应用。
（3）关注数形结合思想，鼓励师生互动突破重难点
在本章教材编写中，充分注意到利用数轴的直观性来分析、解答一些数学概念和问题，体现数形结合的思想。在原点两侧，关于原点对称的两点直观描述了两个互为相反数代表的点的位置关系。把数轴上的点到原点的距离作为绝对值的概念，也是先让学生体验绝对值的几何意义，再从此定义得出绝对值的求法，脉络比较清楚。利用数轴规定有理数的顺序，帮助我们分析比较有理数的大小，既直观又形象涵盖了的理数大小比较的所有情况，有利于帮助我们突破难点重点。在教学中要强调数轴也是从客观实际中抽象出来的数学模型，突出数轴的三个要素，多让学生动手画数轴，在数轴上表示各种实际量，包括较大的数和较小的数。
三、教学建议
（1）章前图、正负数的引入
本章章前图中是著名的珠穆朗玛峰顶峰雄姿和盛产葡萄的吐鲁番盆地。在学生欣赏照片，感受我国地大物博，激发学生爱国热情的同时，引导学生把注意力关注到两地的气温和海拔高度上来。因为气温有零上、零下；海拔有高于海平面的高度和低于海平面的高度。为了准确的刻画这些量，就要引进新的数。这就是本章学习的主要内容。具体的教学中，可以让学生通过身边熟悉的事物举一反三，列举用正负数表示的量，进一步使学生体会到负数的引入的确是实际生活的需要，也感受到有理数应用的广泛性。
（2）合作学习初步体验
合作学习是针对课文中提出的问题，要求学生观察、实验、猜测、验证、归纳、推理、概括等方法，组织同学之间相互讨论、交流，以面对面互动的形式，分工合作探索或完成某一学习任务。这种形式的学习方法，同学不一定很习惯，培养良好的与人合作精神也不能一蹴而就。教师在第一次应该下功夫，作充分的准备。先让学生观察身边的事物入手，尽量多说出在日常生活和生产实践中遇到具有相反意义的量。零上、零下；向东、向西；升高、降低；盈利、亏损等等。学生也可能把“相反意义”与“意义不同”混淆起来，提出一些似是而非的他认为是相反意义的量，譬如上升3度与零下3度；盈利3万元与支出3万元等。应该让学生充分讨论，重要的不是结论的得出，而是得出结论的过程，不要因为可能影响教学进度而教师取而代之。通过讨论激发学生勤于思考，善于思考的学习习惯和积极参与敢于发表自己意见的学习热情。其次讨论也是合作学习的一种重要方式，通过讨论互相启发，互相促进。不可忽视讨论过程，可以加深对概念的理解。通过具体例子寻找结论，可以分享成功的喜悦，感受集体的力量。
(3) 关于设计题
本章中的设计题要求学生到图书馆或上英特见网查阅资料，撰写“数的发展与由来”的小论文，主要是让学生体会数学在人类文明发展与进步中的作用，这也是一个对学生能力的培养的机会。应该告诉学生到图书馆查阅资料及搜索网站的方法。如用google搜索，怎样打入关键词，能找到什么资料，怎样下载，对下载的资料怎样进行裁剪等等。可以单独一个人撰写，也可以多人合作。因为他们是首次完成这样的任务，应该给学生足够的时间。完成后可采取多种形式在班上交流，交流范围不限于文章内容，也可以交流在自主探索过程中，获得的经验和方法。
有理数大小的比较
绝对值
gh
相反数
gh
数 轴
gh
负有理数
正有理数
gh
具有相反意义的量
有理数的有关概念
有理数的意义
有理数
自然数
分数（小数）
分数（小数）的意义
分数（小数）的形式
自然数的意义
自然数的用处
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5第三章 实数
本章的主要内容是有理数的开方、平方根、立方根、无理数和实数及其运算。从有理数到实数是数的第二次扩展。经过本章的学习，第三学段所应学的数系扩展已完成，从本章开始，今后所遇到的问题(除特别说明)都将在实数范围内讨论，这给教学带来许多方便。数系从有理数扩展到实数后，数的运算法则和运算律都没有发生变化，本章的内容避开涉及二次根式的内容，所有运算都转化为有理数的运算。
平方根、立方根的概念对实数概念的建立起了十分重要的作用，而且应用非常普遍。实数与数轴上的点的对应关系直观地反映了数的扩展状况，这种数与点的一一对应关系，使数轴成为解释和解决许多数学问题的有效工具，也是数形结合的研究方法的重要依据。平方根、立方根的概念，实数与数轴上点的一一对应关系是本章教学中的重点。平方根的概念是通过逆运算来建立的，而且有多种不同情况，这是学生从未经历过的。无理数的概念比较抽象，它是一个确定的数，却不能把它完全直观地表示出来。平方根的概念、无理数的概念是本章教学中的主要难点。
本章教学时间约需8课时 ，具体安排如下：
3.1 平方根 1课时
3.2 实数 1课时
3.3 立方根 1课时
3.4 用计算器进行数的开方 1课时
3.5 实数的运算 1课时
复习、评价2课时，机动使用1课时，
合计 8课时
一、教科书内容和课程教学目标
（1）本章知识结构框图如下：
（2）本章教学目标如下：
目标类别 目标层次知识点及相关技能 知识技能目标 过程性目标
了解 理解 掌握 灵活运用 经历(感受) 体验(体会) 探索
数的开方 平方根的概念 √ √
算术平方根的概念 √ √
用根号表示数的平方根和算术平方根 √ √
开平方和平方互为逆运算 √ √
用平方运算求非负数的平方根 √ √
立方根的概念 √ √
用根号表示数的立方根 √ √
开立方与立方互为逆运算 √ √
用立方运算求立方根 √ √
用计算器求平方根和立方根 √ √
实数 从有理数到实数的扩展过程 √ √
无理数的概念 √ √
实数的概念 √ √
实数与数轴上的点一一对应 √ √
用有理数估计无理数 √ √
实数的运算法则和运算律 √ √
用计算器进行简单的混合运算 √ √
用实数运算解决一些简单的实际问题 √ √
（3）本章教学要求
① 了解平方根、算术平方根、立方根的概念与表示。
② 认识开平（立）方与平（立）方之间的联系，会用平（立）方运算求平（立）方根，会用计算器求平方根和立方根。
③ 了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。
④ 能用有理数估计一个无理数的大致范围。
⑤ 了解近似数与有效数字的概念；在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问 题的要求对结果取近似值。
二、本章编写说明
(1)教材由实际计算需要引出平方根的概念。随着根号2这些数的出现，就必须建立新的数的概念----无理数。无理数的概念的建立，为数从有理数扩展为实数奠定了基础。
(2)立方根也是由于人们生活和生产实践的需要而产生的数的概念。虽然这一节在实数一节之后，但仍起着加深对实数的认识的作用。在实数范围内进行开立方的运算，无论从认知的角度，还是从表述的角度，都较为方便。
(3)随着数集的扩展，数的运算也必须随着扩展。这不仅是实际计算的需要，也是数发展自身的需要。没有扩展数的运算，数系的扩展就没有意义。实数部分新增的运算是开方运算，在本章中，开方运算主要是利用计算器来进行，也就是通过近似计算，把实数的运算化归为有理数的运算。
三、本章教学中应注意的问题
(1)要重视从有理数到实数的发展过程的教学。要充分运用实际例子克服这一数的扩展过程中的抽象性，使学生体验到平方根、无理数、实数等概念是由于人们生活和生产实践的需要而产生的，在我们的周围普遍存在着。通过实际例子帮助学生了解这些抽象概念的实际意义，并学会在实际情境中使用它们。
(2)要从全套教材的结构来认识本章的地位，并把握好要求。注意不能增加算术平方根的性质和二次根式方面的内容，这些内容将在八年级下册继续学习。
实际计算的需要
平方根
开平方
算术平方根
用计算器求算术平方根
无理数
实数
立方根
开立方
用计算器求立方根
实数的运算
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3第六章 数据与图表
本章主要内容是数据的收集与整理的基本步骤与方法，调查表、统计表的结构与设计，条形统计图、折线统计图和扇形统计图的概念、绘制方法和应用，学会选择合适的统计图直观有效地表示数据。了解利用计算机软件绘制统计图的基本步骤。参与从现实生活的各个方面去获取数据，并对所获得的数据进行整理和分析。本章是小学统计内容的延续和深化，也是初中学习统计与概率的起点。本章中关于统计的数学思想对进一步学习有重要的作用。
任何统计活动都离不开数据的收集和整理。在小学阶段已经掌握条形统计图和折线统计图的画法，所以本章的教学重点是使用适当的方法（计数、测量、实验等）收集数据，经历数据的收集、整理、描述和分析的过程，认识扇形统计图，根据需要选择合适的统计图直观有效地表示数据。数据的收集与整理，运用统计图分析社会生活与科学领域的实际问题都需要较强的运用知识的能力和必需的生活经验，是本章的难点。
本章教学时间约需8课时 ，具体安排如下：
6．1 数据的收集与整理 1课时
6．2 统计表 1课时
6．3 条形统计图和折线统计图 1课时
6．4 扇形统计图 1课时
课题学习 1课时
复习、评估2课时，机动使用1课时，合计8课时。
一、教科书内容和课程教学目标
（1）本章知识结构框图如下：
（2）本章教学目标如下：
目标类别 目标层次知识点及相关技能 知识技能目标 过程性目标
了解 理解 掌握 灵活运用 经历(感受) 体验(体会) 探索
数据 数据在现实生活中的作用 √ √
收集数据的基本方法和基本要求 √ √
按要求进行数据的简单分类排序、分组编码 √ √
根据问题查找有关资料获得数据信息；对日常生活中的某些数据发表自己的看法 √ √
统计图 统计表的基本结构 √ √
制作简单统计表的方法 √ √
条形统计图、折线统计图、扇形统计图的特点和作用 √ √
用条形统计图、折线统计图、扇形统计图表示数据 √ √
根据不同需要选择合适的统计图 √ √
会利用统计图表分析社会生活与科学领域的实际问题 √ √
（3）本章教学要求
①了解收集数据的基本要求和步骤，掌握数据的分类、排序、分组、编码等整理方法，参与数据的收集、整理和分析的实践活动。
②了解统计表的基本结构，能根据实际问题设计调查表和统计表。
③通过实例进一步理解条形统计图、折线统计图和扇形统计图的各自特点和作用，会根据需要选择合理的统计图，直观有效地表示数据。体会统计图在现实生活中的应用。
④能从各种媒体中，有意识地去获得一些数据信息，并能根据统计图表分析数据。
(四)本章教材分析
本章是统计与概率的基础，作为义务教育第二学段统计与概率部分的延续，为后续的统计知识的学习奠定基础，起到承上启下的作用。其主要目标是使学生学习必收集、整理和描述数据的方法，经历运用数据描述信息、作出推断的过程，发展统计观念。
章头的引言安排了两个实际问题，一个源自于学生的生活经验——鞋码问题，另一个是三次地震震级的比较问题，这两个问题虽然学生可以根据生活经验作出回答，但要给出令人信服的结论还需要统计的知识。在引言的基础上，教科书把本章内容分为以下4节：
第一节是“数据的收集与整理”。教科书首先通过合作学习引出了数据收集的基本方法。通过具体的例子讲述了对数据进行分类、排序、分组、编码方法，使学生掌握数据处理的基本方法。
第二节是统计表，将收集的数据经整理后使之表格化，这既是数据整理和表达的一种方式，又是绘制统计图的基础。由于这部分内容在第一学段学生已有初步的概念，因此教科书采用了示例的形式编制统计表，没有对统计表作较为严格的规定与讨论。
第三节是条形统计图和折线统计图，教科书在学生小学学习的基础上，对条形统计图与折线统计图的形式、反映数据的特点、绘制的方法与步骤进行了讲述，特别是要求学生能根据数据的特点，选择合适的统计图来表示数据。
第四节是扇形统计图，本节的目的是根据三种统计图的特点，选择合适的统计图表示数据，并能够理解各种统计图所表示数据的含义。
此外，本章还安排了一个课题学习，课题学习的内容是利用数学统计软件Excel绘制统计图表，计算机的使用可以大大提高数据整理和显示的效果，为学生提供了一个良好的工具，使学生的主要精力集中在数据处理和表示的思想和方法上，拓宽了学生的知识面，为学生综合运用知识解决问题提供了机会。
二、本章教学中应注意的问题
1．要充分让学生以历收集数据、整理数据的数学活动，从中体验数据在现实生活中的作用，学会收集数据、整理数据的基本方法。
2．虽然学生在前两个学段中已学过条形统计图和折线统计图，接触过扇形统计图，但本章涉及的问题情境更加丰富，也较过去复杂。不要把本章教学看做是对旧知识的复习，要突出统计的思想，加强实际操作。
3．本章是本学段统计和概率领域的起步，并且学生刚从小学进入初中，涉及的问题不宜过于复杂，解决问题的要求不宜过高。
4．在本章的学习中，特别要注重理解和在实际问题中解决问题，即使对于绘制统计图表，也要避免死记步骤，一招一式地进行模仿，应该鼓励学生根据不同的问题，选择适当的概念和方法把杂乱无章的数据整理得简洁、概括、美观而富有个性，通过实践使学生对统计数据有较为全面、客观的认识。
5．本章课题学习介绍了一种常见的统计软件----Excel在绘制统计图中的应用，教科书上介绍的仅仅是这个软件在绘制统计图中的最基本的应用，着重是让学生体验计算机在处理数据，绘制图形中的强大功能，教学的重点是在于应用，在于统计的观点与方法，应给予学生充分的学习自主权，在这一节的教学过程中，可布置一些实习作业，让学生带着问题学习，在实践中学习。
直接途径：数数、观察、测量、实验并记录等
生活中的数据
收集
数据整理(分类、排序、分组、编码等)
制作数据统计表
间接途径：查询、查阅文件、报刊、上网及计算等
制作统计图
条形统计图
折线统计图
扇形统计图
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3第二章 有理数的运算
本章是继第一章把数从自然数扩展到有理数，初步形成有理数的概念后，进一步学习有理数的运算，是第一章的延续和发展。本章的主要内容是有理数的加、减、乘、除和乘方运算（包括用计算器进行计算），以及与乘方和有理数运算密切相关的科学记数法、近似数和有效数字等。
数从自然数、分数扩展到有理数后，数的运算从内涵到法则都发生了变化，必须在原有的基础上重新建立。这种数的运算法则的变化，主要原因是增加了负数的概念。而到学了第三章实数，数系扩展到实数后，数的运算的内涵和法则(包括运算律)并没有多大变化，从这个意义上来说，有理数的运算是实数运算的基础和依据，也是代数式四则运算的重要基础。因此，本章内容在第三学段的数学教学中的地位是至关重要的。准确数和近似数、计算器的使用也是本章的教学内容，它是应用有理数解决实际问题所必需的。尤其计算器的使用，是《标准》所倡导的重视数学技术的标志之一。本套教材将计算器取代了传统教材中的全部查表内容，不仅给学生学习带来方便，减轻学生负担，也给学生探索数学问题提供了有效的工具，对改变学生的学习方法和思维方式都产生良好的影响。
有理数的减法是加法的逆运算，有理数的除法是乘法的逆运算，因此，减法和除法可以转化为加法和乘法，而乘方可以看做乘法的特殊情况，所以本章教学的重点是有理数的加法和乘法运算。有理数的混合运算需要运用多种法则，较复杂的符号判别和运算顺序是本章教学的主要难点。
本章教学时间约需16课时 ，具体安排如下：
2.1 有理数的加法 2课时
2.2 有理数的减法 2课时
2.3 有理数的乘法 2课时
2.4 有理数的除法 1课时
2.5 有理数的乘方 2课时
2.5 有理数的混合运算 1课时
2.6 准确数和近似数 1课时
2.7 计算器的使用 1课时
复习、评价3课时，机动使用1课时，
合计 16课时。
一、教科书内容和课程教学目标
（1）本章知识结构框图如下：
（2）本章教学目标如下：
目标类别 目标层次知识点及相关技能 知识技能目标 过程性目标
了解 理解 掌握 灵活运用 经历(感受) 体验(体会) 探索
有理数的加法 通过实例经历有理数加法法则的产生过程 √ √
有理数的加法法则 √ √
加法的运算律 √ √
求两个(或若干个)有理数的和 √ √
运用有理数的加法解决简单实际问题 √ √
常见的求和简便算法 √ √
有理数的减法 通过实例经历有理数减法的产生过程 √ √
有理数的减法法则 √ √
减法与加法的相互转化 √ √
求两个有理数的差 √ √
将加减统一为加法，并化为省略加号的和式 √ √
若干个数的加减混合运算 √ √
矛盾对立的双方，在一定条件下互相转化的辩证唯物主义思想 √ √
运用有理数的加减法解决简单实际问题 √ √
有理数的乘法 通过实例、类比的方法和数轴，经历乘法法则的产生过程 √ √
有理数的乘法法则 √ √
乘法的运算律 √ √
求若干个有理数相乘的积 √ √
倒数的概念 √ √
运用有理数的乘法解决简单实际问题 √ √
有理数的除法 根据除法是乘法的逆运算，归纳有理数的除法法则 √ √
有理数的除法法则 √ √
运用除法法则求两个有理数相除的商 √ √
零不能作除数 √ √
将除法转化为乘法 √ √
若干个有理数的乘除运算 √ √
有理数除法的简单应用 √ √
矛盾对立的双方，在一定条件下互相转化的辩证唯物主义思想 √ √
有理数的乘方 通过实际例子经历乘方概念的产生过程 √ √
乘方、幂、指数、底数的概念 √ √
乘方与幂的表示法 √ √
有理数的乘方运算 √ √
幂的符号法则 √ √
科学记数法 √ √
乘方的简单应用，对较大的数字信息作出合理的解释和推断 √ √
乘方、乘、除混合运算 √ √
有理数的混合运算 有理数的加、减、乘、除和乘方的简单混合运算 √ √
运用 运算律简化运算 √ √
利用有理数的混合运算解决简单的实际问题 √ √
准确数与近似数 通过实例经历近似数和准确数概念的产生过程 √ √
近似数的精确度的两种表示方式 √ √
说出一个由四舍五入得到的有理数的精确位数或有效数字 √ √
根据预定精确度取近似值 √ √
计算器的使用 计算器面板的组成和功能 √ √
计算器的基本工作过程 √ √
用计算器进行加、减、乘、除和乘方及混合运算 √ √
用计算器探索数学规律 √ √
（3）本章教学要求
① 掌握有理数的加法和减法及简单的混合运算，理解有理数加法的交换律和结合律，并能运用加法运算律简化运算。
② 掌握有理数的乘法和除法及简单的混合运算，理解有理数乘法的交换律、结合律和分配律，并能运用乘法运算律简化运算。
③ 理解乘方的意义，掌握有理数的乘方运算。
④ 掌握有理数的加、减、乘、除以及乘方的简单混合运算（以三步为主）
⑤ 能综合运用有理数的运算解决简单的问题
⑥ 会用科学记数法表示较大的数，能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断。
⑦ 了解近似数与有效数字的概念，会根据预定精确度取近似值。
⑧会用计算器进行加、减、乘、除和乘方运算，以及一些简单的混合运算。
(四)本章教材分析
1．教科书首先从建筑工地仓库进出货记录为例，直观得出有理数加法法则，之后又通过例2，在数轴上表示有理数的加法运算，这一方面是通过数轴直观验证有理数的加法法则，另一方面又充分体现数轴的作用，展示数形结合的思想。然后通过合作学习，在图案内填数这种游戏方式，让学生探索有理数加法的运算律——交换律和结合律。
2．有理数减法的核心是将减法转化为加法。教科书以气温为例，直观探索有理数的减法法则。
3．有理数乘法法则中，“负负得正”的导入和理解是本章教学的难点，教科书采用乘法与加法的联系，首先把两个正有理数及一个正有理数和一个负有理数的乘法看成几个相同因数的和，并用数轴直观表示运算的过程和结果，由此引入两个正有理数及一个正有理数和一个负有理数相乘的方法。之后又以实验室中的温度变化为例，直观得出两个负有理数相乘的方法。这样将抽象概念进行了形象化的处理，既使学生体验有理数乘法法则的由来，又使学生体会有理数乘法法则规定的合理性。
4．教科书从除法与乘法的逆运算关系导出除法的运算法则，并且根据乘法与除法的逆运算关系，还介绍可以将除法转化为乘法来进行。
5．乘方是几个相同因数的乘积，可以用乘法运算解决。科学记数法与乘方有关，是为简化记数方法而引进的。本章先引入大数用10的乘方来表示的科学记数法（对小数用10的负整数次幂表示的内容在七年级下册整式的乘除一章里引入），并且在对大数的科学记数法的介绍中，教科书通过我国首次载人航天飞船飞行的行程，全国1年需要粮食的估计等情景的创设，让学生感受大数，并对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断。
6．有理数混合运算在实际生活中经常碰到的，进行有理数混合运算的关键是按有理数混合运算的法则依次进行运算。
7．准确数和近似数是日常生活中常见的两类数，近似数在实际问题中有着广泛的应用，并且当一个大数的近似数的精确度用有效数字表述时，就需要采用科学记数法，因此近似数的内容与乘方也有一定的关系，故而放在本章学习。
8．本章的最后一节是计算器的使用，着重介绍使用计算器进行有理数的加、减、乘、除和乘方运算，繁琐的运算可以用计算器解决，借助计算器还可以探索某些数的规律。
二、本章编写特点
（一）将数学的抽象内容与生产生活实际相联系
1．在章前图和节前图中提供了有理数运算的实际背景，在章前语和节前语中用实际问题引入本章或本节的内容。例如，章前语介绍了有理数运算的作用，以及提出可以用有理数运算解决的实际问题：水库泄洪时，水位以每时2cm的速度下降，3时候后水位下降多少 ？利用有理数运算可以确定往返在各条交通线上的列车的位置，以及了解企业经营中的盈亏状况等。
2．从实际问题出发，引入有理数的运算。如从建筑工地仓库水泥进出货的合计计算中出现（+5）+（+3）和（-2）+（-4），由此引入同号两数相加；从水泥的库存变化计算中出现（+5）+（-2）引入异号两数相加。
从厦门的最高气温比哈尔滨高多少摄氏度的计算中出现9-（-7），引入有理数的减法。
从3时前实验室的温度计算中出现（-2）×（-3），引入两个负数相乘等等。
3．重视运用有理数运算的有关内容解决实际问题
有理数加法学习后设置例4，用有理数的加法运算确定玩具赛车的位置；有理数减法学习后，设置例2，用有理数减法运算比较我国吐鲁番盆地与死海的海拔高低；设置例3，运用有理数的加减混合运算解决储蓄所的现款变化问题；在科学记数法的学习中，设计例4，估算全国每天、每年大约需要多少粮食；在计算器使用的学习中，设计例2，解决增长的百分比问题等等。
（二）运用数轴表示有理数的加法运算。
数轴的运用，一方面可以通过数轴的直观形象，加深对有理数加法运算的理解，另一方面也渗透了数形结合思想。充分运用数轴，是本套教材的特色之一，吸纳了国际上的成功经验。
（三）重视合作学习的设计，让学生在与同伴合作、自主探究中探索、归纳有理数的运算法则、运算律等。
1．在有理数加法运算律的学习中，让学生通过在图案内填数这种游戏方式，探索有理数加法的运算律，要求学生在与同伴的合作交流中归纳、发现规律。这一探究是在前两学段已学过加法运算律的基础进行，学生能够得出结论。
2．在有理数减法法则的学习中，设计通过怎样的计算来比较厦门和哈尔滨两地气温高低的合作学习，让学生通过观察温度计上显示的温度之差来体会有理数的减法法则。
3．在科学记数法的学习中设计合作学习，让学生在与同伴合作中感受大数，并对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断，同时体会书写大数中引入科学记数法的必要性。
4．在有理数的混合运算中设计合作学习，让学生在与同伴的合作中探索有理数混合运算的法则，同时感受有理数运算的应用。
（四）重视探究活动的设计，让学生的知识和数学学习方法得以引申和拓展
1．在有理数加法的学习后，设计了前两个学段学过的两个结论：“若两个数的和为0，则这两个数都是0”和“任何两数相加，和不小于任何一个加数”。当数扩充到有理数后，这些结论是否还成立？通过这个探究活动可以加深对有理数加法的进一步认识和理解。
2．在有理数乘法的学习后，设计了若干个数相乘其积是负数与乘数中负数个数关系的探究，以此加深对有理数乘法符号法则的进一步理解。
3．在有理数乘方的学习后，设计了一张纸对折若干次后厚度的探究，让学生体验数学探究的方法及感受乘方运算中数的快速增大。
4．在计算器使用的学习后，设计了用计算器按流程操作探索数的规律，让学生在探究中体验程序思想及现代信息技术的作用，同时体验数学的神奇，激发求知欲和学习数学的兴趣。
三、教学建议
（一）注意与第一章及前两个学段所学知识的联系和衔接
有理数的运算与第一章的绝对值，及前两个学段所学的数的运算联系紧密。有理数的运算可以归结为两个方面：一是绝对值的运算，二是符号法则。绝对值的运算是前两个学段已解决的问题，因此有理数运算教学中要注意与第一章的绝对值及前两个学段学过的数的运算相衔接，并把重点放在让学生掌握符号法则。
（二）注意把握教学要求
有理数运算的学习重点在于掌握有理数运算的算理和运算结果符号的确定，这是今后式的运算的重要基础，是计算器所不能替代的。但运算中涉及的数应简单，繁琐的带分数尽量少出现，混合运算一般控制在三步及以内。如果涉及的数比较复杂可以利用计算器解决。
（三）重视有理数运算的实际问题背景设计和有理数运算在生活实际中的应用
数学来源于生产生活实际，反过来又应用于解决生产生活实际问题，教学中要充分利用教科书对有理数运算的实际问题背景的设计，注意从实际问题出发引入有理数运算，并通过实际问题的直观解决，归纳出有理数运算的法则。让学生在实际问题的解决中感受引入有理数运算的必要性和体会有理数运算法则的合理性。
（四）注意计算器的适度使用
一方面，用计算器可以进行有理数的运算，因此没有必要让学生进行复杂的笔算，复杂的计算可由计算器完成，要让学生有更多的时间运用有理数的运算解决问题。另一方面，有理数运算的基本要求仍然不能削弱，因此计算器的使用要在学生掌握了有理数的基本运算后进行，并且简单的、基本的运算还是要求学生用笔算，特别要求学生会运用运算律优化与简化计算过程。
有理数的运算
加、减、乘、除、乘方运算按键方法
加 法
减 法
乘 法
除 法
乘 方
准确数和近似数
计算器的使用
加法法则
加法运算律
减法法则
加减混合运算
转化为加法
统一成加法
交换律
结合律
乘法法则
倒 数
乘法运算律
结合律
交换律
分配律
除法法则
除法与乘法间的关系
乘方的意义
乘方运算
科学记数法
有理数的混合运算
加、减、乘、除、乘方混合运算的法则
准确数和近似数的概念
有效数字
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5第7章 图形的初步知识
本章是第三学段“空间与图形”领域的起始章。在这一章中，将在前面两个学段学习“空间与图形”内容的基础上，让学生进一步欣赏丰富多彩的图形世界，看到更多的立体图形与平面图形，初步了解立体图形与平面图形之间的关系，并通过线段和角认识一些简单的图形，并能初步进行应用。
本章的主要内容有几何图形、线段、射线和直线、角、相交线与平行线。这些内容在前两个学段学生已有接触，但还十分肤浅。本章不是对以前知识的简单复习，而是同类知识的螺旋上升。尽管本章内容仍是直观的、实验几何的内容，但要求已有所不同。例如，对几何图形的概念要求进一步认识；对几何图形怎样从实际中抽象出来要求更进一步体验；对图形不仅要求会认，还要求会表示，对线段、角还要求会画，对几何量还要求能进行简单的计算，并要求熟练更多的几何语言，这些都是进一步学习几何图形的必要条件。
线段和角是两种最基本的图形，它们在周围随处可见，和人们的生活和生产实践密切相关。在今后的几何学习中几乎所有问题都会涉及线段和角，熟练掌握有关线段和角的知识和技能是学好几何的一个十分重要的起点。所以本章的教学重点是线段和角。与线段、角、直线的垂直和平行线的概念、表示法和性质随之而来的是几何语言，学生要正确应用几何语言来进行分析、判断和表述，需要一个较长的过程，是本章主要的教学难点。
本章教学时间约需14课时 ，具体安排如下：
7.1 几何图形 1课时
7.2 线段、射线和直线 1课时
7.3 线段的长短比较 2课时
7.4 角与角的度量 1课时
7.5 角的大小比较 1课时
7.6 余角和补角 1课时
7.7 相交线 2课时
7.8 平行线 1课时
复习、评估3课时，机动使用1课时，合计14课时。
一、教科书内容和课程教学目标
（1）本章知识结构框图如下：
（2）本章教学目标如下：
目标类别 目标层次知识点及相关技能 知识技能目标 过程性目标
了解 理解 掌握 灵活运用 经历(感受) 体验(体会) 探索
几何图形 经历几何图形从实际情境中抽象出来的过程 √ √
进一步认识点、线、面、体 √ √
几何体与立体图形 √ √
平面与平面图形 √ √
线段、射线、直线 进一步认识线段、射线和直线的概念 √ √
线段的长短比较和简单计算 √ √
线段的中点的概念 √ √
用直尺和圆规画一条线段等于已知线段 √ √
经过两点有且只有一条直线 √ √
两点之间线段最短 √ √
运用“两点确定一条直线”“两点之间线段最短”解决一些简单的实际问题 √ √
角 进一步认识角的有关概念 √ √
角的表示法 √ √
角的大小比较 √ √
度、分、秒单位及其换算 √ √
计算两个角的和差 √ √
角平分线的概念 √ √
补角和余角 √ √
等角的余角相等，等角的补角相等 √ √
角在解决实际问题中的一些简单应用 √ √
相交线与平行线 相交线的概念 √ √
对顶角的概念 √ √
对顶角相等 √ √
垂线、垂线段的概念 √ √
直线外一步与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短 √ √
点到直线的距离的概念 √ √
过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线 √ √
用三角尺或量角器过一点画一条已知直线的垂线 √ √
进一步认识平行线的概念 √ √
过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线 √ √
用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线 √ √
垂线与平行线的简单实际应用 √ √
（3）本章教学要求
① 观察生活中的几何体，进一步认识点、线、面和线段的度量。
② 通过丰富的实例，进一步认识角，会比较角的大小，能估计一个角的大小，会计算角度的和与差， 认识度、分、秒，会进行简单的换算。
③ 了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等。
④ 了解垂线、平行线的概念，会用量角器、三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的垂线和平行线，知道这样的平行线和垂线只有一条。
⑤ 了解垂线段的概念，体会点到直线的距离的意义，会度量点到直线的距离。
⑥ 了解图形在现实生活中的应用。
(四)本章教材分析
1．本章的主要内容是图形的初步认识，教科书从学生生活周围熟悉的物体入手，使学生对物体形状的认识从感性逐步上升到抽象的几何图形。教师可以补充一些具体的事例，如点动成线、线动成面、面动成体，形象地使学生初步认识立体图形和平面图形的联系。在此基础上，认识一些简单的平面图形——直线、射线、线段、角以及直线的两种最常见的位置关系——相交与平行。
2．直线、射线、线段和角都是一些最简单的几何图形，比较复杂的图形都是由最简单的图形组成的，有关直线、射线、线段和角的要领和性质也是研究比较复杂的图形，如三角形、四边形等的必要基础，有关它们的画法、计算，也是有关复杂图形的画法、计算的基础。因此，教科书在7.1节“几何图形”之后，安排了7.2节“线段、射线和直线”与7.3节“线段的长度比较”，在前一学段学习直线、射线、线段知识的基础上，给出了它们的表示方法以及线段长度比较的内容，让学生通过探究，体验两点确定一条直线和两点之间线段最短的性质。接着，安排了7.4节“角与角的度量”、 7.5节“角的大小比较” 和7.6节“余角和补角”的内容，结合丰富的实例，进一步认识角、角的表示方法、角的度量、角的画法以及角的比较、补角和余角等内容。最后，安排了7.7节“相交线”和 7.8节“平行线”的内容，通过角的关系以及具体的事例，介绍了相交线与平行线的有关知识，了解并掌握了经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线等性质。
3．本章的学习要注意多从实物出发，让学生感受到图形世界无处不在，引起学生学习的兴趣。还可以结合一些具体问题，让学生感受学习空间与图形知识的重要性和必要性。对于一些抽象的概念、性质等，也要从解决实际问题引入，让学生在探索中真正理解这些性质。同时要注意概念的定义和性质的表述，逐步使学生懂得几何语句的意义并能建立几何语句与图形之间的联系。这些不仅是学习好本章的关键，对于学好以后各章也是很重要的。
二、本章编写特点
（一）充分利用现实世界中的实物原型进行教学，展示丰富多彩的几何世界
人们生活在三维空间中，丰富多彩的图形世界给“空间与图形”的学习提供了大量现实有趣的素材。在本章内容的呈现中，充分体现从生活中的立体图形到平面图形，再到平面图形的基本元素——点、线、面，从而更好地“把握图形”。
在本章教科书的许多地方，如第一节的几何图形，立体图形与平面图形的概念的引入，点、线、面、体关系的研究，直线、线段性质的引出，角的概念引入，直线的相交与平行的位置关系，以及想一想、课内练习、探究活动、作业题中都呈现了大量生活中的图形，在实际教学时还可以向学生展现更多他们熟悉的生活中的物体和图形，增加学生的直观感受，提高学习空间与图形知识的兴趣，从而更好地认识图形，了解图形。
（二）强调学生的动手操作和主动参与，让他们在观察、操作、想像、交流等活动中认识图形，树立空间观念
学习方式的转变是课程改革的一个重要目标，与其他数学内容相比，“空间与图形”的教学更容易激起学生学习数学的热情。在本章的编写中，注意从学生已有的生活经验和已有的知识出发，给学生提供“现实的、有意义的、富有挑战性的”学习材料，提供充分的数学活动和交流的机会，引导他们在“做数学”的活动中，在自主探索的过程中获得知识和技能，掌握基本的数学思想方法。
在本章的教科书中，设置了许多“合作学习”“想一想”“探究活动”等栏目，如从一些图案中发现平面图形，通过观察思考生活中的现象得到关于直线、线段的性质，探索画一个角等于已知角的方法，探究用七巧板尽可能多地拼出表示人或物的图案，利用设计题所提供的背景，让学生用实物模型模拟各建筑物及拍摄者的位置，以帮助思考并分清6幅照片的拍摄顺序等等。通过这些“探究点”，鼓励学生勤思考、勤动手、多交流。其中，动手操作是学习开始阶段重要的一环，它可以帮助学生认识图形，丰富直观，验证学生的空间想象能力。开始阶段，应鼓励学生先动手、后思考，逐步过渡到先思考、后动手验证。
（三）重视几何语言的培养和训练
几何图形是“空间与图形”的研究对象，对它的一般描述是按“几何模型→图形→文字→符号”这种顺序进行的。其中，图形是将几何模型第一次抽象后的产物，也是形象、直观的语言；文字语言是对图形的描述、解释与讨论；符号语言则是对文字语言的简化和再次抽象。显然，首先建立的是图形语言，其次是文字语言，再次是符号语言，最后形成的应是对于对象的三种数学语言的综合描述，当三种语言达到融会贯通的程度时，就能基本把握对象了。
在本章，特别注意“几何模型→图形→文字→符号”这个抽象的过程。首先，教科书强调实物原型的作用，引入了大量实物模型，让学生从中抽象出几何图形。其次，教科书重视图形语言的作用，对于对象的文字和符号描述，都是紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，在图形的基础上发展其他数学语言。例如，关于线段的比较、线段的和与差、线段的中点、角的比较、角的平分线等，都是先给出图形直观，再随着系数量，给出文字的描述，最后再给出符号的表示，使几种几何语言优势互补，以期收到更好的效果。
除了重视“几何模型→图形→文字→符号”的转化过程，教科书还重视“符号→文字→图形”的转化，即理解符号或文字所表达的图形关系，并将它们用图形直观地表示出来，化“无形”为“有形”。本章注意了从不同方向对图形与文字、符号间转化的设计安排，安排了一些这样的课内练习、作业题等，教学中要重视这些方面的训练，使学生较快适应，能够把几何图形成语句表示、符号书写很好地联系起来。
本章的教学应重视对学生几何语言的培养，尽管学生学会正确使用几何语言需要一个较长的过程，但一开始就应对学生提出要求，这对今后学习几何证明非常重要。正确的语言也能训练人的思维，教师应鼓励学生阅读课文，可以在作业中模仿教材中的表述，课堂提问时教师要及时芈学生的错误表述。
三、教学建议
（一）注意与前两个学段的衔接
这一部分知识与前两个学段联系密切，大多数图形、概念在前两个学段都接触过，要衔接前两个学段，就要深入了解前面两个学段数学中“空间与图形”的内容、要求，了解它们与这一部分内容的联系与区别。
从《标准》看，与这一章的内容相对应，前面两个学段是要直观认识一些简单几何体和平面图形，能区分直线、射线、线段的概念并体会它们的一些性质，结合生活情境认识角，并知道周角、平角等概念。结合生活情境了解平面上两条直线的平行与相交（包括垂直）关系。在这一章，要通过丰富的实例，认识一些常见的几何图形，进一步认识点、线、面、体，在平面图形和立体图形相互转换的过程中，初步建立空间观念，发展几何直觉；进一步认识直线、射线、线段和角，理解它们的概念，了解有关的一些性质以及平行与相交（包括垂直）的位置关系，并能初步应用。
了解了这些联系与区别，教学时便可以在学习知识的基础上，把前面两个学段学过的内容加深一步，同时避免完全的重复。
（二）注重概念间的联系，在对比中加深理解
本章是空间与图形的起始章，涉及的概念比较多，对大多数概念，前两个学段又都接触过。实际上，许多概念之间都有着密切的联系和区别，把握了这些联系和区别，就能更好地理解这些概念。
例如，直线、射线、线段三个概念联系密切，它们都是直的，正因如此，在下面讲平行、垂直时，定义了直线与直线平行、垂直后，就不再定义直线与射线、线段的平行、垂直了；同时它们之间又有区别：端点个数不同，因而长度有有限与无限之分。
研究线段的和、差、中点与研究角的和、差、角平分线，其内容方法都很相似，教学时把它们进行对比，效果会更好。例如：“点M到线段AB的中点”，可以写成AM=MB=AB，在讲角平分线时，可以让学生仿照线段中点表示方法，写出OB是∠AOC的平分线的式子 ∠AOB=∠BOC=∠AOC，从而使学生更容易理解和掌握。
（三）把握好教学要求
在本章，不仅要像第一、二学段那样进一步丰富学生对几何图形的感性认识，还要引导学生逐步认识一些基本图形的特征。这并不意味着要用严格的几何推理的方式来展开学习，而是要强调在实际背景中理解图形的概念和性质，经历探索图形性质的过程。例如“通过丰富的实例，进一步认识点、线、面、体”就是要求学生在实际背景中认识、理解这些概念的，而不是通过形式化的描述让学生接受概念。以“点”为例，“点”是没有大小的，这是抽象后的概念，学生很难理解，教科书是这样来处理点的抽象含义的；通过天上的星星、地图上的城市和电视屏幕由点组成等来说明点的概念，并进一步通过一个“在某张地图上，北京只是一点，而在另一张地图上，北京却占了整个版面”。
对于推理能力的培养，整套教科书是按照“说点儿理”“说理”“简单推理”“用符号表示推理”等不同层次，分阶段逐步加深地安排的，推理能力的培养既集中在“空间与图形”中，又结合各领域中适宜的内容自然地进行。在本章，由于已经进入第三学段，已不仅要求学生通过观察、思考、探究等活动归纳出图形的概念和性质，还要“说点儿理”，把它作为通过实验探究得到结论的自然延续。直线和线段性质的应用、余角和补角的性质的得出等都要有说点理的成分。教学中要注意利用这里“说点儿理”的因素，为后面逐步让学生养成言之有据的习惯做准备。
（四）重视现代信息技术的应用
现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响，信息技术工具的使用能为学生的数学学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力和学习工具，重视现代信息技术的使用也正是本套教材的特点之一。
在这一章，利用信息技术工具，可以给我们展现丰富多彩的图形世界，丰富学习资源，有助于学生从中抽象出几何图形；图形的动态演示，连续变化所形成的众多画面变换，可以在大脑中形成图形空间变化的印象，帮助认识空间图形与平面图形的关系，帮助建立空间观念；可以帮助学生在动态变化的图形中寻找不变的位置关系和数量关系，从而发现图形的性质。如7.4节安排用计算器进行度、分、秒之间换算，以及通过初识《几何画板》的阅读材料，及时帮助学生掌握信息技术工具，有效提高学生学习数学的能力。因此，有条件的地方应尽可能地使用信息技术工具，帮助学生的数学学习。
物体
点、线、
面、体
几何图形
立体图形
平面图形
角
射线
线段
直线
角
的
画法
角
的
平分线
角
的
特殊关系
角
的
比较
概念与
表示法
概念与
表示法
线段的中点
线段的作法与和差
大小比较
性质
两点间的距离
概念与
表示法
概念与
表示法
性质
平行线
相交线
垂线
概念与
表示法
画法
性质
点到直线的距离
概念与
表示法
画法
性质
性质
- 1 -第4章 代数式
在完成了初中有理数、实数数集的扩充后，第四章学习代数式。从数到式是学生学习上“质”的第一次飞跃。学习了式以后，客观世界中的数学规律变得简捷明了，数量关系变得清晰，有一大部分运算更具有普遍意义。但是学生要完成这个质的飞跃，必须先从大量的实例中体会、领悟，需要从已有的知识、经验出发。刚进入初中的学生对这种认识和飞跃没有心理准备，他们感到好奇，又感到难于理解，教师应该有充分的思想准备。
原义教版教材对这一内容的处理方式是“先分散，再集中”，将整式内容分散于一元一次方程中，即先学一次式，紧接着学习一元一次方程。目的是加强一次式与方程的有机联系，使整式的学习目的性明确，且分步到位。体现适当降低要求，减缓坡度的意愿。这样的安排各有利弊，弊病是使整式内容显得支离破碎，限制了一些一元一次方程的解法。代数式运算的不熟练也直接影响到学生一元一次方程的学习。另外，与原大纲比较，课标对整式运算的要求有所降低。因此，我们觉得还是相对比较完整学习了整式的运算后再学一元一次方程，更有利于学习较系统掌握，更符合学习的认知规律。
本章的主要内容有：用字母表示数、代数式、整式和整式的加减。在小学阶段，学生虽然已初步接触过用字母表示数，但学生对用字母表示数的意义和认识是非常肤浅的。本章不仅要使学生进一步认识用字母表示数的意义，还要理解字母可以与数一起参与运算，可以用数、字母、运算符号组成的代数式表示具有某种普遍意义的数量关系。本章可以说是“代数”之始，是今后继续学习方程、不等式、函数等代数知识的必要准备。
本章教学时间约需11课时 ，具体安排如下：
4．1 用字母表示数 1课时
4．2 代数式 1课时
4．3 代数式的值 1课时
4．4 整式 1课时
4．5 合并同类项 1课时
4．6 整式的加减 2课时
复习、评估3课时，机动使用1课时，合计11课时。
一、教科书内容和课程教学目标
（1）本章知识结构框图如下：
（2）本章教学目标如下：
目标类别 目标层次知识点及相关技能 知识技能目标 过程性目标
了解 理解 掌握 灵活运用 经历(感受) 体验(体会) 探索
代数式 在现实情境中理解用字母表示数的意义 √ √
用字母表示数 √ √
用字母表示简单的数学规律和数量关系，体验符号感 √ √
代数式的概念 √ √
用代数式表示简单的数量关系 √ √
代数式的值的概念 √ √
求代数式的值 √ √
运用代数式解决简单的实际问题 √ √
整式 单项式、多项式的概念 √ √
单项式的系数和次数 √ √
多项式中的项、项的系数、多项式的次数 √ √
整式的概念 √ √
同类项的概念 √ √
合并同类项 √ √
去括号法则 √ √
整式的化简 √ √
整式的简单加减运算 √ √
运用整式的加减解决简单实际问题 √ √
（3）本章教学要求
① 在现实情景中进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示；能解释某些简单代数式的实际背景和几何意义，发展符号感。
②了解代数式的概念，能辨别单项式的系数与次数、多项式中的项、项的系数、多项式的次数。
③会求代数式的值；能根据特定问题，找到所需公式进行计算。
④了解整式概念，掌握合并同类项、去括号法则，会进行整式简单的加减运算。
⑤经历“把实际问题抽象为数学式子”的过程，体会用字母表示数是人们对事物认识的一个质的飞跃。
二、本章编写特点
（1）密切联系学生实际，创设知识应用情景
在学习本章内容前，学生可能会以为，代数是空洞的符号和繁复的计算。为了克服这种不正确的看法，真正了解代数是具有丰富的内容，而且与现实世界有着密切联系的一门基础学科，本章的引入部分用了学生身边的问题创设情景，引起学生兴趣。如“用字母表示数”一节开头，用唱儿歌的形式引入，“一只青蛙二张嘴，二只眼睛四条腿，扑通一声跳下水；……”让学生在愉快的吟唱中接受用字母表示数，并体验用字母表示数所带来的简捷明了。又如“求代数式的值”一节，从计算时差开始，利用学生对我国申奥成功的自豪感，引出求代数式的值，过渡自然生动，渗透了对学生爱国主义教育，体现课本内在的教育价值。
（2）重视落实基础知识，关注现代数学文化
本章内容是以后学习的基础，列代数式是研究代数式的计算和方程、不等式、函数等数学知识的基础，也是把现实问题归结为数学问题来解决的必不可少的基础，更是列方程解应用题的关键。整式的加减实际上是对整式进行两个重要的恒等变形，即合并同类项和去括号。整式的两个变形是整个数学中恒等变形的基础，是解方程的工具。所以本章教材在编写时特别注意基础知识的落实，强调基础知识和基本方法在实现从算术到代数的重大转折中的作用，引导学生认识用代数式的本质，返璞归真。其次在材料的选用上力求体现现代气息，充分体现教材在文化上的教育价值。如水资源、保护动物、申奥、人口、纳米等。
（3）改变课本呈现方式，体现改变学习手段
学习方式的转变是课程改革的重要目标之一，本章教材在编写时充分注意到这一点。我们力求改变教材的呈现方式，每节内容不再是呆板定义、练习。通过做一做、想一想、合作学习、探究活动等栏目给学生提供了广阔的舞台。如“用字母表示数”一节中，让学生回顾已学过的数学规律，通过主动收集现实的、有意义的学习材料，并进行交流、探究，通过这样一个过程，培养学生的学习能力。又如“整式”一节中，让学生从提供的材料中找特点，使得出结论不再是枯燥的定义，从解决问题的过程的思考中获得一般方法，体会数学思想的应用。又如“整式的加减”一节中，节前图是以说相声的形式，提出猜出生月及家庭人口的题目，很具有挑战性。可能开始学生感到不可思议，但通过列代数式，在求解过程中，学生渐渐明白经历从具体情景中抽象出数学规律，使学生进一步理解用字母表示数的意义，形成符号感。同时也将所学的知识用到解决实际问题中去，体现了数学建模的思想。
三、教学建议
（1）知识的传授不应只是教师单纯地讲解和学生简单的模仿，而是根据学生心理特点和认识规律，让学生经历知识形成与应用的过程，从而使学生更好理解知识的意义，掌握必要的技能，发展应用数学的意识，增强学好数学的愿望和信心。如在“合并同类项”一节中，从残留的墙面积计算引入后，可以给学生一组代数式，让学生观察、分析、比较应该怎样来分类。所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的一类称为同类项。结论让学生在充分讨论的基础上来归纳。既培养了学生与人合作的精神，又经历了知识形成的过程，充分利用了教材的教育学生的内在价值。
（2）从数到式是第二学段“数与代数”中第一次从特殊到一般的抽象，也是从算式到方程的基础。在中学数学教学中，用字母表示数的应用，也意味着思维方法的重大飞跃。原来1，2，3，…等所学习的数都是确定的具体的数，现在用a，b，c, …表示的数，是抽象的开始，在不同的场合表示不同的内容。要求学生认识到学习了用字母表示数后，我们考虑的对象从原来单一的“数”发展到考虑多种情况，如－a就不一定表示负数等。学生一下子不是很习惯，教师设法多从身边的例子引导学生认识用字母表示数的抽象过程。这认识需要一个过程，在教学中应该反复强调。
（3）课程改革的目标之一是促进学生学习方式的转变，改被动学习为主动学习，变学会变会学，增强学习的主动性和探究性。本章中从引入开始有大量的实际问题，从身边的实际问题容易激发学习积极性。其次从学习方式上，通过合作学习、探究活动这种新形式，促进学生相互交流，从而最大限度获得数学能力和体验数学思想。教学中应积极鼓励学生，当学生在探究过程中遇到困难时，应给予诱导启发，或给予必要的阶梯。让学生在这过程中体验如何学会学习，千万不能包办代替，过早给学生答案。应鼓励合作学习、和探究活动中从多角度思考，采用多种解决问题的办法，创造积极合作、讨论氛围。
（4）关注基础知识和基础技能，通过适当练习达到巩固目的。列代数式是进行代数式计算和方程、不等式、函数各种数学知识的基础，也是把现实问题归结为数学问题来解决的必不可少的基础，更是列方程解应用题的关键。本教材在这里把它视为基础，我们觉得还应花一些力气，把这个关键地方让学生学扎实。一是应该适当加强基础知识和基本技能的训练，为后续知识学习作好必要准备；二是在列代数式可以从“从语言表述的数量关系列成代数式”和“把代数式表示的数量关系用语言表述”两方面进行对比、观察、归纳。可以培养学生一定的归纳总结、表达能力。
四、本章教学中应注意的问题
(1) 做好从算术到代数的过渡。人类经历了一个漫长的时期，才从具体的量过渡到抽象的数，这是数学发展史中第一次飞跃；而从具体的数过渡到用字母表示数，并与数一起参与运算，是数学发展史中又一次飞跃。学生认识用字母表示数的意义需要在思维能力方面作一次重大飞跃，需要一个较长的过程。在本章的教学中，应着重通过较丰富的实际例子 ，让学生认识用字母表示数在表示具有某种普遍意义的数量关系时的重要作用，通过代数式、代数式的值等教学，体验从特殊到一般、再由一般到特殊的认知规律，并通过列代数式感悟代数式是刻画现实世界的一个重要数学模型。
(2) 注意与前后面内容和衔接。前面已经学过实数这一节，这里用字母表示的数可以是实数。适当举一些代表实数的例子，一方面复习前面知识，另一方面加深对用字母表示数的理解。在有理数及其运算的基础上，整式运算是进一步的深化，是进一步更广泛意义运算。去括号与合并同类项的实质就是有理数运算。加强用代数表示数量关系的训练也是为列方程解应用题服务。
(3)整式的教学要把握好教学要求。在概念方面，应着重理解项、系数、次数的概念，这些概念对掌握整式的运算有较大影响。本章教材根据《标准》的要求，对传统的整式及其加减运算这部分内容作了删繁就简、突出主干的处理，涉及的多项式基本上是一次式与二次式，暂不出现多项式的升幂和降幂排列，教学中不宜补充或提高教学要求。
(4)整式的加减虽然比较简单，但要看到这是学生第一次经历式的运算，无论是从观念上、算法上还是表述上都需要有一个适应过程，教学中应突出式的运算意义。整式的加减和数的加减的主要区别在于字母参与运算。例如，n+8与n-8相加的结果是2n，而不是零。
常数项
多项式的次数
多项式的项
单项式的次数
单项式的系数
整式的简单加减运算
去括号
合并同类项
用字母表示数
多项式
整式
单项式
用代数式
表示简单的数量关系
代数式
求代数式的值
实际问题情境
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1第五章 一元一次方程
一般代数方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。一元一次方程是代数方程中的最基本、最简单的方程，一般的代数方程最后都可以化为一元一次方程来求解。
本章的主要内容包括：一元一次方程的有关概念和解法，利用一元一次方程解决实际问题，问题解决的基本步骤。根据《标准》，在第二学段中，学生已学过方程及其解的概念，等式的基本性质，并会利用等式的基本性质解几类简单的方程(如3x+2=5,2x-x=3)，但未学习过方程中关于元和次的概念，并且由于未学过整式的加减运算，学生能解的方程是非常有限的。一元一次方程的概念、解法及其应用是进一步学习其他方程的必需基础，许多方程最终都化归为一元一次方程来解，在人们的日常生活和生产实践中有广泛和直接的应用。所以，在上一学段的基础上进一步学习一元一次方程是十分需要的。
一元一次方程的解法是本章的主要内容，而利用方程这个工具去分析问题、解决问题才是学习本章的目的。因此本章的学习重点是方程的解法和体会方程的工具作用，难点是运用方程这个工具去分析问题和解决问题，因为这涉及较多的问题情境，需要学生具有一定的阅读能力，理解问题的能力，分析数量关系和表示数量关系的能力，并与学生的实际生活经验有关。
本章教学时间约需11课时 ，具体安排如下：
5.1 一元一次方程 1课时
5.2 一元一次方程的解法和步骤 2课时
5.3 一元一次方程的应用 3课时
5.4 问题解决的基本步骤 1课时
复习、评价3课时，机动使用1课时，
合计 11课时。
一、教科书内容和课程教学目标
（1）本章知识结构框图如下：
（2）本章教学目标如下：
目标类别 目标层次知识点及相关技能 知识技能目标 过程性目标
了解 理解 掌握 灵活运用 经历(感受) 体验(体会) 探索
一元一次方程 进一步认识方程及其解的概念 √ √
一元一次方程的概念 √ √
根据简单数量关系列一元一次方程 √ √
用尝试、检验的方法解简单一元一次方程 √ √
进一步认识等式的性质 √ √
利用等式的性质解一元一次方程 √ √
移项 √ √
去括号 √ √
去分母 √ √
解一元一次方程的一般步骤 √ √
一元一次方程的应用 根据具体问题中的数量关系列方程 √ √
方程是刻画现实世界的一个有效数学模型 √ √
列方程解应用题的一般步骤 √ √
问题解决的四个基本步骤 √ √
利用一元一次方程解决简单的实际问题 √ √
（3）本章教学要求
① 能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
② 会解一元一次方程；会利用一元一次方程解决简单的实际问题，并根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
③ 结合解决与一元一次方程有关的问题，初步认识问题解决的波利亚模式；了解解决问题过程中理解问题、制定计划、执行计划、回顾等步骤以及尝试、检验和反思的意义和重要性。
(四)本章教材分析
1、 一元一次方程。
在第二学段，学生已经学习了简单的方程，会用方程表示简单情境中的等量关系。本小节以合作学习的方式，通过几个实际问题，让学生列出方程，引出了一元一次方程的概念，复习方程的解的概念，并让学生用估计、列表、尝试的方法求出方程的解。这样安排的目的，一方面是做好与第二学段的衔接，另一方面也是渗透估计、尝试的思想，让学生了解观察、估计、尝试、列表等也是数学学习的方法，并体验到对于一些复杂的方程，用这些方法有时会很繁，进一步学习其他方法就显得更有必要。
教材的编写是建立学生在第二学段已学过等式的性质，会用等式的性质解简单方程的基础上展开的。教科书直接指出“求方程的解，可以运用等式的性质，把方程变形成‘x=a（a为已知数）’的形式”。在例题的处理上，安排了方程解的检验过程，目的是培养学生良好的解题习惯，同时也使学生能进一步理解方程的解。两个例题的选取都是直接运用等式的两条性质。课内练习第2题是华氏、摄氏两种温标的转换，这是数学和自然之间知识上的一种联系，设置了“温度描述”一栏，更好地体现了一种常识。作业题的第5题，要求学生“编写两个不同的方程，使它们的解都是x=2”，应注意发挥它在培养学生的逆向思维和发散性思维方面的作用。
本节在安排上突出了方程与实际问题的联系，意在通过这些问题的解答，让学生初步体验到方程是解决实际问题的有效工具，这样在后面学习方程的解法目的就更加明确。另外，像课内练习的第1题，也体现了数形结合的思想。
2、 一元一次方程的解法。
本节分两个课时。
第一课时的内容主要是学习解方程中的“移项”和“去括号”。教科书在每个例题的边上都用方框表示了移项的过程，意在让学生更好地理解移项中符号的变化过程。例2中的系数出现了无理数（作业题第2（4）题也是无理数），这也是这套教科书的一个特色。
第二课时的内容主要是学习“去分母”。首先，教科书通过例1分析了某些项含有分母的方程的解法，接着借助例1的解答，归纳出去分母、去括号、移项、合并同类项等都是方程变形的常用方法，并明确各项变形的依据。最后揭示了解一元一次方程的基本程序：
本课时学习的方程在结构上更复杂，有系数是分数（小数）的，有可以运用整体思想的，教学中有利于培养学生思维的灵活性。探究活动更是带有趣味性，应很好利用。
3、 一元一次方程的应用。
本节集中学习一元一次方程的应用问题，可分三课时进行教学。
学生在基本掌握一元一次方程的解法后，教科书通过几个典型例子，引导学生把实际问题转化为数学问题，建立方程的模型，体验一元一次方程与实际的密切联系。通过例题的教学，使学生逐步掌握运用方程解决实际问题的一般过程；通过画线段示意图、列表等手段使学生初步学会分析问题、寻找等量关系的方法；通过不同的设元方法、变换问题的条件、根据方程设计问题情境等内容，培养学生思维的灵活性、发散性，最终达到提高解决问题能力的目的。
4、 问题解决的基本步骤。
本节首先介绍了美籍匈牙利数学家乔治 波利亚的解决问题模式（四个步骤），然后通过“想一想”把这种模式与应用一元一次方程解决实际问题的一般过程联系起来。接着通过两个例题具体学习了这种模式的应用，意在培养学生分析问题、解决问题的能力，特别在“回顾”一步中，往往是常规教学中比较忽视的一环，应该加以突出，以培养教师和学生的反思意识和反思能力。
二、本章编写特点
1、 突出问题解决的意义、过程和方法
本套教材对一元一次方程的内容采取解法和应用相对独立的方法编写，这是我们在反复比较各种不同方案的基础上选择的一种优化方案。一方面，这样安排便于集中学习方程的解法，能使学生系统地学习去分母、去括号、移项、合并同类项等一系列变形，以及最终把方程化为“x=a（a为已知数）的形式”的化归思想；另一方面，通过集中学习，也便于培养学生把实际问题转化为数学问题的能力，理解建立方程模型，解决实际问题的数学建模思想。为了避免这种编写方式容易造成的解方程与应用脱节的弊端，教科书特意在第一节安排了一定量的方程与实际相联系的问题，以及用列表尝试解方程的方法，使学生能体会到学习解方程方法的必要性和用方程的方法解决实际问题的重要性。
在运用一元一次方程解决实际问题的处理上，教材力求体现实际问题转化为数学问题的过程，分析问题、解决问题的过程，使学生在解决数学问题的过程中学习、并形成解决问题的策略，理解数学的思想和方法，学会数学地思考。在教科书的第四节安排了“问题解决的基本步骤”，初步介绍了波利亚的解决问题模式（四个步骤），这样的处理方式既符合学生的认知特点，又突出了问题解决的过程和方法。当然，这种方法在后续内容的学习中会不断加以渗透和应用，在九年级上、下各设置一章予以阐述。
2、 突出数学教学是活动教学的观点。
《标准》中指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会。教科书在这些方面作了有益的尝试。如教材在本章中设置了合作学习、探究活动、 想一想、做一做等栏目，以促进学生积极地开展活动，在活动中体验、在活动中学习、在活动中积累经验。当然，这是体现在外显形式上的活动，许多内显性活动（如探究过程中的活动、解题后的反思活动、学习过程中的知识建构活动以及学生的思维活动等）需要教师在教学过程中去体现。
3、 充分体现了教学内容的基础性、应用性、层次性和发展性
在一元一次方程的解法上，教科书从等式的两条性质出发，通过对一些简单方程的求解和必要的解方程练习，使学生掌握解方程过程中的各种变形，理解化归的数学思想，以便于学生学会方程这个工具的使用，体现基础性。在一元一次方程的应用上，教科书选取了一些现实的、有意义的学习材料，创设了贴近学生生活实际的问题背景（如门票、植树、银行存款、学科兴趣小组、电话费等），突出了寻找相等关系，建立方程的过程，借此让学生体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，强化方程的应用性。
在保证教学内容基础性的前提下，本教科书在体现“不同的人在数学上得到不同的发展”方面也做了有益的尝试。比如，教科书在第124页的作业题中安排了“给出两个不同的方程，使它们的解都是x=-2”在第133页安排了“请将例2改编成其他问题情境的应用题，要求所列的方程仍为15x+45x=180”等等。
三、教学建议
1．注意做好与前面学段的衔接，在学生已有的基础上得到发展
学生在第二学段已经学习了在具体情境中用字母表示数，用方程表示简单情境中的等量关系，用等式的性质解简单的方程，在第四章又学习了代数式的知识，本章内容就是建立在这个基础上进行教学的。因此，本章的起点比传统教材要高一些（比如对于一元一次方程和解的概念的建立、对于等式性质的讨论等都不作过多的研究）。但是我们也应该看到，学生在前面学段学习的数学是以算术为主，对于以字母表示数的代数，在思维层次上要求更高，学生仍然需要一个比较长的适应过程，所以，在教学中应该作好知识、方法上的衔接工作。如果小学阶段没有讲过等式的性质，那么5.1节可酌情增加1个课时，补充等式的性质的有关内容。
在一元一次方程的解法上，学生在第二学段学习时，强调的是解答的每一步怎样运用等式的性质，本学段的学习虽然也是建立在等式的性质上，但这是对等式性质的进一步运用，如出现了移项、合并同类项、去括号、去分母等专用变形名词。这是对一元一次方程解法的系统学习，以便在原有的基础上得到发展。在运用一元一次方程解决实际问题的教学中，学生更会受思维定势的影响，习惯于用算术的方法。教师可以创设适当的问题情境，引导学生用两种不同的方法解答，在比较中使学生自觉地体验到列方程的优越性。再在各种不同的问题情境中，不断地运用列方程的方法，培养学生用方程的意识，逐步形成用方程解决实际问题的观点，树立建立方程模型的思想，从而提高学生分析问题、解决问题的能力，进一步提高学生用数学的眼光看待实际问题的意识。
2．关注方程与实际问题的联系，体验方程的工具作用
在传统的教材中，由于方程与应用相对独立，容易造成一种方程的解法与方程的应用脱节的现象，并且方程的应用在选材上过于数学化和类型化。本套教科书在继承传统的基础上，力求有所创新。一方面，通过实际问题引出课题，增强了学习方程的目的性，然后在学生基本掌握方程的解法后学习方程的应用，这样密切了方程和实际问题的联系；另一方面，丰富多彩的现实世界也为我们提供了大量的信息，这些信息都可以用数学的知识去收集、分析、处理和利用。本章的实际问题就是立足于这种出发点，通过一些学生熟悉的、有意义的、感兴趣的问题，引导学生运用方程的知识去解决（如奥运会的奖牌、建筑物的四周铺花岗石、植树、压岁钱、电话费等），从中体验方程的工具作用。
为了能使学生更好地感受到方程与实际问题的联系，教科书还在课内练习和作业题中编入了一些让学生改变问题的条件、根据已知的方程设计不同的问题情境等内容，教师在组织教学的过程中，应努力加以体现。
3． 重视数学思想方法的教学
渗透数学思想方法是数学教师教学中的主要任务之一。本章知识中蕴涵的数学思想方法主要是问题解决中的化归思想和建立方程模型的思想。这里的化归包含两个方面：一是解方程中的化归，也就是所有的一元一次方程通过适当的变形，都可以化为“x=a（a为已知数）”的形式，二是指把一般的实际问题转化为数学问题，用数学的方法去解决。建立方程模型的思想是指把数学问题用方程的方法去思考，通过设未知数、列方程、解方程等步骤求得问题的解。这些思想方法相对于数学知识点来说，具有隐性、抽象性，它往往融入数学基础知识之中，这就要求教师在教学中，要认真分析、善于挖掘。对于学生来说，他（她）理解数学思想方法的过程也比掌握具体的数学知识（包括解题方法）要困难得多，也需要教师的渗透、提炼、归纳。
4、 建立有效的评价机制，发挥积极的评价功能
《数学课程标准》指出：评价的目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学。本教科书为多元评价创造了条件和可能。在“合作学习”中，我们不仅仅只评价学生的学习结果，更应关注学生合作的过程；不仅仅评价对每个学生的参与情况，更应关注小组的整体情况；不仅仅评价发言学生的答案是否正确，更应关注学生在表达自己的观点、倾听同学的发言的过程中所表现出来的态度；不仅仅评价学生的学，更应关注他们在合作中所表现出的合作精神、投入程度、情感与态度。在解方程的过程中（特别是复杂的方程）反映出来的认真、仔细的品质，实事求是的态度，或者一些不负责任的言行等等。教师通过评价机制，帮助学生认识自我，建立信心。
四、本章教学中应注意的问题
1．从具体的数的运算到数与字母一起参与的运算是学生数学思维的一次大飞跃。从列代数并进行计算，到列方程并求解，又是学生思维的一次飞跃。教学中要迈小步子，起点低一点，逐步让学生体会列方程与代数式之间的区别和联系，体验列方程中的数学建模思想，解方程中的数学化归思想。
2．要掌握一元一次方程的解法，需要一定数量的训练，教学中应要求学生认真完成规定的作业，并不仅要求结果正确，在表述方面也要求规范。注意提供给学生训练的题目不要繁难，也不要求偏、高的技巧。
3．列方程解应用题的过程比较完整地体现了问题解决的四个基本步骤，在教学中要突出关于问题解决的策略、思想和方法的指导。列方程解应用题在思维方式方面和过去列算式解应用题有明显的差异，主要表现在开始从所求出发寻求解法。教师应使学生意识到这种变化，帮助学生逐步学会分析法的逆向思考方法，这对整个数学学习都有重要的意义。
实际问题情境
等式
方程
一元一次方程
解法
应用
等式的性质
问题解决的基本步骤
去分母
去括号
移项
合并同类项
两边同除以未知数的系数
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