2.2.2 一元二次方程的解法—因式分解法、公式法 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
一元二次方程
解法
ONE 探索利用公式法解一元二次方程的一般步骤．
TWO 能够利用公式法解一元二次方程．
THREE 会用因式分解法解一元二次方程.
学习目标
FOUR 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题的多样性．
交流合作
问题1 你能用配方法解下列方程吗？
（1）
（2）
解：
（1）移项，得
．
配方，得
，
．
由此可得
，
．
，
．
二次项系数化为1，得
．
解：移项，得
．
配方，得
，
，
．
由此可得
，
交流合作
化：把原方程化成 x +px+q = 0 的形式．
移项：把常数项移到方程的右边，如x2+px =-q．
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，如
x2 +px + ( )2 = -q + ( )2
( x + )2 = -q + ( )2　
问题2 用配方法解一元二次方程的步骤？
求解：解一元一次方程．
定解：写出原方程的解．
知识讲解
解：移项，得
．
配方，得
，
二次项系数化为1，得
．
．
此时可以直接开平方吗？
需要注意什么？
知识讲解
1、当 Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；
2、当 Δ=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
3、当 Δ＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根．
归纳
知识讲解
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac.
知识讲解
一般地，对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)，
这个式子称为一元二次方程的求根公式．
解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根.
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
当 b2-4ac≥0 时，方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的根是
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典例精讲
例1 用公式法解下列方程：
（1）x2-4x-7=0
解：（1）a =1，b=-4，c=-7．
b2-4ac = (-4)2-4×1×(-7) = 44＞0．
方程有两个不相等的实数根
即
，
．
确定a，b，c 的值时，要注意符号．
典例精讲
当b2－4ac=0时，x1 = x2，
即方程的两根相等．
（2）
b2－4ac = ( )2－4×2×1 = 0．
解：
a =2，b = ，c =1．
方程有两个相等的实数根
即
．
．
典例精讲
（3）
a =5，b =－4，c =－1．
b2－4ac = (－4) 2－4×5×(－1) = 36＞0．
解：
方程可化为
5x2－4x－1=0．
，
即
，
．
典例精讲
（4）x2+17=8x
a = 1，b = －8 ，c = 17．
b2－4ac = (－8 ) 2－4×1×17 = －4＜0．
∵ b2－4ac＜0，
∴ 方程无实数根．
当b2－4ac＜ 0 时，x1，x2
不存在，即方程无实数根．
解：
方程化为
x2－ 8x+17=0．
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
（1） 把一元二次方程化成一般形式，并写出该方程的各项系数；
（2） 求出 Δ 的值，特别注意：当 Δ＜0时，方程无解；
（3） 代入求根公式；
（4） 写出方程的解．
归纳总结
交流合作
我们已经学过对一个多项式进行因式分解的方法为：
① 提公因式法： pa+ pb + pc=p(a+b+c)
② 平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)
③ 完全平方公式： a2±2ab+b2=(a±b)2
④ “十”字相乘法：x2+(p+q)x+pq = (x+p)(x+q)
情境思考
根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为 10x-4.9x2
根据上述规律,物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)
设物体经过x秒落回地面,
即 10x-4.9x2=0 ①
小球最终回到地面，
此时离地高度为0
尝试用
配方法和公式法
求方程的解？
情境思考
配方法
10x - 4.9x2 =0
公式法
10x - 4.9x2 = 0
解：移项得，4.9x2 -10x = 0
系数化为1得，x2 -x = 0
配方得，x2 -x+=
整理得， =
由此可得， = ±
则= ≈2.04
解：移项得， 4.9x2 -10x=0
a = 4.9, b = -10, c = 0
Δ=b2- 4ac = 100 > 0
方程有两个不等的实数根
=
即x1=,x2=≈2.04
情境思考
除配方法或公式法以外,能否找到更简单的方法解方程①
10x - 4.9x2=0 ①
观察方程结构，其右边为0,左边可以因式分解,
整理，得x(10-4.9x)=0
若ab=0，则a=0或b=0
如果两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0；反之,如果两个因式中任何一个为0,那么它们的积也等于0.
∴x=0或10﹣4.9x=0. ②
这两个根中,x2≈2.04表示物体约在2.04s落回地面,而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻,即在0s时物体被抛出,此刻物体的高度是0m.
∴方程①的两个根是x1=0, x2= ≈2.04
知识讲解
解方程①时，二次方程是如何降为一次的
上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
知识讲解
①移项,使一元二次方程等式右边为0;
②分解，把左边运用因式分解法化为两个一次因式的积;
③赋值，分别令每个因式等于0,得到两个一元一次方程;
④求解，分别解这两个一元一次方程，得到方程的解。
归纳：右化零，左分解，两因式，各求解.
因式分解法解一元二次方程的一般步骤
典例精讲
(1) x(x-2)=0
例2 用因式分解法解下列方程：
(2) (y+2)(y-3)=0
(3) (3x+6)(2x-4)=0
(4) x2=x
解：x1= 0, x2= 2
解：y1= -2, y2= 3
解：3x+6= 0, 2x-4= 0
x1= -2, x2= 2
解： x2-x = 0
x(x-1) = 0
x1= 0, x2= 1
典例精讲
例3 用适当的方法解方程：
（1）3x（x + 5）= 5（x + 5） （2）(5x + 1)2 = 1
分析：该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快.
分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法.
解：(3x - 5)(x + 5) = 0
3x - 5 = 0 x + 5 = 0
x1 = x2 = -5
解：5x + 1 = ±1
5x + 1 = 1 5x + 1 = -1
x1 = 0 x2 = -
典例精讲
（3）x2 - 12x = 4 ; （4）3x2 = 4x+1；
分析：二次项的系数为1，
可用配方法来解题较快.
分析：二次项的系数不为1，
且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法.
解：x2 - 12x +62 = 4+36
( x - 6)2 = 40
x - 6 =
x1 =+6 x2 =+6
解：3x2 - 4x -1 = 0
a = 3, b = -4, c = -1
Δ=b2- 4ac = 28 > 0
= =
x1 = x2 =
知识讲解
(x+m)2＝n（n ≥ 0）
x2+px+q = 0 （p2-4q ≥0）
ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)
(x+m)(x+n)=0
举一反三
1．方程 的根是（ ）．
A．x1= ，x2= B．x1= 6 ，x2=
C．x1= 2 ，x2= D．x1=x2= -
2．若(m2－n2)(m2－n2－2)－8=0，则m2－n2的值（ ）．
A．4 B．－2 C．4或－2 D．－4或2
D
C
3．一元二次方程 ax2＋bx＋c =0（a≠0）的求根公式是____ ___，条件是_ _______．
4．当x= 时，代数式 x2－8x＋12 的值是 －4．
5．若关于x的一元二次方程 (m－1)x2＋x＋m2＋2m－3=0 有一根为0，
则 m 的值是 ．
6．解方程 ，最简便的方法是（ ）
A．配方法 B．公式法 C．因式分解法 D．直接开平方法
4
b2－4ac≥0
-3
C
①x2-3x+1=0 ②3x2-1=0 ③-3t2+t=0
④x2-4x=2 ⑤2x2-x=0 ⑥5(m+2)2=8
⑦3y2-y-1=0 ⑧2x2+4x-1=0 ⑨(x-2)=2(x-2)
适合运用直接开平方法 ；
适合运用因式分解法 ；
适合运用公式法 ；
适合运用配方法 .
②、⑥
③、⑤、⑨
⑦、⑧
①、④
7.填空
课堂小结
谢谢
观看