一元二次方程一般形式
一、选择题（共20小题）
1、已知：①x=1；②x﹣1=12；③x2+2x+1=0；④xy=1；⑤x+y=0，其中是一元一次方程的有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
2、若（n+1）x|n|+1+（n﹣1）x+3n=0是关于x的一元二次方程，则它的一次项系数是（ ）
A、n﹣1 B、﹣2
C、0 D、﹣2或0
3、关于x的方程（m﹣2）x2+（m﹣1）x+m=0是一元二次方程的条件是（ ）
A、m≠l B、m≠一1且m≠2
C、m≠2 D、m≠1且m≠2
4、一元二次方程x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）=0的一般形式是（ ）
A、x2﹣5x+5=0 B、x2+5x﹣5=0
C、x2+5x+5=0 D、x2+5=0
5、方程2x2﹣6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A、6，2，9 B、2，﹣6，9
C、2，﹣6，﹣9 D、﹣2，6，9
6、将方程3x（x﹣1）=5（x+2）化为一元二次方程的一般式，正确的是（ ）
A、4x2﹣4x+5=0 B、3x2﹣8x﹣10=0
C、4x2+4x﹣5=0 D、3x2+8x+10=0
7、下列方程化为一般形式后，常数项为零的方程是（ ）
A、5x﹣3=2x2 B、3x（x﹣1）=2（x+2）﹣4
C、（3x﹣1）（2x+4）=1 D、（x+3）（x+2）=﹣6
8、把方程x（2x﹣1）=1化成ax2+bx+c=0的形式，a、b、c的一组值是（ ）
A、2、﹣1、﹣1 B、2、﹣1、1
C、2、1、﹣1 D、2、1、1
9、方程2（x2﹣1）+1=3x（x﹣1）中二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ）
A、1，﹣3，1 B、﹣1，﹣3，1
C、1，3，﹣1 D、﹣3，3，﹣1
10、把一元二次方程（1﹣x）（2﹣x）=3﹣x2化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）其中a、b、c分别为（ ）
A、2、3、﹣1 B、2、﹣3、﹣1
C、2、﹣3、1 D、2、3、1
11、一元二次方程x2﹣x=1的一次项系数、常数项分别是（ ）
A、﹣1，1 B、﹣1，﹣1
C、1，1 D、1，﹣1
12、若关于x的方程（ax+b）（d﹣cx）=m（ac≠0）的二次项系数是ac，则常数项为（ ）
A、m B、﹣bd
C、bd﹣m D、﹣（bd﹣m）
13、方程（x﹣2）（x+3）=5x（x+1）的一般形式是（ ）
A、x2﹣5x+2=0 B、2x2+2x+3=0
C、4x2+4x+6=0 D、6x2+5x+1=0
14、下列关于一元二次方程x2﹣2x=1的各项系数说法正确的是（ ）
A、二次项系数为0 B、一次项系数为2
C、常数项为1 D、以上说法都不对
15、方程5x2=6x﹣8化成一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A、5、6、﹣8 B、5，﹣6，﹣8
C、5，﹣6，8 D、6，5，﹣8
16、一元二次方程4x2﹣x=5的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A、4，1，﹣5 B、4，﹣1，﹣5
C、4，0，﹣5 D、4，﹣1，5
17、一元二次方程﹣5x+3x2=12的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A、﹣5，3，12 B、3，﹣5，12
C、3，﹣5，﹣12 D、﹣3，5，﹣12
18、下列方程中不含一次项的是（ ）
A、3x2﹣8=4x B、1+7x=49x2
C、x（x﹣1）=0 D、（x+）（x﹣）=0
19、一同学将方程x2﹣4x﹣3=0化成了（x+m）2=n的形式，则m、n的值应为（ ）
A、m=﹣2，n=7 B、m=2．n=7
C、m=﹣2，n=1 D、m=2．n=﹣7
20、一元二次方程x2﹣2x+5=0的二次项系数、一次项分别是（ ）
A、1，﹣2x B、x2，﹣2x
C、1，2x D、1，﹣2
二、填空题（共5小题）
21、k _________ 时，关于x的方程kx2﹣3x=2x2+1是一元二次方程．
22、若方程（m﹣1）x2﹣2mx﹣3=0是关于x的一元二次方程，这时m的取值范围是 _________ ．
23、若（a﹣2）x2+13x+5=0是一元二次方程，则a的取值应满足的条件是 _________
24、方程3x2=5x+2的二次项系数为 _________ ，一次项系数为 _________ ．
25、把方程3x2=5x+2化为一元二次方程的一般形式是 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、设α为整数，若存在整数b和c，使得（x+α）（x﹣15）﹣25=（x+b）（x+c）成立，求α可取的值．
27、教材或资料会出现这样的题目：把方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．
（1）下列式子中，有哪几个是方程x2﹣x=2所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号）
①x2﹣x﹣2=0；②﹣x2+x+2=0；③x2﹣2x=4；④﹣x2+2x+4=0；⑤x2﹣2x﹣4=0．
（2）方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？
28、求方程x2+3=2x﹣4的二次项系数，一次项系数及常数项的积．
29、观察下列方程：①x2﹣2x﹣2=0；②2x2+3x﹣1=0；③2x2﹣4x+1=0；④x2+6x+3=0．上面四个方程中有三个方程的一次项系数有共同特点，请用代数式表示这个特点．
30、一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0化为一般式后为3x2+2x﹣1=0，试求a2+b2﹣c2的值的算术平方根．
一元二次方程一般形式
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、已知：①x=1；②x﹣1=12；③x2+2x+1=0；④xy=1；⑤x+y=0，其中是一元一次方程的有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：一元一次方程的定义；一元二次方程的一般形式。
分析：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，对定义的理解是：一元一次方程首先是整式方程，即等号左右两边的式子都是整式，另外把整式方程化简后，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）．
解答：解：①②符合一元一次方程的定义；
③未知项的最高次数是二次，是一元二次方程；
④xy为二次单项式，xy=1是二元二次方程；
⑤含有两个未知数，是二元一次方程．
故选B．
点评：判断一元一次方程的定义要分为两步：（1）判断是否是整式方程；（2）对整式方程化简，判断化简后是否只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）．
2、若（n+1）x|n|+1+（n﹣1）x+3n=0是关于x的一元二次方程，则它的一次项系数是（ ）
A、n﹣1 B、﹣2
C、0 D、﹣2或0
3、关于x的方程（m﹣2）x2+（m﹣1）x+m=0是一元二次方程的条件是（ ）
A、m≠l B、m≠一1且m≠2
C、m≠2 D、m≠1且m≠2
考点：一元二次方程的定义；一元二次方程的一般形式。
专题：方程思想。
分析：题目已经按一元二次方程的一般形式给出，要使方程是一元二次方程，只有二次项系数不为0，可以得到m≠2．
解答：解：要使方程是一元二次方程，则：
m﹣2≠0，
∴m≠2．
故本题选C．
点评：本题考查的是一元二次方程的定义，根据一元二次方程的最高次数是2次，所以二次项系数不能是0，确定m≠2．
4、一元二次方程x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）=0的一般形式是（ ）
A、x2﹣5x+5=0 B、x2+5x﹣5=0
C、x2+5x+5=0 D、x2+5=0
考点：一元二次方程的一般形式。
分析：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
解答：解：一元二次方程x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）=0的一般形式是x2﹣5x+5=0．故选A．
点评：去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．
5、方程2x2﹣6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A、6，2，9 B、2，﹣6，9
C、2，﹣6，﹣9 D、﹣2，6，9
6、将方程3x（x﹣1）=5（x+2）化为一元二次方程的一般式，正确的是（ ）
A、4x2﹣4x+5=0 B、3x2﹣8x﹣10=0
C、4x2+4x﹣5=0 D、3x2+8x+10=0
考点：一元二次方程的一般形式。
分析：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），把这个式子化简首先要去括号，然后就是移项，合并同类项．
解答：解：方程3x（x﹣1）=5（x+2）
去括号得：3x2﹣3x=5x+10
移项得：3x2﹣3x﹣5x﹣10=0
合并同类项得：3x2﹣8x﹣10=0，故选B．
点评：去括号的过程中要注意符号的变化，以及注意不能漏乘，移项时要注意变号．
7、下列方程化为一般形式后，常数项为零的方程是（ ）
A、5x﹣3=2x2 B、3x（x﹣1）=2（x+2）﹣4
C、（3x﹣1）（2x+4）=1 D、（x+3）（x+2）=﹣6
考点：一元二次方程的一般形式。
分析：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．首先把各个方程化为一般形式，进而即可求解．
解答：解：
A、化为一般形式为2x2﹣5x+3=0，常数项为3；
B、化为一般形式为3x2﹣5x=0，常数项为0；
C、化为一般形式为6x2+10x﹣5=0，常数项为﹣5；
D、化为一般形式为x2+5x+12=0，常数项为12．
故选B．
点评：要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．
8、把方程x（2x﹣1）=1化成ax2+bx+c=0的形式，a、b、c的一组值是（ ）
A、2、﹣1、﹣1 B、2、﹣1、1
C、2、1、﹣1 D、2、1、1
考点：一元二次方程的一般形式。
分析：首先要把法方程化成一般形式，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
解答：解：把原方程去括号得：2x2﹣x=1，
化为一般形式为：2x2﹣x﹣1=0，
故a=2，b=﹣1，c=﹣1，
故选A．
点评：去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
9、方程2（x2﹣1）+1=3x（x﹣1）中二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ）
A、1，﹣3，1 B、﹣1，﹣3，1
C、1，3，﹣1 D、﹣3，3，﹣1
10、把一元二次方程（1﹣x）（2﹣x）=3﹣x2化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）其中a、b、c分别为（ ）
A、2、3、﹣1 B、2、﹣3、﹣1
C、2、﹣3、1 D、2、3、1
考点：一元二次方程的一般形式。
分析：首先将已知方程进行整理，化为一元二次方程的一般形式，再来确定a、b、c的值．
解答：解：原方程可整理为：
2x2﹣3x﹣1=0，
∴a=2，b=﹣3，c=﹣1；
故选B．
点评：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．当所给方程不是一般形式时，一定要化为一般形式，再确定各项系数的值．
11、一元二次方程x2﹣x=1的一次项系数、常数项分别是（ ）
A、﹣1，1 B、﹣1，﹣1
C、1，1 D、1，﹣1
考点：一元二次方程的一般形式。
分析：要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．
解答：解：∵方程x2﹣x=1化成一般形式是x2﹣x﹣1=0，
∴一次项系数为﹣1，常数项为﹣1．
故选B．
点评：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
12、若关于x的方程（ax+b）（d﹣cx）=m（ac≠0）的二次项系数是ac，则常数项为（ ）
A、m B、﹣bd
C、bd﹣m D、﹣（bd﹣m）
考点：一元二次方程的一般形式。
分析：把方程（ax+b）（d﹣cx）=m转化为一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．然后确定常数项即可．
解答：解：把方程（ax+b）（d﹣cx）=m去括号得adx﹣acx2+bd﹣bcx=m，移项得﹣acx2+adx﹣bcx+bd﹣m=0，即acx2﹣（ad﹣bc）x﹣（bd﹣m）=0，所以常数项为﹣（bd﹣m）．
故选：D．
点评：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
13、方程（x﹣2）（x+3）=5x（x+1）的一般形式是（ ）
A、x2﹣5x+2=0 B、2x2+2x+3=0
C、4x2+4x+6=0 D、6x2+5x+1=0
14、下列关于一元二次方程x2﹣2x=1的各项系数说法正确的是（ ）
A、二次项系数为0 B、一次项系数为2
C、常数项为1 D、以上说法都不对
考点：一元二次方程的一般形式。
分析：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据定义即可判断．
解答：解：
把方程化成一般形式得到：x2﹣2x﹣1=0，则二次项系数是1，一次项系数是﹣2，常数项是﹣1，故选D．
点评：要确定一次项系数和常数项，首先要把法方程化成一般形式．并且注意说二次项系数，一次项系数，常数项时一定要带上前面的符号．
15、方程5x2=6x﹣8化成一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A、5、6、﹣8 B、5，﹣6，﹣8
C、5，﹣6，8 D、6，5，﹣8
考点：一元二次方程的一般形式。
分析：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
解答：解：5x2=6x﹣8化成一元二次方程一般形式是5x2﹣6x+8=0，
它的二次项系数是5，一次项系数是﹣6，常数项是8．
故选C．
点评：要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．
16、一元二次方程4x2﹣x=5的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A、4，1，﹣5 B、4，﹣1，﹣5
C、4，0，﹣5 D、4，﹣1，5
考点：一元二次方程的一般形式。
分析：先将方程整理成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，然后根据有关定义求解．在一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）中，ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项．
解答：解：原方程可整理为4x2﹣x﹣5=0．二次项系数为4，一次项系数为﹣1，常数项为﹣5．
故选B．
点评：将方程整理成一元二次方程的一般形式是解题的关键．另外，在确定二次项系数、一次项系数、常数项时，注意不要漏掉符号．
17、一元二次方程﹣5x+3x2=12的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A、﹣5，3，12 B、3，﹣5，12
C、3，﹣5，﹣12 D、﹣3，5，﹣12
考点：一元二次方程的一般形式。
分析：一元二次方程﹣5x+3x2=12可写为3x2﹣5x﹣12=0，或﹣3x2+5x+12=0，于是问题可求．
解答：解：∵﹣5x+3x2=12，∴3x2﹣5x﹣12=0或﹣3x2+5x+12=0，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是：3，﹣5，﹣12或﹣3，5，12．
故选C．
点评：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），其中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
18、下列方程中不含一次项的是（ ）
A、3x2﹣8=4x B、1+7x=49x2
C、x（x﹣1）=0 D、（x+）（x﹣）=0
19、一同学将方程x2﹣4x﹣3=0化成了（x+m）2=n的形式，则m、n的值应为（ ）
A、m=﹣2，n=7 B、m=2．n=7
C、m=﹣2，n=1 D、m=2．n=﹣7
考点：一元二次方程的一般形式。
分析：先把（x+m）2=n展开，化为一元二次方程的一般形式，再分别使其与方程x2﹣4x﹣3=0的一次项系数、二次项系数及常数项分别相等即可．
解答：解：∵（x+m）2=n可化为：x2+2mx+m2﹣n=0，
∴，解得：．
故选A．
点评：此题比较简单，解答此题的关键是将方程二元一次方程化为一般形式，再根据题意列出方程组即可．
20、一元二次方程x2﹣2x+5=0的二次项系数、一次项分别是（ ）
A、1，﹣2x B、x2，﹣2x
C、1，2x D、1，﹣2
二、填空题（共5小题）
21、k ≠2 时，关于x的方程kx2﹣3x=2x2+1是一元二次方程．
考点：一元二次方程的定义；一元二次方程的一般形式。
专题：计算题；方程思想。
分析：把 方程化成一般形式，由二次项系数不为0确定k的值．
解答：解原方程可化为：
（k﹣2）x2﹣3x﹣1=0
∵方程是一元二次方程，
∴k﹣2≠0
故k≠2．
点评：本题考查的是一元二次方程的定义，先把方程化成一元二次方程的一般形式，有二次项系数不为0确定k的值．
22、若方程（m﹣1）x2﹣2mx﹣3=0是关于x的一元二次方程，这时m的取值范围是 m≠1 ．
23、若（a﹣2）x2+13x+5=0是一元二次方程，则a的取值应满足的条件是 a≠2
考点：一元二次方程的定义；一元二次方程的一般形式。
分析：本题是以一元二次方程的一般形式给出，要使方程是一元二次方程，那么二次项系数就不能是0，然后求出a的取值．
解答：解：要使方程是一元二次方程，则：a﹣2≠0
∴a≠2．
故答案是a≠2．
点评：本题考查的是一元二次方程的定义，由定义可知二次项系数不为0，可以求出a的取值．
24、方程3x2=5x+2的二次项系数为 3 ，一次项系数为 ﹣5 ．
考点：一元二次方程的一般形式。
分析：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
解答：解：∵3x2=5x+2的一般形式为3x2﹣5x﹣2=0，∴二次项系数为3，一次项系数为﹣5．
点评：此题主要考查确定一元二次方程的各项系数的方法．要求一元二次方程的系数首先必须把方程化成一般形式，才能确定各项系数．
25、把方程3x2=5x+2化为一元二次方程的一般形式是 3x2﹣5x﹣2=0 ．
考点：一元二次方程的一般形式。
分析：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），据此即可求解．
解答：解：一元二次方程3x2=5x+2的一般形式是3x2﹣5x﹣2=0．
点评：在移项的过程中容易出现的错误是忘记变号．
三、解答题（共5小题）
26、设α为整数，若存在整数b和c，使得（x+α）（x﹣15）﹣25=（x+b）（x+c）成立，求α可取的值．
考点：一元二次方程的整数根与有理根；一元二次方程的一般形式。
专题：计算题。
分析：此题可转化为：当α为何值时，方程（x+α）（x﹣15）﹣25=0有两个整数根．
解答：解：由原方程方程得：x2﹣（15﹣α）x﹣15α﹣25=0，
视其为关于α的一次方程，整理得α（x﹣15）=﹣x2+15x+25．
易知x≠15，∴α==﹣x+．
因为α、x均为整数，讨论见下表：
x﹣15
﹣25
﹣5
5
25
x
﹣10
10
20
40
α
9
﹣15
﹣15
﹣39
α取值为：9，﹣15，﹣39，经检验符合题意．
点评：本题主要考查了一元二次方程的一般形式及其整数根与有理根的知识点，解答此题时采用的是分离参数法，它适合于参数与方程的根均是整数，且参数较易于分离的情况．如此题变形为α=?（x），然后利用函数的性质求解，这是一种应用较广泛的方法．
27、教材或资料会出现这样的题目：把方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．
（1）下列式子中，有哪几个是方程x2﹣x=2所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号）
①x2﹣x﹣2=0；②﹣x2+x+2=0；③x2﹣2x=4；④﹣x2+2x+4=0；⑤x2﹣2x﹣4=0．
（2）方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？
28、求方程x2+3=2x﹣4的二次项系数，一次项系数及常数项的积．
考点：一元二次方程的一般形式。
分析：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据定义即可作出判断．
解答：解：原方程可化为：x2﹣2x+7=0，
二次项系数为，一次项系数为﹣2，常数项为7．
它们的积为×（﹣2）×7=﹣28．
点评：题目综合了一元二次方程的一般形式和二次根式的乘法，一定要先将所给方程化为一般形式．
29、观察下列方程：①x2﹣2x﹣2=0；②2x2+3x﹣1=0；③2x2﹣4x+1=0；④x2+6x+3=0．上面四个方程中有三个方程的一次项系数有共同特点，请用代数式表示这个特点．
考点：一元二次方程的一般形式。
专题：探究型。
分析：首先确定各个方程的一次项系数①的一次项系数是﹣2；
②的一次项系数是3；
③的一次项系数是﹣4；
④的一次项系数是6．根据各个系数与每个方程的序号之间的关系即可作出判断．
解答：解：观察上述四个方程，发现方程①③④一次项系数有共同点，可用2n（n是整数）表示．
点评：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．正确理解一次项系数与各题的序号之间的关系是解决本题的关键．
30、一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0化为一般式后为3x2+2x﹣1=0，试求a2+b2﹣c2的值的算术平方根．
一元二次方程的定义
一、选择题（共20小题）
1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A、 B、ax2+bx+c=0
C、（x﹣1）（x+2）=1 D、3x2﹣2xy﹣5y2=0
2、下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A、2x+1=0 B、y2+x=1
C、x2+1=0 D、x2=1
3、关于x的一元二次方程（m+1）+4x+2=0的解为（ ）
A、x1=1，x2=﹣1 B、x1=x2=1
C、x1=x2=﹣1 D、无解
4、关于x的方程ax2﹣3x+3=0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A、a＞0 B、a≠0
C、a=1 D、a≥0
5、下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A、3（x+1）2=2（x+1） B、
C、ax2+bx+c=0 D、x2+2x=x2﹣1
6、方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A、m=±2 B、m=2
C、m=﹣2 D、m≠±2
7、关于x的方程（m2﹣m﹣2）x2+mx+1=0是一元二次方程的条件是（ ）
A、m≠﹣1 B、m≠2
C、m≠﹣1或m≠2 D、m≠﹣1且m≠2
8、下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A、2x2=3（x﹣1） B、﹣2=0
C、ax2+bx+c=0 D、x2+2x=x3﹣5
9、把方程x（x+2）=5x化成一般式，则a、b、c的值分别是（ ）
A、1，3，5 B、1，﹣3，0
C、﹣1，0，5 D、1，3，0
10、关于x的方程ax2﹣3x+2=0是一元二次方程，则（ ）
A、a＞0 B、a≠0
C、a=1 D、a≥0
11、下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ）
A、 B、ax2+bx+c=0
C、（x﹣1）（x+2）=1 D、3x2﹣2xy﹣5y2=0
12、若ax2﹣5x+3=0是一元二次方程，则不等式3a+6＞0的解集是（ ）
A、a＞﹣2 B、a＞﹣2且a≠0
C、a D、a＜﹣2
13、如果（m+3）x2﹣mx+1=0是一元二次方程，则（ ）
A、m≠﹣3 B、m≠3
C、m≠0 D、m≠﹣3且m≠0
14、下列方程是一元二次方程（ ）
A、x+2y=1 B、2x（x﹣1）=2x2+3
C、3x+=4 D、x2﹣2=0
15、关于x的方程（m+1）x2+2mx﹣3=0是一元二次方程，则m的取值是（ ）
A、任意实数 B、m≠1
C、m≠﹣1 D、m＞1
16、下列方程①3x2﹣x=0；②；③；④2x2﹣1=（x﹣1）（x﹣2）；⑤（5x﹣2）（3x﹣7）=15x2，其中一元二次方程有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
17、方程：①2x2﹣9=0，②，③xy+x2=9，④7x+6=x2中，一元二次方程的个数是（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
18、一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A、1，﹣4， B、0，﹣4，﹣
C、0，﹣4， D、1，﹣4，﹣
19、下列方程，是一元二次方程的是（ ）
①3x2+x=20，②2x2﹣3xy+4=0，③x2﹣=4，④x2=0，⑤x2﹣+3=0．
A、①② B、①②④⑤
C、①③④ D、①④⑤
20、下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A、ax2+bx+c=0 B、+=2
C、x2+2x=x2﹣1 D、3（x+1）2=2（x+1）
二、填空题（共5小题）
21、一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a= _________ ．
22、一元二次方程2x2+4x﹣1=0的二次项系数、一次项系数及常数项之和为 _________
23、若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程，则k的取值范围是 _________ ．
24、当m _________ 时，关于x的方程是一元二次方程；当m= _________ 时，此方程是一元一次方程．
25、关于x的方程（m﹣3）﹣x=5是一元二次方程，则m= _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、已知关于x的方程（a2﹣a）x2+ax+a2﹣1=0
（1）当a为何值时，方程是一元一次方程；
（2）当a为何值时，方程是一元二次方程；
（3）当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值．
27、已知关于x的方程（m+1）+（m﹣2）x﹣1=0，问：
（1）m取何值时，它是一元二次方程并猜测方程的解；
（2）m取何值时，它是一元一次方程？
28、试比较下列两个方程的异同，x2+2x﹣3=0，x2+2x+3=0．
29、关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，求m的值．
30、试证明关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
一元二次方程的定义
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A、 B、ax2+bx+c=0
C、（x﹣1）（x+2）=1 D、3x2﹣2xy﹣5y2=0
考点：一元二次方程的定义。
专题：方程思想。
分析：一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解答：解：A、由原方程，得x4+1=0，未知数的最高次数是4；故本选项错误；
B、当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；
C、由原方程，得x2+x﹣3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确；
D、方程3x2﹣2xy﹣5y2=0中含有两个未知数；故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2、下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A、2x+1=0 B、y2+x=1
C、x2+1=0 D、x2=1
3、关于x的一元二次方程（m+1）+4x+2=0的解为（ ）
A、x1=1，x2=﹣1 B、x1=x2=1
C、x1=x2=﹣1 D、无解
考点：一元二次方程的定义。
专题：计算题。
分析：因为本题是关于x的一元二次方程，所以m2+1=2解得m=±1因为m+1≠0不符合题意所以m=1，把m=1代入原方程得2x2+4x+2=0，解这个方程即可求出x的值．
解答：解：根据题意得m2+1=2
∴m=±1
又m=﹣1不符合题意
∴m=1
把m=1代入原方程得2x2+4x+2=0
解得x1=x2=﹣1．
故选C．
点评：本题主要考查了一元二次方程的一般形式，要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了．
4、关于x的方程ax2﹣3x+3=0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A、a＞0 B、a≠0
C、a=1 D、a≥0
5、下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A、3（x+1）2=2（x+1） B、
C、ax2+bx+c=0 D、x2+2x=x2﹣1
考点：一元二次方程的定义。
分析：一元二次方程有四个特点：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程．
（4）二次项系数不为0．
解答：解：
A、3（x+1）2=2（x+1）化简得3x2+4x﹣4=0，是一元二次方程，故正确；
B、方程不是整式方程，故错误；
C、若a=0，则就不是一元二次方程，故错误；
D、是一元一次方程，故错误．
故选A．
点评：判断一个方程是否是一元二次方程：
首先要看是否是整式方程；
然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
这是一个需要识记的内容．
6、方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A、m=±2 B、m=2
C、m=﹣2 D、m≠±2
考点：一元二次方程的定义。
分析：本题根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．据此即可求解．
解答：解：由一元二次方程的定义可得，解得：m=2．故选B．
点评：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
7、关于x的方程（m2﹣m﹣2）x2+mx+1=0是一元二次方程的条件是（ ）
A、m≠﹣1 B、m≠2
C、m≠﹣1或m≠2 D、m≠﹣1且m≠2
考点：一元二次方程的定义。
分析：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．
解答：解：根据一元二次方程的概念，得
m2﹣m﹣2≠0，
即（m﹣2）（m+1）≠0，
∴m≠﹣1且m≠2．
故选D．
点评：特别要注意一元二次方程中a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
8、下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A、2x2=3（x﹣1） B、﹣2=0
C、ax2+bx+c=0 D、x2+2x=x3﹣5
9、把方程x（x+2）=5x化成一般式，则a、b、c的值分别是（ ）
A、1，3，5 B、1，﹣3，0
C、﹣1，0，5 D、1，3，0
考点：一元二次方程的定义。
分析：一元二次方程的一般式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项；其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．把方程x（x+2）=5x化成一般式，问题可求．
解答：解：∵x（x+2）=5x，∴x2+2x﹣5x=0，
∴x2﹣3x=0；∴a=1，b=﹣3，c=0．
故选B．
点评：本题要明确a、b、c的含义分别是指一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．说明一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项时首先要把方程化为一般形式．
10、关于x的方程ax2﹣3x+2=0是一元二次方程，则（ ）
A、a＞0 B、a≠0
C、a=1 D、a≥0
考点：一元二次方程的定义。
分析：因为一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，且a≠0），依据一般形式即可进行判断．
解答：解：要使ax2﹣3x+2=0是一元二次方程，必须保证a≠0．
故选B．
点评：本题考查了一元二次方程的概念，关键要记住二次项系数不为0．
11、下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ）
A、 B、ax2+bx+c=0
C、（x﹣1）（x+2）=1 D、3x2﹣2xy﹣5y2=0
考点：一元二次方程的定义。
分析：本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足三个条件：
（1）是整式方程；
（2）含有一个未知数；
（3）未知数的最高次数是2．
由这三个条件对四个选项进行验证，满足这三个条件者为正确答案．
解答：解：
A、不是等式，因而不是方程，故错误；
B、a=0时，不是一元二次方程，故错误；
C、展开后为x2+x﹣3=0，符合一元二次方程的定义，故正确；
D、3x2﹣2xy﹣5y2=0含有两个未知数，是二元二次方程，故错误．
故选C．
点评：本题容易出现的错误是容易忽视一般形式中二次项系数a不为0这一条件，错选B．
12、若ax2﹣5x+3=0是一元二次方程，则不等式3a+6＞0的解集是（ ）
A、a＞﹣2 B、a＞﹣2且a≠0
C、a D、a＜﹣2
13、如果（m+3）x2﹣mx+1=0是一元二次方程，则（ ）
A、m≠﹣3 B、m≠3
C、m≠0 D、m≠﹣3且m≠0
考点：一元二次方程的定义。
分析：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．
因为（m+3）x2﹣mx+1=0是一元二次方程，所以（m+3）≠0，即：m≠﹣3．
解答：解：如果（m+3）x2﹣mx+1=0是一元二次方程，（m+3）≠0，即：m≠﹣3．
故选A．
点评：本题主要考查了一元二次方程的一般形式中二次项系数不能为0．
14、下列方程是一元二次方程（ ）
A、x+2y=1 B、2x（x﹣1）=2x2+3
C、3x+=4 D、x2﹣2=0
考点：一元二次方程的定义。
分析：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
一元二次方程有三个特点：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程．
解答：解：A、是二元一次方程，故错误；
B、整理后可化为3+2x=0，为一元一次方程，故错误；
C、是分式方程，故错误；
D、符合一元二次方程的形式，正确．
故选D．
点评：要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
15、关于x的方程（m+1）x2+2mx﹣3=0是一元二次方程，则m的取值是（ ）
A、任意实数 B、m≠1
C、m≠﹣1 D、m＞1
16、下列方程①3x2﹣x=0；②；③；④2x2﹣1=（x﹣1）（x﹣2）；⑤（5x﹣2）（3x﹣7）=15x2，其中一元二次方程有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：一元二次方程的定义。
分析：一元二次方程必须满足三个条件：
（1）整式方程；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）二次项系数不为0．
解答：解：①符合一元二次方程的条件，故正确；
②是无理方程，故错误；
③是分式方程，故错误；
④可化为x2+3x﹣3=0，符合一元二次方程的条件，故正确；
⑤可化为﹣41x+14=0，含一个未知数，是一元一次方程，故错误；
故是一元二次方程的只有①④．
故选B．
点评：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．判断是否是一元二次方程，应先化为一般形式再判断．
17、方程：①2x2﹣9=0，②，③xy+x2=9，④7x+6=x2中，一元二次方程的个数是（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
18、一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A、1，﹣4， B、0，﹣4，﹣
C、0，﹣4， D、1，﹣4，﹣
考点：一元二次方程的定义。
分析：在一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0），ax2叫二次项，bx是一次项，c是常数项，其中a，b，c分别是二次项系数，一次项系数，常数项．根据定义即可判断．
解答：解：由定义直接可得出二次项系数，一次项系数，常数项分别为1，﹣4，﹣．故选：D
点评：在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要把一元二次方程首先化为一般形式．
19、下列方程，是一元二次方程的是（ ）
①3x2+x=20，②2x2﹣3xy+4=0，③x2﹣=4，④x2=0，⑤x2﹣+3=0．
A、①② B、①②④⑤
C、①③④ D、①④⑤
考点：一元二次方程的定义。
分析：本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足三个条件：
（1）是整式方程；
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数的最高次数是2．
解答：解：
①符合一元二次方程的条件，正确；
②含有两个未知数，故错误；
③不是整式方程，故错误；
④符合一元二次方程的条件，故正确；
⑤符合一元二次方程的条件，故正确．
故①④⑤是一元二次方程．故选D．
点评：本题考查了一元二次方程的概念，解答时要先观察方程特点，首先判断是否是整式方程，若是整式方程，再化简，判断是否只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2．
20、下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A、ax2+bx+c=0 B、+=2
C、x2+2x=x2﹣1 D、3（x+1）2=2（x+1）
考点：一元二次方程的定义。
分析：本题根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，依据定义即可解答．
解答：解：A、缺少a≠0这一条件，若a=0，则方程就不是一元二次方程，故错误；
B、是分式方程，故错误；
C、化简后不含二次项，故错误；
D、符合一元二次方程的形式，正确．
故选D．
点评：判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
二、填空题（共5小题）
21、一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a= 1 ．
22、一元二次方程2x2+4x﹣1=0的二次项系数、一次项系数及常数项之和为 5
考点：一元二次方程的定义。
分析：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．确定二次项系数，一次项系数，常数项以后即可求解．
解答：解：根据题意，
可得一元二次方程2x2+4x﹣1=0的二次项系数为2，一次项系数为4，及常数项为﹣1；
则其和为2+4﹣1=5；
故答案为5．
点评：求一元二次方程2x2+4x﹣1=0的二次项系数、一次项系数及常数项之和，就是求当x=1时，代数式2x2+4x﹣1的值．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
23、若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程，则k的取值范围是 k≠3 ．
考点：一元二次方程的定义。
分析：方程kx2+x=3x2+1化为一般形式是（k﹣3）x2+x﹣1=0，再根据是一元二次方程的条件：二次项系数不为0，即可确定k的取值范围．
解答：解：化为一般形式是（k﹣3）x2+x﹣1=0，根据题意得：k﹣3≠0，
解得k≠3．
点评：本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
24、当m ﹣3 时，关于x的方程是一元二次方程；当m= 3或或± 时，此方程是一元一次方程．
考点：一元二次方程的定义；一元一次方程的定义。
分析：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0），高于一次的项系数是0．
解答：解：由一元二次方程的特点得m2﹣7=2，即m=±3，m=3舍去，即m=﹣3时，原方程是一元二次方程；
由一元一次方程的特点得m2﹣7=1，即m=±2或m﹣3=0，即m=3时，原方程是一元一次方程．
由一元一次方程的特点得m2﹣7=0，即m=±时，原方程是一元一次方程．
点评：本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
25、关于x的方程（m﹣3）﹣x=5是一元二次方程，则m= ﹣3 ．
三、解答题（共5小题）
26、已知关于x的方程（a2﹣a）x2+ax+a2﹣1=0
（1）当a为何值时，方程是一元一次方程；
（2）当a为何值时，方程是一元二次方程；
（3）当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值．
考点：一元一次方程的定义；一元二次方程的定义。
分析：（1）只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫作一元一次方程，这个式子是一元一次方程的条件是二次项系数等于0，而一次项系数不等于0，据此即可求解；
（2）只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是2（次）的方程叫作一元二次方程，则二次项系数a2﹣a≠0，即可求得a的范围；
（3）把x=0代入原方程，得到一个关于a的一元一次方程，即可求出a的值．
解答：解：（1）根据一元一次方程的特点得a2﹣a=0，解得a=0或1，a=0时，关于x的方程不存在，舍去，所以a=1；
（2）根据一元一次方程的特点得a2﹣a≠0，解得a≠1且a≠0；
（3）把x=0代入原方程，得a2﹣1=0，解得a=±1，a=1时关于x的方程不存在，舍去，故a=﹣1．
点评：本题考查一元一次方程和一元二次方程的定义，是需要熟练掌握的内容．
27、已知关于x的方程（m+1）+（m﹣2）x﹣1=0，问：
（1）m取何值时，它是一元二次方程并猜测方程的解；
（2）m取何值时，它是一元一次方程？
考点：一元二次方程的定义。
分析：（1）在一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，且a≠0）中，要注意二次项系数a≠0这一条件．当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了．
（2）是一元一次方程的条件是m+1=0且m﹣2≠0或m2+1=1，m+1+（m﹣2）≠0应分两种情况讨论．
解答：解：（1）根据题意得，
解得：m=1．
当m=1时，原方程可化为2x2﹣x﹣1=0，
解得x1=1，x2=﹣．
（2）当时，
解得：m=﹣1，
当m+1+（m﹣2）≠0且m2+1=1时，m=0
故当m=﹣1或0时，为一元一次方程．
点评：本题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，是需要识记的内容．
28、试比较下列两个方程的异同，x2+2x﹣3=0，x2+2x+3=0．
29、关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，求m的值．
考点：一元二次方程的定义。
分析：常数项为0，即m2﹣3m+2=0，再根据方程是一元二次方程，须满足m﹣1≠0，问题可求．
解答：解：由题意，得：m2﹣3m+2=0①，m﹣1≠0②，
解①得：m=2或1；解②得：m≠1，∴m=2．
点评：本题考查对一元二次方程的掌握情况，要特别注意二次项的系数不为0这个隐含条件．
30、试证明关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
考点：一元二次方程的定义。
专题：证明题。
分析：根据一元二次方程的定义，只需证明此方程的二次项系数a2﹣8a+20不等于0即可．
解答：证明：∵a2﹣8a+20=（a﹣4）2+4≥4，
∴无论a取何值，a2﹣8a+20≥4，即无论a取何值，原方程的二次项系数都不会等于0，
∴关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0，无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
点评：一元二次方程有四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）含未知数的项的最高次数是2；（3）是整式方程；（4）将方程化为一般形式ax2+bx+c=0时，应满足a≠0．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
一元二次方程的解
一、选择题（共20小题）
1、已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则的值为（ ）
A、 B、
C、﹣1 D、1
2、方程（x2+3）（x2﹣2）=0的解的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
3、已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（ ）
A、1 B、﹣1
C、0 D、无法确定
4、关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1=0的一个根是0，则实数a的值为（ ）
A、﹣1 B、0
C、1 D、﹣1或1
5、已知关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是﹣a（a≠0），则a﹣b值为（ ）
A、﹣1 B、0
C、1 D、2
6、若x=2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8=0的一个解．则m的值是（ ）
A、6 B、5
C、2 D、﹣6
7、关于x的方程x2+mx﹣2m2=0的一个根为1，则m的值为（ ）
A、1 B、
C、1或 D、1或﹣
8、已知关于x的一元二次方程ax2﹣3bx﹣5=0有一根为x=2，则4a﹣6b的值是（ ）
A、4 B、5
C、8 D、10
9、若关于的一元二次方程x2﹣x+a=0的一个根为2，则a的值是（ ）
A、6 B、﹣6
C、2 D、﹣2
10、若关于x的一元二次方程为ax2﹣3bx﹣5=0（a≠0）有一个根为x=2，那么4a﹣6b的值是（ ）
A、4 B、5
C、8 D、10
11、已知方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（ ）
A、ab B、
C、a+b D、a﹣b
12、已知x=2是方程x2﹣2a=0的一个解，则2a﹣1的值是（ ）
A、3 B、4
C、5 D、6
13、已知x=2是一元二次方程x2﹣mx+2=0的一个解，则m的值是（ ）
A、﹣3 B、3
C、0 D、0或3
14、已知x=1是关于x的方程（1﹣k）x2+k2x﹣1=0的根，则常数k的值为（ ）
A、0 B、1
C、0或1 D、0或﹣1
15、若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为（ ）
A、1 B、2
C、﹣1 D、﹣2
16、已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（ ）
A、1 B、﹣1
C、2 D、﹣2
17、关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A、1或﹣1 B、﹣1
C、1 D、0.5
18、如果x=4是一元二次方程x2﹣3x=a2的一个根，那么常数a的值是（ ）
A、2 B、﹣2
C、±2 D、±4
19、关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣a2+1=0的一个根为2，则a的值是（ ）
A、1 B、
C、﹣ D、±
20、如果2是方程x2﹣c=0的一个根，那么c的值是（ ）
A、4 B、﹣4
C、2 D、﹣2
二、填空题（共5小题）
21、已知a是方程的根，则的值是 _________ ．
22、方程（x﹣a ）（x﹣8 ）﹣1=0有两个整数根，则a的值是 _________ ．
23、若k是自然数，且关于x的二次方程（k﹣1）x2﹣px+k=0有两个正整数根，则kkp?（pp+kk）+kk﹣p+2+kp+1= _________ ．
24、已知a是方程x2﹣5x+1=0的一个根，则a4+a﹣4的个位数字为 _________ ．
25、已知a是方程x2+x﹣=0的根，则的值等于 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、已知an﹣bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求证：（cm﹣ap）2=（bp﹣cn）（an﹣bm）．
27、已知方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2．s1=x12005+x22005，s2=x12004+x22004，s3=x12003+x22003．求as1+bs2+cs3的值．
28、已知a是方程2x2+3x﹣1=0的一个根，求代数式的值．
29、先化简再计算：，其中x是一元二次方程x2﹣2x﹣2=0的正数根．
30、已知x=1是一元二次方程ax2+bx﹣40=0的一个解，且a≠b，求的值．
一元二次方程的解
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则的值为（ ）
A、 B、
C、﹣1 D、1
考点：分式的化简求值；一元二次方程的解。
专题：计算题。
分析：先化简，由a是方程x2+x﹣1=0的一个根，得a2+a﹣1=0，则a2+a=1，再整体代入即可．
解答：解：原式=
=，
∵a是方程x2+x﹣1=0的一个根，
∴a2+a﹣1=0，
即a2+a=1，
∴原式==1．
故选D．
点评：本题考查了分式的化简求值，以及解一元二次方程，是基础知识要熟练掌握．
2、方程（x2+3）（x2﹣2）=0的解的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
3、已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（ ）
A、1 B、﹣1
C、0 D、无法确定
考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义。
分析：把x=1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．
解答：解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，
解得：m=﹣1．
故选B．
点评：本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．
4、关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1=0的一个根是0，则实数a的值为（ ）
A、﹣1 B、0
C、1 D、﹣1或1
考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义。
专题：常规题型。
分析：先把x=0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a=1舍去．
解答：解：把x=0代入方程得：
|a|﹣1=0，
∴a=±1，
∵a﹣1≠0，
∴a=﹣1．
故选A．
点评：本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程得到a的值，再由二次项系数不为0，确定正确的选项．
5、已知关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是﹣a（a≠0），则a﹣b值为（ ）
A、﹣1 B、0
C、1 D、2
6、若x=2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8=0的一个解．则m的值是（ ）
A、6 B、5
C、2 D、﹣6
考点：一元二次方程的解。
分析：先把x的值代入方程即可得到一个关于m的方程，解一元一方程即可．
解答：解：把x=2代入方程得：4﹣2m+8=0，
解得m=6．
故选A．
点评：本题考查了一元二次方程的解，此题比较简单，易于掌握．
7、关于x的方程x2+mx﹣2m2=0的一个根为1，则m的值为（ ）
A、1 B、
C、1或 D、1或﹣
考点：一元二次方程的解。
分析：根据关于x的方程x2+mx﹣2m2=0的一个根为1，可将x=1代入方程，即可得到关于m的方程，解方程即可求出m值．
解答：解：把x=1代入方程可得1+m﹣2m2=0，
∴2m2﹣m﹣1=0，
m==，
解得：m=1或﹣．
故选：D．
点评：此主要考查了方程的解的意义和一元二次方程的解法．熟练运用公式法求得一元二次方程的解是解决问题的关键．
8、已知关于x的一元二次方程ax2﹣3bx﹣5=0有一根为x=2，则4a﹣6b的值是（ ）
A、4 B、5
C、8 D、10
9、若关于的一元二次方程x2﹣x+a=0的一个根为2，则a的值是（ ）
A、6 B、﹣6
C、2 D、﹣2
考点：一元二次方程的解。
专题：计算题。
分析：把x=2代入方程可以求出字母系数a的值．
解答：解：把x=2代入方程有：
22﹣2+a=0
解得：a=﹣2．
故选D．
点评：本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值．
10、若关于x的一元二次方程为ax2﹣3bx﹣5=0（a≠0）有一个根为x=2，那么4a﹣6b的值是（ ）
A、4 B、5
C、8 D、10
考点：一元二次方程的解。
专题：整体思想。
分析：把x=2代入方程即可求得4a﹣6b的值．
解答：解：把x=2代入方程ax2﹣3bx﹣5=0，即得到4a﹣6b﹣5=0，故4a﹣6b=5，故本题选B．
点评：本题逆用一元二次方程解的定义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析．
11、已知方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（ ）
A、ab B、
C、a+b D、a﹣b
考点：一元二次方程的解。
分析：本题根据一元二次方程的根的定义，把x=﹣a代入方程，即可求解．
解答：解：∵方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），
∴（﹣a）2+b（﹣a）+a=0，
又∵a≠0，
∴等式的两边同除以a，得a﹣b+1=0，
故a﹣b=﹣1．
故本题选D．
点评：本题考查的重点是方程根的定义，分析问题的方向比较明确，就是由已知入手推导、发现新的结论．
12、已知x=2是方程x2﹣2a=0的一个解，则2a﹣1的值是（ ）
A、3 B、4
C、5 D、6
13、已知x=2是一元二次方程x2﹣mx+2=0的一个解，则m的值是（ ）
A、﹣3 B、3
C、0 D、0或3
考点：一元二次方程的解。
分析：一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
解答：解：把x=2代入方程x2﹣mx+2=0，可得4﹣2m+2=0，得m=3，故本题选B．
点评：本题考查的是一元二次方程的解的定义．
14、已知x=1是关于x的方程（1﹣k）x2+k2x﹣1=0的根，则常数k的值为（ ）
A、0 B、1
C、0或1 D、0或﹣1
考点：一元二次方程的解。
专题：计算题。
分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=1代入原方程即可求得k的值．
解答：解：把x=1代入方程（1﹣k）x2+k2x﹣1=0可得：1﹣k+k2﹣1=0，即﹣k+k2=0，可得k（k﹣1）=0，即k=0或1；
故选C．
点评：该题应注意方程与一元二次方程的区别，此题1﹣k可为0，同时此题也考查了因式分解．
15、若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为（ ）
A、1 B、2
C、﹣1 D、﹣2
考点：一元二次方程的解。
专题：计算题。
分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
解答：解：把n代入方程x2+mx+2n=0可得：n2+mn+2n=0，
将其变形可得：n（m+n）+2n=0，
即m+n=﹣2．
故选D．
点评：主要考查了方程解的定义，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，即可求出代数式的值．
16、已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（ ）
A、1 B、﹣1
C、2 D、﹣2
考点：一元二次方程的解。
分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
解答：解：因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程，即32﹣3k﹣6=0成立，解得k=1．
故选A．
点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
17、关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A、1或﹣1 B、﹣1
C、1 D、0.5
18、如果x=4是一元二次方程x2﹣3x=a2的一个根，那么常数a的值是（ ）
A、2 B、﹣2
C、±2 D、±4
考点：一元二次方程的解。
分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
解答：解：把x=4代入方程x2﹣3x=a2可得16﹣12=a2，解得a=±2，
故选C．
点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
19、关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣a2+1=0的一个根为2，则a的值是（ ）
A、1 B、
C、﹣ D、±
考点：一元二次方程的解。
专题：计算题。
分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
解答：解：把x=2代入方程2x2﹣3x﹣a2+1=0，
得8﹣6﹣a2+1=0，
解得a=．
故选D
点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，是一个基础题．
20、如果2是方程x2﹣c=0的一个根，那么c的值是（ ）
A、4 B、﹣4
C、2 D、﹣2
考点：一元二次方程的解。
专题：计算题。
分析：本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，知x=2是方程的根，代入方程即可求解．
解答：解：∵x=2是方程的根，由一元二次方程的根的定义代入可得，
4﹣c=0，
∴c=4．
故选A．
点评：本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．
二、填空题（共5小题）
21、已知a是方程的根，则的值是 5 ．
考点：立方公式；因式分解-提公因式法；约分；一元二次方程的解。
专题：计算题。
分析：首先根据题意得到a2+a=，然后将分子分母分别因式分解、化简，再代入数值即可．
解答：解：∵a是方程x2+x﹣=0的根，
∴a2+a=，
∴==5．
故答案为5．
点评：此题考查了根与方程的关系，以及分式的化简．解题的关键是因式分解与整体思想的应用．
22、方程（x﹣a ）（x﹣8 ）﹣1=0有两个整数根，则a的值是 8 ．
23、若k是自然数，且关于x的二次方程（k﹣1）x2﹣px+k=0有两个正整数根，则kkp?（pp+kk）+kk﹣p+2+kp+1= 1993 ．
考点：一元二次方程的整数根与有理根；一元二次方程的解。
分析：先设α、β是方程（k﹣1）x2﹣px+k=0的两个正整数根，再由根与系数的关系可得出关于k的方程，求出k、p的值，代入所求代数式进行计算即可．
解答：解：设α、β是方程（k﹣1）x2﹣px+k=0的两个正整数根，
则
由于α、β是正整数，故αβ也是正数，从而k=2，则αβ=2且α+β=3=，
故p=3，从而kkp（pp+kk）+kk+2﹣p+kp+1=26（33+22）+22+2﹣3+2×3+1=1993．
故答案为：1993．
点评：本题考查的是一元二次方程的整数根及根与系数的关系，根据根与系数的关系得出关于关于k的方程是解答此题的关键．
24、已知a是方程x2﹣5x+1=0的一个根，则a4+a﹣4的个位数字为 7 ．
考点：完全平方公式；一元二次方程的解。
专题：规律型。
分析：将a4+a﹣4化为a4+，再将配方为完全平方式，再通分，然后将x2﹣5x+1=0变形为x2+1=5x，再代入完全平方式求值．
解答：解：∵=（a2+）2﹣2=[（）2﹣2]2﹣2①，
又∵x2+1=5x，于是x2+1=5x②，
将②代入①得，
原式=[（）2﹣2]2﹣2=527，个位数字为7．
故答案为7．
点评：此题将配方法和代数式求值结合起来，同时需要利用整体思想简化计算．此题难点在于将a4看做（a2）2．
25、已知a是方程x2+x﹣=0的根，则的值等于 20 ．
三、解答题（共5小题）
26、已知an﹣bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求证：（cm﹣ap）2=（bp﹣cn）（an﹣bm）．
考点：整式的等式证明；一元二次方程的解。
专题：证明题。
分析：本题是一道证明题，因为an﹣bm≠0，所以两方程有相等的根，再将根代入其中一方程就可以得到证明．
解答：证明：∵an﹣bm≠0
∴方程ax2+bx+c=0和方程mx2+nx+p=0有相等的根．
方程ax2+bx+c=0可化为x2+x+=0 ①
方程mx2+nx+p=0可化为x2+x+=0 ②
把方程①﹣②可得：（﹣）x+（﹣）=0
解方程得：x+=0
（bm﹣an）x+（cm﹣ap）=0
x=
把x=代入方程ax2+bx+c=0
得：a+b（）+c=0
a（ap﹣cm）2+b（ap﹣cm）（bm﹣an）+c（bm﹣an）2=0
a（ap﹣cm）2+（bm﹣an）（abp﹣bcm+bcm﹣can）=0
a（ap﹣cm）2+a（bm﹣an）（bp﹣cn）=0
∵a≠0，
∴两边同时除以a得到：（ap﹣cm）2+（bm﹣an）（bp﹣cn）=0
故（ap﹣cm）2=（bp﹣cn）（an﹣bm）．
点评：本题考查一元二次方程的解，难度较大，要求同学们仔细思考，寻求解题方法，证题过程应特别完整．
27、已知方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2．s1=x12005+x22005，s2=x12004+x22004，s3=x12003+x22003．求as1+bs2+cs3的值．
考点：代数式求值；一元二次方程的解。
专题：计算题；因式分解。
分析：已知方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，可将根代入方程得ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0，再将所得代入下式得as1+bs2+cs3=a（x12005+x22005）+b（x12004+x22004）+c（x12003+x22003）=（ax12005+bx12004+cx12003）+（ax22005+bx22004+cx22003）=x12003（ax12+bx1+c）+x22003（ax22+bx2+c）=x12003×0+x22003×0=0．
解答：解：∵x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根．
∴ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0
又∵s1=x12005+x22005，s2=x12004+x22004，s3=x12003+x22003
∴as1+bs2+cs3=a（x12005+x22005）+b（x12004+x22004）+c（x12003+x22003）
=ax12005+ax22005+bx12004+bx22004+cx12003+cx22003
=（ax12005+bx12004+cx12003）+（ax22005+bx22004+cx22003）
=x12003（ax12+bx1+c）+x22003（ax22+bx2+c）
=x12003×0+x22003×0
=0
点评：本题不仅考查代数式的求值问题，还重点考查了一元二次方程的解得问题，再结合因式分解的方法，化简代数式，本题有点难度，要认真分析，联系已知，要引起注意．
28、已知a是方程2x2+3x﹣1=0的一个根，求代数式的值．
考点：因式分解的应用；一元二次方程的解。
专题：因式分解。
分析：根据已知a是方程2x2+3x﹣1=0的一个根，可知2a2+3a=1．将逐步转化为含有2a2+3a因式的形式用1代替，实现了逐步降次的目的．至时，再转化为，再将（2a2+3a）用1代替，分子、分母均含有a的一次因式，约去公因式，得到结果．
解答：解：∵a是方程2x2+3x﹣1=0的一个根
∴2a2+3a﹣1=0即2a2+3a=1
原式=
=
=
=
=
=
=
=
=
点评：本题考查因式分解、一元二次方程的解．解决本题的关键是根据已知得到2a2+3a=1，通过提取公因式、拆分、合并同类项，逐次降低分子中a的最高次，达到最终求解的目的．
29、先化简再计算：，其中x是一元二次方程x2﹣2x﹣2=0的正数根．
考点：分式的化简求值；一元二次方程的解。
分析：先把原式化为最简形式，再利用公式法求出一元二次方程x2﹣2x﹣2=0的根，把正根代入原式计算即可．
解答：解：原式=÷
=?
=．
解方程得x2﹣2x﹣2=0得，
x1=1+＞0，x2=1﹣＜0，
所以原式==．
点评：本题考查的是分式的化简求值及解一元二次方程，解答此题的关键是把原分式化为最简形式，再进行计算．
30、已知x=1是一元二次方程ax2+bx﹣40=0的一个解，且a≠b，求的值．
