【核心素养目标】1.3 解直角三角形（2） 教学设计

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浙教版九年级下册数学1.3 解直角三角形（2）教学设计
课题 1.3 解直角三角形（2） 单元 第一单元 学科 数学 年级 九
教材分析 本节是九年级下册第一章《解直角三角形》第三节的第二课时，是在学生学习了锐角三角函数及解直角三角形后的进一步学习。本节内容以实际生活中的问题为背景，巩固解直角三角形的初步应用，体验通过添辅助线，将许多有关图形化归为直角三角形问题来解决，渗透用数学知识解决实际问题的数学建模思想。
核心素养分析 通过课堂为学生提供的充分从事数学活动的机会,让学生理解并掌握基本数学知识与技能,了解数形结合的思想方法,培养转化、化归的思想方法,进而获得广泛的数学活动的经验，同时在学生充分参与知识形成的过程中，学会与人合作、交流的学习方法，形成大胆质疑、实是求是的科学态度，感受数学的严谨性及数学结论的确定性。
学习目标 1.进一步巩固解直角三角形。2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题。3.会用常见添辅助线方法构造直角三角形，体验用数学知识解决实际问题。
重点 理解坡比和坡角的区别和联系，进一步巩固解直角三角形.
难点 会用常见添辅助线方法构造直角三角形，体验用数学知识解决实际问题.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 【思考】1.什么是解直角三角形？在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形.2.解直角三角形时，分为几种情况？（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角(或锐角的某个三角函数). 学生思考回答问题。 激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。
讲授新课 坡比和坡角的概念。坡面与水平面的夹角叫做坡角。坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度（或坡比）.如图，AB为坡面，那么坡长是指线段AB的长度；坡面的倾斜角叫做坡角，即坡面AB与水平面BC的夹角∠ABC；坡面的铅垂高度h是指坡面的顶点A到水平面BC的距离，即线段AC的长度；坡面的铅垂高度h和水平宽度BC的比叫做坡比，记为i.因此i=AC：BC.从三角函数的概念可以知道，坡比与坡角的关系是i=tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。【例】如图是某一滑板场地的截面示意图，AB⊥BC于点B，AB＝h，BC＝l，AC＝m. 设斜坡AC的坡比为i，则下列等式正确的是(　B　)A. i＝h∶m B. i＝h∶l C. i＝l∶m D. i＝l∶h【例3】水库堤坝的横断面是梯形。测得BC长为6m，CD长为60m，斜坡CD的坡比为1：2.5，斜坡AB的坡比为1：3.求斜坡CD的坡角∠D和坝底AD的宽（角度精确到1'，宽度精确到0.1m).解：如图，作 BE⊥AD，CF⊥AD，点E，F为垂足.∴∠D≈21°48′.∴CF=CD·sin D=60×sin 21°48′≈22.28(m)， DF=CD·cos D=60×cos21°48′≈55.71(m).∴AE=3BE=3CF=66.84(m)， ∴AD=AE+EF+DF=AE+BC+DF =66.84+6+55.71=128.55≈128.6(m).答：斜坡CD的坡角约为21°48'，坡底宽约为128.6m.(2) 若堤坝长150 m，问建造这个堤坝需用多少土石方(精确到1m3) 需用土石方V=Sl=1 498.9×150=224 835(m3).答：建造这个大坝需用土石方约为 224 835m3【总结归纳】许多有关图形的计算问题都可以直接或通过添辅助线，化归为解直角三角形问题来解决。过梯形上底的端点作梯形的高，是将梯形中的计算问题化归为解直角三角形问题的常用辅助线。过一点向一条线作垂线是将一些图形问题化归为直角三角形问题的基本辅助线。【例4】体育项目400m栏比赛中，规定相邻两栏架的路程为45m.在弯道处，以跑道离内侧线0.3m处的弧线（下图中虚线）的长度作为相邻两栏架之间的间隔路程. 已知跑道的内侧线半径为36m，问在设定A栏架后，B栏架离A栏架的距离是多少（结果精确到0.1m) 分析：根据弧长求弦长，可化归为用两条半径和弦AB构造等腰三角形，再作等腰三角形的高线，将求弦长的计算问题划归为解直角三角形问题来解决，联系弧长和弦长的关键量是所对的圆心角，所以首先要根据弧长的计算公式求出圆心角的度数。解：如图，连结AB.由题意，得弧AB=45 m，OB=36.3 m.设∠AOB=n°,作OC⊥AB 于点C.∵OA=OB，∴AC=BC， ∠AOC=∠A0B=35.52°，∴AC=OAsin∠AOC=36.3×sin35.52°≈21.09(m),∴AB=2AC=2×21.09≈42.2(m).答：设定A栏架的位置后，B栏架离A栏架的距离约为42.2m.【拓展提高】在解决实际问题的过程中，对于中间运算中的量，可以不取近似值，到最后按题目要求取近似值，也可以按照中间运算取近似值比结果要求多取一位的做法进行计算。 学生在教师的引导下理解坡比和坡角的概念。学生根据所学知识做例题。学生小组合作，解决课本例题，教师讲解。学生总结归纳有关图形的计算问题都可以直接或通过添辅助线，化归为解直角三角形问题来解决。学生做例题。 在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。巩固所学知识。在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。
课堂练习 1.修筑一坡比为3∶4的大坝，如果设大坝斜坡的坡角为α，那么tan α等于(　C )A. B. C. D.2.江堤的横断面如图，堤高BC＝10 m，迎水坡AB的坡比是1∶，则AC的长是(　B　)A．20 m B．10 m C. m D．10 m3.如图，有一斜坡AB的长为10 m，坡角α为36°，则斜坡AB的铅直高度AC为(　C　)A．10tan 36°m B．10cos 36°mC．10sin 36°m D．20cos 36°m4.如图，一个钟摆的摆长OA为m m，当钟摆由最左侧摆至最右侧时，钟摆旋转的角度为40°，此时摆幅(A，B两端的距离)可以表示为(　A　)A．2m·sin 20° m B．2m·tan 20° mC．m·sin 40° m D．m·tan 40° m5.沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD，高DH＝12 m，斜坡CD的坡度i＝1∶1.此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD表示高压线上的点与堤面AD的最近距离(点P，D，H在同一直线上)，在点C处测得∠DCP＝26°.(1)求斜坡CD的坡角α.解：∵斜坡CD的坡度i＝1∶1，∴tan α＝DH∶CH＝1∶1＝1.∴α＝45°.(2)电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18 m，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？解：由(1)可知∠DCH＝45°， ∴∠HDC＝45°＝∠DCH，∴CH＝DH＝12 m，∴∠PCH＝∠PCD＋∠DCH＝26°＋45°＝71°.∵在Rt△PCH中，tan ∠PCH＝，∴tan 71°＝≈2.90，∴PD≈22.8 m.∵22.8＞18，∴此次改造符合电力部门的安全要求． 学生做练习，教师订正答案。 通过各种形式的练习，进一步提高学生学习兴趣，使 学生的认知结构更加完善。同时强化本课的教学重点，突破教学难点。
课堂小结 本节课你学到了什么？1.许多有关图形的计算问题都可以直接或通过添辅助线，化归为解直角三角形问题来解决。2.在解决实际问题的过程中，对于中间运算中的量，可以不取近似值，到最后按题目要求取近似值，也可以按照中间运算取近似值比结果要求多取一位的做法进行计算。 学生在教师的引导下总结归纳。 充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。
板书 课题：1.3 解直角三角形（2）一、坡比和坡角的概念。二、解决实际问题。三、根据弧长求弦长。
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