一、选择题（共20小题）
1、在△ABC与△A′B′C′中，已知AB＜A′B′，BC＜B′C′，CA＜C′A′．下列结论：
（1）△ABC的边AB上的高小于△A′B′C′的边A′B′上的高；
（2）△ABC的面积小于△A′B′C′的面积；
（3）△ABC的外接圆半径小于△A′B′C′的外接圆半径；
（4）△ABC的内切圆半径小于△A′B′C′的内切圆半径．其中，正确结论的个数为（ ）
A、0 B、1
C、2 D、4
2、等边三角形的外接圆面积是内切圆面积的（ ）
A、2倍 B、3倍
C、4倍 D、5倍21cnjy
3、在△ABC中，∠C=90°，AC，BC的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两个根，△ABC内一点P到三边的距离都相等．则PC为（ ）
A、1 B、
C、 D、
4、在△ABC中，BC=6，CA=8，AB=10，O为三条角平分线的交点，则点O到各边的距离为（ ）
A、4 B、9
C、2 D、以上都不对21世纪教育网
5、给出下列4个结论：①边长相等的多边形内角都相等；②等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形；③三角形的内切圆和外接圆是同心圆；④圆心到直线上一点的距离恰好等于圆的半径，则该直线是圆的切线．其中正确结论的个数有（ ）
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个
6、如图，等腰梯形ABCD的腰AD的长为3，⊙O为其内切圆，则它的中位线长是（ ）
A、3 B、4
C、5 D、6
7、下列说法错误的是（ ）21世纪教育网
A、平分弦的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的弧
B、已知⊙O的半径为6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O有两个交点
C、如果一个三角形的外心在三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形
D、三角形的内心到三角形的三边的距离相等
8、如图，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，则FE与FD的大小关系为（ ）
A、FE=FD B、FE=FD
C、FE=FD D、FE=FD
9、下列命题中的假命题是（ ）
A、三点确定一个圆
B、三角形的内心到三角形各边的距离都相等
C、同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 21cnjy
D、同圆中，相等的弧所对的弦相等
10、给出下列命题：①任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形，其中正确命题共有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
11、给出下列结论：
①有一个角是100°的两个等腰三角形相似．
②三角形的内切圆和外接圆是同心圆．
③圆心到直线上一点的距离恰好等于圆的半径，则该直线是圆的切线．
④等腰梯形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两弧．
⑥过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线．
其中正确命题有（ ）个．
A、2个 B、3个
C、4个 D、5个
12、一个三角形三边长分别为5，12，13，R是其外接圆半径，r是其内切圆半径，则R﹣r 的值（ ）
A、4.5 B、3.521世纪教育网
C、5.5 D、2.5
13、下列命题正确的是（ ）
A、三角形内心到三角形的三个顶点的距离相等
B、三角形重心是内角平分线的交点
C、三角形的外心是其外接圆的圆心
D、三角形的外心在其外部，内心在内部
14、下列语句中正确的是（ ）
A、经过三个点一定可以作一个圆
B、平分弦的直径垂直于弦
C、菱形的四边中点在同一个圆上
D、三角形的外心到三边的距离相等
15、如图，PA、PB是⊙0的切线，A、B为切点，P0交⊙0于D，交AB于E．下列结论：①AB⊥0P；②AO2=OE?OP；③D为△PAB内心．正确的个数有（ ）
A、0 B、1
C、2 D、321cnjy
16、下列说法正确的个数是（ ）
①同圆中，相等的圆心角所对的弧是等弧．
②90°的角所对的弦是直径．
③圆的切线垂直于经过切点的半径．
④到三角形三边所在直线距离相等的点有且只有一个．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
17、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=（ ）
A、 B、
C、 D、2
18、如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆．若∠AOB=70°，则∠COD=（ ）
A、110° B、125°21世纪教育网
C、140° D、145°
19、在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，则它的内切圆半径是（ ）
A、 B、1
C、2 D、21cnjy
20、如图，△ABC的内切圆分别切、、于D、E、F三点，其中P、Q两点分别在、上．若∠A=30°，∠B=80°，∠C=70°，则弧长与弧长的比值为（ ）
21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
二、填空题（共5小题）
21、已知直线y=x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为x轴上的动点，且点P在点A的右侧，PM⊥x轴，交直线y=x+6于点M．有一动圆C它与x轴、直线PM、直线y=x+6都相切且在x轴上方．当圆C与y轴也相切时，点P的坐标是 _________ ．
22、如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A、B，交y轴于C，若在此抛物线上存在P，使△PAC的内心在x轴上，则点P的坐标为 _________ ．
23、在直角三角形ABC中，∠C=90°，I是△ABC的三条内角平分线的交点，过I作ID⊥AB于D，若BD=m，AD=n，那么△ABC的面积为 _________ ．
24、直角三角形三角形两直角边长为3和4，三角形内一点到各边距离相等，那么这个距离为 _________ ．
25、在△ABC中，∠A=70°，若O为△ABC的外心，则∠BOC= _________ 度；若O为△ABC的内心，则∠BOC= _________ 度．
三、解答题（共5小题）21cnjy
26、如图，⊙O是△ABC的内切圆，AB与⊙O切于点D，AC与⊙O切于点E，BO与DE交于点X，CO与DE交于点Y，点Z是BC中点．
（1）求证：O、E、X、C四点共圆；
（2）若∠A=60°，求证：△XYZ是等边三角形．
21世纪教育网
27、⊙O2与⊙O1交于A，B两点，射线O1A交⊙O2于C点，射线O2A交⊙O1于D点．求证：点A是△BCD的内心．
28、如图，已知直线l经过点D（﹣1，4），与x轴的负半轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，且直角△AOB的内切圆的面积为π，求直线l对应的一次函数的表达式．
29、已知直线l过点P（2，1），分别与x轴、y轴交于点A、B，且PA=PB．
（1）求直线l的函数解析式；21世纪教育网
（2）设⊙Q是Rt△AOB的内切圆，分别与OA、OB、AB相切于点D、E、F，求证：AD、BE的长是方程x2﹣2x+4=0的两个根．
30、已知A（5，0），点B在第一象限内，并且AB与直线l：平行，AB长为8．
（1）求点B的坐标．
（2）点P是直线l：上的动点，求△PAB内切圆的最大面积．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、在△ABC与△A′B′C′中，已知AB＜A′B′，BC＜B′C′，CA＜C′A′．下列结论：
（1）△ABC的边AB上的高小于△A′B′C′的边A′B′上的高；
（2）△ABC的面积小于△A′B′C′的面积；
（3）△ABC的外接圆半径小于△A′B′C′的外接圆半径；
（4）△ABC的内切圆半径小于△A′B′C′的内切圆半径．其中，正确结论的个数为（ ）
A、0 B、1
C、2 D、4
考点：三角形的面积；全等三角形的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心。
专题：推理填空题。21cnjy
分析：（1）（2）（3）举反例如图（1）和a所示，即可判断正确与否；（4）作两个特殊的三角形，作边长是5的等边三角形ABC和边长是6、8、10的直角三角形，求出其内切圆的半径都是5，即可判断（4）正确与否．
点评：本题主要考查了三角形的面积，含30°角的直角三角形的性质，三角形的外接圆和外心，三角形的内切圆和内心，等边三角形的性质等知识点，解此题的关键是理解题意，能举出反例证明结论正确与否．
2、等边三角形的外接圆面积是内切圆面积的（ ）
A、2倍 B、3倍
C、4倍 D、5倍
考点：等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心。
分析：根据等边三角形的三线合一，可以发现并证明等边三角形的外接圆半径是内切圆半径的2倍．再根据圆的面积公式，得出其外接圆的面积是内切圆面积的4倍．
解答：解：因为等边三角形的三线合一，所以圆心为其重心，即外接圆的半径是内接圆半径的2倍，所以外接圆面积是内切圆面积的4倍．
故选C．21cnjy
点评：本题需要注意：等边三角形的外接圆的半径是内切圆的半径的2倍．
3、在△ABC中，∠C=90°，AC，BC的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两个根，△ABC内一点P到三边的距离都相等．则PC为（ ）
A、1 B、
C、 D、
点评：本题中考查了勾股定理和一元二次方程根与系数的关系．本题中三角形内心与三角形周长和面积的关系式是本题中的一个重点．
4、在△ABC中，BC=6，CA=8，AB=10，O为三条角平分线的交点，则点O到各边的距离为（ ）21世纪教育网
A、4 B、9
C、2 D、以上都不对
5、给出下列4个结论：①边长相等的多边形内角都相等；②等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形；③三角形的内切圆和外接圆是同心圆；④圆心到直线上一点的距离恰好等于圆的半径，则该直线是圆的切线．其中正确结论的个数有（ ）
A、0个 B、1个21世纪教育网
C、2个 D、3个
考点：等腰梯形的性质；多边形；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心。
分析：对各个结论进行分析从而确定正确的答案．
解答：解：①：比如一般的菱形的各边相等，但各角不相等，所以命题错误；
②：等腰梯形不是中心对称图形，所以命题错误；
③：三角形的内切圆的圆心是三条角平分线的交点，外接圆的圆心是三条垂直平分线的交点，只有等边三角形才能重合，所以命题错误；
④：圆心到直线的距离等于半径的直线，是圆的切线，不能说圆心到直线上一点的距离，错误．21世纪教育网
故选A．
点评：理解各个概念，说明一个命题的错误，只需举出反例即可．
6、（2006?泰安）如图，等腰梯形ABCD的腰AD的长为3，⊙O为其内切圆，则它的中位线长是（ ）
A、3 B、4
C、5 D、6
考点：梯形中位线定理；等腰梯形的性质；三角形的内切圆与内心。
分析：根据梯形的中位线定理，只需求得梯形的两底之和；根据圆的切线长定理，即可发现：圆外切四边形的两组对边的和相等．
解答：解：∵等腰梯形ABCD的腰AD的长为3，⊙O为其内切圆，
∴根据切线长定理，可得AB+CD=AD+BC=6，
则它的中位线长是（AB+CD）=3．
故选A．
点评：此题主要考查的知识点：切线长定理、梯形的中位线定理．
7、下列说法错误的是（ ）21cnjy
A、平分弦的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的弧 B、已知⊙O的半径为6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O有两个交点
C、如果一个三角形的外心在三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形 D、三角形的内心到三角形的三边的距离相等
8、如图，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，则FE与FD的大小关系为（ ）
A、FE=FD B、FE=FD
C、FE=FD D、FE=FD
考点：圆周角定理；三角形的内切圆与内心。21世纪教育网
分析：首先在AC上截取AG=AE，连接FG，根据题意可证△AEF≌△AGF，从而可得FG=FD即FE=FD．
点评：此题主要考查了三角形全等的判定和方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．本题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形，才好解，有点难度．
9、下列命题中的假命题是（ ）
A、三点确定一个圆 B、三角形的内心到三角形各边的距离都相等
C、同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 D、同圆中，相等的弧所对的弦相等
考点：确定圆的条件；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；命题与定理。
专题：常规题型。
分析：根据确定圆的条件，三角形内心性质，以及圆心角、弧、弦的关系，对各选项分析判断后利用排除法求解．21世纪教育网
解答：解：A、应为不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；
B、三角形的内心到三角形各边的距离都相等，是三角形的内心的性质，故本选项正确；
C、同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，正确；
D、同圆中，相等的弧所对的弦相等，正确．
故选A．
点评：本题主要考查了确定圆的条件，一定要注意是不在同一直线上的三点确定一个圆，还考查了圆心角、弧、弦的关系，需要熟练掌握．
10、（2001?陕西）给出下列命题：①任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形，其中正确命题共有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
点评：考查三角形外心与内心的概念，属于概念题．
11、给出下列结论：21世纪教育网
①有一个角是100°的两个等腰三角形相似．
②三角形的内切圆和外接圆是同心圆．
③圆心到直线上一点的距离恰好等于圆的半径，则该直线是圆的切线．
④等腰梯形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两弧．
⑥过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线．
其中正确命题有（ ）个．
A、2个 B、3个
C、4个 D、5个
考点：三角形的外接圆与外心；等腰梯形的性质；三角形的内切圆与内心；轴对称图形；中心对称图形。21世纪教育网
分析：根据圆相关知识点进行判断即可．
解答：解：①、因为100°是钝角，所以只能是等腰三角形的顶角，则根据三角形的内角和定理，知它们的底角也对应相等，根据两角对应相等的两个三角形是相似三角形，则两个等腰三角形相似，故正确；
②、三角形的内切圆的圆心是三条角平分线的交点，外接圆的圆心是三条垂直平分线的交点，只有等边三角形的内心和外心才重合，故错误；
③、应当是圆心到直线的距离而不是圆心到直线上一点的距离恰好等于圆的半径，注意两者的说法区别：前者是点到直线的距离，后者是两个点之间的距离，故错误；
④、等腰梯形不是中心对称图形，故错误；
⑤、平分弦中的弦不能是直径，因为任意的两条直径都是互相平分，故错误；
⑥、本题是平行公理，故正确．
因此正确的结论是①⑥．
故选A．
点评：本题考查的知识点较多，有：等腰三角形的性质、相似三角形的判定、三角形的内心和外心、轴对称和中心图形、等腰梯形的性质等知识．正确理解各知识点是解答此题的关键．
12、一个三角形三边长分别为5，12，13，R是其外接圆半径，r是其内切圆半径，则R﹣r 的值（ ）
A、4.5 B、3.5
C、5.5 D、2.521cnjy
考点：三角形的外接圆与外心；勾股定理的逆定理；三角形的内切圆与内心。
分析：根据勾股定理的逆定理推出∠C=90°，连接OE、OQ，根据圆O是三角形ABC的内切圆，得到AE=AF，BQ=BF，∠OEC=∠OQC=90°，OE=OQ，推出正方形OECQ，设OE=CE=CQ=OQ=r，得到方程12﹣r+5﹣r=13，求出方程的解即可，进而得出其外接圆半径，即可得出答案．
点评：此题主要考查了对三角形的内切圆与内心以及直角三角形外接圆半径求法、切线长定理，切线的性质，正方形的性质和判定，勾股定理的逆定理等知识点，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．题型较好，综合性强．
13、下列命题正确的是（ ）21世纪教育网
A、三角形内心到三角形的三个顶点的距离相等 B、三角形重心是内角平分线的交点
C、三角形的外心是其外接圆的圆心 D、三角形的外心在其外部，内心在内部
14、下列语句中正确的是（ ）
A、经过三个点一定可以作一个圆 B、平分弦的直径垂直于弦
C、菱形的四边中点在同一个圆上 D、三角形的外心到三边的距离相等
考点：三角形的外接圆与外心；直角三角形斜边上的中线；菱形的性质；垂径定理；圆内接四边形的性质；确定圆的条件；三角形的内切圆与内心。
专题：推理填空题。
分析：根据确定圆的条件判断A即可；根据垂径定理判断B即可；根据菱形的性质得出AC⊥BD，根据直角三角形的斜边上中线性质推出即可；根据三角形的内心判断D即可；
解答：解：A、经过不在同一直线的三点可以作一个圆，故本选项错误；
B、平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误；
C、根据菱形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半能求出OE=OF=OG=OH，故本选项正确；
D、三角形的内心到三角形的三边的距离相等，故本选项错误；
故选C．
点评：本题主要考查对直径三角形斜边上的中线性质，确定圆的条件，垂径定理，菱形的性质，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，圆内接四边形的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
15、如图，PA、PB是⊙0的切线，A、B为切点，P0交⊙0于D，交AB于E．下列结论：①AB⊥0P；②AO2=OE?OP；③D为△PAB内心．正确的个数有（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
考点：切线的性质；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质。
分析：根据切线长定理得出PA=PB，∠APO=∠OPB，再利用等腰三角形的性质得出AB⊥0P，再利用△AOE∽△POA，即可得出AO2=OE?OP，利用三角形内心的作法得出即可．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定以及等腰三角形的性质和切线长定理等知识，根据已知得出PA=PB，∠APO=∠OPB是解题关键．
16、下列说法正确的个数是（ ）
①同圆中，相等的圆心角所对的弧是等弧．
②90°的角所对的弦是直径．
③圆的切线垂直于经过切点的半径．
④到三角形三边所在直线距离相等的点有且只有一个．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：切线的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形的内切圆与内心。
点评：此题考查了切线的性质，以及圆中的有关知识．要求学生明白到三角形三边所在直线的距离相等的点不仅要作内角的角平分线，还要作出外角的角平分线，分别找出交点．考查了学生数形结合的数学思想．21cnjy
17、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=（ ）
A、 B、
C、 D、2
考点：三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义。
分析：设⊙O与AB相切于点E，连接OE，则OE⊥AB．根据勾股定理得AB=10，再根据切线长定理可以求得AE=4．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AD=5，DE=1．根据直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，得内切圆的半径是2，从而求得tan∠ODA=2．
解答：解：设⊙O与AB相切于点E，连接OE，则OE⊥AB．
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，21世纪教育网
∴AE==4．
∵⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，
∴AD=5，则DE=1，
∴r==2
∴tan∠ODA=2．
故选D．
点评：此题要能够根据切线长定理证明：作三角形的内切圆，其中的切线长等于切线长所在的两边和与对边差的一半；直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半．
18、如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆．若∠AOB=70°，则∠COD=（ ）
A、110° B、125°
C、140° D、145°21cnjy
19、在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，则它的内切圆半径是（ ）
A、 B、1
C、2 D、
20、如图，△ABC的内切圆分别切、、于D、E、F三点，其中P、Q两点分别在、上．若∠A=30°，∠B=80°，∠C=70°，则弧长与弧长的比值为（ ）
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A、 B、
C、 D、
考点：三角形的内切圆与内心。
专题：综合题。
分析：设△ABC的内切圆的圆心为O，连接OD、OE、OF，所以∠ADO=∠AFO=∠BDO=∠BEO=90°；再根据四边开的内角和定理，∠A+∠ADO=180°，则∠ADO=150°，同理∠EOD=180°﹣80°=100°；最后由弧的比等于弧所对的圆心角的比，可得出弧长与弧长的比值2：3．
解答：解：设△ABC的内切圆的圆心为O，连接OD、OE、OF，
∵∠ADO=∠AFO=∠BDO=∠BEO=90°，
∴∠A+∠ADO=180°，
∴∠ADO=150°，21世纪教育网
同理∠EOD=180°﹣80°=100°，
∴弧长与弧长的比值2：3．
故选A．
点评：本题主要考查了内切圆的性质及弧长的比．
二、填空题（共5小题）
21、已知直线y=x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为x轴上的动点，且点P在点A的右侧，PM⊥x轴，交直线y=x+6于点M．有一动圆C它与x轴、直线PM、直线y=x+6都相切且在x轴上方．当圆C与y轴也相切时，点P的坐标是 （6﹣12，0）或 （6，0） ．
解答：解：
∵圆S是Rt△ZRK的内切圆，
∴ZT'=ZL，KT'=KT，RL=RT，∠SLR=∠R=∠STR=90°，SL=ST，
∴四边形SLRT是正方形，
∴SL=LR=RT=ST，
∴ZR﹣ST+KR﹣ST=ZK，21世纪教育网
∴ST=（ZR+KR﹣ZK），
y=x+6，
当x=0时，y=6，
当y=0时，x=﹣6，
∴OA=OB=6，
由勾股定理得：AB=6，设P的坐标是（2x，0），则圆的半径是|x|，
①当是圆C1时，圆的半径是：（6+6﹣6）=6﹣3，
2（6﹣3）=12﹣6，
∴P1的坐标是（6﹣12，0）；21cnjy
②当是圆C2时，由勾股定理得：BM2==2x，
圆的半径是（6+2x+6+2x﹣6﹣2x）=x，
解得：x=3，
2x=6，
∴P2（6，0），
故答案为：（6﹣12，0）或（6，0）．
点评：本题主要考查对三角形的内切圆与内心，切线长定理，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，正方形的性质和判定等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
22、如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A、B，交y轴于C，若在此抛物线上存在P，使△PAC的内心在x轴上，则点P的坐标为 （6，21） ．21世纪教育网
考点：抛物线与x轴的交点；三角形的内切圆与内心。
分析：易得x轴应是∠PAC的角平分线．根据相等的锐角三角函数以及抛物线的解析式列方程求解即可．
解答：解：y=0时，A（﹣1，0），B（3，0）
x=0时，C（0，﹣3）
∵三角形的内心在x轴上
∴∠PAB=∠BAC
作PD⊥x轴于D，设P（x，y）
∴AD=x+1，PD=y
∵tan∠CAO=3
∴tan∠BAP=321cnjy
∴y=3（x+1）
∵y=x2﹣2x﹣3
解得：x=6或x=﹣1（不符合题意，应舍去）．
当x=6时，y=21，∴点P的坐标为（6，21）．
点评：用到的知识点为：三角形的内心是三角形内角平分线的交点；相等角的正切值相等．
23、在直角三角形ABC中，∠C=90°，I是△ABC的三条内角平分线的交点，过I作ID⊥AB于D，若BD=m，AD=n，那么△ABC的面积为 mn ．
考点：三角形的面积；三角形的内切圆与内心。
专题：计算题。21世纪教育网
分析：I是内心，设内切圆半径为r，利用三角形的内切圆与内心的性质，S△ABC=（m+n）r+r2，再用勾股定理，将等式化简即可得出答案．
解答：解：I是内心，设内切圆半径为r，
2S△ABC=（m+n+m+r+n+r）r=2（m+n）r+2r2，
∴S△ABC=（m+n）r+r2，
三直角边长分别为m+n，m+r，n+r，
由勾股定理得到：（m+r）2+（n+r）2=（m+n）2，
∴（m+n）r+r2=mn，
∴S△ABC=mn．21世纪教育网
故填：mn．
点评：本题中点到三边的距离就是直角三角形的内切圆的半径长，内切圆的半径=．
25、在△ABC中，∠A=70°，若O为△ABC的外心，则∠BOC= 140 度；若O为△ABC的内心，则∠BOC= 125 度．
考点：三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心。
分析：本题应分为两种情况来讨论：21cnjy
当O为△ABC的外心时，根据圆周角定理，即可求解；
当O为△ABC的内心时，根据内心是角平分线的交点，再结合三角形的内角和定理即可求解．
解答：解：如图一，点O是三角形的外心．
根据圆周角定理，得
∠BOC=2∠A=140°；
如图二，点O是三角形的外心．
∴BO、CO平分∠ABC、∠ACB，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣（∠ABC+∠ACB）
=180°﹣（180°﹣∠A）
=90°+∠A21世纪教育网
=125°，
故答案为140°，125°．
点评：注意：若O是三角形的外心，∠A是锐角，则∠BOC=2∠A；∠A是钝角，则∠BOC=180°﹣2∠A．
若O是三角形的内心，则∠BOC=90°+∠A．
三、解答题（共5小题）
26、如图，⊙O是△ABC的内切圆，AB与⊙O切于点D，AC与⊙O切于点E，BO与DE交于点X，CO与DE交于点Y，点Z是BC中点．
（1）求证：O、E、X、C四点共圆；21cnjy
（2）若∠A=60°，求证：△XYZ是等边三角形．
考点：四点共圆；三角形的内切圆与内心。
专题：综合题。
分析：（1）结合图形，发现：只要能够证明∠EXO=∠ECO即可．根据三角形的内角和定理以及三角形的内心的定义即可证明；
（2）根据切线的性质，得XE⊥AC．根据（1）中的四点共圆，得∠OXC=∠OEC=90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得XZ=BZ；进而根据等边对等角和∠ABX=∠CBX，所以得∠ABX=∠BXZ，则XZ∥AB，所以得∠YXZ=∠ADE；根据切线长定理知AD=AE，则三角形ADE是等边三角形，则∠ADE=60°．同理∠ZYX=∠AED=60°．则可知三角形XYZ是等边三角形．
点评：综合运用了切线长定理、三角形的内心的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定和性质．
27、⊙O2与⊙O1交于A，B两点，射线O1A交⊙O2于C点，射线O2A交⊙O1于D点．求证：点A是△BCD的内心．
考点：四点共圆；圆周角定理；确定圆的条件；三角形的内切圆与内心。
专题：证明题。
分析：首先作辅助线延长CA交⊙O1于M点，延长DA交⊙O2于N点，连接AB、DM、CN、MN，证出C、D、M、N四点共圆，再推出点A在∠DBC的角平分线上，同理点A也在∠DCB和∠CDB的角平分线上，即可得出答案．
解答：证明：设两圆为⊙O、⊙Q，如图
延长CA交⊙O1于M点，延长DA交⊙O2于N点，连接AB、DM、CN、MN，
∵AM是⊙O1的直径，AN是⊙O2的直径，
∴∠MDN=∠ACN=90°，21cnjy
∴C、D、M、N四点共圆，
∴∠DMC=∠DNC，
∵∠DMC=∠DBA，∠DNC=∠ABC，
∴∠DBA=∠ABC，
∴点A在∠DBC的角平分线上，
∵C、D、M、N四点共圆，
∴∠DCM=∠DNM，
∵∠DNM=∠ACB，
∴∠DCM=∠ACB，
∴点A在∠DCB的角平分线上，21世纪教育网
同理：点A在∠CDB的角平分线上，
∴点A是△CDB的三个角平分线的交点，
∴点A是△BCD的内心．
点评：本题主要考查了四点共圆，圆周角定理，三角形的内切圆和内心，确定圆的条件等知识点，作辅助线证C、D、M、N四点共圆是解此题的关键．
28、如图，已知直线l经过点D（﹣1，4），与x轴的负半轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，且直角△AOB的内切圆的面积为π，求直线l对应的一次函数的表达式．
∴N点横坐标与G点横坐标相同，是﹣1，
又∵直线AB经过点D（﹣1，4），
∴点N与点D重合．
∴MN=NG﹣MG=4﹣1=3．21世纪教育网
在RT△MNF中，MN=3，MF=1，
由勾股定理，可知FN=2．
∴sin∠FNM=，tan∠FNM==．
过点F作FP⊥OB于P，交GN于H，则FP=FH+HP=FH+ME=FH+1，HG=HM+MG=HM+1．
在Rt△HNF中，∠FHN=90°，FN=2，sin∠FNH=，
∴FH=FN?sin∠FNH=，
∴FP=+1=；
在RT△MHF中，∠FHN=90°，FH=，tan∠MFH=tan∠FNM=，
∴HM=FH?tan∠MFH=×=，
∴HG=+1=，21cnjy
∴点F的坐标为（﹣，）．
设直线l的解析式为y=kx+b．
∵直线l经过点D（﹣1，4），点F（﹣，），
∴，
解得．
故所求直线l的解析式为y=2x+4+2．
点评：本题主要考查了直角三角形内切圆半径的求法，切线的性质，正方形的判定与性质，解直角三角形及运用待定系数法求一次函数的解析式，综合性较强，有一定难度．
29、已知直线l过点P（2，1），分别与x轴、y轴交于点A、B，且PA=PB．
（1）求直线l的函数解析式；21世纪教育网
（2）设⊙Q是Rt△AOB的内切圆，分别与OA、OB、AB相切于点D、E、F，求证：AD、BE的长是方程x2﹣2x+4=0的两个根．
考点：待定系数法求一次函数解析式；解一元二次方程-公式法；根与系数的关系；三角形的内切圆与内心。
分析：（1）根据点A（4，0）与P（2，1），利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）利用直角三角形内切圆的半径求法，得出AD，BE的长度，再利用根与系数关系得出即可．
（2）由（1）知，在Rt△AOB中，AO=4，BO=2，AB=2，
∵⊙Q是Rt△AOB的内切圆，
∴AD=AF，BE=BF，OD=OE，
∴AD+BE=AF+BF=AB=2，
∴在直角三角形中，内切圆半径r与三边长的关系有：
OD=，（即r=，
=，21世纪教育网
=3﹣，
则AD=AO﹣OD=4﹣（3﹣）=1+，
BE=BO﹣OE=2﹣（3﹣）=﹣1，
∴AD?BE=（+1）（﹣1）=4，
由根与系数的关系得出AD、BE的长是方程x2﹣2x+4=0的两个根．
点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及直角三角形内切圆半径求法和根与系数关系，根据已知得出AD，BE的长度是解题关键．
30、已知A（5，0），点B在第一象限内，并且AB与直线l：平行，AB长为8．
（1）求点B的坐标．21cnjy
（2）点P是直线l：上的动点，求△PAB内切圆的最大面积．
考点：一次函数综合题；三角形的内切圆与内心。
专题：综合题。
分析：（1）首先求得直线AB的解析式，然后设出B点的坐标构造直角三角形并利用勾股定理得到有关B点的坐标的方程，求得B点的坐标即可；
（2）根据AB=8，以及直线l和点A的位置，求出三角形ABP的面积，利用三角形与内切圆关系是：r=（2×三角形面积）÷三角形周长（a+b+8），再根据a+b＞8找r的最大值后求得最大面积即可．
解答：解：（1）∵AB与直线l：平行，
∴设直线AB的解析式为：+b，
∵A（5，0），
∴0=×5+b，
解得：b=﹣，21世纪教育网
∴直线AB的解析式为：y=，
设B点的坐标为：（x0，），
作BD⊥x轴于D点，
∴BD=
AD=x0﹣5，
∵AB长为8．
∴（）2+（x0﹣5）2=82，
解得：x0=9，
∴=3，
∴点B的坐标为：（11.4，4.8）
21cnjy
（2）过A点作DA⊥x轴交直线L与D点，作AC⊥OD于C点，
∵点C、D在直线l：上，
∴AC：CO=3：4，
∵OA=5，
∴AC=3，
∴S△PAB=AB?AC=×8×3=12，
∴r=，
∵△PAB周长最小时，r最大，
∴过B作点B关于直线l的对称点B′，则BB′=3×2=6，
∴AB′=10，
a+b+8=18，
∴最大r==，21世纪教育网
∴△PAB内切圆的最大面积为：π．
点评：本题考查了一次函数的综合知识及三角形的内切圆的半径与三边和面积之间的关系，是一道综合性较强的题目．
