第4章 样本与数据分析初步
本章着重学习统计方面知识，它是建立在七年级上册“数据与图表”的基础之上，既是前面“数据的收集和整理”的延续，又为后面学习“频数及其分布”做准备。统计与现实生活密切相关，平时人们都会自觉或不自觉地运用统计的方法去分析问题和解决问题。课本在本章相对集中地介绍有关统计的一些概念、原理和方法，意在强化学生的统计意识，以培养学生自觉地运用统计的知识和方法去解释、分析、处理、解决许许多多生活中遇到的实际问题。
本章的主要内容有抽样（包括总体、个体、样本、样本容量），平均数，中位数和众数，方差和标准差，以及统计量的选择与应用。平均数、中位数、众数是衡量一组数据集中程度的三个重要特征统计量，方差、标准差是衡量一组数据离散程度的两个重要特征统计量。这些内容都围绕实际问题展开，重视知识的应用，突出学生统计意识的渗透和统计能力的培养。
一、教科书内容和课程教学目标
1、本章的教学要求。
（1）通过丰富的实例，感受抽样的必要性，了解总体、个体、样本等概念,体会不同的抽样可能得到不同的结果。
（2）在具体的情境中理解并会计算加权平均数；根据具体问题，能选择合适的统计量（平均数、中位数、众数）表示数据的集中程度。
（3）探索如何表示一组数据的离散程度，会计算方差和标准差，并会用它们表示数据的离散程度。
（4）通过实例体会样本估计总体的思想，能用样本平均数、方差来估计总体平均数和方差，并能解决一些简单的实际问题。
2、本章教材分析
课本从一个学生比较熟悉的调查问题提出抽样的概念，并通过“做一做”的三个问题让学生感受抽样中可能会遇到的问题。例题的安排既是为了突出在抽样过程中样本选取重要性，说明不同的抽样方法可能得到不同的结果，又引出总体、个体、样本、样本容量等概念，比较自然。“合作学习”设计的目的一方面是让学生进一步体验抽样的必要性，另一方面也是让学生从中去体验抽样中会遇到的问题和应该注意的一些事项。相对于“抽样”的另一个概念——“普查”，考虑到学生不难理解，就安排在练习中出现。
平均数是学生比较熟悉的一个概念。基于这种考虑，课本一开始就安排了一个“合作学习”，一方面是让学生在具体的问题情境中去计算平均数，另一方面也是渗透用样本去估计总体的思想。根据学生已有的知识和经验，在平均数的处理上，课本把重心放在加权平均数的学习和应用上，并安排了两个不同侧重面的例题。平均数的计算方法并不限于这两种，课本未作全面地介绍，其目的是既抓住主要的，又留给学生更多的思维空间。
第4.3节的“合作学习”学生容易从平均数的角度去考虑，既然设计成“合作”，就应让学生充分地进行讨论，在辩论中明晰采用平均数的弊端，从而顺理成章地提出中位数和众数的概念。例题中第（2）小题的安排也是让学生学会合理地选用统计量，并体会选择不同的统计量会得出不同的结论。本节还对三种统计量进行了比较，以便学生对这三个统计量有一个准确地把握。
本章的阅读材料着重介绍利用计算机求平均数、中位数和众数，意在渗透现代教学手段的运用，既为大多数学生开阔视野，也为一部分有条件的学生提供实践的机会。
方差和标准差是反应一组数据离散程度的统计量。课本从射击比赛的成绩（当然也可以从学生更熟悉的例子，如投篮）引入，提出问题，并让学生通过画图来判断两组数据的波动情况，形象直观，这样提出方差的概念就比较自然。课本在本节和4.5节（包括相应的作业题）都安排了有关方差的计算，其目的在于让学生能掌握算理和算法。计算过程可鼓励学生使用计算器，养成使用计算器的习惯。本节的“探究活动”隐含着一种规律，可以让学生通过探究去发现这种规律，体会发现的乐趣。
安排“统计量的选择与应用”一节内容，旨在避免老教材“学一节用一节”，学生只知道套用，不会选择运用的弊端。课本在这里安排了两个例题，就是要经历不同的选择过程，在选择中加深理解，在选择中学会运用。本节例1的解答没有对错之分，只有合理与不合理的选择。
二、本章编写特点
1、素材丰富，取材来源于生活的方方面面。
课本首先从学生的生活实际——初中生最喜欢的课外活动项目提出问题，引出抽样的概念，然后选取一些如父母的生日、考试的成绩、学生的视力、学校的饮食等学生身边的事例及产品的质量、商店的营业额、车流量等学生熟悉的事例来理解总体、个体、样本等概念。在研究这些事例的某方面问题时，由于遇到不方便、不可能、不必要等因素，体会抽样的必要性，体会样本选取的代表性以及用样本去估计总体的思想。在平均数、中位数、众数以及方差、标准差等知识的学习中，也避免了一些干巴巴的数字，而是把这些数字赋予生活的情境，给它们以生机和活力。如学生的身高、广播操比赛的成绩、员工的工资、文艺演出的得分、气温、血色素等。这样既体现知识的学习过程，又体现知识的应用过程，同时还有利于激发学生的学习兴趣，有利于学生养成关注身边的事例、关注社会问题，培养一种社会的责任感。
2、注重在实际情境中学习概念
本章比较集中地学习了统计的许多概念：抽样与普查，与抽样有关的总体、个体、样本、样本容量，反映数据的集中程度的统计量——平均数、中位数、众数，反映数据离散程度的统计量——方差、标准差。对于这些概念的介绍，课本采取了不同的处理方法。有些结合具体的事例给出，把概念置于具体的问题情境中，不加严格地描述。如抽样、普查、加权平均数等；有些结合例子给出描述性的定义，如众数、中位数；有些结合计算的过程，以公式的方式给出，如方差、标准差等。它们有一个共同的特点，那就是概念的学习都不离开具体的情境，在具体的情境中了解概念，通过实例的应用加深对概念的理解。
3、重视计算器和计算机的运用
《数学课程标准》指出，在探索现实问题和需要进行较复杂的计算时，就应当鼓励学生使用计算器，慢慢养成像使用笔纸那样使用计算器的习惯。本章属于统计的知识，统计离不开数据的收集、整理和分析，当然也就离不开计算。学生只有通过自己参与计算过程，才能从中体会统计的过程，从中理解统计的结果。因此在平均数、方差、标准差等几节内容中，都安排了一定量的计算题，提倡学生在统计的过程中使用计算器。课本也安排了一个“利用计算机求平均数、中位数和众数”的阅读材料，开阔学生的视野，使有条件的学校、学生能学习这些现代化的教学手段，增加才干。
三、教学建议
1、 选取和充实教学实例，增加体验的机会。
课本虽然已经选取了大量的实例来引导学生学习有关的概念和方法，但各地学生的学习、生活环境不同，条件不同，导致他们的生活经验、知识面等也不完全相同，这就要求我们在教学中能够对学习的素材作进一步地充实和选取，增加那些本地学生熟悉的，贴近生活实际的事例，以增加学生学习的兴趣和数学学习的实用性。对于抽样的必要性、样本选取的代表性等一些问题，不仅要有教师的分析，更应有学生的体会，而且通过学生的体会来理解问题显得更重要。
2、 对概念的学习应更注重于理解和应用。
本章概念比较集中，对于这些概念的教学，应重视结合具体的事例来分析和理解，不要去做一些枯燥地文字解释，更不要死记硬背。做到“从事例中来，到事例中去”，让学生在具体问题中去应用概念，才可能让他们真正理解和掌握。如方差一节，课本先设置了“合作学习”的栏目，让学生在合作探索中逐步体验到计算平均数、计算各数据偏差的平方等都不能有效地反映数据的稳定性，需要计算各数据偏差的平方的平均数，从而引出方差的概念。接着着重解决两个问题：一是方差的概念有什么用？二是方差的概念怎么用？课本通过一个例题和课内练习让学生去理解和应用。
要注意到课本对“总体、个体、样本、样本容量”这四个概念要求上的变化。这些概念是在调查过程中必然会遇到的，只要让学生了解即可，不必要求学生纠缠于这方面识别的练习。
3、 避免过于复杂、烦琐的计算。
如前所说，在统计中我们离不开计算，但这又有一个度的把握问题，并不是提倡让学生要进行大量地计算训练，否则会与我们的初衷相违背。教学中怎样才算把握好了度的问题呢？我们以为，对于一个简单的问题，学生只要能判断出这个问题的处理方法，并能独立地进行有关计算，作出解答，就算是达到了要求。教学中应认真体会这个意图。
4、 以学生为主体，激发学生积极参与。
学习统计知识就是要培养学生的统计意识和统计能力，培养这种意识和能力的最有效的方法就是让学生主动地、积极地参与到学习过程中来。教学中我们应有意识地创设这种氛围，创设这种情境，鼓励学生自己动手。这是一种教学观念的问题，《数学课程标准》中倡导的动手实践、自主探索和合作学习等学习方式应更好地在本章中得到体现。
杭州文澜中学 王亚权
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5第3章 直棱柱
本章的主要内容有直棱柱、展开图、三视图及其有关应用。这些内容在前两个学段学生已有接触，但十分肤浅，只学过长方体和立方体。本章是学生已有空间图形知识的进一步扩展，对培养学生的空间想像能力是很重要的一环。尽管本章内容仍是直观的，但要求已有所不同。也为高中进一步学习立体几何打下基础，因此，本章具有承前启后的作用。另外，《数学课程标准》中有关视图的要求本套教科书分两步到位，本章只涉及直棱柱的三视图及表面展开图，有关圆柱、圆锥、球等几何体的三视图及表面展开图将到九年级学习。
直棱柱是一种基本的立体图形，它在我们的周围随处可见，和人们的生活和生产实践密切相关。直棱柱的表面展开图与三视图，在今后的立体几何学习中会经常碰到，是本章的教学重点。直棱柱的表面展开图的判断和画法对学生的空间想像能力要求较高，是本章主要的教学难点。
本章教学时间约需7课时 ，具体安排如下：
3.1 认识直棱柱 1课时
3.2 直棱柱的表面展开图 1课时
3.3 三视图 1课时
3.4 由三视图描述几何体 1课时
复习、评估2课时，机动使用1课时，
合计 7课时
一、教科书内容和课程教学目标
(1) 本章知识结构框图如下：
(2) 本章教学要求
① 了解直棱柱的表面展开图，并能根据展开图判断和制作立体模型。
② 会画基本几何体（直棱柱）的三视图（主视图、左视图、俯视图），会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型。
③ 了解基本几何体与三视图、展开图之间的关系；通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物品的包装）。
④ 观察与现实生活有关的立体图形，了解并欣赏一些有趣的立体图形（如不可能的立体图形等）。
(3) 本章教材分析
1．本章的主要内容是直棱柱，课本从学生生活周围熟悉的物体入手，使学生对物体形状的认识从感性逐步上升到抽象的几何图形。同时，教师可以补充一些具体的事例，再进一步认识一些简单的几何图形，它们都是由若干个平面围成的，而将这些平面沿某些棱剪开、铺平就得到这个几何体的表面展开图；而分别从正面、左面、和上面看这个几何体所得到的图形就是这个几何体的三视图。
2．直棱柱是几何体中一类比较简单的立体图形，如立方体与长方体。而比较复杂的立体图形都是由一些简单的立体图形所组成的，因此，本章是研究比较复杂的立体图形的必要基础。课本在3.1节“认识直棱柱”后，安排了利用“斜二侧画法”画立方体的阅读材料，使学生进一步理解立体图形与平面图形的关系，从而初步培养他们对立体图形的空间想像能力。3.2节“直棱柱的表面展开图”，是在前一学段认识长方体、正方体、圆柱的展开图知识的基础上，进一步研究直棱柱的表面展开图，并能根据展开图来判断和制作立体模型，让学生通过探究，进一步体验基本几何体与展开图之间的关系；并通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物品的包装）。接着，安排了3.3节“三视图”与3.4节“由三视图描述几何体”的内容，也是在前一学段能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位置的基础上，结合丰富的实例，进一步了解基本几何体与三视图之间的关系；通过典型实例，判断简单物体的三视图，并能根据三视图描述基本几何体或实物原型。
3．本章的学习要注意多从实物出发，让学生感受到图形世界无处不在，引起学生学习的兴趣。还可以结合一些具体问题，让学生感受学习空间与图形知识的重要性和必要性。对于一些抽象的概念、性质等，也要从解决实际问题引入，让学生在探索中真正理解这些性质。同时要注意概念的定义和性质的表述，逐步使学生懂得几何语句的意义并能建立几何语句与图形之间的联系。这些不仅是学习好本章的关键，对于学好以后各章也是很重要的。
二、本章编写特点
1、充分利用现实世界中的实物原型进行教学，展示丰富多彩的几何世界
人们生活在三维空间中，丰富多彩的图形世界给“空间与图形”的学习提供了大量现实有趣的素材。在本章内容的呈现中，充分体现从生活中的立体图形到平面图形，再到立体图形，从而更好地“把握几何图形”。
在本章教科书的许多地方，如认识直棱柱，直棱柱的概念的引入，直棱柱的表面展开图的研究，三视图的引出和由三视图描述几何体等，以及想一想、课内练习、阅读材料、作业题中都呈现了大量生活中的图形，在实际教学时还可以向学生展现更多他们熟悉的生活中的物体和图形，增加学生的直观感受，提高学习空间与图形知识的兴趣，从而更好地认识立体图形，了解立体图形。
2、强调学生的动手操作和主动参与，让他们在观察、操作、想像、交流等活动中认识立体图形，树立空间观念。
学习方式的转变是课程改革的一个重要目标，与其他数学内容相比，“空间与图形”的教学更容易激起学生学习数学的热情。在本章的编写中，注意从学生已有的生活经验和已有的知识出发，给学生提供“现实的、有意义的、富有挑战性的”学习材料，提供充分的数学活动和交流的机会，引导他们在“做数学”的活动中，在自主探索的过程中获得知识和技能，掌握基本的数学思想方法。
在本章的教科书中，设置了许多“合作学习”“想一想”“探究活动”等栏目，如从一些图案中发现立体图形，通过画出长方体型饮料包装盒的展开图纸样与表面积的计算，了解几何体与平面的关系，探索用6块相同的小立方体，让学生搭出几种不同形状的几何体，如果给出一种俯视图，又能搭出几种；让学生组成3—4人一组，讨论并探究怎样利用表面展开图来解决著名的数学谜题等等。通过这些“探究点”，鼓励学生勤思考、勤动手、多交流。其中，动手操作是学习开始阶段重要的一环，它可以帮助学生认识立体图形，丰富直观，验证学生的空间想像能力。
三、教学建议
1、把握好本章的教学要求。本章是本学段视图领域的起步，并且学生刚从小学进入初中，涉及的问题不宜过于复杂，解决问题的要求不宜过高。本章内容和高中立体几何有着本质的区别。对直棱柱的概念、图形特征的教学只能借助图片、模型等进行直观教学，不能采用严格定义，运用推理的方法来认识直棱柱的概念和图形特征。除课本要求的知识外也无需补充更多的有关直棱柱的知识。课本对画三视图的要求是遵循 “长对正、高平齐、宽相等”的原则，在教学中要对这条原则有一个正确的理解，绝对不要在教学中盲目拔高要求。本章所涉及的表面展开图和三视图仅限于直棱柱及其简单组合体，教学中要严格把握要求。
2、在本章的学习中，特别要注重理解和在实际问题中解决问题，应该鼓励学生根据不同的问题，选择适当方法、不同角度去理解立体图形，进行空间想像。通过实践使学生对几何图形有较为全面、客观的认识。
3、从学习方式上，通过合作学习、探究活动等形式，促进学生相互交流，从而最大限度获得数学能力和体验数学思想。教学中应积极鼓励学生，当学生在探究过程中遇到困难时，应给予诱导启发，或给予必要的阶梯。让学生在这过程中体验如何学会学习，千万不能包办代替，过早给学生答案。应鼓励合作学习、和探究活动中从多角度思考，采用多种解决问题的办法，创造积极合作、讨论氛围。
4、重视现代信息技术的应用。现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响，信息技术工具的使用能为学生的数学学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力和学习工具，重视现代信息技术的使用也正是本套教材的特点之一。在这一章，利用信息技术工具，可以给我们展现丰富多彩的图形世界，丰富学习资源，有助于学生从中抽象出几何图形；图形的动态演示，连续变化所形成的众多画面变换，可以在大脑中形成图形空间变化的印象，帮助认识空间图形与平面图形的关系，帮助建立空间观念；可以帮助学生在动态变化的图形中寻找不变的位置关系和数量关系，从而发现图形的性质。因此，有条件的地方应尽可能地使用信息技术工具，帮助学生的数学学习。
（徐鸿斌）
棱柱
三 视 图
直棱柱
由三视图描述几何体
多 面 体
直棱柱性质
应用
直棱柱的表面展开图
- 4 -第2章 特殊三角形
这一章主要阐述了等腰三角形和直角三角形的基础知识。
等腰三角形部分：(1) 了解等腰三角形的有关概念
(2) 探索并掌握等腰三角形的性质
(3) 探索一个三角形是等腰三角形的条件
(4) 了解等腰三角形的性质和一个三角形是等边三角形的条件
直角三角形部分：(1) 了解直角三角形的有关概念
(2) 探索并掌握直角三角形的性质
(3) 体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题
(4) 探索一个三角形是直角三角形的条件
(5) 会说明直角三角形全等的判定方法
本章内容之间的相互联系可用如下结构框图表示：
本章的性质和判定是研究图形的两方面基本内容，也是图形的应用和学习后续几何知识的基础, 所以本章的教学重点是等腰三角形和直角三角形这两类图形的性质和判定. 等腰三角形的判定，直角三角形的勾股定理等一些图形的性质和方法的推导过程比较复杂，在解决某些问题中推理的要求与过去相比有所提高，理解这些推理过程，并学会表述是本章教学的主要难点.
本章课时安排建议：
2.1节 1课时
2.2节 1课时
2.3节 1课时
2.4节 1课时
2.5节 2课时
2.6节 2课时
2.7节 1课时
复习、评价3课时，机动1课时，合计13课时.
本章教学应注意以下几点
1. 对等腰三角形、直角三角形的性质和判定方法，课本采取了实验和推理相结合的方法，表明本章仍属于由实验几何向论证几何过渡的阶段，因此在教学中仍需重视观察、实验、操作、归纳等方法，尤其要重视图形的性质和判定方法的发现过程. 同时，要让学生理解推理的必要性，学会推理及其表述，对比较复杂的推理过程，要做好思路的启发和分析.
2. 本章所涉及的性质和判定方法实际都是定理，并且多数是《标准》中目标列项的定理，如等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线三线合一；有两个角相等的三角形是等腰三角形；直角三角形的两锐角互余，斜边上的中线等于斜边上的一半；有两个角互余的三角形是直角三角形；勾股定理；勾股定理的逆定理；角的内部，到两边距离相等的点在角的平分线上等，教学中应要求学生掌握，并能把它们作为推理的依据；有些定理，如直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理的逆定理，需在以后给出证明，教学中应把重点放在这些定理的发现过程，分清定理中的条件和结纶，学会这些定理的应用，但不要补充推导或证明.
3. 本章已经要求学生完整地书写推理过程，教学中要较细致地做好推理及其表述的指导. 要求学生写推理过程的题，要严格控制难度，一般不要超过《标准》所列的12个定理的证明难度.
各节提要：
2.1 等腰三角形
重点和难点
本节的重点是等腰三角形的有关概念，等腰三角形是轴对称图形是本节教学中的难点.
说明和建议：
1. 由于等腰三角形的概念在小学中已学过，课本直接给出等腰三角形的定义。教学中可以通过课本中做一做，加深学生对等腰三角形的定义，以及腰、顶点、底角、底边等概念的理解.
2. 通过学生动手操作发现等腰三角形的基本性质，认识等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是他的对称轴.课本中的例题加深对这一性质的理解.
3. 淡化几何定理的证明格式，通过生活中的实际情境来加深定理的理解.
2.2 等腰三角形的性质
重点和难点
本节的重点是等腰三角形的性质.例2的几何作图是难点.
说明和建议：
1. 由于上节课作了充分的准备，学生对等腰三角形的性质不会觉得难以理解.
2. 课堂中的例题重点放在分析思路，突出等腰三角形性质的应用上.例1较简单，例2根据已知条件作等腰三角形，为分散难点，可作如下分析：
从已知底边BC=a和底边BC上的高为h出发，要作出等腰三角形ABC，关键是作出顶角的顶点A，等腰三角形顶角的顶点在哪里 根据等腰三角形三线合一的性质，A在底边BC的垂直直平分线上. 因此，先作BC，再作BC的垂直平分线L交BC于点D，然后在L上截取DA=h，连结AB，AC就得到所求作的等腰三角形.
2.3 等腰三角形的判定
重点和难点
本节的重点是等腰三角形的判定方法，例2的说理过程是本章的难点.
说明和建议
1. 通过学生动手操作发现两个角相等的三角形是等腰三角形.
2. 例1直接应用等腰三角形的判定方法. 例2是等腰三角形的性质和判定的综合应用.
可按以下步骤分析：(1) 等腰三角形底边上的高又是什么线
(2) 两直线平行可得什么结论
(3) 由上知，哪些角相等 这样可根据等腰三角形的判定方法知△BDE是等腰三角形.
2.4等边三角形
重点和难点
本节的重点是等边三角形的性质.难点是等边三角形性质的探索过程.
说明和建议：
本课例题是等边三角形性质的应用，教师可补充等边三角形的判定方法.
2.5 直角三角形(2节课)
重点和难点
本节的重点是直角三角形性质和判定方法.难点是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
说明和建议：
1. 直角三角形内角的特点和用角判定三角形是直角三角形，学生容易理解.课本引出特殊直角三角形即等腰直角三角形.
2. 例2有承上启下的作用，既运用直角三角形两锐角互余的性质，又为下节直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作铺垫.
3. 例3是直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的应用.先应把实际问题转化为数学问题.通过分析讲解.最后可告诉学生在直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半.
2.6 探索勾股定理(2节课)
重点和难点
本节的重点是勾股定理及逆定理.难点是用面积证明勾股定理.
说明和建议：
1. 通过学生动手操作发现直角三角形三条边长的关系：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.然后探索勾股定理的正确性.课文中用四个全等的直角三角形拼成一个正方形.用面积说明勾股定理的正确性，教师可视学生的实际情况用别的拼图方法介绍说明勾股定理.
2. 通过课内练习要求学生在数轴上作出无理数.
3. 通过学生动手操作发现：勾股定理的逆定理.这个逆定理只要求学生熟悉，会运用即可.
2.7 直角三角形全等的判定
重点和难点
本节的重点和难点是直角三角形全等的判定方法.
说明和建议：
1. 探索直角三角形的判定方法.用等腰三角形的性质和三角形全等说明直角三角形全等的判定方法.
2. 课本中例题用直角三角形全等的判定方法说明角平分线的另一个性质.
宁波七中 张幼云
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2八年级上册 第6章
第6章 图形与坐标
一、教科书内容和课程学习目标
（一）教科书内容
本章包括三节：
6．1 探索确定位置的方法
6．2 平面直角坐标系
6．3 坐标平面内图形变换
其中，6．1节是本章的的引入部分；6．2节是本章的重点；6．3节是本章的应用。阅读材料介绍了笛卡尔与直角坐标系，并说明了直角坐标系在沟通代数与几何方面的重要作用。
（二）本章的知识结构
（三）课程目标
（1）认识并能画出平面直角坐标系，理解平面直角坐标系的有关概念，能够在给定的直角坐标系中熟练地根据坐标系确定点，由点求得坐标。了解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系。
（2）能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。
（3）在同一坐材系中，感受图形进行对称变换和放缩变换后的坐标变化。
（4）灵活运用不同的方式确定物体的位置。
（5）结合教材的内容，培养学生数形结合的思想和运动变化的观点，欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用。
（四）课时安排
6．1 探索确定位置的方法……………………………………1课时
6．2 平面直角坐标系…………………………………………2课时
6．3 坐标平面内的图形变换…………………………………2课时
小结、目标与评定………………………………………2课时
二、编写的指导思想与特点
教科书在设置这部分内容的目的是让学生尽早接触平面直角坐标系中这种数学工具，尽早感受数形结合的思想。主要目标是：了解确定图形或物体位置的方法及坐标法的思想，探索点的坐标的变化与图形变换之间的关系。在内容上除了包括传统的与建立平面直角坐标系有关的概念外，增加了坐标法的简单应用和简单的坐标变换，如用坐标表示地理位置，用坐标的对称、平移变换等内容。本章内容的编写围绕着确定物体的位置展开。首先从实际生活中利用有序数对确定物体的位置，如电影院中座位的位置、教室中学生座位的位置以及城市中相关地点的位置出发，引出平面内确定点的位置的方法，由此引入建立平面直角坐标系，通过对平面直角坐标系的研究，尤其是关于点与坐标（整数）的一一对应关系，再来看它在确定地理位置和数学中的应用。
本章的编写改变直接从数学角度引入平面直角坐标系的做法，而是密切联系生活实际，从实际的需要出发引出坐标系，让学生感受平面直角坐标系在解决实际问题中的作用。通过坐标方法在数学中的应用，使学生看到平面直角坐标系成功地架起了数与形之间的桥梁，为解决数学问题提供了一个强有力的工具。有了它，既可以把代数问题转化为几何问题，又可以将几何问题转化为代数问题。
作为平面直角坐标系的应用，教科书探索了坐标变化与图形变换的关系，这里的变换主要包括平移、轴对称，加强了“数与代数”“空间与图形”之间的联系，可以将代数问题转化为几何问题，又可以几何问题转化为代数问题。
三、教材处理
关于教材处理，按教材内容的安排及课程标准的要求具体说来，第一节通过一系列现实情境(如电影院、教室的座位、地形图、方格图等)让学生感受确定位置的多种方式、方法，渗透直角坐标和极坐标的思想。
第二节通过实例先认识直角坐标系，然后通过在给定的直角坐标系中根据坐标找点、连线、确定图形的大致形状等活动，使学生认识图形与坐标的关系。在此基础上，进一步让学生根据已知条件，建立适当的直角坐标系，并写出一些点的坐标，确定点的位置，并要求学生建立适当的直角坐标系描述物体的形状。
第三节探索坐标平面内的图形变换，特别是图形变换与坐标之间的关系。由于平面直角坐标系的引入，加强了数与形之间的联系，可以将代数问题转化为几何问题，又可以将几何问题转化为代数问题，从数的角度刻画图形的平移变换，研究了图形的平移引起得图形顶点坐标的变化，以及图形顶点坐标的某种有规律的变化引起得图形的平移两方面的问题，这样就用代数的方法研究几何问题，体现了解析几何的初步思想。并且在图形变换中感受数学的美，体验运动变化的观点。
教科书充分体现了课程标准的思想，本章的着眼点是“确定位置”，而过去教材比较强调对坐标系本身的特征的讨论。比如，点的坐标的符号与所在象限的关系等在教科书中都有较大的弱化。在第三节中讨论了坐标变化与图形变换的关系。教材在编写时注意到了以下问题：①这里没有涉及一般的旋转变换(中心对称)，这是因为与一般旋转变换对应的坐标变化较为复杂。②这里只是借助比较具体的几何图形和函数图像进行讨论，没有上升到一般的、数学式的讨论。这是因为《数学课程标准》只是要求“感受”，是一种感性认识要求，不是“解析几何”的要求。
四、教学建议
1．因地制宜选取符合当地学生实际的素材，开展确定位置的活动。学生只有在他熟悉的情境中，亲身经历这样的活动，才能对确定位置的方式方法以及其中的坐标思想有切实的认识。
2．关注学生有条理的思考和表达。在确定位置的活动中，不仅学生自己要明白物体的位置，而且要能有条理地向别人表述，透过这种表达可以反映学生的①表达水平；②有关知识的掌握程度；③空间观念(因为“能采用适当的方式描述物体间的位置关系”是空间观念的表现之一)。
3．本章的教学要求应有准确的定位，这一章的主要目标是：了解确定图形或物体位置的方法及坐标法的思想，探索点的坐标的变化与图形变换之间的关系。教学中应把握这部分的关键，在平面直角坐标系中“点”的位置的确定以及图形变换后点的坐标的变化，这样把“形”与“数”紧密地联系在一起，在教学中可以采用列表、绘图、对比等方法让学生感知图形变换与坐标之间的关系，并与学生活动紧密结合起来，而不是单纯的计算或操作，使教与学丰富多彩。
（金克勤）
探索确定位置的方法
有序数对法
方向距离法
平面直角坐标系
坐标平面内图形的变换
平移变换
对称变换
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4第5章 一元一次不等式
现实世界中的数量关系有相等关系，也有不等关系．相等关系是相对的、局部的，而不等关系却是普遍的、绝对的．不等式是现实世界中不等量关系在数学上表现形式，不等式的知识也是研究方程、函数和其他数学分支的重要工具，因此不等式也成为中学数学的重要内容之一．不等式中最基础且在实际应用最广泛的是一元一次不等式，它也是今后进一步学习一元二次不等式等的必备知识，所以我们研究不等式从一元一次不等式开始．本章内容编排线索为：在有理数大小比较的基础上，学习不等式的概念、不等式的基本性质；有了不等式性质的依据，将一元一次不等式变形，一元一次不等式的解法就变得可能．在数轴上表示不等式是本章内容中数形结合、求不等式组的解的直观和有效办法．课本在一元一次不等式（组）实际应用上加大了篇幅，突出了用不等式建模解决问题的思想，重视对学生解决实际问题培养．
本章教学时间约需10课时 ，具体安排如下：
5．1 认识不等式 1课时
5．2 不等式的基本性质 1课时
5．3 一元一次不等式 3课时
5．4 一元一次不等式组 2课时
复习、评估3课时，机动使用1课时，合计11课时．
一、教科书内容和课程教学目标
（1）本章知识结构框图如下：
（2）本章教学目标如下：
目标类别 目标层次知识点及相关技能 知识技能目标 过程性目标
了解 理解 掌握 灵活运用 经历(感受) 体验(体会) 探索
不等式 不等式的概念 √ √
根据数量关系列不等式 √ √
在数轴上表示不等式 √ √
不等式的基本性质1 √
不等式的基本性质2 √ √
不等式的基本性质3 √ √
一元一次不等式（组） 一元一次不等式的概念 √ √
一元一次不等式的解的概念 √ √
一元一次不等式的解法 √ √
一元一次不等式的解在数轴上表示 √ √
求一元一次不等式的整数解 √ √
一元一次不等式组的概念 √ √
一元一次不等式组的解的概念 √ √
一元一次不等式组的解法，并用数轴确定解 √ √
一元一次不等式（组）的应用 √ √
（3）本章教学要求
① 通过合作学习，同学间共同探索、相互启发，理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；
② 理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；
③会利用不等式的三个基本性质，较熟练解一元一次不等式．通过与一元一次方程的解的比较，进一步理解两者的异同，尤其是不等式两边同除以一个负数的情况．同时通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性等 一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的一种重要途径；
④ 会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；理解建立一元一次不等式解决实际问题是问题解决的有效数学模型，体会数学有应用价值，提高学生分析问题和解决问题的能力．
二、本章编写特点
（1） 选择学生有兴趣的材料，丰富数学课程内容的领域
本章编写选择了大量联系实际、学生又感兴趣的材料：如导火索的长度与人安全离开距离；小水电站的水位与正常发电要求；计算机光盘容量与文件储存个数；知识竞赛的计分办法；电梯搬运货物等等．这样做的目的不仅丰富了数学课程的内容，而且在一定程度上拓宽学生知识面，也使学生体会到不等式在现实生活中是一个常见的数学模型，增强学生学习的兴趣．
（2） 采用前后对比的手法，培养学生有联系的学习，容易形成知识网络
一元一次不等式是在学习了一元一次方程的基础上进行的，两者之间既有区别也有联系．采用列表对比的方式既可以复习旧知识，理解掌握新知识，更重要的是帮助学生找到有效的学习途径．如方程与不等式、等式的性质与不等式的性质、解一元一次方程与解一元一次不等式、一元一次方程的解与一元一次不等式的解、二元一次方程组与一元一次不等式组等等，教与学的有机结合，有利于学生知识网络形成．
（3） 充分发挥数轴在解不等式中的工具作用，体现数形结合的思想
与原浙江版义务教育数学教材不同，新教材在“认识不等式”一节中就开始利用数轴表示不等式，并自始至终贯彻数与形结合的思想方法，为后面用数轴表示一元一次不等式的解集及利用数轴求不等式组的解集打下坚实的基础．
（4） 师生互动，探索新知，让学生经历知识的发生过程，获得成功的体验
本套教科书在各个环节中，都着重让学生亲自探索、理解，本章继续保持这种特点，让学生经历知识的发生过程，经历解决问题的过程，在探索中理清脉络，概括小结知识要点．如5．2节的探究活动，让学生比较等式与不等式的性质，并明确指出用列表法对比；5．4节的探究活动概括不等式组的解的四种情况，通过数形结合的有效途径掌握求交集（公共部分）的方法．在师生互动，合作交流中增强学生与他人合作交流的能力，也学会从多角度观察、分析、思考得到结论，与人交流互相补充、完善过程，从而体验成功快乐．
三、教学建议
（1）可充分利用课本中丰富、生动的素材，从扩大知识面、引起学生兴趣的角度加以阐述，让学生真正体验在现实世界中不等式是常用的数学模型，是解决问题的重要手段．并创造性地结合学生实际，在各节创设生动而有趣的情境，变学习过程成为学生不断在创设情境中提出问题，不断探索解决问题的过程．另外，该让学生研讨的地方也不要图方便而教师一讲到底，导致学生失去与人合作、交流锻练的机会．
（2）采用对比、归纳是本章教学重要方法，在对比中整理原有的知识，然后溶入新知识，则对新知识理解更深刻，掌握更全面，形成更高一层次的知识网络．这也是学习数学的途径之一，掌握这种方法与掌握不等式知识同样重要．本章中如一元一次不等式的解的概念比较难理解，可通过对比，加深理解．
（3）在本章教学中，还应强调让学生从数学角度观察、分析、归纳的总结现实情境中数学问题的思考方法，这也是新教材区别于老教材不同的地方．新教材有关一元一次不等式的应用方面明显加强，重视实际建模思想是目前教学发展趋势，会使用数学语言、数学原理等把实际问题转化为数学问题是我们长期努力的方向．
四、本章教学中应注意的问题
（1）凡是用“＞”“＜”“≥”“≤”“ ≠”连接而成的数学式子，都 称为不等式．不等式可以分为三类，即“绝对不等式”“条件不等式”“矛盾不等式” ．教学中要注意：①学生往往忽略用“ ≠”连接的不等式，其实无论在求定义域、解方程验根、反证法中都经常用到，它不表示两端的大小，只表示不相等，应该让学生理解、会使用这个符号； ②对于“≥”“≤”的理解也要强调，“≥”表示“大于或等于”或“不小于”，a≥b表示a大于b，或者a等于b，这两个中有一个成立，这个不等式就成立．③不要向学生介绍三种不等式的类型，但要让学有余力的学生接触三种不同的不等式．如x + 5 ＞ x －2的情况，他实际上是“绝对不等式”，也可以看做是解为全体实数的一元一次不等式．
（2）基本性质从原来浙江义务教材二条增加到三条，新增了不等式的传递性作为性质1，以前采用黙认为正确的办法。因为传递性在以后的解题过程中用处比较大，提出不等式具有传递性使以后的解题逻辑上更加严密，也有利于与等式的比较．如a = b，b = c ，则a = c ；相应不等式有a＞b，b＞c，则a＞c ．这里应注意两点：一是不等号必须同向；二是与等式还是有区别的，不能完全类比．等式可以交换左右两边的式子，如a = b，则 b = a ；不等式要交换左右两边的式子，就必须改变不等号的方向，如a＞b，则a＜b．对于性质2，教学中不要深究“数”与“式”的问题，关键是“同一个” ．不等式左右两端同时加上x + 2，不管x是何值，x + 2总可以看成一个数，因此不等式仍然成立；但是同乘（或同除）必须是不为零的“数”，因为式子不能判定是“正”还是“负”，就可能产生两种不同的结果，对于同乘（或同除以）一个负数的情况，应该再三强调，往往学生在具体的情境中忽视，成为一个难点．
（3）不等式解的概念比方程解的概念抽象难懂，本教材采用与原浙江义务教材同样的处理方法．实践证明这样的处理还是符合学生的实际情况，学生容易理解，也不会给高中的学习带来负迁移．但老师要注意开始学习不等式的解时，可能学生会提出这样的问题：为什么x = 2 是方程 3 x + 5 = 11 的解，而x = 2同样满足不等式 3 x +1 ＞ 2，但不能说是这不等式的解呢？因为不等式的解，也就是不等式的解集是指使不等式成立的未知数的全体．
（4）《数学课程标准》只要求会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，教学中要严格把握教学要求。
(王利明)
一元一次不等式(组)的应用
在数轴上表示不等式
概 念
基本性质3
基本性质2
基本性质1
性 质
一元一次不等式
一元一次不等式组
解法
概念
利用数轴求一元一次不等式组的解
在数轴上表示一元一次不等式的解
一元一次不等式的解
不等式
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5第1章 平行线
八年级学生已经积累了初步的数学活动经验，建立了初步的空间观念，本章是在学生学习了图形的初步知识——相交线、平行线及平移变换等基础上，进一步探索平行线的有关事实，从现实的情境出发，抽象出“三线八角”的几何模型，并在直观认识的基础上，概括出三类角的概念，进而探究平行线的判定方法与平行线的特性。平行线与相交线是同一平面内两条直线的基本位置关系，平行线的相关知识是学生今后进一步学习三角形、平行四边形等知识的重要基础，是几何“大厦”中不可缺少的基石。
另外，本章在直观认识的基础上，进行简单的说理，将直观与简单推理相结合，并借助于平行的有关结论解决一些简单的实际问题，从而进一步培养学生的空间观念，加强他们应用数学的能力和意识。
平行线的判定与性质是今后学习其他知识的重要基础，平行线的判定和性质的应用涉及一些演绎推理，对培养学生的逻辑推理能力和表达能力是重要的一环，是本章学习的重点。同位角、内错角和同旁内角的概念对平行线的性质与判定的准确理解起着关键性的作用，在图形较复杂的情况下三类角的辨别存在一定的困难是本章教学难点之一。平行线的性质与判定容易混淆，是本章学习又一难点。
本章教学时间约需9课时，具体安排如下：
1.1 同位角、内错角和同旁内角 1课时
1.2 平行线的判定 2课时
1.3 平行线的性质 2课时
1.4 平行线之间的距离 1课时
复习评价2课时，机动1课时
合计 9课时
1、 教科书内容和课程教学目标
1、本章知识结构框架图如下：
2、本章的教学目标如下：
了解同位角、内错角和同旁内角的意义；
掌握平行线的判定方法；
掌握平行线的性质；
体会两平行线之间的距离的意义，会度量两条平行线之间的距离；
会运用平行线的知识解决有关问题。
二、本章编写特点
1、保留了原浙江版教材基础扎实，综合性强的特点。与原来的浙江版把平行线的性质和判定分割成几块学习相比，知识结构相对完整，更有利于学生在头脑中构建完整的知识体系。
2、体现数学来源与生活，作用于生活。初中数学知识在具有一定抽象性的同时，也具有丰富的现实背景，这使得以贴近生活实际的问题情境去展开知识学习成为可能。本章从学生熟悉的风筝的节前图引入“三线八角图”，至自行车的行驶路线，轮船的航向，到最后台球运动中的击球理论等等，整个过程无不体现数学与生活的联系，加强了数学与现实的联系，使学生感受到数学与日常生活是息息相关的，运用数学可以更加深入地了解现实世界。
3、为学生提供探索、交流的时间与空间。有意义的数学学习不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流也是重要的数学学习方式。为此，教科书在提供学习素材的基础之上，还依据学生已有的知识背景和或经验，提供了大量的操作、思考与交流的机会，如提出了大量富有启发性的问题，以使学生通过自主探索与合作交流形成新发知识。
3、 教学建议
1. 本章既保留了实验几何的一些特点，又继续向论证几何过渡。教学中既要重视实验的方法，又要积极引导学生学会逻辑推理及其表述。本章实质上是将“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”作为公理，讲述时采用实验、验证的方法，使学生认识这些命题的合理性。其他平行线的判定方法和性质用上述两个公理作为依据得出，教学中可以引导学生用推理的方法得到。让学生初步感受公理和定理的区别，为后面八年级下册学习命题、公理、定理作准备。
2. 几何的演绎推理以及推理的表述方法是许多学生在几何入门阶段的一个突出难点，教师应积极引导学生学会演绎推理，在讲解时要讲清每一步推理的因果关系，板书时作好推理表述的示范。在现阶段要求不宜过高，只要表述过程条理清楚，因果关系正确即可。
1、新课程的一个突出特点是内容丰富了，呈现形式也多样化了，这很大程度上是根据我们中学生的年龄特点和心理特点来设计的，就是希望一改过去枯燥的学数学。教师应该注意到这方面，尤其在几何教学中，因为其本身比较抽象，一方面应该在语言上增加趣味性，让学生觉得愿听，另一方面在创设情境上也要下工夫，因为良好的情境创设不仅为知识的产生过程进行铺垫，更重要的是很多时候对学生的思维开发，起到画龙点睛的作用，而且还可以激发他们的求知欲。因此，要充分利用课本中提供的教学资源。例如，同位角等概念的引出，平行线判定方法的探究，我们可以运用课本中的节前图来创设情境，激发学生的求知欲。当然，也可以根据学生的实际情况，灵活地、因地制宜地选择素材，创设情境。
2、通过让学生动手操作，剪拼，测量，画画等手段，在直观的观察、简单的活动中获得感性到理性的升华。因为空间观念的发展就需要学生亲自经历观察、操作、思考、交流等活动，所以教师要留给学生充分探索和交流的时间和空间，在这基础上，再来有意识地培养学生的理性思维和合理表达的能力。如在讲平行线的特征时，我们既可以按课本程序，让学生先画出两条平行线，再画一条线与它们相交，然后用量角器相应地度量有关角的大小，再根据度量所得的数据作出猜想，在画和量这两个基本操作中领会知识；还可以通过在画好的图形中将有关角剪下来（如一个同位角），然后把这个角与对应的角（另一个同位角）进行比较，看是否重合。通过这样获得的理性知识远比教师空洞乏味的传授有价值得多。
3、教学中，应继续对学生进行初步的数学语言的训练，使学生能用数学语言叙述直线的平行关系，并注意平行符号的使用，应注意渗透逻辑推理思想，必须充分考虑到学生学习论证的困难，评价试题的难度不宜超过课本中例题的难度。
4、图形的变换是义务教育阶段数学课程标准中“空间与图形”领域的一个主要内容，努力体现运动变换的理念与思想，是新教材与传统教材有较大差别的地方。在学习平行线的判定方法、性质以及平行线之间的距离时可与平移变换的思想有机结合。
(卓立波)
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4八年级上册 第7章
第7章 一次函数
一、教科书内容和课程学习目标
（一）教科书内容
本章包括五节：
7．1常量与变量
7．2认识函数
7．3一次函数
7．4一次函数的图象
7．5一次函数的简单应用
其中，一次函数的概念是关键，一次函数的图象与性质是重点，一次函数的应用是拓展。本章设计了一个课题学习，是利用一次函数图象与性质进行最优化选择的问题，是一次函数的内容的进一步应用。
（二）本章的知识结构
（三）课程目标
（1）通过简单的实例，了解常量、变量的意义，会分辨常量与变量。
（2）结合实例，了解函数的意义和函数的三种表示法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系，能够举出函数实例，并能够用描点法画出简单函数图象。
（3）理解自变量的取值范围和函数值的定义，对解析式含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的函数，会确定它们的自变量的取值范围和求它们的函数值。
（4）理解一次函数(包括正比例函数)的概念和性质，体会“变化与对应”的思想，能根据实际问题中的一次函数关系确定一次函数的解析式，会画出一次函数的图象，会用待定系数法求一次函数的解析式。
（5）能根据一次函数图象求二元一次方程组的近似解。
（5）通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的认识，构建和发展相互联系的知识体系。
（6）了解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想和方法。
（四）课时安排
7．1 常量与变量………………………………………………………………1课时
7．2 认识函数……………………………………………………………… 2课时
其中：函数的概念…………………………1课时
函数的解析式………………………1课时
7．3 一次函数…………………………………………………………………2课时
其中：一次函数的概念……………………1课时
待定系数法确定一次函数…………1课时
7．4 一次函数的图象…………………………………………………………2课时
其中：一次函数图象……………………1课时
一次函数性质……………………1课时
7．5 一次函数的简单应用……………………………………………………2课时
课题学习：怎样选择较优方案………………………………………………1课时
小结、目标与评定……………………………………………………………4课时
二、编写的指导思想与特点
“函数”概念在中学数学中占有重要的地位，它也是高等数学研究的对象。“函数”的引入使得数学从“常量数学”转化为“变量数学”，这正是近代数学的一个标志。前面学过的数、式、方程等都是传统的“常量数学”的组成部分，函数则属于“变量数学”的范畴。
在初中阶段，只学习函数的初步知识与基本概念，目的是降低难度，但又介绍“函数”的思想，使学生能以运动的眼光、发展变化的观点去观察问题，对前面所学的知识进行总结、归纳、深化。学习函数后对所学的知识加深理解，它又是高中学习“函数”的必备的基础知识。高中的函数概念是建立在集合、映射等基础上的现代概念，抽象程度较高，而初中的函数的概念还是描述性的概念。实际上在前面所学习的内容中关于给出代数式或列出代数式，求代数式的值的问题，已经渗透了对应的思想。因此学习函数是有一定基础的。函数是初中数学知识的一个重要组成部分。
中学数学教学中加强函数教学是提高中数学水平的标志之一。随着生产力的发展，促使了变量数学的产生发展，这样使得数学能深刻地反映客观世界的量与形的侧面，因而可能解决问题的范围就更加广泛些，特别是近代生产、科技中被广泛应用的很多数学分支无不以变量为研究基础，因而在数学教学中加强变量数学的教学是不容置疑的。变量数学是通过函数来加以研究和表示的，因此在中学数学中加强函数教学是有其重要意义的，这也是提高中学数学水平的标志之一。在中学数学教学中加强函数教学有利于透彻、牢固地掌握基础知识。在初中学习函数的概念，一次函数及其图象，到高中用集合、映射、对应的观点阐述函数的概念。数学教学中也只有加强了变量数学的教学，才能够使得在一些常量数学中还不能圆满解决的问题，如圆的面积，圆的周长，圆柱的体积，无限循环小数化分数、实数概念等得到圆满解决。
本章是学习函数的第一阶段，其教学目标如前所述，重点在于初步认识函数的概念，并具体讨论最简单的初等函数──一次函数。本章教科书力求能在具体的数学内容中渗透体现变化与对应的思想，使学生能潜移默化地感触体会函数内容中最基本的东西，在对数学思想方法的学习方面有所收获。本章在学生对一元一次方程、二元一次方程组和一元一次不等式等以一次（线性）运算为基础的数学模型的已有认识上，从变化和对应的角度，对一次运算进行更深入的讨论。
教材的编写的安排是从特殊到一般地认识一次函数，教材对本章重点内容的安排是按照这样的过程展现的。在对函数概念初步讨论后，教科书转入对一种具体的一次函数的讨论，第7．2节的标题“认识函数”和7．3节“一次函数”点出了本章的核心对象。对于函数的认识，课本都是从具体的问题出发进行论述，充分注意到用形象的方式去表达抽象的概念，遵循学生的认知规律。例如，对一次函数性质的讨论是从正比例函数开始，正比例函数是特殊的一次函数，即中的类型。对正比例函数的定义、图象和性质的讨论，可以为讨论一般的一次函数奠定基础。在分析具体问题时，课本注意引导学生利用事物之间的联系从特殊到一般地认识问题，采用这种处理方式能够展示解决问题的一种基本策略，即“先特殊化、简单化，再一般化、复杂化”的做法。
三、教材体现的数学思想
本章贯穿如下几种数学思想方法：
1．函数本身就提供了一种极其重要的数学思想方法。从新旧知识的联系上看，由列代数式到确定函数的解析式，由代数式的值到自变量的取值范围和函数值，由正反比例到正反比例函数，由一次方程到一次函数、由二次方程到二次函数等等，说明函数的许多内容都是以数、式、方程等知识为基础的。学习函数对旧知识起到了复习、巩固和提高的作用。同时函数作为一种数学思想，进一步加强了代数与几何的联系，增强了数学与物理、化学等其他学科的联系。
2．一一对应即运动变化的思想
这种对应思想在本章中有充分的体现。不仅数轴上的点与实数一一对应，而且平面上的量与一个有序实数对也一一对应，利用这种一一对应才有可能把函数的解析式与图形联系起来。这种联系正是数学发展的杠杆。实际上就函数的意义中，强调一个变量取某一数值时，另一个变量就有惟一的值与之对应，这就是一一对应的思想。
3．特殊到一般及一般到特殊的辩证思想
建立函数的关系式，实际上都是根据具体的实际问题和一些特殊的关系、数据而抽象、归纳建立函数的模型，所以由给出的自变量的值求函数值又是一般到特殊的过程。当然，建立函数关系式较难，在本章中只给出较简单的一次函数关系，但这方面的训练是十分必要的，它对以后的学习是十分有益的。
4．数形结合的思想
函数的图象是代数中数形结合的重要体现。函数的图象是平面上满足函数关系式的所有点的集合。由函数的图象研究函数的特征变化更具体、直观、明了。任何事物都包含有数与形这两个方面，数形结合必成为研究事物的一种重要思想。一方面利用函数的图象来研究函数的特征，另一方面，一个图象也反映了量与量之间的一种关系。值得注意的是，利用数形结合这一数学思想方法可以解决许多问题，这一思想在数学中及其他学科中有广泛的应用。
5．辩证的思想
在中学数学教学中加强函数教学也意味着在此基础上加强辩证唯物主义思想的教育。“函数”是从量的方面去描述客观世界的运动变化、相互联系的。它比常量数学更深刻地反映了客观世界的本来面貌。它从量的方面反映了客观世界的动态和它们的相互制约性。正由于此，通过函数教学进行辩证唯物主义思想教育就有其更有利的条件。
四、教材处理
课本从常量、变量的观点出发，有机地结合学生所熟悉的实例，引人函数的概念及与函数有关的概念、函数的图象、函数的三种表示等等。在此基础上建立了一次函数简单且基本的函数。
在教学中有些思想只能渗透而不是去讲解，否则超出学生的知识水平，会引起学习上的困难，反而使学生失去学习的兴趣和信心。函数概念是初中数学的一个难点。课本从列表和图示的角度引出函数的概念，但在初中学生的认知结构中，数学的对象往往“静态”的，因此用“动态”的观点去看待数学对象。这正是学生难以理解的原因之一。例如，对式子用静止的观点去看待它，它就是一个代数式，式中的取某一数值时，就可以求出代数式的一个值；但如果用运动的观点去看待它，就是一个变化的量，也是一个变化的量。课本正是通过对这种实例的分析，使学生对代数式的认识深化了一步。从函数的观点重新认识了代数式，找出了式子与函数间的内在联系。
初中阶段接触的函数概念，只要求初步掌握函数的有关知识，理解描述性的概念。为了证明函数概念的特征，课本中函数的概念强调了三点：（1）在某个变化过程中有两个变量，；（2）变量在某范围内取值；（3）对于在此范围内的每一个确定值，另一个变量y也有唯一的值与之对应。一次函数图象的性质是本章的重点，把函数与坐标平面上的点的图形联系起来，用函数图象实现这种联系。
本章最后一节“一次函数的简单应用”，从函数的角度对前面学习过的一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组和数学应用问题重新进行了分析，这种再认识不是原来水平上的回顾复习，而是站在更高的起点上的动态分析。用一次函数可以把上述三个不同的数学对象统一认识，由此可见函数的重要性。“水涨船高”，随着知识积累的增加，认识事物的水平也会相应提高。“站得高看得远”，通过学习本节内容，不仅可以加深以前学习过的数学对象的理解，而且可以加大对已经学过的相关内容之间的联系的认识，加强知识间横纵向的融会贯通，提高灵活地分析解决问题的能力。这也从一个侧面反映了函数概念的作用。
五、教学建议
1．本章是首次正式出现“函数”的概念，对这一概念的理解需要经历一个较长的过程。随着今后反比例函数、二次函数的学习，学生对函数的理解会逐步深入。因此本章对函数概念的理解只能是初步的。教学时不要进行不必要的拓展和不适当的拨高要求。
2．重视学生对规律、对数量关系的探索过程。
3．尊重学生的个体差异，提倡探索方式、表述方式和解决方法的多样化。在本章的探索活动中，有的学生可能会借助表格，有的可能会借助图象，还有的可能会借助解析式，这正好体现了函数关系的多种表示。因此应当鼓励学生以不同的手段、不同的表述方式进行探索，不宜用所谓的“最优”方式限制学生的个性差异和思维的多样性。
4．加强信息技术的应用。随着知识内容的展开，用信息技术处理相关内容的作用也越来越明显。在教学中，可从利用计算机画函数图象，画出函数的图象可以直观地反映变量之间的关系，也便于由图象研究函数的性质（单调性、极值、函数的零点）。与手工计算、描点绘制函数图象相比，利用某些计算机软件（如几何画板）可以方便地得到函数图象：只要输入函数的解析式，计算机就会自动生成函数的图象。这样学生就可以通过函数图象了解更多的函数。
5．关注学生的情感态度，在教学中注意培养学生学习的兴趣与良好的个性品质。课本中体现数形结合的内容较多，要利用这些内容的特点，引发学生的学习兴趣。要通过循序渐进的教学，使学生掌握基础知识，基本技能，发展能力，同时使他们具有顽强的学习毅力，充分的学习信心，实事求是的科学态度，独立思考，勇于探索创造的精神。教材内容蕴含了数学来源于实践，又反过来作用于实践的观点，蕴含了运动变化，相互联系，相互转化等观点。如由于实际的需要产生了函数，并使函数的理论丰富和发展，同时这些理论又用于解决实际问题。而函数、轴对称等内容则生动地反映了运动变化、相互联系、相互转化的观点。教学中，要利用这些内容对学生进行辩证唯物主义观点的教育，使学生形成科学的世界观。
6．培养学生的创造性思维。创造性思维的特征应该是新奇独特、别出心裁、突破常规或几方面兼而有之。在教学中更应注重学生的创造性。当然，这就要求给学生的思维以较大的自由空间，给学生以较多地选择余地。
（金克勤）
常量与变量
函数
自变量取值范围
函数值取值范围
函数三种表示法
一次函数
定义
图象
性质
应用
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