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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第2章 一元二次方程
（补充）十字相乘法解一元二次方程
【知识重点】
一般形式：（十字相乘法适用于二次三项式的因式分解）
十字相乘法的依据和具体内容:
利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用竖式乘法法则．
它的一般规律：
（1）对于二次项系数为1的二次三项式，如果能把常数项分解成两个因数的积，并且为一次项系数，那么它就可以运用公式
分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
（2）对于二次项系数不是1的二次三项式(都是整数且)来说，
如果，存在四个整数，使，，且，
那么
【经典例题】
【例1】解方程：
【例2】解方程：x2+x﹣12＝0；
【基础训练】
1．已知关于的一元二次方程的两根分别为，，则原方程可化为（ ）
A． B．
C． D．
2．方程的两个根为（ ）
A． B．
C． D．
3．方程的两个根为（ ）
A． B．
C． D．
4．方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（ ）
A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝﹣4
C．x1＝﹣6，x2＝4 D．x1＝﹣6，x2＝﹣4
5．已知三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．12 B．13 C．12或13 D．15
6．用适当的方法解下列方程：．
7．解方程：2x2﹣5x+3＝0．
8．解方程
（1）x2-6x+8=0 （2）2x2-x-1=0
9．解方程．
（1） （2）
10．解方程：
（1）x2－2x－3＝0 （2）2x2＋1＝3x
【培优训练】
11．如果，那么的值为（ ）
A．2或-1 B．0或2 C．2 D．-1
12．已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则x2－x的值为( )
A．6 B．-2或6 C．-2 D．12
13．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24 B．48 C．24或 D．
14．已知一个直角三角形的两边长是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长为（ ）
A．3 B． C．3或 D．5或
15．已知x2－6x+8＝0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的面积是 ．
16．已知，且，求 ．
17．已知：（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝20，那么x2+y2＝ ．
18．解方程：
19．根据要求，解答下列问题：
（1）填空：
①方程x2-2x＋1＝0的解为 ；
②方程x2-3x＋2＝0的解为 ；
③方程x2-4x＋3＝0的解为 ；…
（2）根据以上方程各系数及其解的特征，请猜想：关于x的方程 的解为x1＝1，x2＝n．
20．阅读下面的材料，解答问题．
材料：解含绝对值的方程：．
解：分两种情况：
①当时，原方程化为，解得，（舍去）；
②当时，原方程化为，解得，（舍去）．
综上所述，原方程的解是，．
请参照上述方法解方程．
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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第2章 一元二次方程（解析版）
（补充）十字相乘法解一元二次方程
【知识重点】
一般形式：（十字相乘法适用于二次三项式的因式分解）
十字相乘法的依据和具体内容:
利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用竖式乘法法则．
它的一般规律：
（1）对于二次项系数为1的二次三项式，如果能把常数项分解成两个因数的积，并且为一次项系数，那么它就可以运用公式
分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
（2）对于二次项系数不是1的二次三项式(都是整数且)来说，
如果，存在四个整数，使，，且，
那么
【经典例题】
【例1】解方程：
【答案】解： ， ，
， ．
【分析】先将方程转化为一般形式，可知方程的左边可以分解因式，因此利用因式分解法求出方程的解.
【例2】解方程：x2+x﹣12＝0；
【答案】解：（x+4）（x﹣3）＝0，
x+4＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝﹣4，x2＝3；
【分析】利用十字相乘法求解一元二次方程即可；
【基础训练】
1．已知关于的一元二次方程的两根分别为，，则原方程可化为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵关于x的一元二次方程 的两根分别为 ， ，
∴ ，
∴原方程为
∴方程 可化为 ．
∴方程 可化为 ．
故答案为：D．
2．方程的两个根为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
，
解得
故答案为：D．
3．方程的两个根为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，
∴，
解得：．
故答案为：D
4．方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（ ）
A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝﹣4
C．x1＝﹣6，x2＝4 D．x1＝﹣6，x2＝﹣4
【答案】B
【解析】，
，
或，
解得，．
故答案为：B．
5．已知三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．12 B．13 C．12或13 D．15
【答案】B
【解析】∵，
即（x﹣3）（x﹣4）=0，
∴x﹣3=0或x﹣4=0，
解得：x=3或x=4，
当x=3时，则三角形的三边3+3=6，无法构成三角形，舍去；
当x=4时，这个三角形的周长为3+4+6=13，
故答案为：B．
6．用适当的方法解下列方程：．
【答案】解：
或，
∴，．
7．解方程：2x2﹣5x+3＝0．
【答案】解：方程2x2﹣5x+3＝0，
因式分解得：（2x﹣3）（x﹣1）＝0，
可得：2x﹣3＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝，x2＝1．
8．解方程
（1）x2-6x+8=0
（2）2x2-x-1=0
【解析】（1） x2-6x+8=0，
∴（x-2）（x-4）=0，
∴x1=2，x2=4；
（2）2x2-x-1=0，
∴（x-1）（2x+1）=0，
∴x1=1，x2=-.
9．解方程．
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
∴，
∴或，
∴，
（2）解：，
∴（2x-3）(2x-1)=0,
∴x1=,x2=
10．解方程：
（1）x2－2x－3＝0
（2）2x2＋1＝3x
【答案】（1）解：x2－2x－3＝0，
∴，
∴x-3=0或x+1=0，
解得：x1=3，x2= -1
（2）解：2x2＋1＝3x
移项得：2x2-3x＋1＝0
∴（2x-1）（x-1）=0，
∴2x-1=0或x-1=0，
解得：x1=1，x2=
【培优训练】
11．如果，那么的值为（ ）
A．2或-1 B．0或2 C．2 D．-1
【答案】D
【解析】 ，
，
，
=0，
或 ，
， ．
，
，
故答案为：D.
12．已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则x2－x的值为( )
A．6 B．-2或6 C．-2 D．12
【答案】A
【解析】（x2－x）2－4（x2－x）－12＝0，
∴（x2－x-6）（x2－x+2）=0，
∴x2－x-6=0或x2－x+2=0，
∴x2－x=6或x2－x=-2（不符合题意，舍去），
∴x2－x=6.
故答案为：A.
13．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24 B．48 C．24或 D．
【答案】C
【解析】，
，
或，
所以，，
当第三边长为6时，三角形为等腰三角形，则底边上的高，此时三角形的面积，
当第三边长为10时，∵，
∴三角形为直角三角形，此时三角形的面积．
故答案为：C．
14．已知一个直角三角形的两边长是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长为（ ）
A．3 B． C．3或 D．5或
【答案】D
【解析】，
因式分解得：，解得：，，
情况1：当为斜边的长时，此时斜边长为5，
情况2：当，，都为直角边长时，此时斜边长为，
这个直角三角形的斜边长为5或，
故答案为：D．
15．已知x2－6x+8＝0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的面积是 ．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，，
当2为腰，4为底时，不能构成三角形；
当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，
如下图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=2，AD为底边上的高，
∴BD=1，
∴，
∴，
故答案为：．
16．已知，且，求 ．
【答案】2或
【解析】，
，
或，
或，
，
当时，；
当时，．
故答案为：2或.
17．已知：（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝20，那么x2+y2＝ ．
【答案】5
【解析】 （x2+y2）（x2+y2﹣1）＝20，
∴（x2+y2）2-（x2+y2）-20=0，
∴[（x2+y2）-5][（x2+y2）+4]=0，
∴x2+y2-5=0或x2+y2+4=0，
∴x2+y2=5或-4（舍去）.
故答案为：5.
18．解方程：
【答案】解：，
，
，
即，
或，
，．
19．根据要求，解答下列问题：
（1）填空：
①方程x2-2x＋1＝0的解为 ；
②方程x2-3x＋2＝0的解为 ；
③方程x2-4x＋3＝0的解为 ；…
（2）根据以上方程各系数及其解的特征，请猜想：关于x的方程 的解为x1＝1，x2＝n．
【答案】（1）x1＝1，x2＝1；x1＝1，x2＝2；x1＝1，x2＝3
（2）x2－(1＋n)x＋n＝0
【解析】（1）① 可得 ，解得x1＝1，x2＝1
② 可得 ，解得x1＝1，x2＝2
③ ，可得 ，解得 x1＝1，x2＝3
故答案为①x1＝1，x2＝1；②x1＝1，x2＝2；③x1＝1，x2＝3．
（2）观察方程系数与解的特征，可得两根之和与两根之积与系数的关系
，
∴以x1＝1，x2＝n为解方程可以为x2－(1＋n)x＋n＝0
故答案为x2－(1＋n)x＋n＝0
20．阅读下面的材料，解答问题．
材料：解含绝对值的方程：．
解：分两种情况：
①当时，原方程化为，解得，（舍去）；
②当时，原方程化为，解得，（舍去）．
综上所述，原方程的解是，．
请参照上述方法解方程．
【答案】解：①当 ，即 时，
原方程可化为 ，即 ，
分解因式得 ，
可得 或 ，解得 ， ．
②当 ，即 时，
原方程可化为 ，即 ，
分解因式得 ，
可得 或 ，解得 （舍去）， （舍去），
则原方程的解为 ， ．
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