一、选择题（共8小题）
1、如图正方形ABCD中，以D为圆心，DC为半径作弧与以BC为直径的⊙O交于点P，⊙O交AC于E，CP交AB于M，延长AP交⊙O于N，下列结论：①AE=EC；②PC=PN；③EP⊥PN；④ON∥AB，其中正确的是（ ）
A、①②③④ B、①②③
C、①②④ D、①③④
2、下面说法中错误的是（ ）21*cnjy*com
A、垂直于半径的直线与圆相切 B、切线垂直于过切点的半径
C、边数相同的正多边形都相似 D、正多边形是轴对称图形
3、下列说法中正确的是（ ）
A、垂直于半径的直线是圆的切线
B、圆的切线垂直于半径
C、经过半径的外端的直线是圆的切线
D、圆的切线垂直于过切点的半径
4、已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙O半径为R，AD是△ABC的高，E是的中点，EF与⊙O切于E，交AC的延长线于F，则下列结论：
①AC?AB=2R?AD； ②EF∥BC； ③CF?AC=EF?CM； ④．
其中正确的结论是（ ）
A、①②③ B、①③④21cnjy
C、②③④ D、①②③④
5、已知OA平分∠BOC，P是OA上一点，以P为圆心的⊙P与OC相切，则⊙P与OB的位置关系为（ ）
A、相离 B、相切
C、相交 D、不能确定
6、如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（ ）秒钟后⊙P与直线CD相切．
A、4 B、8
C、4或6 D、4或821*cnjy*com
7、如图，线段AB是⊙O的直径，⊙O交线段BC于D，且D是BC中点，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论正确的个数是（ ）
①CE?CA=CD?CB；②∠EDA=∠B；③OA=AC；④DE是⊙O的切线；⑤AD2=AE?AB．
A、2个 B、3个
C、4个 D、5个
8、下列说法中，正确的是（ ）
A、圆的切线垂直于经过切点的半径 B、垂直于切线的直线必经过切点
C、垂直于切线的直线必经过圆心 D、垂直于半径的直线是圆的切线
二、填空题（共5小题）
9、三等分角仪﹣﹣把材料制成如图所示的阴影部分的形状，使AB与半圆的半径CB、CD相等，PB垂直于AD．这便做成了“三等分角仪”．如果要把∠MPN三等分时，可将三等分角仪放在∠MPN上，适当调整它的位置，使PB通过角的顶点P，使A点落在角的PM边上，使角的另一边与半圆相切于E点，最后通过B、C两点分别作两条射线PB、PC，则∠MPB=∠BPC=∠CPN．请用推理的方法加以证明．21cnjy
10、已知：Rt△ABC中，AC⊥BC，CD为AB边上的中线，AC=6cm，BC=8cm；点O是线段CD边上的动点（不与点C、D重合）；以点O为圆心、OC为半径的⊙O交AC于点E，EF⊥AB于F．
（1）求证：EF是⊙O的切线．（如图1）
（2）请分析⊙O与直线AB可能出现的不同位置关系，分别指出线段EF的取值范围．（图2供思考用）
21*cnjy*com
11、如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆⊙O于D，过D作DE∥BC，交AC的延长线于E点．①则直线DE与⊙O的位置关系是 _________ ；②若AB=4，AD=6，CE=3，则DE= _________ ．
12、如图，正方形ABCD的边长为2，⊙O的直径为AD，将正方形沿EC折叠，点B落在圆上的F点，则BE的长为 _________ ．
13、如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，延长AB到D，连接CD．请你结合图形，编写一道题．要求：再补充两个已知条件，并写出在所有已知条件下得出的一个结论．例如：21cnjy
“补充已知：OB=BD，CD切⊙O于点C，求证：∠A=∠D”
“补充已知： _________ ．
求证： _________ ．”
三、解答题（共17小题）
14、如图，在直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为直径的⊙C与AB交于点D，DE与⊙C相切交x轴于点E，且 OA=12cm，∠OAB=30°．
（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；21*cnjy*com
（2）过点B作BG⊥EC于 F，交x轴于点G，求BD的长及点F的坐标；
（3）设点P从点A开始沿A→B→G的方向以4cm/s的速度匀速向点G移动，点Q同时从点A开始沿AG匀速向点G移动，当四边形CBPQ为平行四边形时，求点Q的移动速度．
15、如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上的一点，AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=50mm，AP=80mm．
（1）判断△APB是什么三角形，证明你的结论；
（2）比较DP与PC的大小；
（3）画出以AB为直径的⊙O，交AD于点E，连接BE与AP交于点F，求tan∠AFE的值；
（4）点O′在线段AB上移动，以O’为圆心作⊙O′，使⊙O′与边AP相切，切点为M，设⊙O′的半径为m，当m为何值时，⊙O′与AP、BF都相切？21cnjy
16、在边长为1的正方形ABCD中，以点A为圆心，AB为半径作圆，E是BC边上的一个动点（不运动至B，C），过点E作弧BD的切线EF，交CD于F，H是切点，过点E作EG⊥EF，交AB于点G，连接AE．
（1）求证：△AGE是等腰三角形；
（2）设BE=x，△BGE与△CEF的面积比，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；21*cnjy*com
（3）在BC边上（点B、C除外）是否存在一点E，使得GE=EF，若存在，求出此时BE的长，若不存在，请说明理由．
17、如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，∠BOE=60°，cosC=，BC=2．
（1）求∠A的度数；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）求MD的长度．
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18、如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）求证：FD=FG．
（3）若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．
19、如图，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，过点D作OA的平行线交⊙O于点C，AC与BD的延长线相交于点E．21cnjy
（1）试探究A E与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）已知EC=a，ED=b，AB=c，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O的半径r的一种方案：①你选用的已知数是 _________ ；②写出求解过程．（结果用字母表示）
20、如图，AB为⊙O的直径，AB=4，点C在⊙O上，CF⊥OC，且CF=BF．
（1）证明BF是⊙O的切线；21*cnjy*com
（2）设AC与BF的延长线交于点M，若MC=6，求∠MCF的大小．
21、在Rt△AFD中，∠F=90°，点B、C分别在AD、FD上，以AB为直径的半圆O 过点C，连接AC，将△AFC 沿AC翻折得△AEC，且点E恰好落在直径AB上．
（1）判断：直线FC与半圆O的位置关系是 _________ ；并证明你的结论．
（2）若OB=BD=2，求CE的长．21cnjy
22、如图，已知O为原点，点A的坐标为（5.5，4），⊙A的半径为2．过A作直线l平行于x轴，交y轴于点B，点P在直线l上运动．
（1）设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由；
（2）设点P的横坐标为a，请你求出当直线OP与⊙A相切时a的值．
（参考数据：，）
23、如图，AB是半圆O的直径，点C是⊙O上一点（不与A，B重合），连接AC，BC，过点O作OD∥AC交BC于点D，在OD的延长线上取一点E，连接EB，使∠OEB=∠ABC．21*cnjy*com
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若OA=10，BC=16，求BE的长．
24、已知AB是⊙O的直径，弦AC平分∠BAD，AD⊥CD于D，BE⊥CD于E．
求证：（1）CD是⊙O的切线；
（2）CD2=AD?BE．
25、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为的中点．
（1）求证：BC与⊙O相切；21cnjy
（2）当AD=，∠CAD=30°时．求的长．
26、如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．
（1）求证：BC是⊙O的切线；21*cnjy*com
（2）已知∠B=28°，⊙O的半径为6，求线段AD的长．（结果精确到0.1）
27、如图，已知：△ABC是⊙O的内接三角形，D是OA延长线上的一点，连接DC，且∠B=∠D=30°．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC=6，求图中弓形（即阴影部分）的面积．
28、如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）当AB=2BE，且CE=时，求AD的长．
29、如图，已知AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E的直线EF与AB的延长线交于点F，AC⊥EF，垂足为C，AE平分∠FAC．
（1）求证：CF是⊙O的切线；21cnjy
（2）∠F=30°时，求的值？
30、如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D．
（1）判断CD与⊙O的位置关系并说明理由；21*cnjy*com
（2）若∠ACB=120°，OA=2．求CD的长．
答案与评分标准
一、选择题（共8小题）
1、如图正方形ABCD中，以D为圆心，DC为半径作弧与以BC为直径的⊙O交于点P，⊙O交AC于E，CP交AB于M，延长AP交⊙O于N，下列结论：①AE=EC；②PC=PN；③EP⊥PN；④ON∥AB，其中正确的是（ ）
A、①②③④ B、①②③
C、①②④ D、①③④21*cnjy*com
考点：圆周角定理；平行线的判定；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；正方形的性质；切线的判定与性质。
分析：连接DP，并延长交AB于Q，连接OP、OD；由于弧APC是以D为圆心、DC为半径，所以DC=DP，而OC、OP都是⊙O的半径，即可证得△DOC≌△DOP，由此可证得DP⊥OP，即DQ切⊙O于点P，然后根据这个条件来判断各选项是否正确．
③连接OE，由于O、E分别是AC、BC的中点，
所以OE是△ABC的中位线，得OE∥AB；
由④得ON∥AB，故N、O、E三点共线，
所以NE是⊙O的直径，连接EP，由圆周角定理可知EP⊥AN；
故③正确；
所以正确的结论是①③④，故选D．
点评：此题考查的知识点有：正方形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、切线的判定和性质、平行线的判定、三角形中位线定理等知识的综合应用，能够判断出DP是⊙O的切线是解决此题的关键，难度较大．
2、下面说法中错误的是（ ）21*cnjy*com
A、垂直于半径的直线与圆相切 B、切线垂直于过切点的半径
C、边数相同的正多边形都相似 D、正多边形是轴对称图形
考点：切线的判定与性质；轴对称图形；相似多边形的性质。
分析：根据切线的判定定理及性质、相似形的定义判、轴对称图象的定义判断．
解答：解：A、经过半径的外端，垂直于半径的直线与圆相切．故此选项错误；
B、根据切线的性质判断为正确；
C、根据相似形的定义判断为正确；
D、根据轴对称图象的定义判断为正确．
故选A．
点评：此题主要考查有关定理和定义．只有认真理解定义和定理，才能正确运用．
3、下列说法中正确的是（ ）
A、垂直于半径的直线是圆的切线 B、圆的切线垂直于半径
C、经过半径的外端的直线是圆的切线 D、圆的切线垂直于过切点的半径
考点：切线的判定与性质。
分析：根据圆的切线的性质定理和判定定理可得．
解答：解：根据圆的切线的性质定理得：圆的切线垂直于经过切点的半径；
切线的判定定理得：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线．
故选D．
点评：考查了圆的切线的性质定理和判定定理．21cnjy
4、已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙O半径为R，AD是△ABC的高，E是的中点，EF与⊙O切于E，交AC的延长线于F，则下列结论：
①AC?AB=2R?AD； ②EF∥BC； ③CF?AC=EF?CM； ④．
其中正确的结论是（ ）
A、①②③ B、①③④
C、②③④ D、①②③④21*cnjy*com
②如图1，连接OE，
∵EF为⊙O的切线，E为切点，∴OE⊥EF，
又∵E是的中点，∴OE⊥BC，21cnjy
∴EF∥BC，②正确；
③如图2，连接CE，
∵EF∥BC，∴∠ACM=∠F，
由弦切角定理可知∠CAE=∠FEC，∴△ACM∽△EFC，
∴=，即CF?AC=EF?CM，③正确；
④如图2，过M点分别作MP⊥AC，MQ⊥AB，垂足为P，Q，
∵E是的中点，∴AE平分∠BAC，∴MP=MQ，
又∠F=∠PCM，∴在Rt△PCM中，sin∠PCM=sinF=，21*cnjy*com
在Rt△BDQ中，sinB=，
∴=，④正确．故选D．
点评：本题考查了切线的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，锐角三角函数的定义．关键是通过作辅助线，将问题转化到直角三角形中求解．
5、已知OA平分∠BOC，P是OA上一点，以P为圆心的⊙P与OC相切，则⊙P与OB的位置关系为（ ）
A、相离 B、相切
C、相交 D、不能确定
点评：本题考查切线的判定和性质，并结合角平分线的性质而解得．
6、如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（ ）秒钟后⊙P与直线CD相切．21*cnjy*com
A、4 B、8
C、4或6 D、4或8
7、如图，线段AB是⊙O的直径，⊙O交线段BC于D，且D是BC中点，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论正确的个数是（ ）
①CE?CA=CD?CB；②∠EDA=∠B；③OA=AC；④DE是⊙O的切线；⑤AD2=AE?AB．
A、2个 B、3个21cnjy
C、4个 D、5个
考点：切线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。
专题：综合题。
分析：由DE与AC垂直，得到三角形CDE为直角三角形，而由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为90°，得到AD与BC垂直，又D为BC中点，进而得到AD垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质得到AC与AB相等，故三角形ABC不是直角三角形，所以三角形CDE与ABC不相似，CE?CA与CD?CB不相等，选项①错误；由O为AB中点，得到AO为AB的一半，故AO为AC的一半，选项③正确；由OD为三角形ABC的中位线，根据三角形的中位线定理得到OD与AC平行，由AC与DE垂直得到OD与DE垂直，即∠ODE为90°，故DE为圆O的切线，选项④正确；由两对对应角相等得到三角形ADE与三角形ACD相似，根据对应边成比例得到选项⑤正确，从而得到所有正确选项的个数．
∴OA=AC，选项③正确；
∵∠DAC=∠EAD，∠DEA=∠CDA=90°，
∴△ADE∽△ACD，
∴=，即AD2=AE?AB，选项⑤正确；
则正确结论的个数为4个．
故选C．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，及三角形的中位线定理．证明切线时连接OD是解这类题经常连接的辅助线．
8、下列说法中，正确的是（ ）21cnjy
A、圆的切线垂直于经过切点的半径 B、垂直于切线的直线必经过切点
C、垂直于切线的直线必经过圆心 D、垂直于半径的直线是圆的切线
考点：切线的判定与性质。
专题：应用题。
分析：根据切线的性质和切线的判定定理，对每个选项分析、判定即可．
解答：解：A、圆的切线垂直于经过切点的半径；故本选项正确；
B、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；故本选项错误；21*cnjy*com
C、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；故本选项错误；
D、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；故本选项错误；
故答案为A．
点评：本题考查了切线的判定与性质，要熟记切线的性质和切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
二、填空题（共5小题）
9、三等分角仪﹣﹣把材料制成如图所示的阴影部分的形状，使AB与半圆的半径CB、CD相等，PB垂直于AD．这便做成了“三等分角仪”．如果要把∠MPN三等分时，可将三等分角仪放在∠MPN上，适当调整它的位置，使PB通过角的顶点P，使A点落在角的PM边上，使角的另一边与半圆相切于E点，最后通过B、C两点分别作两条射线PB、PC，则∠MPB=∠BPC=∠CPN．请用推理的方法加以证明．21cnjy
10、已知：Rt△ABC中，AC⊥BC，CD为AB边上的中线，AC=6cm，BC=8cm；点O是线段CD边上的动点（不与点C、D重合）；以点O为圆心、OC为半径的⊙O交AC于点E，EF⊥AB于F．
（1）求证：EF是⊙O的切线．（如图1）
（2）请分析⊙O与直线AB可能出现的不同位置关系，分别指出线段EF的取值范围．（图2供思考用）
（2）解：∵△AEF∽△ABC，
∴=，
即=，
设EF=x，则AE=x．
∵OE⊥FE，FE⊥AB，
∴OE∥AD，
∴==，
即=
∴OE=5﹣x．
过点O作OG⊥AB，则四边形OEFG为矩形．
①当EF=OE时，圆O与AB相切，21cnjy
x=5﹣x，x=，
②当EF＜OE时，AB与圆O相交，
x＜5﹣x，x＜，
③当EF＞OE时，AB与圆O相离，
x＞5﹣x，5≥x＞．
点评：本题考查了切线的判定和性质、直角三角形斜边的中线、勾股定理、直线和圆的位置关系，注意分类思想的使用．
11、如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆⊙O于D，过D作DE∥BC，交AC的延长线于E点．①则直线DE与⊙O的位置关系是 相切 ；②若AB=4，AD=6，CE=3，则DE= 3 ．
考点：切线的判定与性质。21cnjy
专题：计算题。
分析：①连OD，根据内心的性质得到∠BAD=∠DAE，再根据圆周角的推论得到弧DB=弧DC，利用垂径定理得到OD⊥BC，而DE∥BC，
即可得到OD⊥DE；
②连BD，DC，由BC∥DE，得到∠E=∠ACB，∠BCD=∠CDE，根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACB=∠ADB，∠BCD=∠BAD，因此21*cnjy*com
∠E=∠ADB，∠CDE=∠BAD，得到△CDE∽△BAD，则==，而AB=4，AD=6，CE=3，BD=DC，先计算出CD，再计算出DE．
而AB=4，AD=6，CE=3，BD=DC，
∴==，
∴DC=2，则DE=3．
故答案为：相切；3．
21cnjy
点评：本题考查了圆的切线的判定方法：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了平行线的性质和圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质．
12、如图，正方形ABCD的边长为2，⊙O的直径为AD，将正方形沿EC折叠，点B落在圆上的F点，则BE的长为 ．
考点：切线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形。21*cnjy*com
专题：推理填空题。
点评：本题考查的是切线的判定与性质，根据三角形全等判定CF是圆的切线，然后由翻折变换，得到对应的角与对应的边分别相等，利用切线的性质结合直角三角形，运用勾股定理求出线段的长．21cnjy
13、如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，延长AB到D，连接CD．请你结合图形，编写一道题．要求：再补充两个已知条件，并写出在所有已知条件下得出的一个结论．例如：
“补充已知：OB=BD，CD切⊙O于点C，求证：∠A=∠D”
“补充已知： 条件：∠A=∠D，CD是⊙O的切线． ．
求证： 结论：的度数为60° ．”
点评：本题是一道开放题，条件、结论、过程全开放，要有一定的知识积累方可正确解答．
三、解答题（共17小题）
14、如图，在直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为直径的⊙C与AB交于点D，DE与⊙C相切交x轴于点E，且 OA=12cm，∠OAB=30°．
（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；21cnjy
（2）过点B作BG⊥EC于 F，交x轴于点G，求BD的长及点F的坐标；
（3）设点P从点A开始沿A→B→G的方向以4cm/s的速度匀速向点G移动，点Q同时从点A开始沿AG匀速向点G移动，当四边形CBPQ为平行四边形时，求点Q的移动速度．
∴，
∴，
∴可得直线AB的解析式为：．
（2）连接CD，过F作FM⊥x轴于点M，则CB=CD．
∵∠OBA=90°﹣∠A=60°，
∴△CBD是等边三角形．
∴BD=CB=OB=6，
∠BCD=60°，∠OCD=120°．
∵OB是直径，OA⊥OB，
∴OA切⊙C于O．
∵DE切⊙C于D，
∴∠COE=∠CDE=90°，∠OEC=∠DEC．
∴∠OED=360°﹣∠COE﹣∠CDE﹣∠OCD=60°．
∴∠OEC=∠DEC=30°．21cnjy
∴CE=2 CO=12．
∴在Rt△COE中，由勾股定理OE=．
∵BG⊥EC于F，
∴∠GFE=90°．
∵∠GBO+∠BGO=∠OEC+∠BGO，
∴∠GBO=∠OEC=30°．
故可得FC=BC=3，EF=FC+CE=15，
FM=EF=，ME=FM=．
∴MO=．
∴F（，）．
（3）设点Q移动的速度为vcm/s．
（ⅰ）当点P运动到AB中点，点Q运动到AO中点时，PQ∥BC，且PQ=BC，此时四边形CBPQ为平行四边形，点Q与点E重合．
．
∴（cm/s）．21*cnjy*com
（ⅱ） 当点P运动到BG中点，点Q运动到OG中点时，
PQ∥BC，PQ=BC，此时四边形CBPQ为平行四边形．
可得，BG=．从而PB=，OQ=．
∴．
∴（cm/s）．
∴点Q的速度为cm/s或cm/s．
21cnjy
点评：此题主要考查了一次函数的综合应用以及平行四边形的性质和勾股定理的应用，根据已知点P运动的位置进行分类讨论得出是解题关键．
15、如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上的一点，AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=50mm，AP=80mm．
（1）判断△APB是什么三角形，证明你的结论；
（2）比较DP与PC的大小；
（3）画出以AB为直径的⊙O，交AD于点E，连接BE与AP交于点F，求tan∠AFE的值；
（4）点O′在线段AB上移动，以O’为圆心作⊙O′，使⊙O′与边AP相切，切点为M，设⊙O′的半径为m，当m为何值时，⊙O′与AP、BF都相切？21*cnjy*com
解答：解：（1）直角三角形，
证明：∵平行四边形ABCD，21cnjy
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB=∠DAB，∠PBA=∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=90°，
∴∠APB=180°﹣90°=90°，
∴△APB是直角三角形．
（2）相等，
理由是：∵平行四边形ABCD，21*cnjy*com
∴DC∥AB，AD=BC，
∴∠DPA=∠PAB，∠CPB=∠PBA，
∵AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB=∠DAP，∠PBC=∠PBA，
∴∠DPA=∠DAP，∠CPB=∠CBP，
∴DP=AD，CP=BC，
∴DP=CP．
（4）∵AP=80，AB=2AD=100，
在△APB中，由勾股定理得：BP=60，
过P作PH⊥AB于H，
由三角形的面积公式得：AP×BP=AB×PH，
∴PH=48，21*cnjy*com
由平行四边形的面积公式得：AD×BE=AB×PH，
BE=96，
在△ABE中，由勾股定理得：AE==26，
∵tan∠AFE=，
∴tan∠EAF=tan∠FAB=，
∴=，
∵O′M=m，
∴AO′=m，
BO′=100﹣m，
过O′作O′N⊥BF于N，
则O′N=m，
∵O′N∥AE，
∴=，
∴=，21cnjy
解得：m=18，
答：m为18时，⊙O′与AP、BF都相切．
点评：本题综合考查了对平行四边形的性质，锐角三角函数，三角形的面积，勾股定理，切线的性质和判定，角平分线定义，三角形的内角和定理等知识点的应用，此题综合性比较强，有一定的难度，对学生提出较高的要求，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．
16、在边长为1的正方形ABCD中，以点A为圆心，AB为半径作圆，E是BC边上的一个动点（不运动至B，C），过点E作弧BD的切线EF，交CD于F，H是切点，过点E作EG⊥EF，交AB于点G，连接AE．
（1）求证：△AGE是等腰三角形；
（2）设BE=x，△BGE与△CEF的面积比，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；21*cnjy*com
（3）在BC边上（点B、C除外）是否存在一点E，使得GE=EF，若存在，求出此时BE的长，若不存在，请说明理由．
（3）假设BC上存在一点E，能使GE=EF，则，根据（2）可以得到，解此方程求出x，然后结合已知条件就可以判断E点是否存在．
解答：解：（1）连AH，
∵AH⊥EF，GE⊥EF，
∴GE∥AH，
∴∠GEA=∠EAH，
∵AH=AB，AE=AE，∠ABE=∠AHB，
∴△AHE≌△ABE，
∴∠BAE=∠EAH，
∴∠BAE=∠GEA，21cnjy
∴AG=EG，即△AGE是等腰三角形．
（3）假设BC上存在一点E，能使GE=EF，
则，
∴，解得x=0或x=1，经检验x=0或x=1是原方程的解但动点E不能与B，C点重合，
故x≠0且x≠1，
∴BC边上符合条件的E点不存在．
21cnjy
点评：此题把圆的知识放在正方形的背景中，然后把等腰三角形，相似三角形，求函数关系式及自变量与函数值等知识结合起来，综合性很强，学生要有比较好的解决问题的能力．
17、如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，∠BOE=60°，cosC=，BC=2．
（1）求∠A的度数；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）求MD的长度．
（3）∵点M是的中点，21cnjy
∴OM⊥AE．（1分）
在Rt△ABC中，∵BC=2，
∴AB=BC?tan60°=2×=6．（2分）
∴OA==3，
∴OD=OA=，
∴MD=．（3分）
点评：本题综合考查了三角函数的知识、切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．21cnjy
18、如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）求证：FD=FG．
（3）若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．
解答：解：（1）如右图所示，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵∠MAC=∠ABC，
∴∠CAB+∠MAC=90°，
即∠MAB=90°，
∴MN是半圆的切线．
（2）证明：∵DE⊥AB，
∴∠EDB+∠ABD=90°，21cnjy
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CBG+∠BGC=90°
∵D是弧AC的中点，
∴∠CBD=∠ABD，
∴∠EDB=∠BGC，
∵∠DGF=∠BGC，
∴∠EDB=∠DGF，
∴DF=FG．
（3）∵DF=FG，
∴∠DGF=∠FDG，
∵∠DGF+∠DAG=90°，∠FDG+∠ADF=90°，
∴∠DAF=∠ADF，
∴AF=DF=GF，
∴S△DGF=S△ADG，
∵△BCG∽△ADG，
∴=，
∵△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，
∴S△BCG=16．
答：△BCG的面积是16．
点评：本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，切线的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．21*cnjy*com
19、如图，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，过点D作OA的平行线交⊙O于点C，AC与BD的延长线相交于点E．
（1）试探究A E与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）已知EC=a，ED=b，AB=c，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O的半径r的一种方案：①你选用的已知数是 a、b、c ；②写出求解过程．（结果用字母表示）
（2）①选择a、b、c，或其中2个．
②解答举例：
若选择a、b、c
方法一：由CD∥OA，，得．21cnjy
方法二：在Rt△ABE中，由勾股定理（b+2r）2+c2=（a+c）2，
得．
方法三：由Rt△OCE∽Rt△ABE，，得．
若选择a、b
方法一：在Rt△OCE中，由勾股定理：a2+r2=（b+r）2，得；
方法二：连接BC，由△DCE∽△CBE，得．21cnjy
若选择a、c；需综合运用以上多种方法，得．
点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．21*cnjy*com
20、如图，AB为⊙O的直径，AB=4，点C在⊙O上，CF⊥OC，且CF=BF．
（1）证明BF是⊙O的切线；
（2）设AC与BF的延长线交于点M，若MC=6，求∠MCF的大小．
考点：直线与圆的位置关系；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质。
专题：应用题。
分析：（1）根据OB=OC，可得∠BCO=∠CBO，再由FC=FB，得∠FCB=∠FBC，从而得出∠FBO=90°，即可证出结论；
（2）由∠MCF+∠ACO=90°，∠M+∠A=90°，可得CF=MF，易证△ACB∽△ABM，则．由勾股定理求得BM，根据三角函数得出∠MCF的大小．
解答：证明：连接OF．
（1）∵CF⊥OC，
∴∠FCO=90°．21cnjy
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠CBO．
∴∠BCO+∠FCB=∠CBO+∠FBC．
即∠FBO=∠FCO=90°．
∴OB⊥BF．
∵OB是⊙O的半径，
∴BF是⊙O的切线（2分）
（2）∵∠FBO=∠FCO=90°，
∴∠MCF+∠ACO=90°，∠M+∠A=90°．
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A．
∴∠FCM=∠M．（3分）
易证△ACB∽△ABM，
∴．
∵AB=4，MC=6，21*cnjy*com
∴AC=2（4分）
∴AM=8，BM==．
∴cos∠MCF=cosM==．
∴∠MCF=30°（5分）
点评：本题是一道综合题，考查了直线与圆的位置关系、切线的判定和性质和相似三角形的判定和性质等知识点，难度较大．21cnjy
21、在Rt△AFD中，∠F=90°，点B、C分别在AD、FD上，以AB为直径的半圆O 过点C，连接AC，将△AFC 沿AC翻折得△AEC，且点E恰好落在直径AB上．
（1）判断：直线FC与半圆O的位置关系是 相切 ；并证明你的结论．
（2）若OB=BD=2，求CE的长．
（2）在Rt△OCD中，cos∠COD=
∴∠COD=60°，
在Rt△OCD中，CE=OC?sin∠COD=．
21cnjy
点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系以及解直角三角形等知识，切线的判定定理是初中阶段最重要的定理之一同学们应熟练掌握．
22、如图，已知O为原点，点A的坐标为（5.5，4），⊙A的半径为2．过A作直线l平行于x轴，交y轴于点B，点P在直线l上运动．
（1）设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由；
（2）设点P的横坐标为a，请你求出当直线OP与⊙A相切时a的值．
（参考数据：，）
21*cnjy*com
（2）设直线OP与⊙A相切与点H
分两种情况
①当点P在线段AB上（即当点P在点A的左侧时），如图（1）所示
BP=a，AP=5.5﹣a，
∵∠APH=∠OPB，∠AHP=∠OBP=90°，∴△APH∽△OPB，∴，∴
得OP=11﹣2a
在Rt△OBP中，（11﹣2a）2=a2+42
解得a1=3，a2=（舍去）
②当点P在点A的右侧时，如图（2）所示
BP=a，AP=a﹣5.5，同理得△APH∽△OPB，∴，∴
得OP=2a﹣11
在Rt△OBP中，（2a﹣11）2=a2+4221cnjy
解得a1=3（舍去），a2=
∴当直线OP与⊙A相切时，a的值为3或
点评：本题是一道综合题，考查了直线和圆的位置关系、相似三角形的判定和性质以及切线的判定和性质，是中考压轴题，难度偏大．21*cnjy*com
23、如图，AB是半圆O的直径，点C是⊙O上一点（不与A，B重合），连接AC，BC，过点O作OD∥AC交BC于点D，在OD的延长线上取一点E，连接EB，使∠OEB=∠ABC．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若OA=10，BC=16，求BE的长．
考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）首先由AB是半圆O的直径可以得到∠ACB=90°，由OD∥AC利用平行线的性质可以得到∠EDB=90°，而∠OEB=∠ABC，由此可以证明∠ABC+∠DBE=90°，最后利用切线的判定即可证明题目的结论；
（2）首先利用勾股定理可以求出线段BC的长度，同时可以利用已知条件证明△ACB∽△OBE，然后利用相似三角形的性质和已知条件即可求解．
解答：（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OD∥AC，
∴∠EDB=90°，
∴∠OEB+∠DBE=90°，
而∠OEB=∠ABC，
∴∠ABC+∠DBE=90°，
∴∠ABE=90°，21cnjy
∴BE是⊙O的切线；
24、已知AB是⊙O的直径，弦AC平分∠BAD，AD⊥CD于D，BE⊥CD于E．
求证：（1）CD是⊙O的切线；
（2）CD2=AD?BE．21*cnjy*com
考点：切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：（1）连接OC．欲证CD是⊙O的切线，只需证明OC⊥CD即可；
（2）作辅助线（连接BC，延长AC交BE的延长线于M ）构建全等三角形△DAC≌△MCE，根据全等三角形的对应边相等知DC=EC；然后由相似三角形的判定定理AA判定△ADC∽△CEB，再由相似三角形的对应边成比例求得，即CD2=AD?BE．
解答：证明：（1）连接OC …（1分）
∴∠OAC=∠OCA
∵AC平分∠BAC
∴∠DAC=∠OAC
∴∠OCA=∠DAC …（2分）21cnjy
∴AD∥OC
∵AD⊥CD
∴OC⊥CD …（3分）
∴CD是⊙的切线 …（4分）
说明：本题还有其它证法，若正确合理得分．
点评：本题综合考查了切线的判定定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理．判定一条直线是圆的切线的三种方法：
（1）根据切线定义判定．即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线．
（2）根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．
（3）根据切线的判定定理来判定．
25、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为的中点．
（1）求证：BC与⊙O相切；21cnjy
（2）当AD=，∠CAD=30°时．求的长．
（2）连接DE，则∠ADE=90°．
∵∠OAD=∠ODA=∠CAD=30°，21cnjy
∴∠AOD=120°；
在Rt△ADE中，易求AE==4，
∴⊙O的半径r=2，
∴的长=．
点评：本题综合考查了解直角三角形、弧长的计算以及切线的判定与性质．在判定圆的切线时，一般情况下是作辅助线：连接圆心O与所求的线段和圆O的交点．
26、如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．
（1）求证：BC是⊙O的切线；21cnjy
（2）已知∠B=28°，⊙O的半径为6，求线段AD的长．（结果精确到0.1）
点评：本题考查了切线的判定和性质以及解直角三角形，是基础知识要熟练掌握．
27、如图，已知：△ABC是⊙O的内接三角形，D是OA延长线上的一点，连接DC，且∠B=∠D=30°．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC=6，求图中弓形（即阴影部分）的面积．
∵S扇形AOC==6π
∴S阴=S扇形AOC﹣S△AOC=6π﹣9
点评：本题考查了切线的判定与性质、解直角三角形；证明某一线段是圆的切线时，一般情况下是连接切点与圆心，通过证明该半径垂直于这一线段来判定切线．
28、如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）当AB=2BE，且CE=时，求AD的长．
21cnjy
（2）∵AB=2BO，AB=2BE，
∴BO=BE=CO，
设BO=BE=CO=x，
∴OE=2x，
在Rt△OCE中，
OC2+CE2=OE2
x2+（）2=（2x）2
∴x=1，
∴AE=3，∠E=30°，
∴AD=．21cnjy
点评：此题主要考查了切线的判定与性质，同时也利用了圆周角定理及勾股定理，首先利用切线的判定证明切线，然后利用切线的性质、勾股定理列出方程解决问题．
29、如图，已知AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E的直线EF与AB的延长线交于点F，AC⊥EF，垂足为C，AE平分∠FAC．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）∠F=30°时，求的值？
考点：切线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：（1）连接OE，根据角平分线的性质和等边对等角可得出OE∥AC，则∠OEF=∠ACF，由AC⊥EF，则∠OEF=∠ACF=90°，从而得出OE⊥CF，即CF是⊙O的切线；
（2）由OE∥AC，则△OFE∽△AFC，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，从而得出的值．21*cnjy*com
解答：（1）证明：连接OE，
∵AE平分∠FAC，
（2）∵∠OEF=90°，∠F=30°，
∴OF=2OE
又OA=OE，
∴AF=3OE，21cnjy
又∵OE∥AC，
∴△OFE∽△AFC，
∴==，
∴=，
∴=．
点评：本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理，是基础知识要熟练掌握．
30、如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D．
（1）判断CD与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若∠ACB=120°，OA=2．求CD的长．21*cnjy*com
（2）∵CA=CB，∠ACB=120°，21cnjy
∴∠DOC=60°
∴∠D=30°，
∵OA=2，
∴OC=2
∴CD==2
点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．
