直角三角形全等的判定[上学期]

直角三角形全等的判定
温州十四中 吴曼莉
1、 教材分析：
知识背景：
本节课是八年级第一册第二章《特殊三角形》中的第七节的内容，它是在学习了直角三角形性质和判定，以及勾股定理后，用于判定两个直角三角形全等的一种特殊的方法，这种方法有别于其他的三角形判定的方法，但定理的推导还是建立在其他判定方法的基础上。但本章还是由实验几何向论证几何过渡的阶段，在教学中仍以观察，实验，归纳等方法为主。
教学目标：
1.探索两个直角三角形全等的条件。
2.掌握两个直角三角形全等的条件（HL）:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
3.了解角平分线的性质：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上，及其简单应用。
教学重点：直角三角形的判定方法“HL”。
教学难点：直角三角形的判定方法“HL”的说理过程。
教学方法：发现探究法。
二、教学过程：
问题设置：道路设计师准备在三条高速公路两两相交形成的三角形区域内建一个中途休息站，使它到三条公路的距离都相等，你能帮设计师们想一想办法吗？　
1. 情景引入：
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员带了卷尺和测角器想知道这两个直角三角形是否全等，你能帮他想个办法吗
通过学生发言小结可以通过测量某些边或角的大小,利用前面所学AAS，ASA，SAS来说明这两个直角三角形全等.
当每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量,而且他只带了一把卷尺时,能完成任务吗
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别对应相等,于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”。你相信他的结论吗
2.讲授新课：
通过对命题的证明归纳出直角三角形全等的判定。
在△ACB和△A'C'B'中，∠C=∠C'=Rt∠，AB=A'B',AC=A'C',说明Rt△ACB≌Rt△A'C'B'的理由。
解法一：
∵∠C=∠C'＝Rt∠，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,A'C'2+B'C'2=A'B'2
∵AC=A'C',AB=A'B',∴BC2=B'C'2∵BC＞0，B'C'＞0，∴BC=B'C'
∴Rt△ACB≌ Rt△A'C'B'（SSS）.
解法二：
∵AC=A'C'，将Rt△ACB作旋转，平移变化，
使A'C'与AC重合，点B与点B'分别在AC的两侧.
∵∠ACB=∠ACB'=90°，∴B,C,B'在同一条直线上，且AC⊥BB'.
∵AB=A'B'，∴BC=B'C'（等腰三角形三线合一）。
∵AC=A'C'（公共边），∴Rt△ACB≌ Rt△A'C'B’（SSS）。
解法三：
分别作AB和A'B'上的中线CD,C'D'， ∵∠ACB=∠A'C'B'=90°,AB=A'B',
∴AD=CD=1/2AB=1/2A'B'=A'D'=C'D'∵AC=A'C'，∴Rt△ACD≌ Rt△A'C'D'（sss）
∴∠A＝∠A' ∴Rt△ACB≌ Rt△A'C'B'(SAS)。
分析：学生发言各种解题方法，学生想到最多的是第一种方法，因为前一堂课刚学习了勾股定理，所以对于第一种方法较熟悉，方法三和方法一的基本思路都是设法由已知条件推出另一条边或另一个角对应相等，使它可以成为两个三角形能够全等条件。方法二采用了图形变换的思路，在教学中可以引导学生：等腰三角形是轴对称图形，底边上的高线可以将等腰三角形分成两个全等的直角三角形，题中能否将两个直角三角形作适当的旋转，平移构造等腰三角形，从而使这两个直角三角形全等。其中将第二种方法板演，最后得出直角三角形全等的判定方法，和书写格式。
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
数学表达式：
在Rt△ACB和 Rt△A'C'B'中，∵AB=A'B',AC=A'C' ∴Rt△ACB≌ Rt△A'C'B(HL)
3.定理活用：
1.具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A'B'C'(其中∠C＝∠C'=Rt∠)是否全等？如果全等，在括号内填写理由；否则，在括号内打“×”；
（1）AC=A'C',∠A=∠A';………..( ASA )（2）AC=A'C',BC=B'C';………( SAS )
（3）∠A=∠A',∠B=∠B';…………( × )（4）AB=A'B',∠B=∠B';………..( AAS )
（5）AC=A'C',AB=A'B';……….( SSS )
2. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE=DF，则AB=AC.请说明理由。
解：∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠BED=∠CFD=Rt∠
∵D是BC的中点 ∴BD=CD∵DE=DF∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL) ∴AB=AC
4.例题讲解：得出角平分线另一性质。
例 已知P是∠AOB内一点，PD⊥OA,PE⊥OB,D,E分别是垂足，且PD=PE,则点P在∠AOB的平分线上。请说明理由。
思考：
1）本例要解决的问题与角的平分线的性质有何关系？
2）回顾角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边距离相等，其中的条件是什么？结论是什么？
3) 本题的条件是什么？结论是什么？
4）要说明点P在∠AOB的平分线上，可转化为只要说明OP是∠AOB的什么线？问题化归为证实哪两个角相等？
5）要说明∠1＝∠2，只需说明哪两个三角形全等？能说明吗？根据哪一个判定方法？
解; 作射线OP,
∵PD⊥OA,PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=Rt∠.又∵OP=OP,PD=PE ,
∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL).
∴∠1＝∠2，即点P在∠AOB的平分线上。
角平分线的另一个性质： 角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
数学表达式：∵PD⊥OA,PE⊥OB.PD=PE,∴OP平分∠AOB
5.解决问题：（让学生通过几何画板动手操作）
l1,l2,l3三条公路两两相交，在形成的三角形内部能否找到一个点建中途休息站，使它到三条公路的距离都相等？（通过作各个角的平分线交点即为所求的点）
三、课外练习：
1. 如图，已知CE⊥AB，DF⊥AB,AC=BD,AF=BE,则CE=DF.请说明理由。
2. 如图，已知AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上的一点，且AP=PC,AP⊥PC，则△ABP≌△PDC .请说明理由。
3. 如图，已知在△ABC中，BD=DC,DE⊥BC交∠BAC的角平分线于点E，作EM⊥AB于点M,EN⊥AC于点N.则BM=CN.请说明理由。
四、小结及反思：
本节课要掌握以下几点:
1.直角三角形全等的判定定理（HL）及会运用定理进行简单推理.
2.判定两个直角三角形全等除了“SAS”，“ASA”，“AAS”，“SSS”，还有自己特殊的判定方法“HL”　.
3.角平分线的另一个性质：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上，以及性质的实际应用。
反思：本节课开始，让同学们自己思考问题：判定三角形全等的方法有四种，如果这两个三角形是直角三角形，那么判定它们全等的方法有哪些呢？学生展开讨论，初步形成意见，然后由教师答疑。这样促进了学生学习，体现了以“学生为主体”的教育思想。本节课也体现了层次教学，主要表现为两个方面：一是对直角三角形全等的判定方法的多层次理解；二是综合练习的多层次变化。直角三角形全等的判定方法的多层次理解包括：直角三角形全等判定的说理方法的理解，
明确判定的条件及结论；判定的文字语言、图形语言、符号语言的理解及掌握；以及判定所推导的角平分线的另一性质及应用。这里特别强调三个方面：1、特殊三角形的特殊性；2、归纳总结判定直角三角形全等的方法。 综合练习的多层次变化：首先给出直接应用判定证明三角形全等的题目；然后给出变式题目；最后给出综合应用题目。这里注意两点：一是给出题目后先让学生独立思考，并按教材的形式严格书写。二是给出的综合题目有一定的难度，教学时，要注意引导学生分析问题解决问题的思考方法。
附 多媒体课件 ( Myweb3 / index.htm )