一、选择题（共20小题）
1、若sinα+cosα=p，则以sinα和cosα为两根的一元二次方程是（ ）
A、x2﹣px=0 B、2x2﹣2px+p2﹣1=0
C、2x2﹣2px﹣p2+1=0 D、2x2﹣2px+p2=0
2、已知A，B是两个锐角，且满足，，则实数t所有可能值的和为（ ）
A、 B、
C、1 D、
3、下列五个命题：①若直角三角形的两条边长为3与4，则第三边长是5；②若四边形的两对角线相等，则此四边形一定是矩形；③若点P（a，b）在第三象限，则点Q（﹣a，﹣b+1）在第一象限；④存在锐角α，使sinα+cosα=1；⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．其中正确的命题是（ ）21cnjy
A、①②③ B、②③④
C、③⑤ D、④⑤
4、在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=．则下列关系式中不成立的是（ ）
A、tanA?cotA=1 B、sinA=tanA?cosA
C、cosA=cotA?sinA D、tan2A+cot2A=1
5、已知∠A是锐角，sinA=，则5cosA=（ ）21世纪教育网
A、4 B、3
C、 D、5
6、若α是直角三角形的一个锐角，sinα=cosα，则=（ ）
A、 B、
C、 D、
7、在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值是（ ）
A、 B、
C、 D、
8、在△ABC中，∠C=90°，cosA=，那么cotA等于（ ）
A、 B、21cnjy
C、 D、
9、如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则等于（ ）
A、 B、
C、 D、
10、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=，则sinB的值为（ ）
A、 B、
C、 D、
11、如果α是锐角，且cosα=，那么sinα的值是（ ）
A、 B、21世纪教育网
C、 D、2
12、已知sinα+cosα=m，sinα?cosα=n，则m、n的关系是（ ）
A、m=n B、m=2n+1
C、m2=2n+1 D、m2=1﹣2n
13、已知α是锐角，且sinα+cosα=，则sinα?cosα值为（ ）
A、 B、
C、 D、1
14、在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA=（ ）
A、 B、
C、 D、
15、如图，△ABC中，∠C=90°，sinA=，则BC：AC的值为（ ）
21cnjy
A、5：13 B、5：12
C、12：13 D、12：5
16、已知tanα=1，那么的值等于（ ）
A、 B、
C、1 D、
17、若0°＜α＜90°，则的值等于（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
18、在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，那么tanA的值为（ ）
A、 B、
C、 D、
19、已知α为锐角，那么sinα+cosα的值是（ ）21世纪教育网
A、大于1 B、小于1
C、等于1 D、不能确定
20、下列等式中正确的是（ ）
A、cos2α+sin2α=1
B、cos30°+cos45°=cos75°
C、tan30°﹣tan60°=
D、2cot22°30′=cot45°=1
二、填空题（共5小题）
21、已知关于x的方程3x2﹣4x?sinα+2（1﹣cosα）=0有两个不相等的实数根，α为锐角，那么α的取值范围是 _________ ．
22、设sinα、cosα是方程的两根，△ABC的三边分别为，则△ABC的形状是 _________ 三角形．
23、函数y=asinxcosx+bsinx+bcosx+c运用换元法可以化简为：将 _________ 设为t，则化简为 _________ ．友情提醒：sin2x=1﹣cos2x21cnjy
24、在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinA= _________ ．
25、如果α是锐角，且sin2α十cos235°=1，那么α= _________ 度．
三、解答题（共5小题）
26、已知，y=4cosx?sinx+2cosx﹣2sinx﹣1，0≤x≤90°．问x为
30°≤x≤90°值时，y可以取非负值．
27、已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，，求tanA的值．
28、已知a，b，c是△ABC的三边，关于x的方程x2﹣2（a+b）x+c2+2ab=0有等根，又sinA，sinB是关于x的方程（m+5）x2﹣（2m﹣5）x+m﹣8=0的两根．
（1）求m的值；
（2）若这个三角形的外接圆面积为25π，求△ABC的内接正方形的边长．
29、如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（6，y），且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是，求角α的正弦值．21世纪教育网
30、如图，在直角的直角顶点C作斜边AB的三等分点的连线CE、CF，已知CE=sinα，CF=cosα（α为锐角），则边AB的长是多少？
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、若sinα+cosα=p，则以sinα和cosα为两根的一元二次方程是（ ）
A、x2﹣px=0 B、2x2﹣2px+p2﹣1=0
C、2x2﹣2px﹣p2+1=0 D、2x2﹣2px+p2=0
点评：本题考查了根与系数的关系及同角三角函数的关系，属于基础题，关键是熟记x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2．
2、已知A，B是两个锐角，且满足，，则实数t所有可能值的和为（ ）
A、 B、
C、1 D、
考点：根与系数的关系；同角三角函数的关系。
专题：计算题。21世纪教育网
分析：根据公式sin2α+cos2α=1列出关于未知数t的一元二次方程，然后根据根与系数的关系解答．
解答：解：根据已知，得
，即2=，
∴3t2+5t﹣8=0，
∴解得t1=1，t2=﹣，
又∵＞0，即t＞0，
∴t2=﹣不符合题意舍去，
∴t所有可能值的和为1．
故选C．
点评：本题主要考查了同角三角函数的关系及根与系数的关系．解答此题的关键是熟练掌握同角三角函数的关系：sin2α+cos2α=1．
3、下列五个命题：①若直角三角形的两条边长为3与4，则第三边长是5；②若四边形的两对角线相等，则此四边形一定是矩形；③若点P（a，b）在第三象限，则点Q（﹣a，﹣b+1）在第一象限；④存在锐角α，使sinα+cosα=1；⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．其中正确的命题是（ ）21cnjy
A、①②③ B、②③④
C、③⑤ D、④⑤
∵a+b＞c，∴sinα+cosα＞1；
⑤设AB=A′B′，BC=B′C′，OB=O′B′，且OB，O′B′为中线，
延长BO，B′O′到P，P′，使BO=OP，B′O′=O′P′．
则四边形ABCP和A′B′C′P′是平行四边形，21世纪教育网
所以AB=A′B′，AP=BC=B′C′=A′P′，BP=2OB=2O′B′=P′B′，
所以△ABP≌△A′P′B′，
所以∠ABP=∠A′B′P′，
所以∠ABC=2∠ABP=2∠A′B′P′=∠A′B′C′，
又以为AB=A′B′，BC=B′C′，
△ABC≌△A′B′C′．
故选C．
点评：本题考查了命题与定理以及等腰梯形的性质，找出命题的题设和结论是解题的关键．
4、在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=．则下列关系式中不成立的是（ ）
A、tanA?cotA=1 B、sinA=tanA?cosA
C、cosA=cotA?sinA D、tan2A+cot2A=1
点评：本题考查了同角三角函数的关系．（1）平方关系：sin2A+cos2A=1 （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=或sinA=tanA?cosA．
（3）正切之间的关系：tanA?tanB=1．
5、已知∠A是锐角，sinA=，则5cosA=（ ）
A、4 B、321世纪教育网
C、 D、5
考点：同角三角函数的关系。
分析：根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，由三角函数的定义直接解答即可．
解答：解：由sinα==知，如果设a=3x，则c=5x，结合a2+b2=c2得b=4x；
∴cosA==，
∴5cosA=4．
故选A．
点评：求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
6、若α是直角三角形的一个锐角，sinα=cosα，则=（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：同角三角函数的关系。21cnjy
分析：把sinα=cosα代入原式，转化为关于cosα的式子，约分即可．
解答：解：把sinα=cosα代入原式，
则原式==．
故选C．
点评：本题较简单，把已知关系代入原式化简即可．
7、在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值是（ ）
A、 B、
C、 D、
8、在△ABC中，∠C=90°，cosA=，那么cotA等于（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：同角三角函数的关系。
分析：根据锐角三角函数的概念，可以证明同角三角函数关系常用的是：sin2x+cos2x=1；tanx?cotx=1；=tanA；=cotA．
解答：解：∵在△ABC中，∠C=90°，cosA=，
∴sinA==．
∴cotA===．21cnjy
故选C．
点评：解答此题要用到同角三角函数关系式，进行熟练计算．
9、如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则等于（ ）
A、 B、
C、 D、
10、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=，则sinB的值为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：同角三角函数的关系。
分析：根据同角三角函数关系：sin2x+cos2x=1求解．
解答：解：∵在△ABC中，∠C=90°，cosB=，
∴sinB==．
故选B．
点评：解答此题要能够熟练运用同角三角函数关系式进行计算．
11、如果α是锐角，且cosα=，那么sinα的值是（ ）
A、 B、21cnjy
C、 D、2
考点：同角三角函数的关系。
分析：因为cosα=所以利用sin2α+cos2α=1直接解答即可．
解答：解：∵sin2α+cos2α=1，
∴sinα===．
故选C．21世纪教育网
点评：本题利用了同角的三角函数式sin2α+cos2α=1来求解．
12、已知sinα+cosα=m，sinα?cosα=n，则m、n的关系是（ ）
A、m=n B、m=2n+1
C、m2=2n+1 D、m2=1﹣2n
13、已知α是锐角，且sinα+cosα=，则sinα?cosα值为（ ）
A、 B、
C、 D、121世纪教育网
考点：同角三角函数的关系。
分析：把所求式子化为完全平方的形式，再把sin2α+cos2α=1代入即可．
解答：解：∵（sinα+cosα）2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+2sinαcosα=（）2=，
∴sinαcosα=（﹣1）÷2=．
故选C．
点评：本题利用了同角的三角函数的关系sin2α+cos2α=1来变形求值的．
14、在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA=（ ）
A、 B、
C、 D、
15、如图，△ABC中，∠C=90°，sinA=，则BC：AC的值为（ ）
A、5：13 B、5：12
C、12：13 D、12：5
考点：同角三角函数的关系。
分析：根据sinA=设出BC、AB的表达式，进而利用勾股定理求出AC长的表达式，可以求出BC：AC的值．21世纪教育网
解答：解：设BC=5x，
由于sinA==，
所以AB=13x，由勾股定理得，AC=12x，
所以BC：AC=5：12．
故选B．
点评：本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义．
16、已知tanα=1，那么的值等于（ ）
A、 B、
C、1 D、
17、若0°＜α＜90°，则的值等于（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
考点：同角三角函数的关系。
分析：根据sin2α+cos2α=1，代入化简即可．
解答：解：∵sin2α+cos2α=1，
∴1﹣cos2α=sin2α，
1﹣sin2α=cos2α，
∴原式=+=1+1=2，故选C．
点评：用到的知识点为：sin2α+cos2α=1；相等的两个数的商是1．
18、在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，那么tanA的值为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：同角三角函数的关系。
分析：根据sinA=设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出tanA的值．21世纪教育网
解答：解：由sinA=知，
设a=3x，则c=5x，结合a2+b2=c2得b=4x，
可得tanA===．
故选A．
点评：求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
19、已知α为锐角，那么sinα+cosα的值是（ ）
A、大于1 B、小于1
C、等于1 D、不能确定
20、下列等式中正确的是（ ）
A、cos2α+sin2α=1 B、cos30°+cos45°=cos75°
C、tan30°﹣tan60°= D、2cot22°30′=cot45°=1
考点：同角三角函数的关系。
分析：根据同角或互余两角的三角函数值解答．
解答：解：A、根据同角的三角函数的关系，是正确的；
B、不能这样相加，错误；
C、tan30°﹣tan60°=+=．错误；
D、不能这样计算，错误．
故选A．
点评：本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．
二、填空题（共5小题）
21、已知关于x的方程3x2﹣4x?sinα+2（1﹣cosα）=0有两个不相等的实数根，α为锐角，那么α的取值范围是 0°＜α＜60° ．
考点：根的判别式；同角三角函数的关系。
专题：计算题。21世纪教育网
分析：由方程两个不相等的实数根，则△＞0，即△=16sin2α﹣4×3×2（1﹣cosα）＞0，再根据sin2α+cos2α=1，得到cosα得不等式，解不等式得到cosα的范围，最后利用锐角三角函数的性质确定α的取值范围．
解答：解：∵关于x的方程3x2﹣4x?sinα+2（1﹣cosα）=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即△=16sin2α﹣4×3×2（1﹣cosα）＞0，化简为2sin2α+3cos﹣3＞0；
又∵sin2α+cos2α=1，
∴2cos2α﹣3cos+1＜0，即（2cosα﹣1）（cosα﹣1）＜0，
∴＜cosα＜1，即cos60°＜cosα＜cos0°，
所以α的取值范围是0°＜α＜60°．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了锐角三角函数的性质：sin2α+cos2α=1；余弦函数为减函数；还要记住特殊角的三角函数值．
22、设sinα、cosα是方程的两根，△ABC的三边分别为，则△ABC的形状是 直角 三角形．21cnjy
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1?x2=．也考查了同角三角函数的关系．
23、函数y=asinxcosx+bsinx+bcosx+c运用换元法可以化简为：将 sinx+cosx 设为t，则化简为 y=t2+bt+c﹣ ．友情提醒：sin2x=1﹣cos2x
考点：二次函数的三种形式；同角三角函数的关系。
专题：换元法。
分析：由于sin2x+cos2x=1，∴sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+2sinxcosx，即（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx，由此可以得到sinxcosx=[（sinx+cosx）2﹣1]÷2，设sinx+cosx为t即可化简y=asinxcosx+bsinx+bcosx+c．
解答：解：∵sin2x+cos2x=1，
∴sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+2sinxcosx，
∴（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx，21世纪教育网
∴sinxcosx=[（sinx+cosx）2﹣1]÷2，
设sinx+cosx为t，
则y=asinxcosx+bsinx+bcosx+c
=t2+bt+c﹣．
故填空答案：sinx+cosx，y=t2+bt+c﹣．
点评：利用了sin2x+cos2x=1变形为sinxcosx=[（sinx+cosx）2﹣1]÷2而化简原函数的．
24、在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinA= ．
考点：同角三角函数的关系。21cnjy
分析：根据tanA=，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出tanA的值．
解答：解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵tanA==，
∴设a=x，则b=2x，
则c==x．
∴sinA===．
点评：求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
25、如果α是锐角，且sin2α十cos235°=1，那么α= 35 度．
考点：同角三角函数的关系。21世纪教育网
分析：根据锐角三角函数的概念，可以证明：同一个角的正弦和余弦的平方和等于1．
解答：解：∵sin2α十cos235°=1，
∴α=35°．
点评：解答此题要用到同角三角函数关系式，同角三角函数关系常用的是：
sin2x+cos2x=1；tanx?cotx=1．
三、解答题（共5小题）
26、已知，y=4cosx?sinx+2cosx﹣2sinx﹣1，0≤x≤90°．问x为
30°≤x≤90°值时，y可以取非负值．
考点：抛物线与x轴的交点；因式分解的应用；同角三角函数的关系。
专题：计算题。
27、已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，，求tanA的值．
考点：圆周角定理；同角三角函数的关系。21cnjy
分析：此题需将所求的角构建到一个直角三角形中，过B作⊙O的直径BD，交⊙O于D，连接CD；由圆周角定理知：∠BCD=90°，且∠D=∠A，只需求∠D的正切值即可．
解答：解：连接BO并延长BO交⊙O于点D，连接CD（1分）
∵BD是直径∴∠DCB=90°
∵∠A与∠CDB是同弧上的圆周角
∴∠A=∠CDB（2分）
∵
∴
∴BC=3k，（3分）21世纪教育网
根据勾股定理得：CD=4k；（4分）
∴
∴．（5分）
点评：此题主要考查了圆周角定理、勾股定理及同角锐角三角函数的关系，能够将所求的角构建到直角三角形中是解答此题的关键．21世纪教育网
28、已知a，b，c是△ABC的三边，关于x的方程x2﹣2（a+b）x+c2+2ab=0有等根，又sinA，sinB是关于x的方程（m+5）x2﹣（2m﹣5）x+m﹣8=0的两根．
（1）求m的值；
（2）若这个三角形的外接圆面积为25π，求△ABC的内接正方形的边长．
考点：相似三角形的判定与性质；根的判别式；勾股定理的逆定理；同角三角函数的关系。
专题：探究型。
（2）由已知r=5，
∴c=10由（1）可得sinA=或，
∴直角边分别为6，8，21世纪教育网
设正方形的边长为t则
①若正方形两边在三角形两直角边上时，有=，∴t=
②若正方形的一条边在三角形的斜边上时，有=，
∴t=．
故答案为：20；，．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到根的判别式、勾股定理、同角三角函数关系、互余两角的三角函数关系及三角形的外接圆，涉及面较广，难度较大．
29、如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（6，y），且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是，求角α的正弦值．
30、如图，在直角的直角顶点C作斜边AB的三等分点的连线CE、CF，已知CE=sinα，CF=cosα（α为锐角），则边AB的长是多少？
点评：此题考查了三角函数的平方关系和定义，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
