一元二次方程的应用
一、选择题（共20小题）
1、近年来，全国各地房价不断上涨，我市2010年12月份的房价平均每平方米为4200元，比2008年同期的房价平均每平方米上涨了1800元．假设这两年我市房价的平均增长率为x，则由题意可列出关于x的方程为（ ）
A、（1+x）2=4200 B、1800（1+x）2=4200
C、（4200﹣1800）（1+x）=4200 D、（4200﹣1800）（1+x）2=4200
2、如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分（ ）
A、11 B、12
C、13 D、14
3、平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定21条直线．则n的值为（ ）
A、5 B、6
C、7 D、8
4、庆“五一”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有（ ）队参加比赛．
A、12 B、11
C、9 D、10
5、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（ ）个人．
A、12 B、11
C、10 D、9
6、为执行“两免一补”政策，丹东地区2007年投入教育经费2 500万元，预计2009年投入3 600万元，则这两年投入教育经费的平均增长率为（ ）
A、10% B、20%
C、30% D、15%
7、为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2若每年的年增长率相同，则年增长率为（ ）
A、9% B、10%
C、11% D、12%
8、如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（ ）
A、1米 B、1.5米
C、2米 D、2.5米
9、受全球金融危机的影响，2008年某家电商城的销售额由第二季度的800万元下降到第四季度的648万元，则该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为（ ）
A、10% B、20%
C、19% D、25%
10、某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是（ ）
A、20% B、27%
C、28% D、32%
11、某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%，则平均每次降价（ ）
A、10% B、19%
C、9.5% D、20%
12、国家实施惠农政策后，某镇农民人均收入经过两年由1万元提高到1.44万元．这两年该镇农民人均收入的平均增长率是（ ）
A、20% B、22%
C、10% D、11%
13、有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A、8人 B、9人
C、10人 D、11人
14、据2007年5月8日《台州晚报》报导，今年“五一”黄金周我市各旅游景点共接待游客约334万人，旅游总收入约9亿元．已知我市2005年“五一”黄金周旅游总收入约6.25亿元，那么这两年同期旅游总收入的年平均增长率约为（ ）
A、12% B、16%
C、20% D、25%
15、某种服装原价为200元，连续两次涨价a%后，售价为242元，则a的值为（ ）
A、5 B、10
C、15 D、21
16、某城市计划经过两年的时间，将城市绿地面积从今年的144万平方米提高到225万平方米，则每年平均增长（ ）
A、15% B、20%
C、25% D、30%
17、三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是
（ ）
A、24 B、24或8
C、48 D、8
点评：本题考查了三角形的三边关系．
看到此类题目时，学生常常会产生害怕心理，不知如何下手答题，因此我们会在解题时一步一步地计算，让学生能更好地解出此类题目．
18、某商品经过两次降价，由每件100元调至81元，则平均每次降价的百分率是（ ）
A、8.5% B、9%
C、9.5% D、10%
19、如图，是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示小矩形的两边长（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ）
A、x+y=7 B、x﹣y=2
C、x2+y2=25 D、4xy+4=49
20、某超市2005年一月份的营业额为200万元，三月份营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率是（ ）
A、10% B、15%
C、20% D、25%
二、填空题（共5小题）
21、某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是 25% ．
22、如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是 1 m（可利用的围墙长度超过6m）．
23、某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 20% ．
24、“十二五”时期，山西将建成中西部旅游强省，以旅游业为龙头的服务业将成为推动山西经济发展的丰要动力．2010年全省全年旅游总收入大约l000亿元，如果到2012年全省每年旅游总收入要达到1440亿元，那么年平均增长率应为 20% ．
25、某种药品原价为100元，经过连续两次的降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价后的百分率是 20% ．
三、解答题（共5小题）
26、（1）a，b取什么实数时，等式=﹣a2|﹣﹣1|成立；
（2）某车间一月份生产零件7000个，三月份生产零件8470个，该车间这两个月生产零件平均每月增长的百分率是多少？
27、列方程（组）解下列应用题：
（1）一种商品的进价是400元，标价为600元，打折销售时的利润率为5%，那么，此商品是按几折销售的？
（2）某化肥厂去年四月份生产化肥500吨，因管理不善，五月份的产量减少了10%．从六月起强化管理，产量逐月上升，七月份产量达到648吨．那么该厂六、七两月产量平均增长的百分率是多少？
28、椐报道，2007年“五?一”黄金周宜昌市共接待游客约80万人，旅游总收入约2.56亿元．其中县区接待的游客人数占全市接待的游客人数的60%，而游客人均旅游消费（旅游总收入÷旅游总人数）比城区接待的游客人均旅游消费少50元．
（1）2007年“五?一”黄金周，宜昌市城区与县区的旅游收入分别是多少万元？
（2）预计2008年“五?一”黄金周与2007年同期相比，全市旅游总收入增长的百分数是游客人均旅游消费增长百分数的2.59倍，游客人数增长的百分数是游客人均旅游消费增长百分数的1.5倍．请估计2008年“五?一”黄金周全市的旅游总收入是多少亿元？（保留3个有效数字）
29、光华机械厂生产某种产品，1999年的产量为2000件，经过技术改造，2001年的产量达到2420件，平均每年增长的百分率是多少？
30、2008年漳州市出口贸易总值为22.52亿美元，至2010年出口贸易总值达到50.67亿美元，反映了两年来漳州市出口贸易的高速增长．
（1）求这两年漳州市出口贸易的年平均增长率；
（2）按这样的速度增长，请你预测2011年漳州市的出口贸易总值．
（温馨提示：2252=4×563，5067=9×563）
一元二次方程的应用
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、近年来，全国各地房价不断上涨，我市2010年12月份的房价平均每平方米为4200元，比2008年同期的房价平均每平方米上涨了1800元．假设这两年我市房价的平均增长率为x，则由题意可列出关于x的方程为（ ）
A、（1+x）2=4200 B、1800（1+x）2=4200
C、（4200﹣1800）（1+x）=4200 D、（4200﹣1800）（1+x）2=4200
考点：由实际问题抽象出一元二次方程；一元二次方程的应用。
分析：由于设这两年该县房价的平均增长率均为x，那么2008年12月份的房价平均每平方米为4200﹣1800元，2009年12月份的房价平均每平方米为（4200﹣1800）（1+x）元，2010年12月份的房价平均每平方米为（4200﹣1800）（1+x）（1+x）元，然后根据某县2010年12月份的房价平均每平方米为4200元即可列出方程．
解答：解：依题意得：（4200﹣1800）（1+x）2=4200．
故选D．
点评：本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次涨价后商品的售价，再根据题意列出第二次涨价后的售价，令其等于最后价格即可．
2、如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分（ ）
A、11 B、12
C、13 D、14
3、平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定21条直线．则n的值为（ ）
A、5 B、6
C、7 D、8
考点：一元二次方程的应用。
专题：规律型。
分析：这是个规律性题目，关键是找到不在同一直线上的n个点，可以确定多少条直线这个规律，当有n个点时，就有，从而可得出n的值．
解答：解：设有n个点时，
=21
n=7或n=﹣6（舍去）．
故选C．
点评：本题是个规律性题目，关键知道当不在同一平面上的n个点时，可确定多少条直线，代入21可求出解．
4、庆“五一”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有（ ）队参加比赛．
A、12 B、11
C、9 D、10
5、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（ ）个人．
A、12 B、11
C、10 D、9
考点：一元二次方程的应用。
专题：其他问题。
分析：患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是x+1人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：1+x+x（1+x）=121，解方程即可求解．
解答：解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x（1+x）=121，即（1+x）2=121
解方程得x1=10，x2=﹣12（舍去）
故选C．
点评：本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．
6、为执行“两免一补”政策，丹东地区2007年投入教育经费2 500万元，预计2009年投入3 600万元，则这两年投入教育经费的平均增长率为（ ）
A、10% B、20%
C、30% D、15%
考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2008年的教育经费是2500（1+x）万元，在2008年的基础上再增长x，就是2009年的教育经费数额，即可列出方程求解．
解答：解：根据题意2008年为2500（1+x），2009年为2500（1+x）（1+x）．
则2500（1+x）（1+x）=3600
解得x=0.2
故这两年投入教育经费的平均增长率为20%．
故选B．
点评：本题考查了增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．
7、为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2若每年的年增长率相同，则年增长率为（ ）
A、9% B、10%
C、11% D、12%
8、如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（ ）
A、1米 B、1.5米
C、2米 D、2.5米
考点：一元二次方程的应用。
专题：几何图形问题。
分析：要求修建的路宽，就要设修建的路宽应为x米，根据题意可知：矩形地面﹣所修路面积=耕地面积，依此列出等量关系解方程即可．
解答：解：设修建的路宽应为x米
根据等量关系列方程得：20×30﹣（20x+30x﹣x2）=551，
解得：x=49或1，
49不合题意，舍去，
故选A．
点评：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意：矩形面积在减路的面积时，20x+30x中有一个小正方形的面积是重复计算的，所以要再减去x×x面积．
9、受全球金融危机的影响，2008年某家电商城的销售额由第二季度的800万元下降到第四季度的648万元，则该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为（ ）
A、10% B、20%
C、19% D、25%
考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：本题可设该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为x，则第三季度为800（1﹣x）万元，第四季度为800（1﹣x）（1﹣x）万元，即800（1﹣x）2万元，由此可列出方程，进而求解．
解答：解：设该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为x，则第三季度为800（1﹣x）万元，第四季度为800（1﹣x）2万元，
根据题意得800（1﹣x）2=648
整理得（1﹣x）2=0.81
解之得x1=1.9，x2=0.1
因为x=1.9不合题意，应舍去，所以x=0.1，即该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为0.1，即10%．
故选A．
点评：此类题目旨在考查下降率，要注意下降的基础，另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
10、某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是（ ）
A、20% B、27%
C、28% D、32%
11、某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%，则平均每次降价（ ）
A、10% B、19%
C、9.5% D、20%
考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：降低后的价格=降低前的价格×（1﹣降低率），如果设平均每次降价x，原价是1，则第一次降低后的价格是（1﹣x），那么第二次后的价格是（1﹣x）2，即可列出方程求解．
解答：解：设平均每次降价x，根据题意得（1﹣x）2=81%，
解得x=0.1或1.9
x=1.9不符合题意，舍去
平均每次降价10%．
故选A．
点评：本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）
12、国家实施惠农政策后，某镇农民人均收入经过两年由1万元提高到1.44万元．这两年该镇农民人均收入的平均增长率是（ ）
A、20% B、22%
C、10% D、11%
考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这两年该镇农民人均收入的平均增长率是x，那么由题意可得出1×（1+x）2=1.44，解方程即可求解．
解答：解：设这两年该镇农民人均收入的平均增长率是x，根据题意得1×（1+x）2=1.44
解得x=﹣2.2（不合题意舍去），x=0.2
所以这两年该镇农民人均收入的平均增长率是20%．
故选A．
点评：可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
13、有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A、8人 B、9人
C、10人 D、11人
14、据2007年5月8日《台州晚报》报导，今年“五一”黄金周我市各旅游景点共接待游客约334万人，旅游总收入约9亿元．已知我市2005年“五一”黄金周旅游总收入约6.25亿元，那么这两年同期旅游总收入的年平均增长率约为（ ）
A、12% B、16%
C、20% D、25%
考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：本题可设这两年同期旅游总收入的年平均增长率为x，则06年旅游总收入为6.25（1+x）亿元，07年为6.25（1+x）（1+x）亿元，即6.25（1+x）2亿元，由此可列出方程，进而求解．
解答：解：设这两年同期旅游总收入的年平均增长率约为x，根据题意，
得：6.25（1+x）2=9
即（1+x）2=1.44
解之，得x1=0.2，x2=﹣2.2．
因x=﹣2.2不合题意，应舍去，所以x=0.2，
即这两年同期旅游总收入的年平均增长率约为0.2即20%．
故选C．
点评：此类题目旨在考查增长率，要注意增长的基础，另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．
15、某种服装原价为200元，连续两次涨价a%后，售价为242元，则a的值为（ ）
A、5 B、10
C、15 D、21
考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：本题中原价为200元，第一次涨价后价格变为200（1+a%）元，第二次在200（1+a%）元的基础之上又涨a%，变为200（1+a%）（1+a%）即200（1+a%）2元，从而可列出方程，进而求解．
解答：解：200（1+a%）2=242，
整理得（1+a%）2=1.21，
解之得a%=0.1=10%或a%=﹣2.1（舍去）．
故a=10．
故选B．
点评：此类题目旨在考查增长率的定义，要注意增长的基数，另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．
16、某城市计划经过两年的时间，将城市绿地面积从今年的144万平方米提高到225万平方米，则每年平均增长（ ）
A、15% B、20%
C、25% D、30%
考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：求增长率的等量关系：增长后的量=（1+增长率）增长的次数×增长前的量．
解答：解：设每年平均增长x，
根据题意得：144×（1+x）2=225，
解之得，x=0.25或﹣2.25（舍去）
答：每年平均增长25%．
故选C．
点评：掌握求增长率的等量关系．利用一元二次方程的模型解题．
17、三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是
（ ）
A、24 B、24或8
C、48 D、8
点评：本题考查了三角形的三边关系．
看到此类题目时，学生常常会产生害怕心理，不知如何下手答题，因此我们会在解题时一步一步地计算，让学生能更好地解出此类题目．
18、某商品经过两次降价，由每件100元调至81元，则平均每次降价的百分率是（ ）
A、8.5% B、9%
C、9.5% D、10%
考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：降低后的价格=降低前的价格×（1﹣降低率），如果设平均每次降价的百分率是x，则第一次降低后的价格是（1﹣x），那么第二次后的价格是（1﹣x）2，即可列出方程求解．
解答：解：设平均每次降价的百分率是x，则100×（1﹣x）2=81，
解之得x=0.1或1.9（不合题意，舍去）．
则x=0.1=10%
答：平均每次降价的百分率是10%．
故选D．
点评：本题类似增长率问题，规律为：基数?（1﹣降低率）n=n次降低后到达的数．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
19、如图，是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示小矩形的两边长（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ）
A、x+y=7 B、x﹣y=2
C、x2+y2=25 D、4xy+4=49
考点：一元二次方程的应用。
专题：几何图形问题。
分析：本题中正方形图案的边长7，同时还可用（x+y）来表示，其面积从整体看是49，从组合来看，可以是（x+y）2，还可以是（4xy+4），接下来，我们再灵活运用等式的变形，即可作出判断．
解答：解：A、因为正方形图案的边长7，同时还可用（x+y）来表示，故x+y=7正确；
B、因为正方形图案面积从整体看是49，从组合来看，可以是（x+y）2，还可以是（4xy+4），所以有（x+y）2=49，4xy+4=49即xy=，所以（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=49﹣45=4，即x﹣y=2；
C、x2+y2=（x+y）2﹣2xy=49﹣2×=，故x2+y2=25是错误的；
D、由B可知4xy+4=49．
故选C．
点评：本题的解答需结合图形，利用等式的变形来解决问题．
20、某超市2005年一月份的营业额为200万元，三月份营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率是（ ）
A、10% B、15%
C、20% D、25%
二、填空题（共5小题）
21、某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是 25% ．
考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：设平均每月增长的百分率是x，根据4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，可列方程求解．
解答：解：设平均每月增长的百分率是x，
160（1+x）2=250
x=25%或x=﹣225%（舍去）．
平均每月增长的百分率是25%．
故答案为：25%．
点评：本题考查的是一个增长率问题，关键知道4月份的利润为160万元，6月份的利润达到250万元，从而求出每个月的增长率．
22、如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是 1 m（可利用的围墙长度超过6m）．
23、某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 20% ．
考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．
解答：解：设这个增长率是x，根据题意得：
2000×（1+x）2=2880
解得：x1=20%，x2=﹣220%（舍去）
故答案为：20%．
点评：本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键．
24、“十二五”时期，山西将建成中西部旅游强省，以旅游业为龙头的服务业将成为推动山西经济发展的丰要动力．2010年全省全年旅游总收入大约l000亿元，如果到2012年全省每年旅游总收入要达到1440亿元，那么年平均增长率应为 20% ．
考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：根据题意设年平均增长率为x，列出一元二次方程，解方程即可得出答案．
解答：解：设年平均增长率为x，
则1000（1+x）2=1440，
解得x1=0.2或x2=﹣2.2（舍去），
故年平均增长率为20%；
故答案为20%．
点评：本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．
25、某种药品原价为100元，经过连续两次的降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价后的百分率是 20% ．
考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：此题可设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1﹣x）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（x﹣1）（x﹣1），即100（x﹣1）2元，从而列出方程，求出答案．
解答：解：设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（1﹣x）2元．
根据题意，得100（1﹣x）2=64，
即（1﹣x）2=0.64，
解得x1=1.8，x2=0.2．
因为x=1.8不合题意，故舍去，
所以x=0.2．
即每次降价的百分率为0.2，即20%．
故答案为：20%．
点评：考查了一元二次方程的应用，此题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍．
三、解答题（共5小题）
26、（1）a，b取什么实数时，等式=﹣a2|﹣﹣1|成立；
（2）某车间一月份生产零件7000个，三月份生产零件8470个，该车间这两个月生产零件平均每月增长的百分率是多少？
27、列方程（组）解下列应用题：
（1）一种商品的进价是400元，标价为600元，打折销售时的利润率为5%，那么，此商品是按几折销售的？
（2）某化肥厂去年四月份生产化肥500吨，因管理不善，五月份的产量减少了10%．从六月起强化管理，产量逐月上升，七月份产量达到648吨．那么该厂六、七两月产量平均增长的百分率是多少？
考点：一元一次方程的应用；一元二次方程的应用。
专题：增长率问题；经济问题。
分析：（1）设此商品按x折销售，根据商品进价和标价及利润间关系可得方程；
（2）设该厂六，七两月产量平均增长的百分率为x，根据产量的减少和增加可列方程求解．
解答：解：（1）设此商品按x折销售．
600x=400（1+5%），
可求得x=0.7．
（2）设该厂六，七两月产量平均增长的百分率为x．
5月产量为500（1﹣10%）=450，则6月是450（1+x），7月为450（1+x）（1+x）=648．则：
（1+x）2==1.44，
1+x=1.2，
x=20%．
答：该厂六、七两月产量平均增长的百分率是为20%．
点评：本题考查数量平均变化率问题．原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．
28、椐报道，2007年“五?一”黄金周宜昌市共接待游客约80万人，旅游总收入约2.56亿元．其中县区接待的游客人数占全市接待的游客人数的60%，而游客人均旅游消费（旅游总收入÷旅游总人数）比城区接待的游客人均旅游消费少50元．
（1）2007年“五?一”黄金周，宜昌市城区与县区的旅游收入分别是多少万元？
（2）预计2008年“五?一”黄金周与2007年同期相比，全市旅游总收入增长的百分数是游客人均旅游消费增长百分数的2.59倍，游客人数增长的百分数是游客人均旅游消费增长百分数的1.5倍．请估计2008年“五?一”黄金周全市的旅游总收入是多少亿元？（保留3个有效数字）
考点：二元一次方程组的应用；一元二次方程的应用。
分析：提取题中有用的信息：
1、游客总人数80万人，旅游总收入2.56亿元，则人均旅游消费2.56亿元÷80万人=320元/人；
2、县区旅游人数占全市接待的游客人数的60%，所以县区游客有80万人×60%=48万人，城区游客人数就有80﹣48=32万人；
3、县区游客人均旅游消费（旅游总收入÷旅游总人数）比城区接待的游客人均旅游消费少50元，设城区游客人均消费x元，则县区游客人均消费（x﹣50）元，则可以得到关系式32x+48（x﹣50）=25600万元，解得x=350元，就可以分别求得城区游客消费32×350=11200万元，县区游客消费25600﹣11200=14400万元；
4、设2008年与2007年相比，游客人均旅游消费增长的百分数为z，则旅游总收入增长的百分数为2.59z，旅游人数增长的百分数为1.5z．
解答：解：（1）2.56亿=25600万
方法一：设城区与县区旅游收入分别为x万元和y万元．
依据题意可列方程组：（3分）
解方程组得：（3分）
答：城区与县（市）区的旅游收入分别是11200万元和14400万元．（4分）
方法二：设城区游客人均消费x元，则县区游客人均消费（x﹣50）元．
依据题意可列方程：80×（1﹣60%）x+80×60%（x﹣50）=25600，（1分）
解得：x=350（2分），
350×80×（1﹣60%）=11200（万元），25600﹣11200=14400（万元）（3分）
答：城区与县（市）区的旅游收入分别是11200万元和14400万元．（4分）
（2）设2008年与2007年相比，游客人均旅游消费增长的百分数为z，则旅游总收入增长的百分数为2.59z，旅游人数增长的百分数为1.5z，（1分）
依据题意可列方程：（1+z）×80（1+1.5z）=25600（1+2.59z）（3分）
化简并整理得：1.5z2﹣0.09z=0，
解得：z=0.06或z=0（舍去）（4分）
2008年“五?一”黄金周宜昌市的旅游总收入为：
25600（1+2.59z）=25600×（1+0.1554）=29578.24（万元）（5分）
=2.957824（亿元）≈2.96（亿元）（6分）．（不按要求取近似值或者取近似值错误扣1分）
答：估计2008年“五?一”黄金周全市的旅游总收入是2.96亿元．
点评：本题主要理清：游客人数与旅游消费的关系，城区游客与县区游客人数的关系，城区游客人均消费与县区游客人均消费的关系．
29、光华机械厂生产某种产品，1999年的产量为2000件，经过技术改造，2001年的产量达到2420件，平均每年增长的百分率是多少？
30、2008年漳州市出口贸易总值为22.52亿美元，至2010年出口贸易总值达到50.67亿美元，反映了两年来漳州市出口贸易的高速增长．
（1）求这两年漳州市出口贸易的年平均增长率；
（2）按这样的速度增长，请你预测2011年漳州市的出口贸易总值．
（温馨提示：2252=4×563，5067=9×563）
考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：（1）设年平均增长率为x，则2009年出口贸易总值达到22.52（1+x）亿美元；
2010年出口贸易总值达到22.52（1+x）（1+x）=22.52（1+x）2亿美元，得方程求解；
（2）2011年出口贸易总值=50.67（1+x）．
解答：解：（1）设年平均增长率为x，依题意得 …（1分）
22.52 （1+x）2=50.67，…（3分）
1+x=±1.5，
∴x1=0.5=50%，x1=﹣2.5（舍去）． …（5分）
答：这两年漳州市出口贸易的年平均增长率为50%； …（6分）
（2）50.67×（1+50%）=76.005（亿元）． …（9分）
答：预测2011年漳州市的出口贸易总值76.005亿元． …（10分）
点评：此题考查一元二次方程的应用．增长率的问题主要是搞清楚基数，再表示增长后的数据．
由实际问题抽象出一元二次方程
一、选择题（共20小题）
1、由于国家出台对房屋的限购令，我省某地的房屋价格原价为2400元/米2，通过连续两次降价a%后，售价变为2000元/米2，下列方程中正确的是（ ）
A、2400（1﹣a2）=2000 B、2000（1﹣a2）=2400
C、2400（1+a）2=2000 D、2400（1﹣a）2=2000
2、某品牌服装原价173元，连续两次降价x%后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（ ）
A、173（1+x%）2=127 B、173（1﹣2x%）=127
C、173（1﹣x%）2=127 D、127（1+x%）2=173
3、某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A、x（x﹣1）=2070 B、x（x+1）=2070
C、2x（x+1）=2070 D、
4、某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A、289（1﹣x）2=256 B、256（1﹣x）2=289
C、289（1﹣2x）2=256 D、256（1﹣2x）2=289
5、某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为（ ）
A、x（x﹣10）=200 B、2x+2（x﹣10）=200
C、x（x+10）=200 D、2x+2（x+10）=200
6、广州亚运会期间，某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程正确的是（ ）
A、168（1+a%）2=128 B、168（1﹣a%）2=128
C、168（1﹣2a%）=128 D、168（1﹣a%）=128
7、据调查，某市2011年的房价为4000元/m2，预计2013年将达到4840元/m2，求这两年的年平均增长率，设年平均增长率为x，根据题意，所列方程为（ ）
A、4000（1+x）=4840 B、4000（1+x）2=4840
C、4000（1﹣x）=4840 D、4000（1﹣x）2=4840
8、某工厂今年元月份的产量是50万元，3月份的产值达到了72万元．若求2、3月份的产值平均增长率，设这两个月的产值平均月增长率为x，依题意可列方程（ ）
A、72（x+1）2=50 B、50（x+1）2=72
C、50（x﹣1）2=72 D、72（x﹣1）2=50
9、某商品原价为180元，连续两次提价x%后售价为300元，下列所列方程正确的是（ ）
A、180（1+x%）=300 B、180（1+x%）2=300
C、180（1﹣x%）=300 D、180（1﹣x%）2=300
10、在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ）
A、x（x﹣1）=10 B、=10
C、x（x+1）=10 D、=10
11、上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元．下列所列方程中正确的是（ ）
A、168（1+a）2=128 B、168（1﹣a%）2=128
C、168（1﹣2a%）=128 D、168（1﹣a2%）=128
12、某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A、50（1+x）2=182 B、50+50（1+x）+50（1+x）2=182
C、50（1+2x）=182 D、50+50（1+x）+50（1+2x）2=182
13、近年来，全国房价不断上涨，某县2010年4月份的房价平均每平方米为3600元，比2008年同期的房价平均每平方米上涨了2000元，假设这两年该县房价的平均增长率均为x，则关于x的方程为（ ）
A、（1+x）2=2000 B、2000（1+x）2=3600
C、（3600﹣2000）（1+x）=3600 D、（3600﹣2000）（1+x）2=3600
14、某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3000万元，预计2009年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A、3000（1+x）2=5000 B、3000x2=5000
C、3000（1+x%）2=5000 D、3000（1+x）+3000（1+x）2=5000
15、某厂前年的产值为50万元，今年上升到72万元，这两年的平均增长率是多少？若设每年的增长率为x，则有方程（ ）
A、50（1+x）=72 B、50（1+x）+50（1+x）2=72
C、50（1+x）2=72 D、50x2=72
16、用长4米的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为米2，若设它的一边长为x米，根据题意列出关于x的方程为（ ）
A、x（4﹣x）= B、2x（2﹣x）=
C、x（4﹣2x）= D、x（2﹣x）=
17、为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2 500万元，预计2008年投入3 600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（ ）
A、2500x2=3600 B、2500（1+x）2=3600
C、2500（1+x%）2=3600 D、2500（1+x）+2500（1+x）2=3600
18、为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据题意所列方程为（ ）
A、20x2=25 B、20（1+x）=25
C、20（1+x）2=25 D、20（1+x）+20（1+x）2=25
19、如图，在长70m，宽40m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使观赏路面积占总面积的，则路宽x应满足的方程是（ ）
A、（40﹣x）（70﹣x）=350 B、（40﹣2x）（70﹣3x）=2450
C、（40﹣2x）（70﹣3x）=350 D、（40﹣x）（70﹣x）=2450
20、在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A、x2+130x﹣1400=0 B、x2+65x﹣350=0
C、x2﹣130x﹣1400=0 D、x2﹣65x﹣350=0
二、填空题（共5小题）
21、如图（1），在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？设宽为x m，从图（2）的思考方式出发列出的方程是 （32﹣2x）（20﹣x）=570 ．
22、某商场在促销活动中，将原价36元的商品，连续两次降价m%后现价为25元．根据题意可列方程为 36（1﹣m%）2=25 ．
23、某家用电器经过两次降价，每台零售价由350元下降到299元．若两次降价的百分率相同，设这个百分率为x，则可列出关于x的方程为 350×（1﹣x）2=299． ．
24、某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为 120（1﹣x）2=100 ．
25、某市2007年、2009年商品房每平方米平均价格分别为4000元、5760元，假设2007年后的两年内，商品房每平方米平均价格的年增长率都为x，试列出关于x的方程： 4000（1+x）2=5760 ．
三、解答题（共5小题）
26、下表数据来源于国家统计局《国民经济和社会发展统计公报》．
2001﹣2004年国内汽车年产量统计表
2001年
2002年
2003年
2004年
汽车（万辆）
233
325.1
444.39
507.41
其中轿车（万辆）
70.4
109.2
202.01
231.40
（1）根据上表将下面的统计图补充完整；
（2）
请你写出三条从统计图中获得的信息；
（3）根据2004年汽车年产量和目前销售情况，有人预测2006年国内汽车年产量应上升至650万辆．根据这一预测，假设这两年汽车年产量平均年增长率为x，则可列出方程 507.41×（1+x）2=650 ．
27、（教材变式题）如图所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，求满足x的方程．
28、百货大楼服装柜销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十?一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要使平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
请先填空后再列方程求解：设每件童装降价 x 元，那么平均每天就可多售出 2x 件，
现在一天可售出 20+2x 件，每件盈利 40﹣x 元．
29、一个大正方形的边长是小正方形边长的3倍多1，若两正方形面积和为53，求两正方形的边长．（列方程，并化为一般式）
30、某超市销售一种品牌童装，平均每天可售出30件，每件盈利40元．面对2008年下半年全球的金融危机，超市采用降价措施，每件童装每降价2元，平均每天就多售出6件．要使平均每天销售童装利润为1000元，那么每件童装应降价多少元？（列方程，并化为一般形式）．
由实际问题抽象出一元二次方程
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、由于国家出台对房屋的限购令，我省某地的房屋价格原价为2400元/米2，通过连续两次降价a%后，售价变为2000元/米2，下列方程中正确的是（ ）
A、2400（1﹣a2）=2000 B、2000（1﹣a2）=2400
C、2400（1+a）2=2000 D、2400（1﹣a）2=2000
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
专题：增长率问题。
分析：通过连续两次降价a%后，我省某地的房屋价格原价为2400元/米2，售价变为2000元/米2，可列方程．
解答：解：设连续两次降价a%，
2400（1﹣a）2=2000．
故选D．
点评：本题考查增长率问题，知道经过两次变化，知道变化前和变化后的结果，从而可列方程．
2、某品牌服装原价173元，连续两次降价x%后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（ ）
A、173（1+x%）2=127 B、173（1﹣2x%）=127
C、173（1﹣x%）2=127 D、127（1+x%）2=173
3、某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A、x（x﹣1）=2070 B、x（x+1）=2070
C、2x（x+1）=2070 D、
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
分析：根据题意得：每人要赠送x﹣1张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程．
解答：解：根据题意得：每人要赠送x﹣1张相片，有x个人，
∴全班共送：（x﹣1）x=2070，
故选：A．
点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送x﹣1张相片，有x个人是解决问题的关键．
4、某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A、289（1﹣x）2=256 B、256（1﹣x）2=289
C、289（1﹣2x）2=256 D、256（1﹣2x）2=289
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
专题：增长率问题。
分析：增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可参照增长率问题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为x，可以用x表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程．
解答：解：根据题意可得两次降价后售价为289（1﹣x）2，
∴方程为289（1﹣x）2=256．
故选答A．
点评：本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x）2=c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率．
本题的主要错误是有部分学生没有仔细审题，把答题案错看成B．
5、某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为（ ）
A、x（x﹣10）=200 B、2x+2（x﹣10）=200
C、x（x+10）=200 D、2x+2（x+10）=200
6、广州亚运会期间，某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程正确的是（ ）
A、168（1+a%）2=128 B、168（1﹣a%）2=128
C、168（1﹣2a%）=128 D、168（1﹣a%）=128
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
专题：增长率问题。
分析：本题可先用168（1﹣a%）表示第一次降价后某纪念品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，然后根据已知条件得到关于a的方程．
解答：解：当某纪念品第一次降价a%时，其售价为168﹣168a%=168（1﹣a%）；
当某纪念品第二次降价a%后，其售价为168（1﹣a%）﹣168（1﹣a%）a%=168（1﹣a%）2．
∴168（1﹣a%）2=128．
故选B．
点评：本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于128即可．
7、据调查，某市2011年的房价为4000元/m2，预计2013年将达到4840元/m2，求这两年的年平均增长率，设年平均增长率为x，根据题意，所列方程为（ ）
A、4000（1+x）=4840 B、4000（1+x）2=4840
C、4000（1﹣x）=4840 D、4000（1﹣x）2=4840
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
专题：增长率问题。
分析：根据下一年的房价等于上一年的房价乘以（1+x），可以列出2013年的房价，而预计2013年将达到4840元/m2，故可得到一个一元二次方程．
解答：解：设年平均增长率为x，
那么2012年的房价为：4000（1+x），
2013年的房价为：4000（1+x）2=4840．
故选B．
点评：本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程：解决实际问题时，要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
8、某工厂今年元月份的产量是50万元，3月份的产值达到了72万元．若求2、3月份的产值平均增长率，设这两个月的产值平均月增长率为x，依题意可列方程（ ）
A、72（x+1）2=50 B、50（x+1）2=72
C、50（x﹣1）2=72 D、72（x﹣1）2=50
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
专题：增长率问题。
分析：根据这两个月的产值平均月增长率为x，则2月份的产值是50（1+x），3月份的产值是50（1+x）（1+x），从而列方程即可．
解答：解：根据题意，得
50（x+1）2=72．
故选B．
点评：此题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，此题中的等量关系是3月份的产值达到了72万元．
9、某商品原价为180元，连续两次提价x%后售价为300元，下列所列方程正确的是（ ）
A、180（1+x%）=300 B、180（1+x%）2=300
C、180（1﹣x%）=300 D、180（1﹣x%）2=300
10、在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ）
A、x（x﹣1）=10 B、=10
C、x（x+1）=10 D、=10
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
专题：其他问题。
分析：如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手（x﹣1）次，x人共需握手x（x﹣1）次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：次；已知“所有人共握手10次”，据此可列出关于x的方程．
解答：解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x﹣1（次）；
依题意，可列方程为：=10；
故选B．
点评：理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制．
11、上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元．下列所列方程中正确的是（ ）
A、168（1+a）2=128 B、168（1﹣a%）2=128
C、168（1﹣2a%）=128 D、168（1﹣a2%）=128
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
专题：增长率问题。
分析：本题可先用a表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，然后根据已知条件得到关于a的方程．
解答：解：当商品第一次降价a%时，其售价为168﹣168a%=168（1﹣a%）；
当商品第二次降价a%后，其售价为168（1﹣a%）﹣168（1﹣a%）a%=168（1﹣a%）2．
∴168（1﹣a%）2=128．故选B．
点评：本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于128即可．
12、某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A、50（1+x）2=182 B、50+50（1+x）+50（1+x）2=182
C、50（1+2x）=182 D、50+50（1+x）+50（1+2x）2=182
13、近年来，全国房价不断上涨，某县2010年4月份的房价平均每平方米为3600元，比2008年同期的房价平均每平方米上涨了2000元，假设这两年该县房价的平均增长率均为x，则关于x的方程为（ ）
A、（1+x）2=2000 B、2000（1+x）2=3600
C、（3600﹣2000）（1+x）=3600 D、（3600﹣2000）（1+x）2=3600
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
专题：增长率问题。
分析：由于设这两年该县房价的平均增长率均为x，那么2009年4月份的房价平均每平方米为（3600﹣2000）（1+x）元，2010年4月份的房价平均每平方米为（3600﹣2000）（1+x）（1+x）元，然后根据某县2010年4月份的房价平均每平方米为3600元即可列出方程．
解答：解：依题意得（3600﹣2000）（1+x）（1+x）=3600，
即（3600﹣2000）（1+x）2=3600．
故选D．
点评：本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次涨价后商品的售价，再根据题意列出第二次涨价后的售价，令其等于最后价格即可．
14、某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3000万元，预计2009年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A、3000（1+x）2=5000 B、3000x2=5000
C、3000（1+x%）2=5000 D、3000（1+x）+3000（1+x）2=5000
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
专题：增长率问题。
分析：主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设教育经费的年平均增长率为x，根据“2007年投入3000万元，预计2009年投入5000万元”，可以分别用x表示2007以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程．
解答：解：依题意得2009年投入为3000（1+x）2，
∴3000（1+x）2=5000．
故选A．
点评：找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
15、某厂前年的产值为50万元，今年上升到72万元，这两年的平均增长率是多少？若设每年的增长率为x，则有方程（ ）
A、50（1+x）=72 B、50（1+x）+50（1+x）2=72
C、50（1+x）2=72 D、50x2=72
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
专题：增长率问题。
分析：由于设每年的增长率为x，那么去年的产值为50（1+x）万元，今年的产值为50（1+x）（1+x）万元，然后根据今年上升到72万元即可列出方程．
解答：解：设每年的增长率为x，
依题意得50（1+x）（1+x）=72，
即50（1+x）2=72．
故选C．
点评：此题主要考查了增长率的问题，一般公式为：原来的量×（1±x）2=现在的量，x为增长或减少的百分率．增加用+，减少用﹣．
16、用长4米的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为米2，若设它的一边长为x米，根据题意列出关于x的方程为（ ）
A、x（4﹣x）= B、2x（2﹣x）=
C、x（4﹣2x）= D、x（2﹣x）=
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
专题：几何图形问题。
分析：本题依题意可知矩形边框的周长为4米，即已知矩形相邻两边的和是2，再结合矩形的面积公式得出答案．
解答：解：依题意得：另一边长=4÷2﹣x=2﹣x，又矩形的面积为：x（2﹣x）=．故选D．
点评：本题考查的是一元二次方程的运用，要灵活地运用矩形的周长和面积公式对题意进行分析从而列出方程．
17、为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2 500万元，预计2008年投入3 600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（ ）
A、2500x2=3600 B、2500（1+x）2=3600
C、2500（1+x%）2=3600 D、2500（1+x）+2500（1+x）2=3600
18、为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据题意所列方程为（ ）
A、20x2=25 B、20（1+x）=25
C、20（1+x）2=25 D、20（1+x）+20（1+x）2=25
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
专题：增长率问题。
分析：主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据“2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元”，可得出方程．
解答：解：设这两年绿化投资的年平均增长率为x，那么依题意得20（1+x）2=25
故选C．
点评：本题为平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
19、如图，在长70m，宽40m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使观赏路面积占总面积的，则路宽x应满足的方程是（ ）
A、（40﹣x）（70﹣x）=350 B、（40﹣2x）（70﹣3x）=2450
C、（40﹣2x）（70﹣3x）=350 D、（40﹣x）（70﹣x）=2450
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
分析：设路宽为x，所剩下的观赏面积的宽为（40﹣2x），长为（70﹣3x）根据要使观赏路面积占总面积，可列方程求解．
解答：解：设路宽为x，
（40﹣2x）（70﹣3x）=（1﹣）×70×40，
（40﹣2x）（70﹣3x）=2450．
故选B．
点评：本题考查理解题意的能力，关键是表示出剩下的长和宽，根据面积列方程．
20、在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A、x2+130x﹣1400=0 B、x2+65x﹣350=0
C、x2﹣130x﹣1400=0 D、x2﹣65x﹣350=0
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
专题：几何图形问题。
分析：本题可设长为（80+2x），宽为（50+2x），再根据面积公式列出方程，化简即可．
解答：解：依题意得：（80+2x）（50+2x）=5400，
即4000+260x+4x2=5400，
化简为：4x2+260x﹣1400=0，
即x2+65x﹣350=0．
故选B．
点评：本题考查的是一元二次方程的运用，解此类题目要注意运用面积的公式列出等式再进行化简．
二、填空题（共5小题）
21、如图（1），在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？设宽为x m，从图（2）的思考方式出发列出的方程是 （32﹣2x）（20﹣x）=570 ．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
分析：设宽为xm，从图（2）可看出剩下的耕田面积可平移成长方形，且能表示出长和宽，从而根据面积可列出方程．
解答：解：设宽为xm，
（32﹣2x）（20﹣x）=570．
故答案为：（32﹣2x）（20﹣x）=570．
点评：本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键根据图可知道剩下的耕地为矩形，且能表示出长和宽，根据面积可列方程．
22、某商场在促销活动中，将原价36元的商品，连续两次降价m%后现价为25元．根据题意可列方程为 36（1﹣m%）2=25 ．
23、某家用电器经过两次降价，每台零售价由350元下降到299元．若两次降价的百分率相同，设这个百分率为x，则可列出关于x的方程为 350×（1﹣x）2=299． ．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
专题：增长率问题。
分析：设家用电器平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1﹣x），第二次后的价格是100（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
解答：解：设降价的百分率为x，根据题意列方程得
350×（1﹣x）2=299．
故答案为：350×（1﹣x）2=299．
点评：考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
24、某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为 120（1﹣x）2=100 ．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
专题：增长率问题。
分析：等量关系为：第一次降价后的价格×第二次降价占第一次降价的百分比=100．
解答：解：第一次降价后的价格为120×（1﹣x），那么第二次降价后的价格为120×（1﹣x）×（1﹣x），∴可列方程为120（1﹣x）2=100．
点评：解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上得到的．
25、某市2007年、2009年商品房每平方米平均价格分别为4000元、5760元，假设2007年后的两年内，商品房每平方米平均价格的年增长率都为x，试列出关于x的方程： 4000（1+x）2=5760 ．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
专题：增长率问题。
分析：由于设2007年后的两年内，商品房每平方米平均价格的年增长率都为x，那么2008年商品房每平方米平均价格为4000（1+x），2009年商品房每平方米平均价格为4000（1+x）（1+x），再根据2009年商品房每平方米平均价格为5760元即可列出方程．
解答：解：设2007年后的两年内，商品房每平方米平均价格的年增长率都为x，
依题意得4000（1+x）（1+x）=5760，
即4000（1+x）2=5760．
故填空答案：4000（1+x）2=5760．
点评：此题主要考查了增长率的问题，一般公式为原来的量（1±x）2=现在的量，x为增长或减少百分率．增加用+，减少用﹣．
三、解答题（共5小题）
26、下表数据来源于国家统计局《国民经济和社会发展统计公报》．
2001﹣2004年国内汽车年产量统计表
2001年
2002年
2003年
2004年
汽车（万辆）
233
325.1
444.39
507.41
其中轿车（万辆）
70.4
109.2
202.01
231.40
（1）根据上表将下面的统计图补充完整；
（2）
请你写出三条从统计图中获得的信息；
（3）根据2004年汽车年产量和目前销售情况，有人预测2006年国内汽车年产量应上升至650万辆．根据这一预测，假设这两年汽车年产量平均年增长率为x，则可列出方程 507.41×（1+x）2=650 ．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程；统计表；条形统计图。
专题：增长率问题；综合题。
分析：（1）根据统计表中2003年汽车以及其中轿车的产量，绘制统计图，左边的矩形表示汽车辆数，右边的矩形表示轿车的辆数；
（2）统计图中的信息有很多，此题答案不唯一；
（3）解本题时可根据原产量×（1+增长率）2=增长后的产量即可列出方程．
解答：解：
（1）如下图，
（2）答案不唯一
①汽车年产量逐年递增；
②轿车年产量逐年递增；
③汽车年产量2003年增长量最大；
④轿车年产量2003年增长量最大；
⑤汽车年产量相对于上一年的增长速度2004年减缓；
⑥轿车年产量相对于上一年的增长速度2004年减缓；
⑦轿车的年产量在汽车中所占的比重逐年加大；
⑧轿车的年产量2004年是2001年的3倍多．
（3）507.41×（1+x）2=650．
点评：本题本题考查了二元一次方程的运用，解此类题目时常常根据原产量×（1+增长率）2=增长后的产量来列方程．
27、（教材变式题）如图所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，求满足x的方程．
28、百货大楼服装柜销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十?一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要使平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
请先填空后再列方程求解：设每件童装降价 x 元，那么平均每天就可多售出 2x 件，
现在一天可售出 20+2x 件，每件盈利 40﹣x 元．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
专题：销售问题。
分析：设每件童装降价x元，那么平均每天就可多售出2x元，根据平均每天销售这种童装盈利1200元，即销量×每件的利润=1200元，即可列出方程．
解答：解：设每件童装降价x元，则
（40﹣x）（20+2x）=1200
即：x2﹣30x+200=0
解得：x1=10，x2=20
∵要扩大销售量，减少库存
∴舍去x1=10
答：每件童装应降价20元．
点评：本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出平均每天就可多售出的件数，再根据题意列出现在一天可售出的件数及每件盈利的总钱数，找出题中的等量关系列出方程求解即可．
29、一个大正方形的边长是小正方形边长的3倍多1，若两正方形面积和为53，求两正方形的边长．（列方程，并化为一般式）
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
专题：几何图形问题。
分析：设出小正方形边长为x，大正方形边长可用含x代数式表示，运用面积和为53列方程．
解答：解：设小正方形边长为x，则大正方形边长为3x+1，
∵两正方形面积和为53，
则得（3x+1）2+x2=53，
所以10x2+6x﹣52=0．
点评：设未知数是解决本题的关键，比如：设小正方形边长为x，则大正方形边长为3x+1．
30、某超市销售一种品牌童装，平均每天可售出30件，每件盈利40元．面对2008年下半年全球的金融危机，超市采用降价措施，每件童装每降价2元，平均每天就多售出6件．要使平均每天销售童装利润为1000元，那么每件童装应降价多少元？（列方程，并化为一般形式）．
配方法的应用
一、选择题（共20小题）
1、关于x，y的方程x2+y2=20（x﹣y）的所有整数解（x，y）有（ ）组．
A、4 B、8
C、12 D、16
2、已知实数x，y，z适合x+y=6，z2=xy﹣9，则z=（ ）
A、±1 B、0
C、1 D、﹣1
3、将代数式x2+4x﹣1化成（x+p）2+q的形式（ ）
A、（x﹣2）2+3 B、（x+2）2﹣4
C、（x+2）2﹣5 D、（x+2）2+4
4、已知（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（ ）
A、P＞Q B、P=Q
C、P＜Q D、不能确定
5、用配方法将代数式a2+4a﹣5变形，结果正确的是（ ）
A、（a+2）2﹣1 B、（a+2）2﹣5
C、（a+2）2+4 D、（a+2）2﹣9
6、将二次三项式x2﹣4x+1配方后得（ ）
A、（x﹣2）2+3 B、（x﹣2）2﹣3
C、（x+2）2+3 D、（x+2）2﹣3
7、用配方法将二次三项式a2﹣2a+2变形的结果是（ ）
A、（a﹣1）2+1 B、（a+1）2+1
C、（a+1）2﹣1 D、（a﹣1）2﹣1
8、将二次三项式x2+6x+7进行配方，正确的结果应为（ ）
A、（x+3）2+2 B、（x﹣3）2+2
C、（x+3）2﹣2 D、（x﹣3）2﹣2
9、用配方法将二次三项式a2﹣4a+5变形，结果是（ ）
A、（a﹣2）2+1 B、（a+2）2﹣1
C、（a+2）2+1 D、（a﹣2）2﹣1
10、二次三项式x2﹣4x+3配方的结果是（ ）
A、（x﹣2）2+7 B、（x﹣2）2﹣1
C、（x+2）2+7 D、（x+2）2﹣1
11、对于任意实数，代数式x2﹣4x+5的值是一个（ ）
A、非负数 B、正数
C、负数 D、非正数
12、对于代数式x2﹣4x+5，通过配方能说明它的值一定是（ ）
A、负数 B、正数
C、非负数 D、非正数
13、已知mn+p2+4=0，m﹣n=4，则m+n的值是（ ）
A、4 B、2
C、﹣2 D、0
14、如果x2﹣y2+4yz﹣4z2=0，那么的值是（ ）
A、﹣2 B、
C、 D、2
15、多项式2x2﹣4xy+4y2+6x+25的最小值为（ ）
A、4 B、5
C、16 D、25
16、若|x2﹣4x+4|+=0，则x+y=（ ）
A、3 B、2
C、1 D、﹣1
17、若对所有的实数x，x2+ax+a恒为正，则（ ）
A、a＜0 B、a＞4
C、a＜0或a＞4 D、0＜a＜4
18、已知x2﹣kx+1=（x+1）2，则k的值为（ ）
A、2 B、﹣2
C、±2 D、0
19、如果实数a、b、c满足a+2b+3c=12，且a2+b2+c2=ab+ac+bc，则代数值a+b2+c3的值为（ ）
A、14 B、16
C、18 D、20
20、代数式x2﹣4x+5的最小值为（ ）
A、0 B、1
C、5 D、没有最小值
二、填空题（共5小题）
21、已知自然数a，b，c，满足a2+b2+c2+42＜4a+4b+12c和a2﹣a﹣2＞0，则代数式的值是 1 ．
22、已知，则分式的值是 12 ．
23、当a= 1 ，b= 时，方程x2+2（1+a）x+（3a2+4ab+4b2+2）=0有实数根．
24、已知：实数x，y满足，则以x，y为根的一元二次方程是 t2﹣=0，或t2﹣1=0 ．
25、二次三项式x2﹣4x﹣1写成a（x+m）2+n的形式为 （x﹣2）2﹣5 ．
三、解答题（共5小题）
26、计算：
（1）
（2）已知，求x2﹣xy+y2的值．
27、已知，求的值．
28、已知：求值：（1）x2y+xy2（2）x2﹣xy+y2．
29、已知关于x的方程x2+2（2﹣m）x+3﹣6m=0，
（1）若x=1是此方程的一根，求m的值及方程的另一根；
（2）试说明无论m取什么实数值，此方程总有实数根．
30、阅读下边一元二次方程求根公式的两种推导方法：
请回答下列问题：
（1）这两种方法有什么异同？你认为哪个方法好？
（2）说说你有什么感想？
（3）选用上述方法解方程：（x﹣1）（2﹣3x）=x﹣8．
配方法的应用
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、关于x，y的方程x2+y2=20（x﹣y）的所有整数解（x，y）有（ ）组．
A、4 B、8
C、12 D、16
考点：一元二次方程的整数根与有理根；配方法的应用。
专题：解题方法。
分析：将方程x2+y2=20（x﹣y）首先变形得出（x﹣10）2+（y+10）2=200，利用特殊值法确定a，b的值，即得出方程组的解．
解答：解：∵x2+y2=20（x﹣y），
∴x2﹣20x+y2+20y=0，
（x﹣10）2+（y+10）2=200，
令 x﹣10=a，y+10=b，则x=a+10，y=b﹣10，
因此（x，y）与（a，b）一一对应，
因此a2+b2=200的整数解有多少组，原方程的解就有多少组．
a2+b2=200的整数解有：（2，14），（﹣2，﹣14），（2，﹣14），（﹣2，14），（14，2），
（﹣14，﹣2），（﹣14，2），（14，﹣2），（10，10），（﹣10，10），（﹣10，﹣10），（10，﹣10）共计12组，
因此原方程的所有整数解共12组．
故选C．
点评：此题主要考查了一元二次方程整数根的有关知识，以及特殊值法求方程组的解集，综合性较强．
2、已知实数x，y，z适合x+y=6，z2=xy﹣9，则z=（ ）
A、±1 B、0
C、1 D、﹣1
3、将代数式x2+4x﹣1化成（x+p）2+q的形式（ ）
A、（x﹣2）2+3 B、（x+2）2﹣4
C、（x+2）2﹣5 D、（x+2）2+4
考点：配方法的应用。
专题：配方法。
分析：根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．
解答：解：x2+4x﹣1=x2+4x+4﹣4﹣1=x+22﹣5，
故选C．
点评：本题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值，难度适中．
4、已知（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（ ）
A、P＞Q B、P=Q
C、P＜Q D、不能确定
考点：配方法的应用。
分析：可令Q﹣P，将所得代数式配成完全平方式，再根据非负数的性质来判断所得代数式的符号，进而得出P、Q的大小关系．
解答：解：由题意，知：Q﹣P=m2﹣m﹣m+1=m2﹣m+1=m2﹣m++=（m﹣）2+；
由于（m﹣）2≥0，所以（m﹣）2+＞0；
因此Q﹣P＞0，即Q＞P．
故选C．
点评：熟练掌握完全平方公式，并能正确的对代数式进行配方是解答此类题的关键．
5、用配方法将代数式a2+4a﹣5变形，结果正确的是（ ）
A、（a+2）2﹣1 B、（a+2）2﹣5
C、（a+2）2+4 D、（a+2）2﹣9
6、将二次三项式x2﹣4x+1配方后得（ ）
A、（x﹣2）2+3 B、（x﹣2）2﹣3
C、（x+2）2+3 D、（x+2）2﹣3
考点：配方法的应用。
专题：配方法。
分析：此题考查了配方法，解题时要注意常数项的确定，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可提取二次项系数，将其化为1．
解答：解：∵x2﹣4x+1=x2﹣4x+4﹣4+1，
x2﹣4x+1=（x﹣2）2﹣3，
故选B．
点评：此题考查了学生学以致用的能力，解题时要注意常数项的求解方法，在变形的过程中注意检查不要改变式子的值．
7、用配方法将二次三项式a2﹣2a+2变形的结果是（ ）
A、（a﹣1）2+1 B、（a+1）2+1
C、（a+1）2﹣1 D、（a﹣1）2﹣1
考点：配方法的应用。
专题：配方法。
分析：此题考查了用配方法变形二次三项式，二次项系数是1，则二次项与一次项再加上一次项系数一半的平方即可配成完全平方式，据此即可变形．
解答：解：由题意得，a2﹣2a+2=a2﹣2a+1+1=（a﹣1）2+1．
故选B．
点评：此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
8、将二次三项式x2+6x+7进行配方，正确的结果应为（ ）
A、（x+3）2+2 B、（x﹣3）2+2
C、（x+3）2﹣2 D、（x﹣3）2﹣2
考点：配方法的应用。
专题：配方法。
分析：x2+6x+7中x2+6x+9即是（x+3）2，因而x2+6x+7=（x+3）2﹣2
解答：解：∵x2+6x+7=x2+6x+9﹣9+7，
x2+6x+7=（x+3）2﹣2．
故选C．
点评：此题考查了配方法，解题时要注意常数项的确定方法，若二次项系数为1，则二次项与一次项再加上一次项系数的一半的平方即构成完全平方式，若二次项系数不为1，则可提取二次项系数，将其化为1．
9、用配方法将二次三项式a2﹣4a+5变形，结果是（ ）
A、（a﹣2）2+1 B、（a+2）2﹣1
C、（a+2）2+1 D、（a﹣2）2﹣1
10、二次三项式x2﹣4x+3配方的结果是（ ）
A、（x﹣2）2+7 B、（x﹣2）2﹣1
C、（x+2）2+7 D、（x+2）2﹣1
考点：配方法的应用。
分析：在本题中，若所给的式子要配成完全平方式，常数项应该是一次项系数﹣4的一半的平方；可将常数项3拆分为4和﹣1，然后再按完全平方公式进行计算．
解答：解：x2﹣4x+3=x2﹣4x+4﹣1=（x﹣2）2﹣1．
故选B．
点评：在对二次三项式进行配方时，一般要将二次项系数化为1，然后将常数项进行拆分，使得其中一个常数是一次项系数的一半的平方．
11、对于任意实数，代数式x2﹣4x+5的值是一个（ ）
A、非负数 B、正数
C、负数 D、非正数
考点：配方法的应用。
专题：配方法。
分析：解此题的关键是将此代数式配成完全平方式，即可确定该代数式的符号．
解答：解：x2﹣4x+5=x2﹣4x+4+1=（x﹣2）2+1
∵（x﹣2）2≥0
∴（x﹣2）2+1＞0
∴代数式x2﹣4x+5的值是一个正数．
故选B．
点评：注意此类题目解题的关键是采用配方的方法将代数式变形，由a2≥0解题．在变形的过程中注意检查不要改变式子的值．
12、对于代数式x2﹣4x+5，通过配方能说明它的值一定是（ ）
A、负数 B、正数
C、非负数 D、非正数
考点：配方法的应用。
分析：通过配方法将代数式变形，即可判断其值的正负．
解答：解：由配方法得，x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1
所以该代数式的值一定是正值
故答案为B．
点评：此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
13、已知mn+p2+4=0，m﹣n=4，则m+n的值是（ ）
A、4 B、2
C、﹣2 D、0
考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方。
专题：计算题。
分析：由mn+p2+4=0可得出mn=﹣p2﹣4；将m﹣n=4的左右两边同时乘方，根据完全平方公式两公式之间的联系整理出（m+n）2，然后开方即可求出m+n的值．
解答：解：∵mn+p2+4=0，m﹣n=4，
∴mn=﹣p2﹣4，（m﹣n）2=16，
∴（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2=16，
∴（m+n）2=16+4mn，
=16+4（﹣p2﹣4），
=﹣4p2，
解得m+n=±，此式有意义只有m+n=0，
故选：D．
点评：此题主要考查了完全平方公式，关键是要灵活运用完全平方公式，整理出（m+n）2的形式．
14、如果x2﹣y2+4yz﹣4z2=0，那么的值是（ ）
A、﹣2 B、
C、 D、2
15、多项式2x2﹣4xy+4y2+6x+25的最小值为（ ）
A、4 B、5
C、16 D、25
考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方。
专题：计算题。
分析：把所给多项式整理为两个完全平方式相加的形式，括号外的常数即为多项式的最小值．
解答：解：∵2x2﹣4xy+4y2+6x+25，
=x2﹣4xy+4y2+（x2+6x+9）+16，
=（x﹣2y）2+（x+3）2+16，
∴多项式的最小值为16．
故选C．
点评：解决本题的关键是把所给多项式整理为两个完全平方式相加的形式，难点是根据得到的式子判断出所求的最小值．
16、若|x2﹣4x+4|+=0，则x+y=（ ）
A、3 B、2
C、1 D、﹣1
考点：配方法的应用；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根。
分析：根据非负数的性质，可求出x、y的值，然后再代值求解即可．
解答：解：∵|x2﹣4x+4|+=0，即|（x﹣2）2|+=0，
∴y﹣1=0，x﹣2=0，
∴x=2，y=1，
所以x+y=3．
故选A．
点评：本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
17、若对所有的实数x，x2+ax+a恒为正，则（ ）
A、a＜0 B、a＞4
C、a＜0或a＞4 D、0＜a＜4
考点：配方法的应用。
专题：计算题。
分析：式子的值恒大于0，即对应的函数y=x2+ax+a与x轴没有交点，即判别式△＜0，据此即可求解．
解答：解：令y=x2+ax+a，这个函数开口向上，式子的值恒大于0的条件是：△=a2﹣4a＜0，
解得：0＜a＜4．
故选D．
点评：本题主要考查了证明一个关于一个字母的二次三项的值恒大于或横小于0，可以利用二次函数的性质，转化为二次函数与x轴的交点的个数的问题．
18、已知x2﹣kx+1=（x+1）2，则k的值为（ ）
A、2 B、﹣2
C、±2 D、0
19、如果实数a、b、c满足a+2b+3c=12，且a2+b2+c2=ab+ac+bc，则代数值a+b2+c3的值为（ ）
A、14 B、16
C、18 D、20
考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方。
分析：首先将a2+b2+c2=ab+ac+bc式子左右两边同乘以2，移项、拆分项、利用完全平方式转化为（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0．再根据非负数的性质得出a=b=c的关系．再结合a+2b+3c=12，求得a、b、c的值．最后将a、b、c的值代入a+b2+c3求得结果．
解答：解：∵a2+b2+c2=ab+ac+bc，
?2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，
?（a2﹣2ab+b2）+（a﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）=0，
?（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，
∴a﹣b=0、a﹣c=0、b﹣c=0，即a=b=c，
又∵a+2b+3c=12，
∴a=b=c=2，
∴a+b2+c3=2+4+8=14．
故选：A．
点评：此题考查因式分解的应用、代数式求值、非负数的性质．解决本题的关键是以a2+b2+c2=ab+ac+bc作为入手点，通过变换得到ab、c间的关系．
20、代数式x2﹣4x+5的最小值为（ ）
A、0 B、1
C、5 D、没有最小值
考点：配方法的应用。
专题：配方法。
分析：此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．
解答：解：∵x2﹣4x+5=x2﹣4x+4﹣4+5=（x﹣2）2+1
∵（x﹣2）2≥0，
∴（x﹣2）2+1≥1，
∴代数式x2﹣4x+5的最小值为1．
故选B．
点评：此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
二、填空题（共5小题）
21、已知自然数a，b，c，满足a2+b2+c2+42＜4a+4b+12c和a2﹣a﹣2＞0，则代数式的值是 1 ．
22、已知，则分式的值是 12 ．
考点：分式的化简求值；配方法的应用。
专题：计算题。
分析：根据知，得出a2+的值，然后再把分式化为a2﹣2+的形式，然后代值计算即可．
解答：解：∵a+=4，
∴a2+=16﹣2=14，
则分式==a2﹣2+=a2+﹣2=14﹣2=12，
故答案为12．
点评：本题考查了分式的化简求值以及配方法的应用，解题的关键是先把分式化简，化为最简后再代值计算，主要考查了整体代入的思想．
23、当a= 1 ，b= 时，方程x2+2（1+a）x+（3a2+4ab+4b2+2）=0有实数根．
考点：根的判别式；配方法的应用。
专题：计算题。
分析：由方程x2+2（1+a）x+（3a2+4ab+4b2+2）=0有实数根，得到△≥0，即△=4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）=﹣4[（a+2b）2+（a﹣1）2]≥0，得到（a+2b）2+（a﹣1）2≤0，由（a+2b）2+（a﹣1）2≥0，所以（a+2b）2+（a﹣1）2=0，然后分别等于0，得到a，b的方程组，解方程组即可．
解答：解：∵方程x2+2（1+a）x+（3a2+4ab+4b2+2）=0有实数根，
∴△≥0，即△=4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）=﹣4[（a+2b）2+（a﹣1）2]≥0，
所以（a+2b）2+（a﹣1）2≤0，
由（a+2b）2+（a﹣1）2≥0，
所以（a+2b）2+（a﹣1）2=0，
∴a+2b=0，a﹣1=0，
∴a=1，b=﹣．
故答案为：a=1，b=﹣．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查几个非负数的和为0的性质．
24、已知：实数x，y满足，则以x，y为根的一元二次方程是 t2﹣=0，或t2﹣1=0 ．
考点：根与系数的关系；配方法的应用。
专题：计算题。
分析：先变形原等式得（3x2﹣y）﹣4+4+x2+2xy+y2=0，则（﹣2）2+（x+y）2=0，所以﹣2=0，x+y=0，解方程组得到或，然后根据根与系数的关系写出满足条件的一元二次方程即可．
解答：解：（3x2﹣y）﹣4+4+x2+2xy+y2=0，
（﹣2）2+（x+y）2=0，
∴﹣2=0，x+y=0，解得或，
∴以x，y为根的一元二次方程为t2﹣=0，或t2﹣1．
故答案为：t2﹣=0，或t2﹣1=0．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1?x2=．也考查了代数式的变形能力以及几个非负数和的性质．
25、二次三项式x2﹣4x﹣1写成a（x+m）2+n的形式为 （x﹣2）2﹣5 ．
三、解答题（共5小题）
26、计算：
（1）
（2）已知，求x2﹣xy+y2的值．
考点：实数的运算；绝对值；代数式求值；零指数幂；二次根式的性质与化简；配方法的应用。
专题：计算题。
分析：（1）根据零指数幂、绝对值、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
（2）先求出x+y与xy，再把x2﹣xy+y2化为（x+y）2﹣3xy即可．
解答：解：（1）原式=2﹣1+2﹣﹣×
=﹣；
（2）∵，
∴x+y=2，xy=3﹣1=2，
∴x2﹣xy+y2=（x+y）2﹣3xy
=12﹣3×2
=12﹣6
=6．
点评：本题考查实数的综合运算能力、二次根式的性质化简，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
27、已知，求的值．
考点：代数式求值；二次根式的混合运算；配方法的应用。
专题：整体思想。
分析：先计算xy，x+y，再根据x2+y2=（x+y）2﹣2xy，代入计算即可．
解答：解：∵，
∴xy=1，x+y=2，
∵x2+y2=（x+y）2﹣2xy，
∴=﹣（x+y）
=﹣2
=﹣2
=﹣2
=﹣．
点评：本题考查了代数式的求值，注x2+y2=（x+y）2﹣2xy，以及整体思想的运用．
28、已知：求值：（1）x2y+xy2（2）x2﹣xy+y2．
29、已知关于x的方程x2+2（2﹣m）x+3﹣6m=0，
（1）若x=1是此方程的一根，求m的值及方程的另一根；
（2）试说明无论m取什么实数值，此方程总有实数根．
考点：一元二次方程的解；根的判别式；根与系数的关系；配方法的应用。
分析：（1）先把方程的根代入方程，可以求出字母系数m值，然后根据根与系数的关系由两根之积可以求出另一个根；
（2）证明一元二次方程根的判别式恒大于0，即可解答．
解答：（1）解：把x=1代入方程有：
1+4﹣2m+3﹣6m=0，
∴m=1．
故方程为x2+2x﹣3=0，
设方程的另一个根是x2，则：
1?x2=﹣3，
∴x2=﹣3．
故m=1，方程的另一根为﹣3；
（2）证明：∵关于x的方程x2+2（2﹣m）x+3﹣6m=0中，
△=4（2﹣m）2﹣4（3﹣6m）=4（m+1）2≥0，
∴无论m取什么实数，方程总有实数根．
点评：本题考查的是一元二次方程的解及根的判别式．解答此题的关键是熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系，及根与系数的关系．
30、阅读下边一元二次方程求根公式的两种推导方法：
请回答下列问题：
（1）这两种方法有什么异同？你认为哪个方法好？
（2）说说你有什么感想？
（3）选用上述方法解方程：（x﹣1）（2﹣3x）=x﹣8．
考点：解一元二次方程-配方法；配方法的应用。
专题：开放型。
分析：（1）（2）答案不唯一，阐述自己的理由即可；
（3）整理方程，并按配方法求解．
解答：解：（1）两种方法的本质是相同的，都运用了配方法，
不同的是：第一种方法配方出现分式比较繁；两边开平方时分子、分母都出现“±”，
相除后为何只有分子上有“±”，不好理解；更重要的是易误认为=2a，
第二种方法运用等式性质后，配方无上述问题，是对教材方法的再创新！所以第二种方法好．
（2）学习要勤于思考，敢于向传统挑战和创新，
虽然教材是我们的学习之本，但不是圣经，不能照本宣科．
（3）方程整理，得3x2﹣4x﹣1=0，
9x2﹣12x﹣3=0，
（3x﹣2）2=7，
x1=+，x2=﹣．
点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
