换元法解一元二次方程
一、选择题（共20小题）
1、解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2；当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x1=2，x2=5．则利用这种方法求得方程 （2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解为（ ）
A、x1=1，x2=3 B、x1=﹣2，x2=3
C、x1=﹣3，x2=﹣1 D、x1=﹣1，x2=﹣2
2、用换元法解方程（x2+x）2+（x2+x）=6时，如果设x2+x=y，那么原方程可变形为（ ）
A、y2+y﹣6=0 B、y2﹣y﹣6=0
C、y2﹣y+6=0 D、y2+y+6=0
3、已知实数x满足x2+=0，那么x+的值是（ ）
A、1或﹣2 B、﹣1或2
C、1 D、﹣2
4、用换元法解方程（x2+x）2+2（x2+x）﹣1=0，若设y=x2+x，则原方程可变形为（ ）
A、y2+2y+1=0 B、y2﹣2y+1=0
C、y2+2y﹣1=0 D、y2﹣2y﹣1=0
5、方程（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2=0，如果设x2﹣3=y，那么原方程可变形为（ ）
A、y2﹣5y+2=0 B、y2+5y﹣2=0
C、y2﹣5y﹣2=0 D、y2+5y+2=0
6、若实数x，y满足x2﹣2xy+y2+x﹣y﹣6=0，则x﹣y的值是（ ）
A、﹣2或3 B、2或﹣3
C、﹣1或6 D、1或﹣6
7、如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4=0，那么x+2y的值为（ ）
A、1 B、﹣4
C、1或﹣4 D、﹣1或3
8、设a，b是实数，且，则等于（ ）
A、 B、
C、 D、
9、已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）=8，则x2+y2的值为（ ）
A、﹣5或1 B、1
C、5 D、5或﹣1
10、若（a2+b2）（a2+b2﹣2）=8，则a2+b2=（ ）
A、﹣2 B、4
C、4或﹣2 D、﹣4或2
11、实数a、b满足（a+b）2+a+b﹣2=0，则（a+b）2的值为（ ）
A、4 B、1
C、﹣2或1 D、4或1
12、已知（x2+y2）2﹣y2=x2+6，则x2+y2的值是（ ）
A、﹣2 B、3
C、﹣2或3 D、﹣2且3
13、已知（x+y）（x+y+2）﹣8=0，则x+y的值是（ ）
A、﹣4或2 B、﹣2或4
C、2或﹣3 D、3或﹣2
14、已知3x2y2﹣xy﹣2=0，则x与y的积等于（ ）
A、或﹣2 B、﹣或2
C、或﹣1 D、﹣或1
15、若（x+y）（1﹣x﹣y）+6=0，则x+y的值是（ ）
A、2 B、3
C、﹣2或3 D、2或﹣3
16、（m2﹣n2）（m2﹣n2﹣2）﹣8=0，则m2﹣n2的值是（ ）
A、4 B、﹣2
C、4或﹣2 D、﹣4或2
17、已知实数x、y满足（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）=5，则x2+y2的值为（ ）
A、4 B、﹣2
C、4或﹣2 D、4或2
18、已知（x2+y2）（x2+y2+2）﹣8=0，则x2+y2的值是（ ）
A、﹣4 B、2
C、﹣1或4 D、2或﹣4
19、已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣1）=2，则x2+y2=（ ）
A、2 B、﹣1
C、2或﹣1 D、﹣2或1
20、已知实数x，y满足方程（x2+y2﹣1）2=4，则x2+y2=（ ）
A、3 B、﹣1
C、3或﹣1 D、﹣3或1
二、填空题（共5小题）
21、已知，a2+3a﹣1=0，b4﹣3b2﹣1=0，且1﹣ab2≠0，则的值为 _________ ．
22、解下列方程：
（1）（x+4）2=5（x+4）
（2）4x2﹣12x﹣7=0（配方法）
（3）．
23、已知，关于x的方程x2+=1，那么x++1的值为 _________ ．
24、解方程（x2﹣5）2﹣x2+3=0时，令x2﹣5=y，则原方程变为 _________ ．
25、若a2﹣2ab+b2+2（a﹣b）+1=0，则a﹣b= _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、如果a为不等于±2的整数，证明方程x4+ax+1=0没有有理根．
27、对于有理数x，用[x]表示不大于x的最大整数，请解方程．
28、用适当方法解下列方程
（1）（2y﹣1）2=
（2）x﹣=5x（﹣x）
（3）（x﹣3）2+（x+4）2﹣（x﹣5）2=17x+24
（4）（2x+1）2+3（2x+1）﹣4=0
29、用适当方法解下列方程：
（1）2x2﹣5x﹣3=0
（2）16（x+5）2﹣9=0
（3）（x2+x）2+（x2+x）=6．
30、用适当的方法解下列方程：
（1）（3x﹣1）2=（x+1）2；
（2）2x2+x﹣=0；
（3）用配方法解方程：x2﹣4x+1=0；
（4）用换元法解方程：（x2+x）2+（x2+x）=6．
换元法解一元二次方程
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2；当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x1=2，x2=5．则利用这种方法求得方程 （2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解为（ ）
A、x1=1，x2=3 B、x1=﹣2，x2=3
C、x1=﹣3，x2=﹣1 D、x1=﹣1，x2=﹣2
考点：换元法解一元二次方程。
专题：换元法。
分析：首先根据题意可以设y=2x+5，方程可以变为 y2﹣4y+3=0，然后解关于y的一元二次方程，接着就可以求出x．
解答：解：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0，
设y=2x+5，
方程可以变为 y2﹣4y+3=0，
∴y1=1，y2=3，
当y=1时，即2x+5=1，解得x=﹣2；
当y=3时，即2x+5=3，解得x=﹣1，
所以原方程的解为：x1=﹣2，x2=﹣1．
故选D．
点评：此题主要考查了利用换元法解一元二次方程，解题的关键是利用换元法简化方程，然后利用一元二次方程的解法解决问题．
2、用换元法解方程（x2+x）2+（x2+x）=6时，如果设x2+x=y，那么原方程可变形为（ ）
A、y2+y﹣6=0 B、y2﹣y﹣6=0
C、y2﹣y+6=0 D、y2+y+6=0
3、已知实数x满足x2+=0，那么x+的值是（ ）
A、1或﹣2 B、﹣1或2
C、1 D、﹣2
考点：换元法解一元二次方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：换元法。
分析：在解此题时要把x+看成一个整体，然后用因式分解法进行解答．
解答：解：∵x2+=0
∴
∴[（x+）+2][（x+）﹣1]=0
∴x+=1或﹣2．
∵x+=1无解，
∴x+=﹣2．
故选D．
点评：此题主要是把x+当成一个整体来解决，难易程度适中．
4、用换元法解方程（x2+x）2+2（x2+x）﹣1=0，若设y=x2+x，则原方程可变形为（ ）
A、y2+2y+1=0 B、y2﹣2y+1=0
C、y2+2y﹣1=0 D、y2﹣2y﹣1=0
考点：换元法解一元二次方程。
专题：换元法。
分析：x2+x看作一个整体，利用y代替x2+x即可求解．
解答：解：设y=x2+x，得y2+2y﹣1=0．故选C．
点评：此题考查了换元思想，解题的关键是把x2+x看作一个整体，要有整体思想．
5、方程（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2=0，如果设x2﹣3=y，那么原方程可变形为（ ）
A、y2﹣5y+2=0 B、y2+5y﹣2=0
C、y2﹣5y﹣2=0 D、y2+5y+2=0
6、若实数x，y满足x2﹣2xy+y2+x﹣y﹣6=0，则x﹣y的值是（ ）
A、﹣2或3 B、2或﹣3
C、﹣1或6 D、1或﹣6
考点：换元法解一元二次方程。
分析：将x2﹣2xy+y2化为（x﹣y）2，然后将x﹣y看作一个整体，然后再用换元法求解．
解答：解：设x﹣y=m，则原方程可化为：
m2+m﹣6=0，
解得x1=2，x2=﹣3；
故选B．
点评：换元法就是解题过程中把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．
7、如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4=0，那么x+2y的值为（ ）
A、1 B、﹣4
C、1或﹣4 D、﹣1或3
考点：换元法解一元二次方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：换元法。
分析：在本题中有两个未知数，且通过观察最后结果，可采用换元法，把x+2y当成一个整体进行考虑．
解答：解：设x+2y=a，则原方程变形为a2+3a﹣4=0，解得a=﹣4或a=1．故选C．
点评：此题主要是把x+2y当成一个整体，把求代数式的值的问题转化为解关于这个整体的方程，利用求根公式求解．
8、设a，b是实数，且，则等于（ ）
A、 B、
C、 D、
9、已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）=8，则x2+y2的值为（ ）
A、﹣5或1 B、1
C、5 D、5或﹣1
考点：换元法解一元二次方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：换元法。
分析：解题时把x2+y2当成一个整体来考虑，再运用因式分解法就比较简单．
解答：解：原方程变形得，（x2+y2）2+4（x2+y2）﹣5=0，
（x2+y2+5）（x2+y2﹣1）=0，
又∵x2+y2的值是非负数，
∴x2+y2的值为只能是1．
故选B．
点评：任何数的平方都是非负数，解这类问题要特别注意这一点．
10、若（a2+b2）（a2+b2﹣2）=8，则a2+b2=（ ）
A、﹣2 B、4
C、4或﹣2 D、﹣4或2
考点：换元法解一元二次方程。
分析：将a2+b2看作一个整体，然后用换元法解方程即可．
解答：解：设a2+b2=x，则有：
x（x﹣2）=8
即x2﹣2x﹣8=0，
解得x1=﹣2，x2=4；
∵a2+b2≥0，
故a2+b2=x2=4；
故选B．
点评：本题的关键是把a2+b2看成一个整体来计算，即换元法思想．
11、实数a、b满足（a+b）2+a+b﹣2=0，则（a+b）2的值为（ ）
A、4 B、1
C、﹣2或1 D、4或1
12、已知（x2+y2）2﹣y2=x2+6，则x2+y2的值是（ ）
A、﹣2 B、3
C、﹣2或3 D、﹣2且3
考点：换元法解一元二次方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：换元法。
分析：先将此题变形整理得：（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣6=0，然后采用换元法，设x2+y2=a，则可得a2﹣a﹣6=0，解此新一元二次方程，注意x2+y2≥0，即可求得．
解答：解：变形整理得：（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣6=0；
设x2+y2=a，
则可得a2﹣a﹣6=0；
∴（a﹣3）（a+2）=0；
∴a=3或a=﹣2；
∵x2+y2≥0；
∴x2+y2=3；
故选B．
点评：此题考查了学生的综合应用能力，解题时注意换元法的应用，还要注意隐含的限制条件．
13、已知（x+y）（x+y+2）﹣8=0，则x+y的值是（ ）
A、﹣4或2 B、﹣2或4
C、2或﹣3 D、3或﹣2
考点：换元法解一元二次方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：换元法。
分析：此题运用换元法，设x+y=a，则原方程就变为a（a+2）﹣8=0，将a乘入括号里，整理方程，利用因式分解法，即求出a的值，也即x+y的值．
解答：解：设x+y=a，原方程可化为a（a+2）﹣8=0
即：a2+2a﹣8=0
解得a1=2，a2=﹣4
∴x+y=2或﹣4
故选A．
点评：解本题时，根据已知的方程与所求式子的关系，注意用换元法求值．
14、已知3x2y2﹣xy﹣2=0，则x与y的积等于（ ）
A、或﹣2 B、﹣或2
C、或﹣1 D、﹣或1
考点：换元法解一元二次方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：换元法。
分析：观察方程，此题先将xy换元，利用因式分解法即可求解．
解答：解：设t=xy，原方程变形为：3t2﹣t﹣2=0
∴t=﹣或1，
即x与y的积xy=﹣或1；
故选D．
点评：本题考查了一元二次方程的解法，此题先换元再因式分解，比较特殊，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
15、若（x+y）（1﹣x﹣y）+6=0，则x+y的值是（ ）
A、2 B、3
C、﹣2或3 D、2或﹣3
16、（m2﹣n2）（m2﹣n2﹣2）﹣8=0，则m2﹣n2的值是（ ）
A、4 B、﹣2
C、4或﹣2 D、﹣4或2
考点：换元法解一元二次方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：换元法。
分析：本题可设x=m2﹣n2，则原式可化为x（x﹣2）﹣8=0，对方程去括号得x2﹣2x﹣8=0，解方程即可求得x的值，即m2﹣n2的值．
解答：解：设x=m2﹣n2，则原方程可化为：x（x﹣2）﹣8=0即x2﹣2x﹣8=0
解得：x=4或﹣2．
故选C．
点评：本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
17、已知实数x、y满足（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）=5，则x2+y2的值为（ ）
A、4 B、﹣2
C、4或﹣2 D、4或2
考点：换元法解一元二次方程。
分析：把x2+y2当作一个整体，原式变为（x2+y2）2﹣2（x2+y2）﹣8=0，即可求得（x2+y2）的值是﹣2或4．再根据非负数的性质即可判断．
解答：解：（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）=5，
∴（x2+y2）2﹣2（x2+y2）﹣3=5，
∴（x2+y2）2﹣2（x2+y2）﹣8=0，
即：[（x2+y2）﹣1]2=9，
∴（x2+y2）=﹣2或4．
又∵x2+y2≥0
∴x2+y2=4
故选A．
点评：本题的关键是把（x2+y2）看成一个整体来计算，即换元法思想．
18、已知（x2+y2）（x2+y2+2）﹣8=0，则x2+y2的值是（ ）
A、﹣4 B、2
C、﹣1或4 D、2或﹣4
19、已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣1）=2，则x2+y2=（ ）
A、2 B、﹣1
C、2或﹣1 D、﹣2或1
考点：换元法解一元二次方程。
分析：设x2+y2=m，根据非负数的意义可知m≥0，用换元法将原方程转化为关于m的一元二次方程，解方程求m即可．
解答：解：设x2+y2=m，原方程可化为m2﹣m﹣2=0，
解得m1=2，m2=﹣1，
但x2+y2=m≥0，所以x2+y2=m=2．故选A．
点评：本题考查了换元法解方程的思想，要注意所求代数式的意义．
20、已知实数x，y满足方程（x2+y2﹣1）2=4，则x2+y2=（ ）
A、3 B、﹣1
C、3或﹣1 D、﹣3或1
考点：换元法解一元二次方程。
分析：先设x2+y2=t（t≥0），则方程即可变形为（t﹣1）2=4，解方程即可求得t即x2+y2的值．
解答：解：设x2+y2=t（t≥0），则由原方程，得
（t﹣1）2=4，
直接开平方，得
t﹣1=2，或t﹣1=﹣2，
解得t=3或t=﹣1（不合题意，舍去），
∴t=3，即x2+y2=3．
故选A．
点评：本题考查了换元法解一元二次方程；在换元时，注意x2+y2=t，t是非负数．
二、填空题（共5小题）
21、已知，a2+3a﹣1=0，b4﹣3b2﹣1=0，且1﹣ab2≠0，则的值为 32 ．
考点：代数式求值；解一元二次方程-公式法；换元法解一元二次方程。
分析：根据已知两式求出a与b2的关系，然后代入代数式计算．
解答：解：将a2+3a﹣1=0，b4﹣3b2﹣1=0两式相减得：a2﹣b4+3a+3b2=0，分解因式得：（a+b2）（a﹣b2+3）=0，
若a﹣b2+3=0，则1﹣ab2=1﹣a（a+3）=﹣（a2+3a﹣1）=0，而已知1﹣ab2≠0，所以a+b2+3=0不成立，
则a+b2=0
∴a=﹣b2，
将a=﹣b2代入代数式====2．
则=25=32．
故本题答案为：32．
点评：本题的解题关键是求出a与b2的关系，然后把代数式化简成为常数即可求值．
22、解下列方程：
（1）（x+4）2=5（x+4）
（2）4x2﹣12x﹣7=0（配方法）
（3）．
考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法；换元法解一元二次方程。
专题：方程思想。
分析：（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用配方法解方程；
（3）利用换元法解方程．
解答：解：（1）由原方程移项，得
（x+4）2﹣5（x+4）=0
∴（x+4）（x+4﹣5）=0，即（x+4）（x﹣1）=0，
∴x+4=0或x﹣1=0，
解得x=﹣4或x=1；
（2）由原方程，得
4x2﹣12x=7，
化二次项系数为1，得
∴x2﹣3x=，
等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得
x2﹣3x+=+，
即（x﹣）2=4，
∴x1=，x2=；
（3）设=y，则由原方程，得
y2+5y﹣6=0，
∴（y﹣1）（y+6）=0
∴y﹣1=0或y+6=0，
解得，y=1或y=﹣6；
①当y=1时，=1，即x=x+1，
∴无解；
②当y=﹣6时，=﹣6，
解得，x=，经检验，x=是原方程的解．
点评：本题综合考查了因式分解法、配方法、换元法解一元二次方程．解分式方程时，一定要验根．
23、已知，关于x的方程x2+=1，那么x++1的值为 ±2 ．
24、解方程（x2﹣5）2﹣x2+3=0时，令x2﹣5=y，则原方程变为 y2﹣y﹣2=0 ．
考点：换元法解一元二次方程。
专题：换元法。
分析：本题如果对方程直接开方会增加解题的难度，因此可根据x2﹣5=y，得到x2=y+5，然后再把y代入方程中，即可解出此题．
解答：解：∵x2﹣5=y，
∴x2=5+y，
∴（x2﹣5）2﹣x2+3=y2﹣y﹣5+3=y2﹣y﹣2=0，
故本题的答案是y2﹣y﹣2=0．
点评：本题考查了换元法的运用，根据已知，对条件进行变形，化繁为简是解此类题目常见的办法．
25、若a2﹣2ab+b2+2（a﹣b）+1=0，则a﹣b= ﹣1 ．
考点：换元法解一元二次方程。
分析：先设a﹣b=t，则方程即可变形为t2+2t+1=0，解方程即可求得t即a﹣b的值．
解答：解：设t=a﹣b，则原方程可化为：t2+2t+1=0，
整理得：（t+1）2=0，
解得：t=﹣1．
∴a﹣b=﹣1．
点评：本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
三、解答题（共5小题）
26、如果a为不等于±2的整数，证明方程x4+ax+1=0没有有理根．
考点：一元二次方程的整数根与有理根；换元法解一元二次方程。
专题：证明题。
分析：首先用x表示出a，即a=﹣x3﹣，再进一步分析x的取值，x不是整数，若x为分数，那么设x=，其中c、b互质且为整数，从而确定x的取值范围．
解答：证明：若a=2或者﹣2，方程有有理根，
当=2时，有理根x=﹣1；等于﹣2时，有理根x=1．这个根据配方法得来．
x4±2x+1=0，即x4﹣x2+x2±2x+1=x2（x+1）（x﹣1）+（x±1）2=0，此等式有公因式，可得x=±1．
而由题意知：a≠±2，即x≠±1．
则有a=﹣=﹣x3﹣，其中x≠±1．
a为整数，而a=﹣x3﹣，若x为整数且x≠±1，那么x3为整数，为小数，整数与小数之和或者差，皆为小数，故x不能是整数．
若x为分数，那么设x=，其中c、b互质且为整数，b≠0．
那么﹣x3﹣=﹣=﹣．由此代数式知：因为c、b互质，故此代数式的值不为整数．
故当x为整数或者分数时，a为整数均不能成立．
故当a为整数时，方程没有有理根．
点评：此题主要考查了一元二次方程有理根以及整数根的有关知识，以及两数互质问题，综合性较强．
27、对于有理数x，用[x]表示不大于x的最大整数，请解方程．
考点：取整函数；换元法解一元二次方程。
分析：由[x]表示不大于x的最大整数，得出[]整数，且，进而得到是整数，得到关于k的不等式，并列举出所有可能，得到列表的结果，总结出符合要求的答案．
解答：解：因为方程左边的第1、3项都是整数，
所以3y是整数．
注意到，
代入方程，得到，
．
所以是整数，3y是10的倍数．
令3y=10k，k是整数，
代入得，
其中，对于有理数x，x=x﹣[x]．
所以有，．
当k取不同整数时，的情况如下表：
k
≤﹣2
=﹣1
=0
=1
=2
=3
＞3
1﹣k﹣
＜﹣1
=﹣
=1
=
=
=0
＜﹣1
k的可能值是﹣1和3，相应的和y=10．
代入验算得到或y=10．
故答案：或y=10．
点评：此题主要考查了取整函数的性质以及换元法解一元二次方程，假设3y=10k，k是整数，得出的取值范围是解决问题的关键．
28、用适当方法解下列方程
（1）（2y﹣1）2=
（2）x﹣=5x（﹣x）
（3）（x﹣3）2+（x+4）2﹣（x﹣5）2=17x+24
（4）（2x+1）2+3（2x+1）﹣4=0
∴2y﹣1=±，
y=±；
（2）移项、提取公因式得（x﹣）（5x+1）=0，
解得x1=，x2=﹣；
（3）去括号、移项、合并同类项得（x+3）（x﹣8）=0，
解得x1=﹣3，x2=8；
（4）解方程（2x+1）2+3（2x+1）﹣4=0可以用换元法和配方法，
设2x+1为y，得y2+3y﹣4=0，
利用配方法得（y+）2=4+，
y+=±，
得y=1或﹣4，
设2x+1为y，
则x1=0，x2=﹣．
点评：（1）用直接开平方求解时，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；
（2）用配方法解方程“方程的两边都加上一次项系数一半的平方”是配方法的关键，“二次项系数化为1”是进行这一关键步骤的重要前提；
（3）将多项式分解成两个因式的积，每个因式分别等于零，将方程降为两个一元一次方程为求解．
29、用适当方法解下列方程：
（1）2x2﹣5x﹣3=0
（2）16（x+5）2﹣9=0
（3）（x2+x）2+（x2+x）=6．
考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-公式法；换元法解一元二次方程。
专题：计算题。
分析：（1）用公式法解一元二次方程，先找a，b，c；再求△；再代入公式求解即可；
（2）用直接开平方法解一元二次方程，先将方程化为（x+5）2=，直接开方即可；
（3）设t=x2+x，将原方程转化为一元二次方程，求解即可．
解答：解：（1）∵a=2，b=﹣5，c=﹣3，△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×（﹣3）=25+24=49，
∴x===，
∴x1=3，x2=﹣；
（2）整理得，（x+5）2=，
开方得，x+5=±，
即x1=﹣4，x2=﹣5，
（3）设t=x2+x，将原方程转化为t2+t=6，
因式分解得，（t﹣2）（t+3）=0，
解得t1=2，t2=﹣3．
∴x2+x=2或x2+x=﹣3（△＜0，无解），
∴原方程的解为x1=1，x2=﹣2．
点评：本题考查了一元二次方程的几种解法：①公式法；②直接开平方法；③换元法．
30、用适当的方法解下列方程：
（1）（3x﹣1）2=（x+1）2；
（2）2x2+x﹣=0；
（3）用配方法解方程：x2﹣4x+1=0；
（4）用换元法解方程：（x2+x）2+（x2+x）=6．
考点：解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-因式分解法；换元法解一元二次方程。
专题：配方法；换元法；因式分解；判别式法。
分析：本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
（1）因方程移项可利用平方差公式分解，故用因式分解法；
（2）因方程系数特殊，可以用公式法求解；
（3）首先移项把常数项移到等号右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，则左边是完全平方式，右边是常数，即可求解；
（4）因方程有相同的部分可以用换元法代换，故用换元法求解．
解答：解：（1）将方程（3x﹣1）2=（x+1）2移项得，
（3x﹣1）2﹣（x+1）2=0，
∴（3x﹣1+x+1）（3x﹣1﹣x﹣1）=0，
∴4x（2x﹣2）=0，
∴x（x﹣1）=0，
解得x1=0，x2=1．
（2）∵2x2+x﹣=0，
可得，a=2，b=1，c=，
∴x=﹣±．
（3）∵x2﹣4x+1=0，
∴（x﹣2）2=3，
解得x1=2+，x2=2﹣．
（4）设x2+x=y，则y2+y=6，y1=﹣3，y2=2，
则x2+x=﹣3无解，
∴x2+x=2，
解得x1=﹣2，x2=1．
点评：本题考查了解一元二次方程的方法，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用，当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．
解一元二次方程——公式法
一、选择题（共20小题）
1、分式的值等于0，则x的值为（ ）
A、3 B、﹣3
C、3或﹣3 D、0
2、a、b是实数，如果已知﹣3=0，且b4+b2﹣3=0，那么的值是（ ）
A、6 B、7
C、8 D、9
3、方程x2+x﹣1=0的根是（ ）
A、1﹣ B、
C、﹣1+ D、
4、方程（x+1）（x﹣3）=5的解是（ ）
A、x1=1，x2=﹣3 B、x1=4，x2=﹣2
C、x1=﹣1，x2=3 D、x1=﹣4，x2=2
5、方程x（x﹣1）=2的两根为（ ）
A、x1=0，x2=1 B、x1=0，x2=﹣1
C、x1=1，x2=2 D、x1=﹣1，x2=2
6、已知4个数据：，，a，b，其中a、b是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则这4个数据的中位数是（ ）
A、1 B、
C、2 D、
7、用公式法解方程4y2=12y+3，得到（ ）
A、y= B、y=
C、y= D、y=
8、若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（ ）
A、m＜a＜b＜n B、a＜m＜n＜b
C、a＜m＜b＜n D、m＜a＜n＜b
9、如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A、b2﹣4ac≥0 B、b2﹣4ac≤0
C、b2﹣4ac＞0 D、b2﹣4ac＜0
10、若关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣k=0的一个根为1，则另一个根为（ ）
A、2 B、﹣1
C、 D、
11、方程x2=x+1的根是（ ）
A、 B、
C、 D、
12、一元二次方程x2﹣4x+3=0的解是（ ）
A、x=1 B、x1=﹣1，x2=﹣3
C、x=3 D、x1=1，x2=3
13、若代数式x2﹣6x+5的值是12，则x的值为（ ）
A、7或﹣1 B、1或﹣5
C、﹣1或﹣5 D、不能确定
14、关于x的方程x（x+6）=16解为（ ）
A、x1=2，x2=2 B、x1=8，x2=﹣4
C、x1=﹣8，x2=2 D、x1=8，x2=﹣2
15、方程x2﹣6x+5=0的两根是（ ）
A、1和5 B、﹣1和5
C、1和﹣5 D、﹣1和5
16、方程x2﹣|x|﹣1=0的解是（ ）
A、 B、±
C、或 D、
17、对于方程x2﹣2|x|+2=m，如果方程实根的个数恰为3个，则m值等于（ ）
A、1 B、2
C、 D、2.5
18、用公式法解一元二次方程x2﹣5x=6，解是（ ）
A、x1=3，x2=2 B、x1=﹣6，x2=﹣1
C、x1=6，x2=﹣1 D、x1=﹣3，x2=﹣2
19、方程x2+4x+6=0的根是（ ）
A、x1=，x2= B、x1=6，x2=
C、x1=2，x2= D、x1=x2=﹣
20、方程3x2﹣5x﹣2=0的两个根是（ ）
A、1， B、2，﹣
C、±1 D、﹣2，﹣
二、填空题（共5小题）
21、方程（2x﹣1）（x+5）=6x化成一般形式为 _________ ，方程的两根为 _________ ．
22、方程3x2﹣8=7x化为一般形式是 _________ ，a= _________ ，b= _________ ，c= _________ ，方程的根x1= _________ ，x2= _________ ．
23、认真观察下列方程，指出使用何种方法解比较适当：（1）4x2=5，应选用 _________ 法；（2）2x2﹣3x﹣3=0，用选用 _________ 法．
24、用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，配方后得到的方程是 _________ ；当x= _________ 时，分式的值为零；一元二次方程2x（x﹣1）=x﹣1的解是 _________ ；
25、一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、设m为整数，且4＜m＜40，方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根．
27、已知关于x的方程a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15=0（其中a是非负整数）至少有一个整数根，求a的值．
28、（1）计算：（﹣3）0﹣+|1﹣|+
（2）解方程：x2+3x+1=0．
29、（1）先化简，再求值：，其中，a=3+，b=3﹣；
（2）解方程：x2﹣6x+3=0．
30、已知a2+ab﹣b2=0，且a，b均为正数，先化简下面的代数式，再求值：．
解一元二次方程——公式法
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、分式的值等于0，则x的值为（ ）
A、3 B、﹣3
C、3或﹣3 D、0
考点：分式的值为零的条件；解一元二次方程-公式法。
分析：根据分式的值为零的条件可以得出x2﹣9=0且（x﹣1）（x﹣3）≠0，从而求出x的值．
解答：解：由分式的值为零的条件得x2﹣9=0且（x﹣1）（x﹣3）≠0，
由x2﹣9=0，得（x+3）（x﹣3）=0，∴x=3或x=﹣3，
由（x﹣1）（x﹣3）≠0，得x≠1且x≠3，
综上，得x=﹣3．
故选B．
点评：本题主要考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
2、a、b是实数，如果已知﹣3=0，且b4+b2﹣3=0，那么的值是（ ）
A、6 B、7
C、8 D、9
考点：分式的化简求值；完全平方式；平方差公式；解一元二次方程-公式法。
专题：代数综合题。
分析：解法一：假设，n=b2将转化为一元二次方程m2﹣m﹣3=0，b4+b2﹣3=0转化为一元二次方程n2+n﹣3=0
利用公式法解这两个一元二次方程，得到m、n的值（不合题意，舍去）．
将转化为m2+n2，再进一步转化（m+n）2﹣2mn，用完全平方公式与平方差公式即可求解．
解法二：假设m=﹣，n=b2，则根据已知与一元二次方程的根与系数的关系，那么m、n可以看作是方程x2+x﹣3=0的两个根
则m+n=﹣1，mn=﹣3
该式可变换为m2+n2=（m+n）2﹣2mn，至此问题得以解决．
解答：解：解法一：令，n=b2
则，转化为m2﹣m﹣3=0，b4+b2﹣3=0转化为n2+n﹣3=0，
解方程m2﹣m﹣3=0得m=或m=，
由于，m=，
同理解方程n2+n﹣3=0得n=，n=（不合题意，舍去），
所以m=，n=，
因而==m2+n2=（m+n）2﹣2mn==7；
故选B．
解法二：设m=﹣，n=b2，则根据题意m、n可以看作是方程x2+x﹣3=0的两个根，
∴m+n=﹣1，mn=﹣3，
=（﹣）2+（b2）2，
=m2+n2，
=（m+n）2﹣2mn，
=（﹣1）2﹣2×（﹣3），
=1+6，
=7．
故选B．
点评：这道题目确实很好，也很难，可谓是一道综合题，涉及到一元二次方程根与系数的关系求解、换元法、平方差公式、完全平方公式，即使做为大题出现也不为过．同学们一定要重视本题的解题思路．对于解法二具有一定层次的同学可以参考．
3、方程x2+x﹣1=0的根是（ ）
A、1﹣ B、
C、﹣1+ D、
4、方程（x+1）（x﹣3）=5的解是（ ）
A、x1=1，x2=﹣3 B、x1=4，x2=﹣2
C、x1=﹣1，x2=3 D、x1=﹣4，x2=2
考点：解一元二次方程-公式法。
专题：计算题。
分析：首先把方程化为一般形式，利用公式法即可求解．
解答：解：（x+1）（x﹣3）=5，
x2﹣2x﹣3﹣5=0，
x2﹣2x﹣8=0，
a=1，b=﹣2，c=﹣8
△=4+32=36＞0
∴x=
∴x1=4，x2=﹣2．
故选B．
点评：本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是公式法．
5、方程x（x﹣1）=2的两根为（ ）
A、x1=0，x2=1 B、x1=0，x2=﹣1
C、x1=1，x2=2 D、x1=﹣1，x2=2
6、已知4个数据：，，a，b，其中a、b是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则这4个数据的中位数是（ ）
A、1 B、
C、2 D、
考点：解一元二次方程-公式法；中位数。
分析：先求出a、b的值，再求这组数据的中位数．
解答：解：∵a、b是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，
∴a=1+，b=1﹣，或a=1﹣，b=1+，
这组数据按从小到大的顺序排列为，1﹣，1+，，
中位数为（1﹣+1+）÷2=1，
故选A．
点评：本题考查的是一元二次方程与统计知识相结合的题目，是中等题．
7、用公式法解方程4y2=12y+3，得到（ ）
A、y= B、y=
C、y= D、y=
考点：解一元二次方程-公式法。
专题：计算题。
分析：根据题意可得，此题采用公式法解一元二次方程．采用公式法时首先要将方程化简为一般式．
解答：解：∵4y2=12y+3
∴4y2﹣12y﹣3=0
∴a=4，b=﹣12，c=﹣3
∴b2﹣4ac=192
∴y==．故选C．
点评：解题时要注意审题，采用公式法时首先要将方程化简为一般式．
8、若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（ ）
A、m＜a＜b＜n B、a＜m＜n＜b
C、a＜m＜b＜n D、m＜a＜n＜b
考点：解一元二次方程-公式法。
分析：方程可以化简为x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，根据求根公式即可求得方程的两个根，再根据m＜n，a＜b，即可判断．
解答：解：方程可以化简为x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，
根据求根公式得到：x=，
又因m=＜a，n=＞b，
再根据m＜n，a＜b，得到m＜a＜b＜n．
故本题选A．
点评：根据求根公式求出m，n的值，正确比较m，a的大小是解决本题的关键．
9、如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A、b2﹣4ac≥0 B、b2﹣4ac≤0
C、b2﹣4ac＞0 D、b2﹣4ac＜0
10、若关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣k=0的一个根为1，则另一个根为（ ）
A、2 B、﹣1
C、 D、
考点：解一元二次方程-公式法；一元二次方程的解。
分析：首先把x=1代入方程，即可求得k的值，代入k的值，解方程即可求得．
解答：解：根据题意得：2×1﹣3×1﹣k=0
∴k=﹣1
∴方程为：2x2﹣3x+1=0
解得：x1=1，x2=．
故选C．
点评：此题考查了方程解的定义．还应注意根与系数的关系的应用，解题时会更简单．
11、方程x2=x+1的根是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：解一元二次方程-公式法。
专题：计算题。
分析：先观察再确定方法解方程，此题可以采用公式法或配方法．采用公式法时首先要将方程化简为一般式．
解答：解：∵x2=x+1
∴x2﹣x﹣1=0
∴a=1，b=﹣1，c=﹣1
∴b2﹣4ac=5
∴x=．故选B．
点评：此题考查了公式法解一元二次方程，解题时要注意采用公式法时首先要将方程化简为一般式．
12、一元二次方程x2﹣4x+3=0的解是（ ）
A、x=1 B、x1=﹣1，x2=﹣3
C、x=3 D、x1=1，x2=3
考点：解一元二次方程-公式法。
分析：利用公式法即可求解．
解答：解：a=1，b=﹣4，c=3
△=16﹣12=4＞0
x=
解得：x1=3，x2=1；故选D．
点评：本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
13、若代数式x2﹣6x+5的值是12，则x的值为（ ）
A、7或﹣1 B、1或﹣5
C、﹣1或﹣5 D、不能确定
．
14、关于x的方程x（x+6）=16解为（ ）
A、x1=2，x2=2 B、x1=8，x2=﹣4
C、x1=﹣8，x2=2 D、x1=8，x2=﹣2
考点：解一元二次方程-公式法。
专题：计算题。
分析：首先把方程化为一般形式，代入公式即可求解．
解答：解：原方程变形为：x2+6x﹣16=0，
x==
∴x1=﹣8，x2=2，
故选C．
点评：方程整理后，利用公式法求解，公式法是适用于所有一元二次方程的方法．
15、方程x2﹣6x+5=0的两根是（ ）
A、1和5 B、﹣1和5
C、1和﹣5 D、﹣1和5
考点：解一元二次方程-公式法。
分析：利用公式法即可求解．
解答：解：a=1，b=﹣6，c=5
△=36﹣20=16＞0
x=
解得x=5或x=1；故选A．
点评：公式法是对于任何一元二次方程都适用的方法，正确理解记忆公式是解题关键．
16、方程x2﹣|x|﹣1=0的解是（ ）
A、 B、±
C、或 D、
17、对于方程x2﹣2|x|+2=m，如果方程实根的个数恰为3个，则m值等于（ ）
A、1 B、2
C、 D、2.5
考点：解一元二次方程-公式法；绝对值；一元二次方程的解。
专题：解题方法。
分析：因为方程中带有绝对值符号，所以讨论方程的根分两种情况：当x≥0时，原方程为x2﹣2x+2=m；当x＜0时，原方程为x2+2x+2=m．
解答：解：当x≥0时，原方程为：x2﹣2x+2=m，
化为一般形式为：x2﹣2x+2﹣m=0，
用求根公式得：x==1±；
当x＜0时，原方程为：x2+2x+2=m，
化为一般形式为：x2+2x+2﹣m=0，
用求根公式得：x==﹣1±；
∵方程的根恰为3个，而当m=2时，方程的3个根分别是x1=2，x2=0，x3=﹣2．
故选B．
点评：本题考查未知数的取值范围，以确定字母系数m的值．
18、用公式法解一元二次方程x2﹣5x=6，解是（ ）
A、x1=3，x2=2 B、x1=﹣6，x2=﹣1
C、x1=6，x2=﹣1 D、x1=﹣3，x2=﹣2
考点：解一元二次方程-公式法。
专题：计算题。
分析：运用公式法，首先确定a，b，c的值，然后判断方程是否有解，如有解代入公式即可求解．
解答：解：∵x2﹣5x=6
∴x2﹣5x﹣6=0
∵a=1，b=﹣5，c=﹣6
∴b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×1×（﹣6）=49
∴x=
∴x1=6，x2=﹣1．
故选C．
点评：解一元二次方程时要注意解题方法的选择，配方法和求根公式法适用于任何一元二次方程，不过麻烦．还要注意题目有无解题要求，要按要求解题．
19、方程x2+4x+6=0的根是（ ）
A、x1=，x2= B、x1=6，x2=
C、x1=2，x2= D、x1=x2=﹣
20、方程3x2﹣5x﹣2=0的两个根是（ ）
A、1， B、2，﹣
C、±1 D、﹣2，﹣
考点：解一元二次方程-公式法。
专题：计算题。
分析：利用公式法即可求解．
解答：解：a=3，b=﹣5，c=﹣2
△=25+4×3×2=25+24=49＞0
∴x==
∴x=2或﹣
故选B．
点评：本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
二、填空题（共5小题）
21、方程（2x﹣1）（x+5）=6x化成一般形式为 2x2+3x﹣5=0 ，方程的两根为 1，﹣ ．
22、方程3x2﹣8=7x化为一般形式是 3x2﹣7x﹣8=0 ，a= 3 ，b= ﹣7 ，c= ﹣8 ，方程的根x1= ，x2= ．
考点：一元二次方程的一般形式；解一元二次方程-公式法。
专题：方程思想。
分析：移项可以得到方程的一般形式，再用一元二次方程的求根公式求出方程的根．
解答：解：移项：3x2﹣7x﹣8=0
a=3，b=﹣7，c=﹣8．
△=49+96=145．
x=，
∴x1=，x2=．
故答案分别是：一般形式是3x2﹣7x﹣8=0，a=3，b=﹣7，c=﹣8，x1=，x2=．
点评：本题考查的是一元二次方程的一般形式，先移项得到一元二次方程的一般形式，再用求根公式求出方程的根．
23、认真观察下列方程，指出使用何种方法解比较适当：（1）4x2=5，应选用 直接开平方 法；（2）2x2﹣3x﹣3=0，用选用 公式 法．
考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-公式法。
专题：计算题。
分析：观察题目的形式，选择合适的解法．
（1）中，方程可化为x2=a，所以用直接开平方法；
（2）中，是一个一元二次方程，系数不特殊，所以用公式法．
解答：解：（1）方程4x2=5左边是完全平方的形式，故适宜用直接开平方法来解；
（2）方程2x2﹣3x﹣3=0是一元二次方程的一般形式，故适宜用公式法来解．
点评：对一元二次方程的解答，应根据不同形式的方程，适当采取直接开平方法，公式法来解答，同学们在学习中应不断积累，达到灵活运用．
24、用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，配方后得到的方程是 （x﹣1）2=6 ；当x= ﹣3 时，分式的值为零；一元二次方程2x（x﹣1）=x﹣1的解是 x=1或 ；
25、一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为 a1=2+，a2=2﹣ ．
考点：解一元二次方程-公式法。
分析：用公式法直接求解即可．
解答：解：a=
=
=2±，
∴a1=2+，a2=2﹣，
故答案为a1=2+，a2=2﹣．
点评：本题考查了用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
三、解答题（共5小题）
26、设m为整数，且4＜m＜40，方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根．
考点：一元二次方程的整数根与有理根；解一元二次方程-公式法。
专题：计算题。
分析：根据求根公式可知：x==（2m﹣3）±，根据4＜m＜40可知m的值为12或24，再把m值代入求解即可．
解答：解：解方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0，得，
∵原方程有两个不相等的整数根，∴2m+1为完全平方数，
又∵m为整数，且4＜m＜40，2m+1为奇数完全平方数
∴m=12或24．
∴当m=12时，，x1=26，x2=16；
当m=24时，．
点评：本题考查了解一元二次方程的方法，求根公式法适用于任何一元二次方程．方程ax2+bx+c=0的解为x=．要注意根据实际意义进行值的取舍．
27、已知关于x的方程a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15=0（其中a是非负整数）至少有一个整数根，求a的值．
28、（1）计算：（﹣3）0﹣+|1﹣|+
（2）解方程：x2+3x+1=0．
考点：实数的运算；零指数幂；分母有理化；解一元二次方程-公式法。
专题：计算题。
分析：（1）根据零指数幂、绝对值、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
（2）先找出a，b，c再求出△，代入求根公式计算即可．
解答：解：（1）原式=1﹣3+﹣1+﹣，（4分）
=﹣2； （6分）；
（2）解方程：x2+3x+1=0，
∵a=1，b=3，c=1，
∴△=b2﹣4ac=9﹣4×1×1=5＞0，（3分）
∴x=﹣3±，
∴x1=﹣3+，x2=﹣3﹣． （6分）
点评：本题考查实数的综合运算能力以及一元二次方程的解法，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
29、（1）先化简，再求值：，其中，a=3+，b=3﹣；
（2）解方程：x2﹣6x+3=0．
30、已知a2+ab﹣b2=0，且a，b均为正数，先化简下面的代数式，再求值：．
考点：分式的化简求值；解一元二次方程-公式法。
专题：计算题。
分析：欲求值，但a、b的具体值未知，故化简后也不能直接代入．可以把a2+ab﹣b2=0看成是关于a的一元二次方程，用公式法求得．又因为a，b均为正数，所以只取a=b，即2a=（﹣1）b．最后可以采取整体代换的方法求值．
解答：解：∵
=
=，
解法一：∵a2+ab﹣b2=0，
∴，
∵a，b均为正数，
∴只取a=b，∴2a=（﹣1）b，
∴原式=；
解法二：∵a2+ab﹣b2=0，且a，b均为正数，
∴（）2+（）﹣1=0，∴=（负值舍去），
∴，
∴原式=．
点评：本题为分式的化简求值题，但难点却在求a的值上，需要灵活运用公式法解一元二次方程．
解一元二次方程——因式分解法
一、选择题（共20小题）
1、下列结论：
①某商品进价为40元，按标价的八折销售，可盈利20%，则标价为60元．
②近似数5.014×106有3个有效数字，精确到千分位．
③某地区上网费用方式有两种，A：无月租，上网通讯费3.8元/时；B：月租52元，上网通讯费1.2元/时，当上网时间在20小时以上时选择B种方式比较合算．
④若a2=3a则a=3
其中命题正确的是（ ）
A、①② B、①③
C、②③ D、③④
2、已知|3x+y﹣4|+=0，则（x﹣y）0+（x+y）﹣1等于（ ）
A、 B、
C、 D、
3、设x，y为实数，满足，则x2+y2的值是（ ）
A、2 B、3
C、4 D、5
4、要使分式的值为0，则x应该等于（ ）
A、4或1 B、4
C、1 D、﹣4或﹣1
5、使分式的值为零的x的一个值是（ ）
A、0 B、1
C、﹣1 D、﹣2
6、已知式子的值为0，则x的值为（ ）
A、±1 B、﹣l
C、8 D、﹣1或8
7、若分式的值为0，则x的值为（ ）
A、3 B、1
C、﹣1或3 D、﹣1
8、若的值等于零，则x的值是（ ）
A、7或﹣1 B、﹣7或1
C、7 D、﹣1
9、当x=（ ）时，整式2x（x+1）﹣（x+1）的值为0．
A、﹣1 B、
C、﹣1或0 D、﹣1或
10、如图，要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（ ）
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个
11、方程3x2+4x=0（ ）
A、只有一个根x2=﹣ B、只有一个根x2=0
C、有两个根x1=0，x= D、有两个根x1=0，x=﹣
12、如果x=a是方程x2﹣a=0的一个根，则a的值为（ ）
A、1 B、0
C、1或0 D、﹣1或0
13、已知x=2是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x﹣m2﹣1=0的一个根，则关于x的方程x2=m的根为（ ）
A、x=±1 B、x=±
C、x=±1或x=± D、x=1或x=
14、已知关于x的一元二次方程a2x2+x+a2﹣1=0的一根是0，则它的另一根是（ ）
A、1 B、﹣1
C、1或﹣1 D、0
15、下列数是方程x2﹣x﹣6=0的根是（ ）
A、﹣4 B、﹣3
C、3 D、2
16、方程x2+a（2x+a）+x+a=0的解为（ ）
A、x1=a，x2=a﹣1 B、x1=a，x2=﹣（a+1）
C、x1=﹣a，x2=a+1 D、x1=﹣a，x2=﹣（a+1）
17、若a+b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一根是（ ）
A、1 B、﹣1
C、0 D、无法判断
18、方程x（x+4）=0的根是（ ）
A、x=4 B、x=0
C、x1=0 x2=4 D、x1=0 x2=﹣4
19、若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a+b+c=0且a﹣b+c=0，则方程ax2+bx+c=0的根是（ ）
A、1，0 B、﹣1，0
C、1，﹣1 D、无法确定
20、一元二次方程x2+2x=0的解是（ ）
A、0 B、0或﹣2
C、﹣2 D、没有实数根
二、填空题（共5小题）
21、已知方程x2﹣1999x+m=0有两个质数解，则m= _________ ．
22、已知k为整数，且关于x的二次方程（k2﹣1）x2﹣3（3k﹣1）x+18=0有两个不等的正整数根，则k= _________ ．
23、a是实数，且+|a2﹣2a﹣8|=0，则a的值是 _________ ．
24、若100a+64和201a+64均为四位数，且均为完全平方数，则整数a的值是 _________ ．
25、关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根为x1=1，x2=2，则x2+bx+c分解因式的结果为 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、设p为素数，k是正整数．求证：方程x2+px+kp﹣1=0至少有一个整数根的充分必要条件是k=1．
27、已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2+2（2a﹣1）x+4（a﹣3）=0至少有一个整数根，求a的值．
28、解下列方程或方程组
（1）x2﹣5x﹣4=0；
（2）（x+2）（x+3）=4﹣x2．
（3）﹣﹣2=0，
（4）解方程组．
29、（1）计算：；
（2）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．
①x2﹣3x+1=0；②（x﹣1）2=3；③x2﹣3x=0；④x2﹣2x=4．
30、（1）计算?；
（2）解方程．
解一元二次方程——因式分解法
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、下列结论：
①某商品进价为40元，按标价的八折销售，可盈利20%，则标价为60元．
②近似数5.014×106有3个有效数字，精确到千分位．
③某地区上网费用方式有两种，A：无月租，上网通讯费3.8元/时；B：月租52元，上网通讯费1.2元/时，当上网时间在20小时以上时选择B种方式比较合算．
④若a2=3a则a=3
其中命题正确的是（ ）
A、①② B、①③
C、②③ D、③④
考点：有理数的乘法；科学记数法—表示较大的数；代数式求值；解一元二次方程-因式分解法。
专题：综合题。
分析：根据有理数的乘法运算，科学记数法表示较大的数，以及代数式求值，一元二次方程的解法对各小题计算求解，然后进行选择即可．
解答：解：①设标价为x元，则0.8x﹣40=40×20%，
解得x=60，故本小题正确；
②5.014×106有3个有效数字，精确到千位，故本小题错误；
③设上网x小时两种方式费用相同，则3.8x=52+1.2x，
解得x=20，
∴上网时间在20小时以上时选择B种方式比较合算，
上网时间在20小时以下时选择A种方式比较合算，
故本小题正确；
④a2=3a，
则a（a﹣3）=0，
解得a1=0，a2=3，故本小题错误．
综上所述，正确的命题有①③．
故选B．
点评：本题综合考查了有理数的乘法，科学记数法表示较大的数，方案选择问题，以及一元二次方程的求解，综合题但难度不大，只要仔细分析求解便不难解决．
2、已知|3x+y﹣4|+=0，则（x﹣y）0+（x+y）﹣1等于（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；零指数幂；负整数指数幂；解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题。
分析：根据非负数的性质列出方程组求解得到x、y的值，然后代入代数式进行计算即可求解．
解答：解：根据题意得，，
解得或（x﹣y=0，不符合题意，舍去），
∴（x﹣y）0+（x+y）﹣1=（﹣4﹣16）0+（﹣4+16）﹣1=1+=．
故选B．
点评：本题主要考查了非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键，本题需要注意，0次幂的底数x﹣y≠0的限制，这也是本题容易出错的地方．
3、设x，y为实数，满足，则x2+y2的值是（ ）
A、2 B、3
C、4 D、5
4、要使分式的值为0，则x应该等于（ ）
A、4或1 B、4
C、1 D、﹣4或﹣1
考点：分式的值为零的条件；解一元二次方程-因式分解法。
专题：方程思想。
分析：分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以列方程组解答本题．
解答：解：由分式的值为零的条件得，
解得x=1．
故选C．
点评：本题考查了分式的值为0的条件．由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．
5、使分式的值为零的x的一个值是（ ）
A、0 B、1
C、﹣1 D、﹣2
6、已知式子的值为0，则x的值为（ ）
A、±1 B、﹣l
C、8 D、﹣1或8
考点：分式的值为零的条件；解一元二次方程-因式分解法。
分析：分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
解答：解：由题意可得（x﹣8）（x+1）=0且|x|﹣1≠0，
解得x=8．
故选C．
点评：由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．
7、若分式的值为0，则x的值为（ ）
A、3 B、1
C、﹣1或3 D、﹣1
8、若的值等于零，则x的值是（ ）
A、7或﹣1 B、﹣7或1
C、7 D、﹣1
考点：分式的值为零的条件；解一元二次方程-因式分解法。
分析：分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
解答：解：由题意可得x+1≠0且x2﹣6x﹣7=0，
解得x≠7．
故选C．
点评：由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．
9、当x=（ ）时，整式2x（x+1）﹣（x+1）的值为0．
A、﹣1 B、
C、﹣1或0 D、﹣1或
10、如图，要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（ ）
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个
考点：一元二次方程的解；解一元二次方程-因式分解法；解分式方程。
专题：计算题。
分析：本题实际是分为两种情况：
（1）当x≤2时，有方程x2﹣2=x，分别解得x的值；
（2）当x＞2时，由=x，解得x的值；看看究竟有几个符合题意的x的值．
解答：解：（1）当x≤2时，由方程x2﹣2=x，
解得：x=2或x=﹣1；
（2）当x＞2时，由=x，
解得：x=±，x=﹣应舍去，
因而这样的x的值有3个，分别是2，﹣1和．
故选B．
点评：正确理解题意，把图表问题转化为方程问题是解决本题的关键．
11、（2003?甘肃）方程3x2+4x=0（ ）
A、只有一个根x2=﹣ B、只有一个根x2=0
C、有两个根x1=0，x= D、有两个根x1=0，x=﹣
12、如果x=a是方程x2﹣a=0的一个根，则a的值为（ ）
A、1 B、0
C、1或0 D、﹣1或0
考点：一元二次方程的解；解一元二次方程-因式分解法。
分析：由x=a是方程x2﹣a=0的一个根，则可把x=a代入方程x2﹣a=0得到a2﹣a=0，求出a即可．
解答：解：由题意，x=a①，x2﹣a=0②
把①代入②得：a2﹣a=0
∴a（a﹣1）=0，
即a=0或a=1．
故选C．
点评：代入法是解方程的基本方法，须熟练掌握．解一元二次方程经常用到分解因式．
13、已知x=2是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x﹣m2﹣1=0的一个根，则关于x的方程x2=m的根为（ ）
A、x=±1 B、x=±
C、x=±1或x=± D、x=1或x=
考点：一元二次方程的解；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-因式分解法。
分析：本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义，把x=2代入即可求得m的值，也就可以求得方程，即可求得方程的解．
解答：解：把x=2代入（m﹣1）x2+x﹣m2﹣1=0，得：4（m﹣1）+2﹣m2﹣1=0，整理得m2﹣4m+3=0，
解得m=3，m=1．
（1）将m=3代入x2=m，得x2=3，解得x=±．
（2）当m=1时，原方程中二次项系数m﹣1=1﹣1=0，不合题意，故将m=1舍去．
故本题选B．
点评：本题要经过多次转化，一定要细心，此题关键是发现m=1时原方程不成立，以免误选C．
14、已知关于x的一元二次方程a2x2+x+a2﹣1=0的一根是0，则它的另一根是（ ）
A、1 B、﹣1
C、1或﹣1 D、0
考点：一元二次方程的解；解一元二次方程-因式分解法。
分析：根据一元二次方程解的定义，将x=0代入原方程，求得a的值；然后利用因式分解法解方程，求得方程的另一根．
解答：解：∵关于x的一元二次方程a2x2+x+a2﹣1=0的一根是0，
∴a2﹣1=0，
解得，a=±1；
①当a=1时，原方程为x2+x=0，即x（x+1）=0，
∴x=0或x+1=0，
解得x=0或x=﹣1；
②当a=﹣1时，原方程为﹣x2+x=0，即x（﹣x+1）=0，
∴x=0或﹣x+1=0，
解得，x=0或x=1；
综上所述，方程的另一根为x=﹣1或x=1；
故选C．
点评：本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程﹣﹣因式分解法．解答该题时，利用了“分类讨论”的数学思想，以防漏解．
15、下列数是方程x2﹣x﹣6=0的根是（ ）
A、﹣4 B、﹣3
C、3 D、2
16、方程x2+a（2x+a）+x+a=0的解为（ ）
A、x1=a，x2=a﹣1 B、x1=a，x2=﹣（a+1）
C、x1=﹣a，x2=a+1 D、x1=﹣a，x2=﹣（a+1）
考点：一元二次方程的解；解一元二次方程-因式分解法。
专题：方程思想。
分析：将方程进行因式分解，用因式分解的方法可求出方程的两个根．
解答：解：x2+a（2x+a）+x+a=0，
x2+2ax+a2+x+a=0，
（x+a）2+（x+a）=0，
（x+a）（x+a+1）=0，
∴x1=﹣a，x2=﹣（a+1）．
故本题选D．
点评：本题考查的是一元二次方程的解，根据方程的结构特点，用因式分解法解出方程的根．
17、若a+b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一根是（ ）
A、1 B、﹣1
C、0 D、无法判断
考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义；解一元二次方程-因式分解法。
专题：方程思想。
分析：把a+b+c=0转化为b=﹣（a+c）代入一元二次方程，再用因式分解法求出方程的根．
解答：解：∵a+b+c=0，
∴b=﹣（a+c） ①
把①代入一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，
得：ax2﹣（a+c）x+c=0，
ax2﹣ax﹣cx+c=0，
ax（x﹣1）﹣c（x﹣1）=0，
（x﹣1）（ax﹣c）=0，
∴x1=1，x2=．
故本题选A．
点评：本题考查的是一元二次方程的解，把已知条件代入方程求出方程的解．
18、方程x（x+4）=0的根是（ ）
A、x=4 B、x=0
C、x1=0 x2=4 D、x1=0 x2=﹣4
考点：一元二次方程的解；解一元二次方程-因式分解法。
专题：方程思想。
分析：两个因式的积为零，这两个因式都可能为零．
解答：解：x（x+4）=0
∴x=0 或x+4=0
∴x1=0x2=﹣4
故本题选D．
点评：本题考查的是用因式分解的方法解方程．
19、若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a+b+c=0且a﹣b+c=0，则方程ax2+bx+c=0的根是（ ）
A、1，0 B、﹣1，0
C、1，﹣1 D、无法确定
20、一元二次方程x2+2x=0的解是（ ）
A、0 B、0或﹣2
C、﹣2 D、没有实数根
考点：一元二次方程的解；解一元二次方程-因式分解法。
专题：方程思想。
分析：根据方程的特点，用因式分解法解此方程，就可以确定选B．
解答：解：方程x2+2x=0，
x（x+2）=0，
解得x1=0，x2=﹣2．
故选B．
点评：本题考查了一元二次方程的解，用因式分解法解更方便．
二、填空题（共5小题）
21、已知方程x2﹣1999x+m=0有两个质数解，则m= 3994 ．
考点：质数与合数；解一元二次方程-因式分解法。
专题：探究型。
分析：先设出方程的两根，再根据根与系数的关系得出两根之和，再根据1999是奇数得出必有一根为2，求出方程的另一根，再根据方程根与系数的关系即可求出m的值．
解答：解：设方程x2﹣1999x+m=0的两根分别为x1、x2，
由一元二次方程根与系数的关系得，x1+x2=1999，
∵1999是奇数，
又∵x1、x2是质数，
∴x1、x2必有一个等于2，
设x1=2，则x2=1997，
∴x1?x2=2×1997=m，
∴m=3994．
故答案为：3994．
点评：本题考查的是质数与合数的概念、一元二次方程根与系数的关系，熟知2既是偶数又是质数的知识是解答此题的关键．
22、已知k为整数，且关于x的二次方程（k2﹣1）x2﹣3（3k﹣1）x+18=0有两个不等的正整数根，则k= 2 ．
23、a是实数，且+|a2﹣2a﹣8|=0，则a的值是 4 ．
考点：非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；解一元二次方程-因式分解法。
分析：根据非负数之和等于0的性质可得关于a的方程组，求出a的值即可．
解答：解：∵+|a2﹣2a﹣8|=0，
∴，
解得a=4．
点评：主要考查的是非负数之和等于0的性质，此类题的性质为非负数之和等于0，各项都等于0，必须注意的是a的值必须同时满足这两个条件．
24、若100a+64和201a+64均为四位数，且均为完全平方数，则整数a的值是 17 ．
考点：完全平方式；因式分解-运用公式法；解一元二次方程-因式分解法；解一元一次不等式组。
专题：计算题；方程思想；因式分解。
分析：由于100a+64和201a+64均为完全平方数，可设100a+64=m2①，201a+64=n2②，则m、n均为正整数，又因为它们都是四位数，则1000≤m2＜10000，1000≤n2＜10000，解得m、n的取值范围，再将②﹣①，得101a=n2﹣m2=（n+m）（n﹣m），因为101是质数，且﹣101＜n﹣m＜101，所以n+m=101，故a=n﹣m=2n﹣101．把a=2n﹣101代入201a+64=n2，得到关于n的一元二次方程，解方程求出n的值，从而求出符合条件的a值．
解答：解：设100a+64=m2①，201a+64=n2②，
则m、n均为正整数，且32≤m＜100，32≤n＜100．
②﹣①，得101a=n2﹣m2=（n+m）（n﹣m），
因为101是质数，且﹣101＜n﹣m＜101，
所以n+m=101，
故a=n﹣m=2n﹣101．
把a=2n﹣101代入201a+64=n2，
整理得n2﹣402n+20237=0，
解得n=59，或n=343（舍去）．
所以a=2n﹣101=17．
故答案为17．
点评：本题主要考查了完全平方数的定义，一元一次不等式组的解法，因式分解，一元二次方程的解法等知识，综合性较强，属于竞赛题型，有一定难度．
25、关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根为x1=1，x2=2，则x2+bx+c分解因式的结果为 （x﹣1）（x﹣2） ．
三、解答题（共5小题）
26、设p为素数，k是正整数．求证：方程x2+px+kp﹣1=0至少有一个整数根的充分必要条件是k=1．
考点：一元二次方程的整数根与有理根；解一元二次方程-因式分解法。
专题：证明题。
分析：运用根与系数的关系，得出p与方程根的关系，利用整除性得出方程x2+px+kp﹣1=0至少有一个整数根的充分必要条件是k=1．
解答：解：充分性，若k=1，则方程有两个整数根，x1=1，x2=p﹣1；
必要性，设方程x2+px+kp﹣1=0有整数解x1和另一根x2，由根与系数的关系得：
x1+x2=﹣p，x1x2=kp﹣1．①
由①知x2也是整数根，假设k＞1，
（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=（k﹣1）p，②
因为p为素数，k﹣1＞0，由②得：p/x1+1，或p/x2+1，
不妨设p/x1+1，则有
其中m为正整数，且m整除k﹣1
由上式相加得：x1+x2+2=±（mp+）．
由①得：﹣p+2=±（mp+）③
若③中右边取正号，则有
（m+1）p+=2，
显然，此式左边大于2，矛盾，若③中右边取负号，则有
（m﹣1）p+2+=0
此式左边大于0，矛盾．
因此，k=1．
点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和素数以及方程整数根的性质，综合性较强．
27、已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2+2（2a﹣1）x+4（a﹣3）=0至少有一个整数根，求a的值．
考点：一元二次方程的整数根与有理根；解一元二次方程-因式分解法。
分析：首先将原方程变形为（x+2）2a=2（x+6），进而分析x+2，以及a的取值，得出所有的可能结果．
解答：解：将原方程变形为（x+2）2a=2（x+6）．
显然x+2≠0，于是a=
由于a是正整数，所以a≥1，即≥1
所以x2+2x﹣8≤0，
（x+4）（x﹣2）≤0，
所以﹣4≤x≤2（x≠﹣2）．
当x=﹣4，﹣3，﹣1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，，1
∴a=1，3，6，10
说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根﹣4，2；
当a=3，6，10时，方程只有一个整数根．
点评：此题主要考查了在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解，题目比较典型．
28、解下列方程或方程组
（1）x2﹣5x﹣4=0；
（2）（x+2）（x+3）=4﹣x2．
（3）﹣﹣2=0，
（4）解方程组．
考点：二元二次方程组；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法；解分式方程。
分析：（1）利用公式法求出一元二次方程的解即可；
（2）首先去括号，再利用十字相乘法分解因式，即可得出答案；
（3）利用换元法假设出y=，求出y的值，进而得出x的值即可；
（4）利用方程②得出y=2x﹣5，再利用代入消元法得出关于x的一元二次方程，求出方程的解即可
解答：解：（1）x2﹣5x﹣4=0；
b2﹣4ac=25+16=41＞0，
x==
∴x1=，x2=；
（2）（x+2）（x+3）=4﹣x2，
x2+5x+6=4﹣x2，
2x2+5x+2=0，
（x+2）（2x+1）=0，
∴x1=﹣2，x2=﹣；
（3）﹣﹣2=0，
设y=，
∴y2﹣y﹣2=0，
（y+1）（y﹣2）=0，
∴y1=﹣1，y2=2，
∴﹣1=，
﹣x=x﹣1，
2x=1，
∴x=，
2=，
2x=x﹣1，
∴x=﹣1，
∴方程的实数根为：﹣1，；
（4）解方程组，
解：由②得：y=2x﹣5，
x2+（2x﹣5）2=10，
∴x2+4x2﹣20x+25=10，
∴5x2﹣20x+15=0，
∴x2﹣4x+3=0，
（x﹣1）（x﹣3）=0，
∴x1=1，x2=3，
∴y1=2×1﹣5=﹣3，
y2=2×3﹣5=1，
∴，．
点评：此题主要考查了一元二次方程、分式方程、二元二次方程组的解法，正确熟练应用换元法以及代入消元法解方程是考查重点，同学们应重点掌握．
29、（1）计算：；
（2）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．
①x2﹣3x+1=0；②（x﹣1）2=3；③x2﹣3x=0；④x2﹣2x=4．
考点：实数的运算；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题。
分析：（1）本题涉及零指数幂还有绝对值，解答时要注意它们的性质．
（2）①x2﹣3x+1=0采用公式法；
②（x﹣1）2=3采用直接开平方法；
③x2﹣3x=0采用因式分解法；
④x2﹣2x=4采用配方法．
解答：解：（1）；
（2）①x2﹣3x+1=0，
解得；
②（x﹣1）2=3，
∴x﹣1=或x﹣1=﹣
解得x1=1+，x2=1﹣
③x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0
解得x1=0，x2=3；
④x2﹣2x=4，
即x2﹣2x﹣4=0
x2﹣2x=4
即x2﹣2x+1=5
（x﹣1）2=5
解得x1=，．
点评：本题考查实数的综合运算能力，解决此类题目的关键熟记零指数幂和绝对值的运算．解一元二次方程时要注意选择适宜的解题方法．
30、（1）计算?；
（2）解方程．
解一元二次方程方程——直接开平方法
一、选择题（共20小题）
1、若x2﹣2xy+y2=4，则x﹣y的值为（ ）
A、2 B、﹣2
C、±2 D、不能确定
2、若分式的值为零，则x的值为（ ）
A、3 B、3或﹣3
C、0 D、﹣3
3、若方程x2﹣c=0的一个根为﹣3，则方程的另一个根为（ ）
A、3 B、﹣3
C、9 D、
4、如果x=2是关于x的方程2x2+3ax﹣2a=0的一个根，那么关于y的方程y2﹣3=a的根是y=（ ）
A、﹣1 B、1
C、±1 D、不能确定
5、已知x=1是一元二次方程（a﹣2）x2+（a2﹣3）x﹣a+1=0的一个根，则a的值是（ ）
A、2 B、﹣2
C、2，﹣2 D、1
6、关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根为0，则a的值为（ ）
A、1 B、﹣1
C、1或﹣1 D、
7、关于x的一元二次方程x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A、1 B、﹣1
C、1或﹣1 D、
8、关于方程式88（x﹣2）2=95的两根，下列判断何者正确（ ）
A、一根小于1，另一根大于3 B、一根小于﹣2，另一根大于2
C、两根都小于0 D、两根都大于2
9、若方程式（3x﹣c）2﹣60=0的两根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为何？（ ）
A、1 B、8
C、16 D、61
10、方程x2﹣4=0的解是（ ）
A、x=2 B、x=﹣2
C、x=±2 D、x=±4
11、若a为方程（x﹣）2=100的一根，b为方程式（y﹣4）2=17的一根，且a、b都是正数，则a﹣b之值为（ ）
A、5 B、6
C、 D、10﹣
12、一元二次方程x2﹣3=0的根为（ ）
A、x=3 B、x=
C、x1=，x2=﹣ D、x1=3，x2=﹣3
13、一元二次方程x2﹣4=0的解是（ ）
A、x=2 B、x=﹣2
C、x1=2，x2=﹣2 D、x1=，x2=﹣
14、方程x2﹣4=0的根是（ ）
A、x=2 B、x=﹣2
C、x1=2，x2=﹣2 D、x=4
15、方程x2=16的解是（ ）
A、x=±4 B、x=4
C、x=﹣4 D、x=16
16、一元二次方程x2﹣4=0的解是（ ）
A、﹣2 B、2
C、± D、±2
17、方程（x﹣2）2=9的解是（ ）
A、x1=5，x2=﹣1 B、x1=﹣5，x2=1
C、x1=11，x2=﹣7 D、x1=﹣11，x2=7
18、若方程x2=m的解是有理数，则实数m不能取下列四个数中的（ ）
A、1 B、4
C、 D、
19、一元二次方程（x﹣1）2=2的解是（ ）
A、x1=﹣1﹣，x2=﹣1+ B、x1=1﹣，x2=1+
C、x1=3，x2=﹣1 D、x1=1，x2=﹣3
20、若（x+1）2﹣1=0，则x的值等于（ ）
A、±1 B、±2
C、0或2 D、0或﹣2
二、填空题（共5小题）
21、如果（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）=7，那么的a+b值为 _________ ．
22、在等式“2×（ ）﹣3×（ ）=15”的括号中分别填入一个数，使这两个数满足：互为相反数．则这两个数是 _________ ， _________ ．
23、如果（a+b+1）（a+b﹣1）=63，那么a+b的值为 _________ ．
24、若，则|a|= _________ ．
25、在括号里填写使下列等式成立的数，要求每一题括号里的数必须相同．
（1）（ _________ ）×（ _________ ）=（ _________ ）﹣（ _________ ）
（2） 2×（ _________ ）=2﹣（ _________ ）
三、解答题（共5小题）
26、求下列各式中的x的值．
（1）（x+10）2=16 （2）
27、设面积为5π的圆的半径为y，请回答下列问题：
（1）y是有理数吗？请说明你的理由；
（2）估计y的值（结果精确到十分位），并用计算器验证你的估计．
28、（1）计算+tan60°；
（2）解方程：（x+3）2=（1﹣2x）2；
（3）解不等式组．并把解集在数轴上表示出来；
（4）先化简，再求值：，其中x=﹣4．
29、计算
（1）已知：（x+1）2=16；求x的值
（2）计算：|﹣3|++﹣．
30、先化简，再从方程x2﹣1=0的根中选择一个合适的数代入求值．
解一元二次方程方程——直接开平方法
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、若x2﹣2xy+y2=4，则x﹣y的值为（ ）
A、2 B、﹣2
C、±2 D、不能确定
考点：因式分解的应用；解一元二次方程-直接开平方法。
分析：首先把方程的左边分解因式，再两边同时开方即可．
解答：解：∵x2﹣2xy+y2=4，
∴（x﹣y）2=4，
∴x﹣y=±2，
故选：C．
点评：此题主要考查了因式分解的应用，关键是根据完全平方公式把方程的左边分解因式．
2、若分式的值为零，则x的值为（ ）
A、3 B、3或﹣3
C、0 D、﹣3
．
3、若方程x2﹣c=0的一个根为﹣3，则方程的另一个根为（ ）
A、3 B、﹣3
C、9 D、
考点：一元二次方程的解；解一元二次方程-直接开平方法。
分析：根据一元二次方程的解的定义，将x=﹣3代入方程x2﹣c=0，求得c的值；然后利用直接开平方法求得方程的另一根．
解答：解：∵方程x2﹣c=0的一个根为﹣3，
∴x=﹣3满足方程x2﹣c=0，
∴（﹣3）2﹣c=0，
解得，c=9；
∴x2=9，
∴x=±3，
解得，x1=3，x2=﹣3；
故方程的另一根是3；
故选A．
点评：本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根一定满足该方程的关系式．
4、如果x=2是关于x的方程2x2+3ax﹣2a=0的一个根，那么关于y的方程y2﹣3=a的根是y=（ ）
A、﹣1 B、1
C、±1 D、不能确定
考点：一元二次方程的解；解一元二次方程-直接开平方法。
分析：根据x=2是关于x的方程2x2+3ax﹣2a=0的一个根，说明x=2满足方程，将x=2代入方程中，可以得到a的值，再代入关于y的方程中，对其求解，即可得到关于y的一元二次方程的解．
解答：解：根据题意，将x=2代入方程2x2+3ax﹣2a=0中，
得8+6a﹣2a=0，
得a=﹣2．
将a=﹣2代入y2﹣3=a中，
得y=±1．
故选：C．
点评：此题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题是解题关键．
5、已知x=1是一元二次方程（a﹣2）x2+（a2﹣3）x﹣a+1=0的一个根，则a的值是（ ）
A、2 B、﹣2
C、2，﹣2 D、1
考点：一元二次方程的解；解一元二次方程-直接开平方法。
专题：方程思想。
分析：把1代入方程，解关于a的方程，求出a的值，因为a﹣2不为0，所以a=2要舍去．
解答：解：把1代入方程有：
a﹣2+a2﹣3﹣a+1=0，
a2=4，
∴a=±2；
∵a﹣2≠0，
∴a≠2．
故选B．
点评：本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，可以求出字母系数a的值，因为一元二次方程的二次项系数不为0，所以把a=2舍去．
6、关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根为0，则a的值为（ ）
A、1 B、﹣1
7、关于x的一元二次方程x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A、1 B、﹣1
C、1或﹣1 D、
考点：一元二次方程的解；解一元二次方程-直接开平方法。
专题：计算题。
分析：把x=0代入方程x2+x+a2﹣1=0得到一个关于a的方程，求出方程的解即可．
解答：解：把x=0代入方程x2+x+a2﹣1=0得：a2﹣1=0，
∴a=±1．
故选C．
点评：本题主要考查对一元二次方程的解，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能得到方程a2﹣1=0是解此题的关键．
8、关于方程式88（x﹣2）2=95的两根，下列判断何者正确（ ）
A、一根小于1，另一根大于3 B、一根小于﹣2，另一根大于2
C、两根都小于0 D、两根都大于2
考点：估算一元二次方程的近似解；解一元二次方程-直接开平方法。
分析：本题需先根据一元二次方程的解法，对方程进行计算，分别解出x1和x2的值，再进行估算即可得出结果．
解答：解：∵88（x﹣2）2=95，
（x﹣2）2=，
x﹣2=，
∴x=+2，
∴，
∴x1＞3，
∴，
∴x2＜1．
故选A．
点评：本题主要考查了对一元二次方程的近似解的估算，解题时要注意在开方的时候不要漏掉方程根，这是解题的关键．
9、若方程式（3x﹣c）2﹣60=0的两根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为何？（ ）
A、1 B、8
C、16 D、61
10、方程x2﹣4=0的解是（ ）
A、x=2 B、x=﹣2
C、x=±2 D、x=±4
考点：解一元二次方程-直接开平方法。
专题：计算题。
分析：方程变形为x2=4，再把方程两边直接开方得到x=±2．
解答：解：x2=4，
∴x=±2．
故选C．
点评：本题考查了直接开平方法解一元二次方程：先把方程变形为x2=a（a≥0），再把方程两边直接开方，然后利用二次根式的性质化简得到方程的解．
11、若a为方程（x﹣）2=100的一根，b为方程式（y﹣4）2=17的一根，且a、b都是正数，则a﹣b之值为（ ）
A、5 B、6
C、 D、10﹣
考点：解一元二次方程-直接开平方法；二次根式的加减法。
分析：先解方程，分别求出a与b的值，再代入，即可得出a﹣b的值．
解答：解：解方程（x﹣）2=100，
得x﹣=±10，
∴x=±10，
解方程（y﹣4）2=17，
得y﹣4=，
∴y=4．
∵a、b都是正数，
∴a=+10，b=4+，
∴a﹣b=（+10）﹣（4+）=6．
故选B．
点评：本题主要考查了运用直接开方法求一元二次方程的解．
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
12、一元二次方程x2﹣3=0的根为（ ）
A、x=3 B、x=
C、x1=，x2=﹣ D、x1=3，x2=﹣3
考点：解一元二次方程-直接开平方法。
分析：先移项，写成x2=3，把问题转化为求3的平方根．
解答：解：移项得x2=3，开方得x1=，x2=﹣．故选C．
点评：用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
13、一元二次方程x2﹣4=0的解是（ ）
A、x=2 B、x=﹣2
C、x1=2，x2=﹣2 D、x1=，x2=﹣
14、方程x2﹣4=0的根是（ ）
A、x=2 B、x=﹣2
C、x1=2，x2=﹣2 D、x=4
考点：解一元二次方程-直接开平方法。
分析：先移项，然后利用数的开方解答．
解答：解：移项得x2=4，开方得x=±2，
∴x1=2，x2=﹣2．
故选C．
点评：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0），ax2=b（a，b同号且a≠0），（x+a）2=b（b≥0），a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”；
（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体；
（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
15、方程x2=16的解是（ ）
A、x=±4 B、x=4
C、x=﹣4 D、x=16
考点：解一元二次方程-直接开平方法。
分析：用直接开方法求一元二次方程x2=16的解．
解答：解：x2=16，∴x=±4．故选A．
点评：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
16、一元二次方程x2﹣4=0的解是（ ）
A、﹣2 B、2
C、± D、±2
17、方程（x﹣2）2=9的解是（ ）
A、x1=5，x2=﹣1 B、x1=﹣5，x2=1
C、x1=11，x2=﹣7 D、x1=﹣11，x2=7
考点：解一元二次方程-直接开平方法。
分析：根据平方根的定义首先开方，求得x﹣2的值，进而求得x的值．
解答：解：开方得，x﹣2=±3
解得x1=5，x2=﹣1．
故选A．
点评：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．
（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
18、若方程x2=m的解是有理数，则实数m不能取下列四个数中的（ ）
A、1 B、4
C、 D、
考点：解一元二次方程-直接开平方法。
专题：方程思想。
分析：将原方程直接开平方求得x=±，然后根据条件方程x2=m的解是有理数，利用排除法解答此题．
解答：解：解方程x2=m，得
x=±；
∵方程x2=m的解是有理数，
∴m是完全平方数；
A、∵（±1）2=1，∴1符号要求；故本选项错误；
B、∵（±2）2=4，∴4符号要求；故本选项错误；
C、∵（±）2=，∴符号要求；故本选项错误；
D、∵（±）2=，而是无理数；故本选项正确；
故选D．
点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
19、一元二次方程（x﹣1）2=2的解是（ ）
A、x1=﹣1﹣，x2=﹣1+ B、x1=1﹣，x2=1+
C、x1=3，x2=﹣1 D、x1=1，x2=﹣3
20、若（x+1）2﹣1=0，则x的值等于（ ）
A、±1 B、±2
C、0或2 D、0或﹣2
考点：解一元二次方程-直接开平方法。
专题：整体思想。
分析：先移项，写成（x+a）2=b的形式，然后利用数的开方解答．
解答：解：移项得，（x+1）2=1，
开方得，x+1=±1，
解得x1=0，x2=﹣2．故选D．
点评：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．
法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．
（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
二、填空题（共5小题）
21、如果（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）=7，那么的a+b值为 ± ．
考点：平方差公式；解一元二次方程-直接开平方法。
专题：整体思想。
分析：把（2a+2b）看作一个整体，然后利用平方差公式展开，再根据平方根的以进行解答即可．
解答：解：（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）=（2a+2b）2﹣1=7，
即4（a+b）2=8，
∴（a+b）2=2，
∴a+b=±．
故答案为：±．
点评：本题考查了平方差公式与直接开平方法解一元二次方程，把（2a+2b）看作一个整体，整体思想的利用是解题的关键．
22、在等式“2×（ ）﹣3×（ ）=15”的括号中分别填入一个数，使这两个数满足：互为相反数．则这两个数是 ， ﹣ ．
考点：实数的性质；解一元二次方程-直接开平方法。
分析：首先根据题意，正确设出未知数，然后根据等式列方程求解．
解答：解：设第一个括号中填a，则第二个括号中填﹣a．
等式就变成6a2=15，解得：a=±，则这两个数是、．
点评：本题利用所填的两数互为相反数这一关系，把问题转化为方程问题解决．
23、如果（a+b+1）（a+b﹣1）=63，那么a+b的值为 ±8 ．
24、若，则|a|= 2 ．
考点：分式的混合运算；分式的基本性质；解一元二次方程-直接开平方法。
专题：计算题。
分析：首先利用分式的基本性质化简得到（1）、（2）、（3）、（4），（1）+（2）+（3）得到和（4）类似的式子，将（4）代入即可求出a值．
解答：解：=，
即：=，
∴+=2a2﹣2b2（1），
同理：=a2（2），
+=2a2+2b2（3），
（4），
（1）+（2）+（3）得：2（）=5a2（5），
把（4）代入（5）得：20=5a2，
解得：|a|=2．
故答案为：2．
点评：本题主要考查了分式的混合运算，分式的基本性质，解一元二次方程等知识点，能巧妙地变式是解此题的关键．
25、在括号里填写使下列等式成立的数，要求每一题括号里的数必须相同．
（1）（ 0 ）×（ 0 ）=（ 0 ）﹣（ 0 ）
（2） 2×（ ）=2﹣（ ）
三、解答题（共5小题）
26、求下列各式中的x的值．
（1）（x+10）2=16 （2）
考点：平方根；解一元二次方程-直接开平方法。
专题：计算题；分类讨论。
分析：（1）可用直接开平方法进行解答；
（2）先移项、把系数化为1，写成x2=a的形式，再用直接开平方法进行解答；
解答：解：（1）（x+10）2=16，
∴x+10=±4，
∴x1=﹣14或x2=﹣6；
（2），
x2=196，
∴x=±14，
∴x1=14或x2=﹣14．
点评：本题考查了直接开方法求一元二次方程的解．
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
27、设面积为5π的圆的半径为y，请回答下列问题：
（1）y是有理数吗？请说明你的理由；
（2）估计y的值（结果精确到十分位），并用计算器验证你的估计．
28、（1）计算+tan60°；
（2）解方程：（x+3）2=（1﹣2x）2；
（3）解不等式组．并把解集在数轴上表示出来；
（4）先化简，再求值：，其中x=﹣4．
考点：实数的运算；分式的化简求值；解一元二次方程-直接开平方法；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。
分析：本题涉及实数的运算，解一元二次方程，解不等式组，分式的化简四个考点．在解题时，需要针对每个考点分别熟悉解题规则，格式及注意事项，准确解答．
解答：解：（1）原式=﹣1﹣2++=+1﹣1﹣2++=；
（2）原方程化为：x+3=1﹣2x或者x+3=﹣（1﹣2x），分别解方程得x1=﹣，x2=4；
（3）解不等式（1）得x＜2，解不等式（2）得x≥﹣1，∴不等式组的解集是﹣1≤x＜2；
（4）原式=÷=?=．
当x=﹣4时，原式==﹣1．
点评：本题考查数，式，方程，不等式几方面的内容，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握每个知识点的解题格式及要求．
29、计算
（1）已知：（x+1）2=16；求x的值
（2）计算：|﹣3|++﹣．
考点：实数的运算；绝对值；算术平方根；零指数幂；二次根式的性质与化简；解一元二次方程-直接开平方法。
分析：（1）用直接开平方法解二元一次方程就可以了．
（2）先去绝对值、二次根式化简和零指数幂的计算，在进行实数的加减计算就可以得出结果．
解答：解：（1）直接开平方得：
（x+1）=±4，
∴x+1=4或x+1=﹣4
∴x=3或x=﹣5
（2）原式=3﹣+2+1﹣6
=﹣
点评：本题考查了实数的运算，去绝对值，算术平方根，零指数幂，二次根式的性质与化简，直接开平方法解二元一次方程．
30、先化简，再从方程x2﹣1=0的根中选择一个合适的数代入求值．
解一元二次方程——配方法
一、选择题（共20小题）
1、关于x的方程x2﹣3mx+m2﹣m=0的一个根为﹣1，那么m的值是（ ）
A、1 B、﹣1
C、1或﹣1 D、2
2、用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（ ）
A、（x+1）2=6 B、（x+2）2=9
C、（x﹣1）2=6 D、（x﹣2）2=9
3、用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2=0时，可配方得（ ）
A、（x﹣2）2=6 B、（x+2）2=6
C、（x﹣2）2=2 D、（x+2）2=2
4、一元二次方程的根（ ）
A、， B、x1=2，x2=﹣2
C、 D、
5、用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（ ）
A、（x+1）2=6 B、（x﹣1）2=6
C、（x+2）2=9 D、（x﹣2）2=9
6、用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5的过程中，配方正确的是（ ）
A、（x+2）2=1 B、（x﹣2）2=1
C、（x+2）2=9 D、（x﹣2）2=9
7、用配方法解一元二次方程x2﹣4x+3=0时可配方得（ ）
A、（x﹣2）2=7 B、（x﹣2）2=1
C、（x+2）2=1 D、（x+2）2=2
8、用配方法解方程3x2﹣6x+1=0，则方程可变形为（ ）
A、（x﹣3）2= B、3（x﹣1）2=
C、（3x﹣1）2=1 D、（x﹣1）2=
9、用配方法解关于x的方程x2+mx+n=0，此方程可变形为（ ）
A、 B、
C、 D、
10、用配方法解方程：x2+x﹣1=0，配方后所得方程是（ ）
A、 B、
C、 D、
11、将一元二次方程式x2﹣6x﹣5=0化成（x+a）2=b的形式，则b=（ ）
A、﹣4 B、4
C、﹣14 D、14
12、用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（ ）
A、（x﹣2）2=2 B、（x+2）2=2
C、（x﹣2）2=﹣2 D、（x﹣2）2=6
13、方程x2+4x=2的正根为（ ）
A、2﹣ B、2+
C、﹣2﹣ D、﹣2+
14、已知方程x2﹣6x+q=0可以配方成（x﹣p）2=7的形式，那么x2﹣6x+q=2可以配方成下列的（ ）
A、（x﹣p）2=5 B、（x﹣p）2=9
C、（x﹣p+2）2=9 D、（x﹣p+2）2=5
15、用配方法解方程x2+4x+1=0，经过配方，得到（ ）
A、（x+2）2=5 B、（x﹣2）2=5
C、（x﹣2）2=3 D、（x+2）2=3
16、将方程x2+4x+1=0配方后，原方程变形为（ ）
A、（x+2）2=3 B、（x+4）2=3
C、（x+2）2=﹣3 D、（x+2）2=﹣5
17、用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1=0，配方后得到的方程是（ ）
A、（x﹣2）2=1 B、（x﹣2）2=4
C、（x﹣2）2=5 D、（x﹣2）2=3
18、（用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣7=0，则方程变形为（ ）
A、（x﹣6）2=43 B、（x+6）2=43
C、（x﹣3）2=16 D、（x+3）2=16
19、方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A、（x+3）2=14 B、（x﹣3）2=14
C、（x+6）2= D、以上答案都不对
20、用配方法将二次三项式a2+4a+5变形，结果是（ ）
A、（a﹣2）2+1 B、（a+2）2+1
C、（a﹣2）2﹣1 D、（a+2）2﹣1
二、填空题（共5小题）
21、当x= _________ 时，代数式的值是0．
22、用配方法解方程x2﹣4x=5时，方程的两边同时加上 _________ ，使得方程左边配成一个完全平方式．
23、一元二次方程x2﹣2x+1=0的根为 _________ ．
24、一元二次方程x2﹣2x﹣2=0的解是 _________ ．
25、当x= _________ 时，代数式x2﹣8x+12的值是﹣4．
三、解答题（共5小题）
26、（1）计算：
（2）解方程：（3x﹣1）（x+2）=11x﹣4
（3）用配方法解方程3x2﹣2x﹣8=0．
27、计算和解方程
（1）计算+（﹣5）2﹣（﹣）0．（2）．
（3）解方程x2﹣4x+3=0 （4）解方程x2+4x﹣1=0．
28、计算：（2）解方程：x2+4x+2=0．
29、（1）计算：
（2）用配方法解方程：x2﹣4x+1=0
（3）用适当的方法解方程：（2x﹣5）2﹣（x+4）2=0．
30、（1）计算：（x+3）2﹣（x﹣1）（x﹣2）
（2）化简：
（3）解方程：x2﹣2x﹣3=0
解一元二次方程——配方法
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、关于x的方程x2﹣3mx+m2﹣m=0的一个根为﹣1，那么m的值是（ ）
A、1 B、﹣1
C、1或﹣1 D、2
考点：一元二次方程的解；解一元二次方程-配方法。
分析：根据方程的解的含义，把﹣1代入原方程，方程成立，故（﹣1）2﹣3m×（﹣1）+m2﹣m=0，即m2+2m+1=0，解关于m的方程即可．
解答：解：∵﹣1是方程x2﹣3mx+m2﹣m=0的一个根，
∴把﹣1代入原方程得，（﹣1）2﹣3m×（﹣1）+m2﹣m=0，
整理得，m2+2m+1=0，
解得，m1=m2=﹣1．
故选B．
点评：方程的解，就是令方程成立的未知数的值，根据方程解的意义，求待定系数的值，是常见的考题．
2、用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（ ）
A、（x+1）2=6 B、（x+2）2=9
C、（x﹣1）2=6 D、（x﹣2）2=9
3、用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2=0时，可配方得（ ）
A、（x﹣2）2=6 B、（x+2）2=6
C、（x﹣2）2=2 D、（x+2）2=2
考点：解一元二次方程-配方法。
分析：根据配方法的方法，先把常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项一般的平方，最后将等号左边配成完全平方式，利用直接开平方法就可以求解了．
解答：解：移项，得x2﹣4x=﹣2
在等号两边加上4，得x2﹣4x+4=﹣2+4
∴（x﹣2）2=2．
故C答案正确．
故选C．
点评：本题是一道一元二次方程解答题，考查了解一元二次方程的基本方法﹣﹣配方法的运用，解答过程注意解答一元二次方程配方法的步骤．
4、一元二次方程的根（ ）
A、， B、x1=2，x2=﹣2
C、 D、
考点：解一元二次方程-配方法。
专题：计算题。
分析：运用配方法，将原方程左边写出完全平方式即可．
解答：解：原方程左边配方，得（x﹣）2=0，
∴x1=x2=．
故选D．
点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
5、用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（ ）
A、（x+1）2=6 B、（x﹣1）2=6
C、（x+2）2=9 D、（x﹣2）2=9
6、用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5的过程中，配方正确的是（ ）
A、（x+2）2=1 B、（x﹣2）2=1
C、（x+2）2=9 D、（x﹣2）2=9
考点：解一元二次方程-配方法。
专题：配方法。
分析：配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
解答：解：∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，∴（x﹣2）2=9．故选D．
点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．
7、用配方法解一元二次方程x2﹣4x+3=0时可配方得（ ）
A、（x﹣2）2=7 B、（x﹣2）2=1
C、（x+2）2=1 D、（x+2）2=2
考点：解一元二次方程-配方法。
专题：配方法。
分析：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要先把常数项移项、二次项系数化1，然后左右两边加上一次项系数一半的平方．
解答：解：∵x2﹣4x+3=0，
∴x2﹣4x=﹣3，
∴x2﹣4x+4=﹣3+4，
∴（x﹣2）2=1．故选B．
点评：配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
8、用配方法解方程3x2﹣6x+1=0，则方程可变形为（ ）
A、（x﹣3）2= B、3（x﹣1）2=
C、（3x﹣1）2=1 D、（x﹣1）2=
9、用配方法解关于x的方程x2+mx+n=0，此方程可变形为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：解一元二次方程-配方法。
专题：配方法。
分析：配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解答：解：∵x2+mx+n=0，
∴x2+mx=﹣n，
∴x2+mx+=﹣n+，
∴（x+）2=．
故选B．
点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
10、用配方法解方程：x2+x﹣1=0，配方后所得方程是（ ）
A、 B、
C、 D、
11、将一元二次方程式x2﹣6x﹣5=0化成（x+a）2=b的形式，则b=（ ）
A、﹣4 B、4
C、﹣14 D、14
考点：解一元二次方程-配方法。
专题：配方法。
分析：配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解答：解：∵x2﹣6x﹣5=0，
∴x2﹣6x=5，
∴x2﹣6x+9=5+9，
∴（x﹣3）2=14．
∴b=14．
故选D．
点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
12、用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（ ）
A、（x﹣2）2=2 B、（x+2）2=2
C、（x﹣2）2=﹣2 D、（x﹣2）2=6
考点：解一元二次方程-配方法。
专题：配方法。
分析：在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．
解答：解：把方程x2﹣4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x=﹣2
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4=﹣2+4
配方得（x﹣2）2=2．
故选A．
点评：配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
13、方程x2+4x=2的正根为（ ）
A、2﹣ B、2+
C、﹣2﹣ D、﹣2+
考点：解一元二次方程-配方法。
专题：配方法。
分析：本题采用配方法解题，将方程左边配成完全平方式，再求方程的解．
解答：解：∵x2+4x=2，
∴（x+2）2=6，
∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；
∴方程x2+4x=2的正根为﹣2+．
故本题选D．
点评：解此题的关键是选择适宜的解题方法，当二次项系数为1时，选择配方法较好．
14、已知方程x2﹣6x+q=0可以配方成（x﹣p）2=7的形式，那么x2﹣6x+q=2可以配方成下列的（ ）
A、（x﹣p）2=5 B、（x﹣p）2=9
C、（x﹣p+2）2=9 D、（x﹣p+2）2=5
15、用配方法解方程x2+4x+1=0，经过配方，得到（ ）
A、（x+2）2=5 B、（x﹣2）2=5
C、（x﹣2）2=3 D、（x+2）2=3
考点：解一元二次方程-配方法。
专题：配方法。
分析：此题考查配方法的一般步骤：
①把常数项移到等号的右边；
②把二次项的系数化为1；
③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解答：解：∵x2+4x+1=0，
∴x2+4x=﹣1，
?x2+4x+4=﹣1+4，
∴（x+2）2=3．
故选D．
点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
16、将方程x2+4x+1=0配方后，原方程变形为（ ）
A、（x+2）2=3 B、（x+4）2=3
C、（x+2）2=﹣3 D、（x+2）2=﹣5
考点：解一元二次方程-配方法。
专题：配方法。
分析：配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解答：解：∵x2+4x+1=0，
∴x2+4x=﹣1，
∴x2+4x+4=﹣1+4，
∴（x+2）2=3．
故选A．
点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
17、用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1=0，配方后得到的方程是（ ）
A、（x﹣2）2=1 B、（x﹣2）2=4
C、（x﹣2）2=5 D、（x﹣2）2=3
考点：解一元二次方程-配方法。
分析：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时首先进行移项，变形成x2﹣4x=1，两边同时加上4，则把左边配成完全平方式，右边化为常数．
解答：解：∵x2﹣4x﹣1=0
∴x2﹣4x=1
∴x2﹣4x+4=1+4
∴（x﹣2）2=5
故选C．
点评：配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
18、用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣7=0，则方程变形为（ ）
A、（x﹣6）2=43 B、（x+6）2=43
C、（x﹣3）2=16 D、（x+3）2=16
考点：解一元二次方程-配方法。
专题：配方法。
分析：首先进行移项变形成x2﹣6x=7，两边同时加上36，则左边是一个完全平方式，右边是一个常数，即可完成配方．
解答：解：∵x2﹣6x﹣7=0，
∴x2﹣6x=7，
∴x2﹣6x+9=7+9，
∴（x﹣3）2=16．
故选C．
点评：配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
19、方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A、（x+3）2=14 B、（x﹣3）2=14
C、（x+6）2= D、以上答案都不对
考点：解一元二次方程-配方法。
专题：配方法。
分析：把方程变形得到x2+6x=5，方程两边同时加上一次项的系数一半的平方，两边同时加上9即可．
解答：解：∵x2+6x﹣5=0
∴x2+6x=5
∴x2+6x+9=5+9
∴（x+3）2=14．
故选A．
点评：配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
20、用配方法将二次三项式a2+4a+5变形，结果是（ ）
A、（a﹣2）2+1 B、（a+2）2+1
C、（a﹣2）2﹣1 D、（a+2）2﹣1
考点：解一元二次方程-配方法。
专题：配方法。
分析：二次项与一次项a2+4a再加上4即构成完全平方式，因而把二次三项式a2+4a+5变形为二次三项式a2+4a+4+1即可．
解答：解：∵a2+4a+5=a2+4a+4﹣4+5，
a2+4a+5=（a+2）2+1．
故选B．
点评：在配方时，注意变化前与变化后式子的值不变．
二、填空题（共5小题）
21、当x= ﹣1 时，代数式的值是0．
考点：分式的值为零的条件；解一元二次方程-配方法。
专题：计算题。
分析：根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
解答：解：由分式的值为零的条件得（x+2）2﹣1=0，x+3≠0，
由（x+2）2﹣1=0，得（x+2）2=1，
∴x=﹣1或x=﹣3，
由x+3≠0，得x≠﹣3．
综上，得x=﹣1．
故空中填：﹣1．
点评：若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
22、用配方法解方程x2﹣4x=5时，方程的两边同时加上 4 ，使得方程左边配成一个完全平方式．
23、一元二次方程x2﹣2x+1=0的根为 x1=x2=1 ．
考点：解一元二次方程-配方法。
专题：计算题。
分析：配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解答：解：∵x2﹣2x+1=0
∴（x﹣1）2=0
∴x1=x2=1．
点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
24、一元二次方程x2﹣2x﹣2=0的解是 x1=1+，x2=1﹣ ．
考点：解一元二次方程-配方法。
专题：计算题。
分析：先观察再确定方法解方程，此题采用配方法比较简单，因为二次项系数为1，首先进行移项，然后方程两边同时加上1即可变形成，左边是完全平方式，右边是常数的形式．
解答：解：∵x2﹣2x﹣2=0
∴x2﹣2x=2
∴（x﹣1）2=3
∴x1=1+，x2=1﹣．
点评：求根公式法和配方法，适用于任何一元二次方程．因为二次项系数为1，所以采用配方法．
25、当x= 4 时，代数式x2﹣8x+12的值是﹣4．
考点：解一元二次方程-配方法。
专题：配方法。
分析：据题意得x2﹣8x+12=﹣4，将其化为一般形式，采用配方法即可求得．
解答：解：据题意得x2﹣8x+12=﹣4
∴x2﹣8x+16=0
∴（x﹣4）2=0
∴x1=x2=4
∴当x=4时，代数式x2﹣8x+12的值是﹣4．
点评：此题考查了学生的应用能力，列得一元二次方程后，注意选择适宜的解题方法．
三、解答题（共5小题）
26、（1）计算：
（2）解方程：（3x﹣1）（x+2）=11x﹣4
（3）用配方法解方程3x2﹣2x﹣8=0．
考点：实数的运算；零指数幂；二次根式的混合运算；解一元一次方程；解一元二次方程-配方法。
分析：（1）根据零指数幂、分母有理化等知识点分别进行计算，再合并即可求出答案；
（2）根据解方程的步骤分别进行计算，再把系数化1，即可求出答案；
（3）先把系数化1，再进行配方即可求出x的值；
解答：解：（1）
=3×1﹣（2﹣）﹣1
=3﹣2+﹣1
=；
（2）（3x﹣1）（x+2）=11x﹣4
3x2+5x﹣2=11x﹣4
3x2﹣6x+2=0，
（x﹣1）2=，
∴x﹣1=，
∴x=+1或x=﹣+1；
（3）3x2﹣2x﹣8=0
x2﹣x﹣=0，
（x﹣）2=，
∴x﹣=，
∴x=2或x=﹣．
点评：此题考查了实数的运算；根据运算顺序和解方程的步骤分别进行计算是解题的关键，解答时要细心，注意结果的符号．
27、计算和解方程
（1）计算+（﹣5）2﹣（﹣）0．（2）．
（3）解方程x2﹣4x+3=0 （4）解方程x2+4x﹣1=0．
考点：实数的运算；零指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；解一元二次方程-配方法。
专题：计算题。
分析：（1）本题涉及零指数幂、有理数的乘方、二次根式3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
（2）先把括号内的化简，化为最简后再算除法；
（3）按照十字相乘法计算即可；
（4）按照配方法解方程的步骤求解即可，①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数．
28、计算：（2）解方程：x2+4x+2=0．
考点：实数的运算；绝对值；零指数幂；二次根式的性质与化简；解一元二次方程-配方法。
专题：计算题。
分析：（1）先根据二次根式的性质化简，绝对值的性质去掉绝对值号，任何非0数的0次幂等于1计算，然后再合并同类二次根式即可；
（2）先利用完全平方公式配方，然后用直接开平方法解方程即可．
解答：（1）解：+|﹣2|+（2﹣π）0
原式=2+2﹣+1
=3+；
（2）x2+4x+2=0，
x2+4x+4﹣2=0，
（x+2）2=2，
∴x+2=或x+2=﹣，
解得x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．
点评：本题考查了实数的运算，以及配方法解一元二次方程，熟记二次根式的性质，绝对值的性质，是综合计算题，难度不大，需细心计算．
29、（1）计算：
（2）用配方法解方程：x2﹣4x+1=0
（3）用适当的方法解方程：（2x﹣5）2﹣（x+4）2=0．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元二次方程-配方法。
专题：计算题。
分析：（1）根据负整数指数幂和零指数幂的性质，解答出即可；
（2）由二次项系数是1及一次项系数是﹣4，可把原方程配方得（x﹣2）2=3，然后，开方解答出即可；
（3）原方程可整理得，（2x﹣5）2=（x+4）2，然后，两边开方、整理，解答出即可；
解答：解：（1）原式=2﹣4+3+1=2；
（2）方程x2﹣4x+1=0，
配方得，（x﹣2）2﹣4+1=0，
∴（x﹣2）2=3，
∴x﹣2=或x﹣2=﹣，
∴x=2+或x=2﹣；
（3）原方程（2x﹣5）2﹣（x+4）2=0，
∴（2x﹣5）2=（x+4）2，
∴2x﹣5=x+4或2x﹣5=﹣x﹣4，
解得x=9或x=．
点评：本题考查了实数的运算，负整数、零指数幂及配方法解一元二次方程，考查了学生综合运用知识解答问题的能力．
30、（1）计算：（x+3）2﹣（x﹣1）（x﹣2）
（2）化简：
（3）解方程：x2﹣2x﹣3=0
考点：整式的混合运算；分式的加减法；解一元二次方程-配方法。
专题：计算题。
分析：（1）首先计算一次式的平方和两个一次式的积，然后进行减法计算即可；
（2）首先把第一个分式进行化简转化为同分母的分式的加法，即可计算；
（3）利用配方法，移项使方程的右边只有常数项，方程两边同时加上一次项系数的一半，则左边是完全平方式，右边是常数，即可利用直接开平方法求解．
解答：解：
（1）（x+3）2﹣（x﹣1）（x﹣2）
=x2+6x+9﹣（x2﹣3x+2）
=x2+6x+9﹣x2+3x﹣2
=9x+7．
（2）
=
=
=1．
（3）移项，得x2﹣2x=3，配方，
得（x﹣1）2=4，
∴x﹣1=±2，
∴x1=﹣1，x2=3．
点评：（1）解决本题的关键是掌握整式乘法法则；
（2）本题主要考查分式运算的掌握情况；
（3）本题主要考查了配方法解一元二次方程，正确理解解题步骤是解题关键．
