锐角三角函数 课件
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课件55张PPT。28.1锐角三角函数（一）——正弦 、余弦 、正切问题1 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长. 思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？情
境
探
究 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝ 35m，求AB的长.所以 AB=2BC=70m，即需要准备70m长的水管。结论：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠A＝30°，解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠A＝30°，在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？ABC50m30mB 'C '结论：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠A＝30°， 即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 。 如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比 ，你能得出什么结论？ABC 综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°， 一般地，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？问题 当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值； 当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值.ABCA'B'C' 任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝90°，∠A＝∠A‘＝ ，那么 与 有什么关系．你能解释一下吗？由于∠C＝∠C’＝90°， ∠A＝∠A’＝ 所以Rt△ABC∽Rt△A’B’C’ 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．探究 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA， 即例如，当∠A＝30°时，我们有当∠A＝45°时，我们有cab对边斜边注意sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，记号里习惯省去角的符号“∠”；
sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与斜边的比；
sinA不表示“sin”乘以“A”。例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．ABC34(1)(2)试着完成图（2）2、在Rt△ABC中, ∠C=90°, ,
则sin∠A=___.1、如图，求sinA和sinB的值．3、如图，在△ABC中， AB=CB=5，sinA= ，求△ABC 的面积。1.锐角正弦的定义 在 中， ∠A的正弦：2、当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定。此时，其他边之间的比是否也随之确定？为什么？新知探索:1、你能将“其他边之比”用比例的式子表示出来吗？这样的比有多少？2、当锐角A确定时，∠A的邻边与斜边的比， ∠A的对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？交流并说出理由。 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°：锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的
余弦（cosine），记作cosA， 即锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的
正切（tangent），记作tanA， 即注意cosA，tanA是一个完整的符号，它表示∠A的余弦、正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；
cosA，tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的邻边与斜边的比、对边与邻边的比；
cosA不表示“cos”乘以“A”， tanA不表示“tan”乘以“A”例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，AB=3，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值．延伸：由上面的计算，你能猜想∠A，∠B的正弦、余弦值有什么规律吗？结论：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的余弦等于它余角的正弦。例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=6， ，求cosA和tanB的值．28.1锐角三角函数（二）——正弦 、余弦 、正切 锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，求
sinA、tanA的值．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°
∵设AC=15k，则AB=17k所以 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°1.求证：sinA=cosB，sinB=cosA2.求证：3.求证： 在Rt△ABC中，如果各边长都扩大2倍，那么锐角A的正弦值、余弦值和正切值有什么变化？解：在Rt△ABC中，∠C＝90°
设各边长分别为a、b、c，∠A的三个三角函数分别为则扩大2倍后三边分别为2a、2b、2c如图，Rt△ABC中， ∠C=90度，因为0＜sinA ＜1, 0＜sinB ＜1, tan A＞0, tan B＞0 0＜cosA ＜1, 0＜cosB ＜1,所以，对于任何一个锐角α ，有
0＜sin α ＜1，
0＜cos α ＜1，
tan α ＞0，练习
1、在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.D补充练习2、如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC=12，AB=13，∠BCM=∠BAC，求sin∠BAC和点B到直线MC的距离．
3、如图所示，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，
求证：28.1锐角三角函数（3） AB C∠A的对边a∠A的邻边b斜边c 请同学们拿出自己的学习工具——一副三角尺，思考并回答下列问题：1、这两块三角尺各有几个锐角？它们分别等于多少度？2、每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系？如果设每块三角尺较短的边长为1，请你说出未知边的长度。30°60°45°121145°新知探索:30°角的三角函数值sin30°=cos30°=tan30°=cos45°=tan45°=sin45°=新知探索:45°角的三角函数值sin60°=cos60°=tan60°=新知探索:60°角的三角函数值30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：例1 求下列各式的值：
（1）cos260°＋sin260°
（2）
1.求下列各式的值：2、求适合下列各式的锐角α例2 （1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ，
求∠A的度数．（2）如图，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的 倍，求 a ． 当A，B为锐角
时，若A≠B，则
sinA≠sinB,
cosA≠cosB,
tanA≠tanB. 1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，
，
求∠A、∠B的度数．BACABCD4、如图,△ABC中,∠C=900,BD平分∠ABC,
BC=12,BD= ,求∠A的度数及AD的长.小结 : 我们学习了30°, 45°, 60°这几类特殊角的三角函数值． 作业课本P82 第3题
《同步练习》P51-52（四）（五）28.1锐角三角函数（4） 引例 升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼。当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为42°（如图所示），若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？这里的tan42°是多少呢？ 前面我们学习了特殊角30°45°60°的三角函数值，一些非特殊角(如17°56°89°等)的三角函数值又怎么求呢？ 这一节课我们就学习借助计算器来完成这个任务.rldmm89898891、用科学计算器求一般锐角的三角函数值：（1）我们要用到科学计算器中的键：sincostan（2）按键顺序◆如果锐角恰是整数度数时，以“求sin18°”为例，按键顺序如下：sin18sin180.309 016 994∴ sin18°= 0.309 016 994≈0.311、用科学计算器求一般锐角的三角函数值：◆如果锐角的度数是度、分形式时，以“求tan30°36′”为例，按键顺序如下：方法一：tan3036tan30°36′0.591 398 351∴ tan30°36′ = 0.591 398 351≈0.59方法二：先转化， 30°36′ =30.6°,后仿照 sin18°的求法。◆如果锐角的度数是度、分、秒形式时，依照上面的方法一求解。（3）完成引例中的求解：tan2042+1.619.608 080 89∴ AB = 19.608 080 89≈19.61m即旗杆的高度是19.61m.练习:使用计算器求下列锐角的三角函数值.（精确到0.01）（1）sin20°，cos70°；
sin35°，cos55°；
sin15°32′，cos74°28′；（2）tan3°8′，tan80°25′43″；（3）sin15°+cos61°tan76°.SHIFT20917.301507834sin·7= 已知三角函数值求角度，要用到sin，Cos，tan的第二功能键“sin－１ Cos－１，tan－１”键例如：已知sinα＝0.2974,求锐角α．按健顺序为：如果再按“度分秒健”就换算成度分秒，°′″即∠ α＝17o18’5.43”2、已知锐角的三角函数值，求锐角的度数：例 根据下面的条件，求锐角β的大小（精确到1″）
（1）sinβ=0.4511；（2）cosβ=0.7857；
（3） tanβ=1.4036.
按键盘顺序如下:26048’51”0.sin115=4SHIFT°′″即∠ β ＝26048’51”驶向胜利的彼岸练习:1、已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：（1）sinA=0.627 5，sinB=0.054 7；
（2）cosA=0.625 2，cosB=0.165 9；
（3）tanA=4.842 5，tanB=0.881 6.2、已知tanA=3.1748，利用计算器求锐角A的度数。(精确到1′)答案:∠A≈72°52′练习:3、已知锐角a的三角函数值，使用计算器求锐角a（精确到1′）
（1）sin a=0.2476；（2）cos a=0.4；（3）tan a=0.1890. 答案: (1)α≈14°20′;(3)α≈10°42′.(2)α≈65°20′;ABOR
境
探
究 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝ 35m，求AB的长.所以 AB=2BC=70m，即需要准备70m长的水管。结论：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠A＝30°，解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠A＝30°，在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？ABC50m30mB 'C '结论：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠A＝30°， 即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 。 如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比 ，你能得出什么结论？ABC 综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°， 一般地，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？问题 当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值； 当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值.ABCA'B'C' 任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝90°，∠A＝∠A‘＝ ，那么 与 有什么关系．你能解释一下吗？由于∠C＝∠C’＝90°， ∠A＝∠A’＝ 所以Rt△ABC∽Rt△A’B’C’ 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．探究 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA， 即例如，当∠A＝30°时，我们有当∠A＝45°时，我们有cab对边斜边注意sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，记号里习惯省去角的符号“∠”；
sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与斜边的比；
sinA不表示“sin”乘以“A”。例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．ABC34(1)(2)试着完成图（2）2、在Rt△ABC中, ∠C=90°, ,
则sin∠A=___.1、如图，求sinA和sinB的值．3、如图，在△ABC中， AB=CB=5，sinA= ，求△ABC 的面积。1.锐角正弦的定义 在 中， ∠A的正弦：2、当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定。此时，其他边之间的比是否也随之确定？为什么？新知探索:1、你能将“其他边之比”用比例的式子表示出来吗？这样的比有多少？2、当锐角A确定时，∠A的邻边与斜边的比， ∠A的对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？交流并说出理由。 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°：锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的
余弦（cosine），记作cosA， 即锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的
正切（tangent），记作tanA， 即注意cosA，tanA是一个完整的符号，它表示∠A的余弦、正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；
cosA，tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的邻边与斜边的比、对边与邻边的比；
cosA不表示“cos”乘以“A”， tanA不表示“tan”乘以“A”例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，AB=3，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值．延伸：由上面的计算，你能猜想∠A，∠B的正弦、余弦值有什么规律吗？结论：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的余弦等于它余角的正弦。例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=6， ，求cosA和tanB的值．28.1锐角三角函数（二）——正弦 、余弦 、正切 锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，求
sinA、tanA的值．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°
∵设AC=15k，则AB=17k所以 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°1.求证：sinA=cosB，sinB=cosA2.求证：3.求证： 在Rt△ABC中，如果各边长都扩大2倍，那么锐角A的正弦值、余弦值和正切值有什么变化？解：在Rt△ABC中，∠C＝90°
设各边长分别为a、b、c，∠A的三个三角函数分别为则扩大2倍后三边分别为2a、2b、2c如图，Rt△ABC中， ∠C=90度，因为0＜sinA ＜1, 0＜sinB ＜1, tan A＞0, tan B＞0 0＜cosA ＜1, 0＜cosB ＜1,所以，对于任何一个锐角α ，有
0＜sin α ＜1，
0＜cos α ＜1，
tan α ＞0，练习
1、在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.D补充练习2、如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC=12，AB=13，∠BCM=∠BAC，求sin∠BAC和点B到直线MC的距离．
3、如图所示，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，
求证：28.1锐角三角函数（3） AB C∠A的对边a∠A的邻边b斜边c 请同学们拿出自己的学习工具——一副三角尺，思考并回答下列问题：1、这两块三角尺各有几个锐角？它们分别等于多少度？2、每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系？如果设每块三角尺较短的边长为1，请你说出未知边的长度。30°60°45°121145°新知探索:30°角的三角函数值sin30°=cos30°=tan30°=cos45°=tan45°=sin45°=新知探索:45°角的三角函数值sin60°=cos60°=tan60°=新知探索:60°角的三角函数值30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：例1 求下列各式的值：
（1）cos260°＋sin260°
（2）
1.求下列各式的值：2、求适合下列各式的锐角α例2 （1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ，
求∠A的度数．（2）如图，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的 倍，求 a ． 当A，B为锐角
时，若A≠B，则
sinA≠sinB,
cosA≠cosB,
tanA≠tanB. 1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，
，
求∠A、∠B的度数．BACABCD4、如图,△ABC中,∠C=900,BD平分∠ABC,
BC=12,BD= ,求∠A的度数及AD的长.小结 : 我们学习了30°, 45°, 60°这几类特殊角的三角函数值． 作业课本P82 第3题
《同步练习》P51-52（四）（五）28.1锐角三角函数（4） 引例 升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼。当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为42°（如图所示），若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？这里的tan42°是多少呢？ 前面我们学习了特殊角30°45°60°的三角函数值，一些非特殊角(如17°56°89°等)的三角函数值又怎么求呢？ 这一节课我们就学习借助计算器来完成这个任务.rldmm89898891、用科学计算器求一般锐角的三角函数值：（1）我们要用到科学计算器中的键：sincostan（2）按键顺序◆如果锐角恰是整数度数时，以“求sin18°”为例，按键顺序如下：sin18sin180.309 016 994∴ sin18°= 0.309 016 994≈0.311、用科学计算器求一般锐角的三角函数值：◆如果锐角的度数是度、分形式时，以“求tan30°36′”为例，按键顺序如下：方法一：tan3036tan30°36′0.591 398 351∴ tan30°36′ = 0.591 398 351≈0.59方法二：先转化， 30°36′ =30.6°,后仿照 sin18°的求法。◆如果锐角的度数是度、分、秒形式时，依照上面的方法一求解。（3）完成引例中的求解：tan2042+1.619.608 080 89∴ AB = 19.608 080 89≈19.61m即旗杆的高度是19.61m.练习:使用计算器求下列锐角的三角函数值.（精确到0.01）（1）sin20°，cos70°；
sin35°，cos55°；
sin15°32′，cos74°28′；（2）tan3°8′，tan80°25′43″；（3）sin15°+cos61°tan76°.SHIFT20917.301507834sin·7= 已知三角函数值求角度，要用到sin，Cos，tan的第二功能键“sin－１ Cos－１，tan－１”键例如：已知sinα＝0.2974,求锐角α．按健顺序为：如果再按“度分秒健”就换算成度分秒，°′″即∠ α＝17o18’5.43”2、已知锐角的三角函数值，求锐角的度数：例 根据下面的条件，求锐角β的大小（精确到1″）
（1）sinβ=0.4511；（2）cosβ=0.7857；
（3） tanβ=1.4036.
按键盘顺序如下:26048’51”0.sin115=4SHIFT°′″即∠ β ＝26048’51”驶向胜利的彼岸练习:1、已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：（1）sinA=0.627 5，sinB=0.054 7；
（2）cosA=0.625 2，cosB=0.165 9；
（3）tanA=4.842 5，tanB=0.881 6.2、已知tanA=3.1748，利用计算器求锐角A的度数。(精确到1′)答案:∠A≈72°52′练习:3、已知锐角a的三角函数值，使用计算器求锐角a（精确到1′）
（1）sin a=0.2476；（2）cos a=0.4；（3）tan a=0.1890. 答案: (1)α≈14°20′;(3)α≈10°42′.(2)α≈65°20′;ABOR