根与系数的关系
一、选择题（共20小题）
1、如果a，b为质数，且a2﹣13a+m=0，b2﹣13b+m=0，那么的值为（ ）
A、 B、或2
C、 D、或2
2、关于x的一元二次方程x2+2mx+2n﹣1=0（m、n都是整数）如果有一个整数根α，则对它的另一根β所作的如下断言中正确的是（ ）
A、β不是整数 B、β一定是整数
C、β一定是奇数 D、β一定是偶数
3、如果m、n是奇数，关于x的方程x2+mx+n=0有两个实数根，则其实根的情况是（ ）
A、有奇数根，也有偶数根 B、既没有奇数根也没有偶数根
C、有偶数根，没有奇数根 D、有奇数根，没有偶数根
4、若方程x2﹣mnx+m+n=0有整数根，且m、n为整数，则m?n的值有（ ）
A、1个 B、3个
C、5个 D、无数个
5、如果关于x的方程x2+px+1=0的一个实数根的倒数恰是它本身，那么p的值是（ ）
A、1 B、±1
C、2 D、±2
6、一元二次方程x2+px+q=0的两个根为p、q，则p?q等于（ ）
A、0 B、1
C、0或﹣2 D、0或1
7、关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的一个解是x=﹣1，则它的另一个解是（ ）
A、x=1 B、x=2
C、x=3 D、x=4
8、已知a，b，c，d是非零实数，c和d是方程x2+ax+b=0的解，a和b是方程x2+cx+d=0的解，则a+b+c+d的值为（ ）
A、﹣1 B、2
C、1 D、﹣2
9、已知方程x2+kx﹣6=0的一个根是2，则它的另一个根为（ ）
A、1 B、﹣2
C、3 D、﹣3
10、已知关于x的方程x2+mx﹣5=0的一根为x=﹣1，则它的另一个根为（ ）
A、﹣5 B、5
C、1 D、2
11、如果关于x的一元二次方程（a+1）x2+2x+a2﹣1=0的一个根是0，则此方程的另一根为（ ）
A、0 B、﹣1
C、1 D、1或﹣1
12、方程x2+mx﹣1=0的一个根为x=1，则m的值及另一个根为（ ）
A、m=﹣1，x2=﹣1 B、m=1，x2=﹣1
C、m=0，x2=﹣1 D、m=1，x2=0
13、一元二次方程2x2﹣7x+k=0的一个根是x1=2，则另一个根和k的值是（ ）
A、x2=1，k=4 B、x2=﹣1，k=﹣4
C、x2=，k=6 D、x2=，k=﹣6
14、若m、n是方程x2﹣x﹣2010=0的两根．则代数式（m2﹣2m﹣2010）（﹣n2+2n+2010）的值（ ）
A、2010 B、2009
C、2008 D、2007
15、已知x=﹣1是关于x的一元二次方程x2﹣2x+a=0的一个解，则此方程的另一个解是（ ）
A、x=3 B、x=﹣2
C、x=2 D、x=﹣3
16、若方程2x2+kx+3=0的一个根为，则k及另一个根的值为（ ）
A、7，3 B、﹣7，3
C、，6 D、，6
17、若方程x2+ax﹣2a=0的一根为1，则a的取值和方程的另一根分别是（ ）
A、1，﹣2 B、﹣1，2
C、1，2 D、﹣1，﹣2
18、如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+p2﹣2005p+1=0的一个解是2，那么另一个解是（ ）
A、4 B、3
C、6 D、2005
19、方程ax2+bx+c=0有两个根x1、x2，且x1＜x2．则x1是（ ）
A、﹣﹣ B、﹣+
C、﹣﹣ D、﹣﹣
20、已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足x1+x2=m2，则m的值是（ ）
A、﹣1 B、3
C、3或﹣1 D、﹣3或1
二、填空题（共5小题）
21、设n是整数，关于x的方程x2+（5﹣2n）x+2n=0的两个根都是质数，那么n= 7 ．
22、设一元二次方程x2﹣3x+a﹣4=0的两根均为整数，且两根同号，则a= 6 ．
23、若关于x的方程rx2﹣（2r+7）x+r+7=0的根是正整数，则整数r的值可以是 0或1或7 ．
24、设方程x2+px+q=0的两根x1，x2均为正整数，若p+q=28，则（x1﹣1）（x2﹣1）= 29 ．
25、若p是质数，且方程x2+px﹣444p=0的两根均为整数，则p= 37 ．
三、解答题（共5小题）
26、已知p，q都是质数，且使得关于x的二次方程x2﹣（8p﹣10q）x+5pq=0至少有一个正整数根，求所有的质数对（p，q）．
27、确定自然数n的值，使关于x的一元二次方程2x2﹣8nx+10x﹣n2+35n﹣76=0的两根均为质数，并求出此两根．
28、已知关于x的方程x2﹣4|x|+k=0．
（1）若方程有四个不同的整数根，求k的值求出这四个根；
（2）若方程有三个不同的整数根，求k的值及这三个根．
29、已知方程x2+bx+c=0及x2+cx+b=0分别各有两个整数根且两根均同号，求证：b﹣1≤c≤b+1．
30、已知m为整数，且12＜m＜40，试求m为何值时，关于未知数x的方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有两个整数根．
根与系数的关系
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、如果a，b为质数，且a2﹣13a+m=0，b2﹣13b+m=0，那么的值为（ ）
A、 B、或2
C、 D、或2
考点：质数与合数；根与系数的关系。
专题：分类讨论。
分析：由于a、b的关系不明确，故应分a=b和a≠b两种情况讨论，（1）a=b可直接求出代数式答案；
（2）若a≠b，设a，b为方程x2﹣13x+m=0的两个根，利用根与系数的关系及a，b为质数即可求出a、b的值．
解答：解：（1）若a=b，则=2；
（2）若a≠b，设a，b为方程x2﹣13x+m=0的两个根．
∴a+b=13．
∵a，b为质数，
∴a=11，b=2或a=2，b=11，
∴=．
故选B．
点评：本题考查的是质数与合数的概念及一元二次方程根与系数的关系，利用分类讨论的思想求出代数式的值是解答此题的关键．
2、关于x的一元二次方程x2+2mx+2n﹣1=0（m、n都是整数）如果有一个整数根α，则对它的另一根β所作的如下断言中正确的是（ ）
A、β不是整数 B、β一定是整数
C、β一定是奇数 D、β一定是偶数
3、如果m、n是奇数，关于x的方程x2+mx+n=0有两个实数根，则其实根的情况是（ ）
A、有奇数根，也有偶数根 B、既没有奇数根也没有偶数根
C、有偶数根，没有奇数根 D、有奇数根，没有偶数根
考点：一元二次方程的整数根与有理根；根与系数的关系。
专题：分类讨论。
分析：根据两根之和为﹣m，两根之积为n，分类判断两个根均为整数，和一个根为整数的情况与所给条件是否符合即可．
解答：解：∵两个数的和是﹣m是奇数，积是n是奇数，
①若两数都是整数，由积是奇数可得两数都是奇数，
∴和是偶数，与﹣m奇数矛盾；
②若有一个是整数，那么和﹣m一定不是整数，与m是奇数矛盾；
∴只可能都不是整数．
故选B．
点评：考查根据一元二次方程根与系数的关系判断整数解的情况；根据根的不同情况分类探讨是解决本题的突破点．
4、若方程x2﹣mnx+m+n=0有整数根，且m、n为整数，则m?n的值有（ ）
A、1个 B、3个
C、5个 D、无数个
考点：一元二次方程的整数根与有理根；根与系数的关系。
专题：计算题。
分析：设方程两整数根为x1，x2，则x1+x2=mn＞0，x1，x2=m+n＞0，再根据（x1﹣1）（x2﹣1）+（m﹣1）（n﹣1）=2，
即可进行求解．
解答：解：设方程有整数根，则x1+x2=mn＞0，x1，x2=m+n＞0，故这两个根均为正数．
又（x1﹣1）（x2﹣1）+（m﹣1）（n﹣1）=2，
其中（x1﹣1）（x2﹣1），m﹣1，n﹣1均非负，而为两个非负整数和的情况仅有0+2；1+1；2+0．
分别可解得，
∴m?n的值仅有3个，
故选B．
点评：本题考查了根与系数关系，难度适中，主要掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．
5、如果关于x的方程x2+px+1=0的一个实数根的倒数恰是它本身，那么p的值是（ ）
A、1 B、±1
C、2 D、±2
6、一元二次方程x2+px+q=0的两个根为p、q，则p?q等于（ ）
A、0 B、1
C、0或﹣2 D、0或1
考点：一元二次方程的解；根与系数的关系。
专题：方程思想。
分析：根据根与形数的关系，得到p+q=﹣p，p?q=q，可以求出p，q的值，就能求出结果．
解答：解：∵p，q是一元二次方程x2+px+q=0的两个根，
∴
由②有：
（p﹣1）q=0，
∴p=1，或q=0，
把p=1代入①得：q=﹣2，
把q=0代入①得：p=0，
∴pq=0或﹣2．
故本题选C．
点评：本题考查的是一元二次方程的解，根据方程的解的概念，利用根与系数的关系求出p?q的值．
7、关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的一个解是x=﹣1，则它的另一个解是（ ）
A、x=1 B、x=2
C、x=3 D、x=4
8、已知a，b，c，d是非零实数，c和d是方程x2+ax+b=0的解，a和b是方程x2+cx+d=0的解，则a+b+c+d的值为（ ）
A、﹣1 B、2
C、1 D、﹣2
考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义；根与系数的关系。
专题：方程思想。
分析：因为c和d是方程x2+ax+b=0的解，a和b是方程x2+cx+d=0的解，根据方程的解和根与系数的关系，确定字母系数a，b，c，d之间的关系，然后求出a+b+c+d的值．
解答：解：∵c是方程x2+ax+b=0的解，
∴c2+ac+b=0 ①
∵a是方程x2+cx+d=0的解，
∴a2+ac+d=0 ②
①+②得：
（a+c）2=﹣（b+d） ③
由根与系数的关系有：
c+d=﹣a ④
a+b=﹣c ⑤
④+⑤得：
b+d=﹣2（a+c） ⑥
（a+c）2=2（a+c），
∴a+c=0 或a+c=2，
∵a，b，c，d是非零实数
∴当a+c=2时，代入⑥得b+d=﹣4，
∴a+b+c+d=2﹣4=﹣2，
故本题选D．
点评：本题考查一元二次方程的解，利用一元二次方程的解和根与系数的关系，找出字母系数之间的联系，确定a+b+c+d的值．
9、已知方程x2+kx﹣6=0的一个根是2，则它的另一个根为（ ）
A、1 B、﹣2
C、3 D、﹣3
考点：一元二次方程的解；根与系数的关系。
分析：设方程的另一个根是m，根据韦达定理，可以得到两个的积等于﹣6，且两根的和等于﹣k，即可求解．
解答：解：设方程的另一个根是m，根据韦达定理，可以得到：2m=﹣6且2+m=﹣k．解得m=﹣3．故选D．
点评：本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，即韦达定理．利用韦达定理可以简化求根的计算．
10、已知关于x的方程x2+mx﹣5=0的一根为x=﹣1，则它的另一个根为（ ）
A、﹣5 B、5
C、1 D、2
考点：一元二次方程的解；根与系数的关系。
分析：根据一元二次方程的两根之积求得方程的另一根即可．
解答：解：设方程的另一个根是x．根据根与系数的关系，得
﹣1×x=﹣5，
x=5．
故选：B．
点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据已知一根利用根与系数关系求出是解题关键．
11、如果关于x的一元二次方程（a+1）x2+2x+a2﹣1=0的一个根是0，则此方程的另一根为（ ）
A、0 B、﹣1
C、1 D、1或﹣1
考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义；根与系数的关系。
分析：根据一元二次方程（a+1）x2+2x+a2﹣1=0的一个根是0，代入求出a的值，进而得出方程的根．
解答：解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2x+a2﹣1=0的一个根是0，
∴a2﹣1=0，
∴a=±1，
∵a≠﹣1，
∴a=1，
∴2x2+2x=0，
∴x=0或x=﹣1，
∴此方程的另一根为：﹣1，
故选：B．
点评：此题主要考查了一元二次方程的解，利用已知求出a的值是解决问题的关键．
12、方程x2+mx﹣1=0的一个根为x=1，则m的值及另一个根为（ ）
A、m=﹣1，x2=﹣1 B、m=1，x2=﹣1
C、m=0，x2=﹣1 D、m=1，x2=0
13、一元二次方程2x2﹣7x+k=0的一个根是x1=2，则另一个根和k的值是（ ）
A、x2=1，k=4 B、x2=﹣1，k=﹣4
C、x2=，k=6 D、x2=，k=﹣6
考点：一元二次方程的解；根与系数的关系。
专题：计算题。
分析：根据一元二次方程的解的定义，将x=2代入一元二次方程2x2﹣7x+k=0，求得k值，然后将k值代入原方程，利用根与系数的关系求另一根．
解答：解：设方程的另一根是x2．
∵一元二次方程2x2﹣7x+k=0的一个根是x1=2，
∴x=2是原方程的解，
∴8﹣14+k=0，
解得k=6；
又由韦达定理，得2×x2=3，
∴x2=，即原方程的另一根是．
故选C．
点评：本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．另外，本题也可以设方程的另一根是x2．然后利用根与系数的关系来求另一个根及k的值．
14、若m、n是方程x2﹣x﹣2010=0的两根．则代数式（m2﹣2m﹣2010）（﹣n2+2n+2010）的值（ ）
A、2010 B、2009
C、2008 D、2007
考点：一元二次方程的解；代数式求值；根与系数的关系。
专题：方程思想。
分析：把m，n代入方程有：m2﹣m﹣2010=0，n2﹣n﹣2010=0得，m2=m+2010，n2=n+2010代入代数式化简，然后再用根与系数的关系求出代数式的值．
解答：解：∵m，n是方程的两根，
∴m?n=﹣2010
m2﹣m﹣2010=0，n2﹣n﹣2010=0，
∴m2=m+2010 ①
n2=n+2010 ②
把①，②代入上式，则
原式=（m+2010﹣2m﹣2010）（﹣n﹣2010+2n+2010），
=﹣m?n，
=2010．
故本题选A．
点评：本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程得到m，n的等式，利用等式和根与系数的关系求出代数式的值．
15、已知x=﹣1是关于x的一元二次方程x2﹣2x+a=0的一个解，则此方程的另一个解是（ ）
A、x=3 B、x=﹣2
C、x=2 D、x=﹣3
考点：一元二次方程的解；根与系数的关系。
专题：计算题。
分析：根据根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1?x2=，此题选择两根和即可求得．
解答：解：∵x=﹣1是关于x的一元二次方程x2﹣2x+a=0的一个解，
∴﹣1+x1=2，
∴x1=3，
∴该方程的另一个解是x=3．
故选A．
点评：此题主要考查了一元二次方程的解和一元二次方程的根与系数的关系．
16、若方程2x2+kx+3=0的一个根为，则k及另一个根的值为（ ）
A、7，3 B、﹣7，3
C、，6 D、，6
17、若方程x2+ax﹣2a=0的一根为1，则a的取值和方程的另一根分别是（ ）
A、1，﹣2 B、﹣1，2
C、1，2 D、﹣1，﹣2
考点：一元二次方程的解；根与系数的关系。
专题：方程思想。
分析：把一个根1代入方程，可以求出项目系数a的值，再把a值代入方程可以求出另一个根．
解答：解：把1代入方程有：
1+a﹣2a=0，
∴a=1，
把a=1代入方程有：
x2+x﹣2=0，
（x+2）（x﹣1）=0，
∴x+2=0，x﹣1=0，
解得x1=﹣2，x2=1．
故选A．
点评：本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，可以求出字母系数a的值，再把a的值代入方程，求出方程的另一个根．
18、如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+p2﹣2005p+1=0的一个解是2，那么另一个解是（ ）
A、4 B、3
C、6 D、2005
考点：一元二次方程的解；根与系数的关系。
专题：方程思想。
分析：根据根与系数的关系，两根之和等于6，其中一个根是2，所以另一个根是4．
解答：解：设方程的另一个根是m，则：
m+2+6，
∴m=4．
故本题选A．
点评：本题考查一元二次方程的解，利用根与系数的关系，可以求出方程的另一个根．
19、方程ax2+bx+c=0有两个根x1、x2，且x1＜x2．则x1是（ ）
A、﹣﹣ B、﹣+
C、﹣﹣ D、﹣﹣
20、已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足x1+x2=m2，则m的值是（ ）
A、﹣1 B、3
C、3或﹣1 D、﹣3或1
考点：根的判别式；根与系数的关系。
分析：根据一元二次方程根与系数的关系的关系可得x1+x2=﹣=2m+3，又x1+x2=m2，所以可建立关于m的方程求出m的值即可．
解答：解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
即b2﹣4ac＞0，
∴m＞﹣，
∵x1+x2=﹣=2m+3，x1+x2=m2，
∴m2=2m+3，
解得：m1=﹣1，m2=3，
又∵﹣1＜，
∴m=3．
故选B．
点评：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．和根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=，反过来也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2．
二、填空题（共5小题）
21、设n是整数，关于x的方程x2+（5﹣2n）x+2n=0的两个根都是质数，那么n= 7 ．
22、设一元二次方程x2﹣3x+a﹣4=0的两根均为整数，且两根同号，则a= 6 ．
考点：一元二次方程的整数根与有理根；根与系数的关系。
专题：计算题。
分析：设一元二次方程x2﹣3x+a﹣4=0的两根为α，β，则α+β=﹣，αβ=．再由两根均为整数，且两根同号，求得a的值．
解答：解：设一元二次方程x2﹣3x+a﹣4=0的两根为α，β，
∴α+β=3，αβ=a﹣4，
∵αβ＞0，∴α＞0，β＞0，a﹣4＞0，
∴α=1，β=2或α=0，β=3；
∴a﹣4=2或0，
∴a=4或6；
∵a﹣4＞0，
∴a＞4，
∴a=6．
故答案为6．
点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1?x2=．
23、若关于x的方程rx2﹣（2r+7）x+r+7=0的根是正整数，则整数r的值可以是 0或1或7 ．
考点：一元二次方程的整数根与有理根；根与系数的关系。
专题：特定专题。
分析：利用根与系数的关系，得出方程的根，在进行分析得出整数解．
解答：解：当r=0时，方程为﹣7x+7=0显然符合题意
当r≠0时，x1+x2=
x1x2=，
∴x1x2﹣（x1+x2）=﹣1
（x1﹣1）（x2﹣1）=0
∴x1=1，x2=1．
可知方程必有一根为1，则另一根为1+，是正整数，
∴r是7的正约数，即r=7或1，
∴r=7，0，1
故填：7或0或1．
点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的应用，题目比较新颖．
24、设方程x2+px+q=0的两根x1，x2均为正整数，若p+q=28，则（x1﹣1）（x2﹣1）= 29 ．
考点：一元二次方程的整数根与有理根；根与系数的关系。
分析：首先利用根与系数的关系得出有关x1，x2的方程，利用质数的性质得出方程的解．
解答：解．x1+x2=﹣p，x1x2=q，p+q=x1x2﹣x1﹣x2=28，X1==1+，因为两根均为正整数，且29为质数，所以x2=2 或 x2=30，即方程可化为（x﹣2）（x﹣30）=0，∴方程的两根分别为2，30，
（x1﹣1）（x2﹣1）=29．
故填：29．
点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及质数的性质，题目比较典型．
25、若p是质数，且方程x2+px﹣444p=0的两根均为整数，则p= 37 ．
考点：一元二次方程的整数根与有理根；质数与合数；根与系数的关系。
分析：运用根与系数的关系得出x1x2=﹣444p，以及x1+x2=﹣p，结合p是质数，得出有关p的方程，从而求出p值．
解答：解：设x1，x2原方程的两根，则x1x2=﹣444p，∵p为质数，
故x1x2中有一个是p的倍数，设x1=kp（k为整数），又x1+x2=﹣p，∴x2=﹣（k+1）p，
∴x1x2=kp[﹣（k+1）p]=﹣k（k+1）p2=﹣444p，
即k（k+1）p=22?3?37，
当k=3时，p=37，
∴p=37．
故填：37
点评：此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及质数的定义，题目比较典型．
三、解答题（共5小题）
26、已知p，q都是质数，且使得关于x的二次方程x2﹣（8p﹣10q）x+5pq=0至少有一个正整数根，求所有的质数对（p，q）．
考点：质数与合数；根与系数的关系。
专题：推理填空题；分类讨论。
分析：根据一元二次方程根与系数的关系可得方程的两个根的积是5pq，而两个根都是正整数，因而可以用p，q表示出方程的两根，再根据两根的和是8p﹣10q即可求得p，q的值．
解答：解：根据一元二次方程根与系数的关系可得：x1+x2=8p﹣10q，
x1?x2=5pq，
质数都是正整数．所以5pq肯定是正整数，
有一根是正整数，x1x2肯定都是正整数，
可以知道有几种可能，
x1=5 x2=pq；x1=5p x2=q；x1=5q x2=p；x1=1，x2=5pq；
将x1，x2代入 x1+x2=8p﹣10q，
5+pq=8p﹣10q，（1）
p（q﹣8）+10（q﹣8）+80+5=0，
（q﹣8）（p+10）=﹣85=﹣5×17=﹣1×85，
q=3，p=7，或q=7，p=74（舍去），
5p+q=8p﹣10q，11q=3p，（2）
p=11，q=3，
5q+p=8p﹣10q，15q=7p，（3）
p=15，q=7（舍去），
5pq+1=8p﹣10q，（4）
5q（p+2）﹣8（p+2）+16+1=0，
（p+2）（5q﹣8）=﹣17，
p=13，q=或p=1，q=或p=3，q=（全部舍去），
最后p=11，q=3，
或p=7，q=3．
故存在两对质数（11，3）和（7，3）．
点评：本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确根据质数的性质利用p，q表示出方程的两根，是解决本题的关键．
27、确定自然数n的值，使关于x的一元二次方程2x2﹣8nx+10x﹣n2+35n﹣76=0的两根均为质数，并求出此两根．
28、已知关于x的方程x2﹣4|x|+k=0．
（1）若方程有四个不同的整数根，求k的值求出这四个根；
（2）若方程有三个不同的整数根，求k的值及这三个根．
考点：一元二次方程的整数根与有理根；根的判别式；根与系数的关系。
专题：计算题。
分析：（1）根据已知条件x2﹣4|x|+k=0，有四个不同的整数根，关于|x|的方程|x|2﹣4|x|+k=0有两个不同的正整数根，再利用根的判别式得出k的取值范围，得出符合条件的值．
（2）根据已知条件x2﹣4|x|+k=0，有三个不同的整数根，方程|x|2﹣4|x|+k=0必有一根为0，得出x的值．
解答：解：（1）方程x2﹣4|x|+k=0，有四个不同的整数根，则关于|x|的方程|x|2﹣4|x|+k=0有两个不同的正整数根，
∴△=16﹣4k＞0，即k＜4，
且两根之积大于0，即k为正整数．
∴k=1，2，3．
当k=1，k=2时，原方程无整数解；
当k=3时，|x|2﹣4|x|+k=0，
解得：|x|=1或3．
∴当k=3时，原方程有四组不同的解：x1=1，x2=﹣1，x3=3，x4=﹣3．
（2）原方程有三组不同的整数根时，关于方程|x|2﹣4|x|+k=0必有一根为0，
∴k=0，
∴|x|2﹣4|x|=0．
∴|x|=0，或|x|=4．
∴x1=0，x2=4，x3=﹣4
点评：此题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程整数根的求法，题目比较简单．
29、已知方程x2+bx+c=0及x2+cx+b=0分别各有两个整数根且两根均同号，求证：b﹣1≤c≤b+1．
考点：一元二次方程的整数根与有理根；根与系数的关系。
专题：转化思想。
分析：通过根与系数的关系，利用反证法推出x1＜0，x2＜0；将b﹣1≤c≤b+1转化为c﹣（b﹣1）≥0和b≤c﹣1的问题即可．
解答：证明：设x1，x2，x1′，x2′，分别是两个方程的根，
先证x1＜0，x2＜0，
假设不成立，由x1＞0，x1x2＞0知x2＞0，而x1+x2=﹣b=﹣x1′x2′，与x1′x2′＞0矛盾，
故x1＜0，x2＜0；
又由于c﹣（b﹣1）=x1x2+x1+x2+1=（x1+1）（x2+1）≥0，
∴c≥b﹣1，
由方程x2+cx+b=0，讨论可得b≤c﹣1，
∴b﹣1≤c≤b+1．
点评：此题综合考查了一元二次方程根与系数的关系、反证法等知识，将结论转化为两根之积与两根之和的问题即可．
30、已知m为整数，且12＜m＜40，试求m为何值时，关于未知数x的方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有两个整数根．
根的判别式
一、选择题（共20小题）
1、设m，n为整数，则方程x2+10mx+5n+3=0和方程x2+10mx+5n﹣3=0必定（ ）
A、至少有一个有整数根 B、均无整数根
C、仅有一个有整数根 D、均有整数根
2、设m是整数，关于x的方程mx2﹣（m﹣1）x+1=0有有理根，则方程的根为（ ）
A、 B、x=﹣1
C、 D、有无数个根
3、设p是质数，如果方程x2﹣px﹣580p=0的两根均为整数，则（ ）
A、0＜p＜10 B、10＜p＜20
C、20＜p＜30 D、30＜p＜40
4、满足方程x2+y2=2（x+y）+xy的所有正整数解有（ ）
A、一组 B、二组
C、三组 D、四组
5、下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）
A、若x2=4，则x=2 B、方程x（2x﹣1）=2x﹣1的解是x=1
C、若分式的值为0，则x=1或x=2 D、方程x2﹣x+2=0的根的情况是原方程没有实数根
6、如果关于x的方程x2+k2﹣16=0和x2﹣3k+12=0有相同的实数根，那么k的值是（ ）
A、﹣7 B、﹣7或4
C、7 D、4
7、若 ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0，则方程解（ ）
A、必有一根为1 B、必有两相等实根
C、必有一根为﹣1 D、没有实数根
8、若方程没有实数根，则m等于（ ）
A、﹣2 B、2
C、5 D、3
9、若关于x的方程ax2+2（a﹣b）x+（b﹣a）=0有两个相等的实数根，则a：b等于（ ）
A、﹣1或2 B、﹣2或1
C、﹣或1 D、1或
10、方程（3﹣x）（x+7）=12的根的情况是（ ）
A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根
C、没有实数根 D、根的情况无法确定
11、已知实数a，b，若a＞b，，则ab的最大值是（ ）
A、1 B、
C、2 D、
12、关于x的方程x2+2kx+k﹣1=0的根的情况描述正确的是（ ）
A、k为任何实数，方程都没有实数根 B、k为任何实数，方程都有两个不相等的实数拫
C、k为任何实数，方程都有两个相等的实数根 D、根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
13、关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A、0 B、8
C、4±2 D、0或8
14、下列四个结论中，正确的是（ ）
A、方程x+=﹣2有两个不相等的实数根 B、方程x+=1有两个不相等的实数根
C、方程x+=2有两个不相等的实数根 D、方程x+=a（其中a为常数，且|a|＞2）有两个不相等的实数根
15、关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解，则k的取值范围是（ ）
A、k≥4 B、k≤4
C、k＞4 D、k=4
16、已知关于x的一元二次方程（a﹣l）x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A、a＜2 B、a＞2
C、a＜2且a≠l D、a＜﹣2
17、一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（ ）
A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根
C、只有一个实数根 D、没有实数根
18、已知关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0（m≠0）有两个实数根，则下列关于判别式n2﹣4mk的判断正确的是（ ）
A、n2﹣4mk＜0 B、n2﹣4mk=0
C、n2﹣4mk＞0 D、n2﹣4mk≥0
19、一元二次方程x2+x+=0的根的情况是（ ）
A、有两个不等的实数根 B、有两个相等的实数根
C、无实数根 D、无法确定
20、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2﹣4ac满足的条件是（ ）
A、b2﹣4ac=0 B、b2﹣4ac＞0
C、b2﹣4ac＜0 D、b2﹣4ac≥0
二、填空题（共5小题）
21、若二次方程ax2+2（2a﹣1）x+4（a﹣3）=0至少有一个整数根，则自然数a= 1，3，6，10 ．
22、若整数m使方程x2﹣mx+m+2006=0的根为非零整数，则这样的整数m的个数为 5个 ．
23、已知方程a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15=0（其中a为非负整数）至少有一个整数根．那么a= 1，3或5 ．
24、设a、b、c是实数，且a2﹣bc﹣8a+7=0，b2+c2+bc﹣6a+6=0，则a的取值范围是 1≤a≤9 ．
25、已知关于x的方程x3+（1﹣a）x2﹣2ax+a2=0有且只有一个实根．则实数a的取值范围是 ．
三、解答题（共4小题）
26、已知一个两位数，其十位与个位数字分别为p、q，二次函数y=x2+qx+p的图象与x轴交于不同的两点A、B，顶点为C，且S△ABC≤1，
（1）求q2﹣4p的取值范围；
（2）求出所有这样的两位数．
27、是否存在质数p．q，使得关于x的一元二次方程px2﹣qx+p=O有有理数根？
28、已知a，b，c是三个两两不同的奇质数，方程有两个相等的实数根．
（1）求a的最小值；
（2）当a达到最小时，解这个方程．
29、已知a是正整数，如果关于x的方程x3+（a+17）x2+（38﹣a）x﹣56=0的根都是整数，求a的值及方程的整数根．
根的判别式
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、设m，n为整数，则方程x2+10mx+5n+3=0和方程x2+10mx+5n﹣3=0必定（ ）
A、至少有一个有整数根 B、均无整数根
C、仅有一个有整数根 D、均有整数根
考点：一元二次方程的整数根与有理根；完全平方数；根的判别式。
专题：推理填空题。
分析：先计算两个方程的根的判别式△1，2=4[5（m2﹣n）±3]，而5（m2﹣n）的个位数字只能是0或5，得到4[5（m2﹣n）±3]的个位数字只能是2或8；而任何一个完全平方数的个位数字只可能是0，1，4，6，9之一，因此当m，n为整数时，4[5（m2﹣n）±3]都不是完全平方数，于是，这两个方程均无有理根，当然两个方程均无整数根．
解答：解：∵△1，2=4[5（m2﹣n）±3]，
而5（m2﹣n）的个位数字只能是0或5．
∴4[5（m2﹣n）±3]的个位数字只能是2或8；
而任何一个完全平方数的个位数字只可能是0，1，4，6，9之一，
∴当m，n为整数时，4[5（m2﹣n）±3]都不是完全平方数，于是，这两个方程均无有理根，
所以两个方程均无整数根，
故选B．
点评：本题考查了一元二次方程有有理根的条件：△=b2﹣4ac为完全平方数．也考查了完全平方数末位数的特点．
2、设m是整数，关于x的方程mx2﹣（m﹣1）x+1=0有有理根，则方程的根为（ ）
A、 B、x=﹣1
C、 D、有无数个根
3、设p是质数，如果方程x2﹣px﹣580p=0的两根均为整数，则（ ）
A、0＜p＜10 B、10＜p＜20
C、20＜p＜30 D、30＜p＜40
考点：一元二次方程的整数根与有理根；根的判别式。
专题：特定专题。
分析：首先利用根的判别式确定△的取值，结合p是质数，得出p取值，从而确定答案．
解答：解：由已知得△=p2﹣4×（﹣580p）=p（p+4×580）为完全平方数，因为p是质数，
故，
∴，
但4×580=24×5×29，
（1）若p=2，则p（p+4×580）=22×11611非完全平方数，不合；
（2）若p=5，则5（5+4×580）=52×465=53×93非完全平方数，不合；
（3）若p=2q，则2q（2q+4×580）=2q2（1+4×20）=2q2×81=2q2×q2为完全平方数，
故选C．
点评：此题主要考查了一元二次方程的判别式，以及质数的性质，综合性较强．
4、满足方程x2+y2=2（x+y）+xy的所有正整数解有（ ）
A、一组 B、二组
C、三组 D、四组
5、下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）
A、若x2=4，则x=2 B、方程x（2x﹣1）=2x﹣1的解是x=1
C、若分式的值为0，则x=1或x=2 D、方程x2﹣x+2=0的根的情况是原方程没有实数根
考点：一元二次方程的解；分式的值为零的条件；根的判别式。
分析：对于一元二次方程x2=4和x（2x﹣1）=2x﹣1分别解答即可求得x的值，从而判断是否正确；若分式的值为零，由分子的值为零得x=1或2；又x﹣1≠0则x≠0，因而x=2．根据根的判别式可知方程x2﹣x+2=0的根的情况是原方程没有实数根．
解答：解：A、x2=4，则x=±2，错误；
B、方程x（2x﹣1）=2x﹣1的解为x=1和；
C、若分式的值为零，由分子的值为零得x=1或2；又x﹣1≠0则x≠0，因而x=2，错误．
D、∵△=（﹣1）2﹣4×1×2=﹣7＜0，∴方程x2﹣x+2=0的根的情况是原方程没有实数根，正确．
故选D．
点评：本题主要考查了因式分解法解一元二次方程和分式的值是零的条件，及根的判别式．
6、如果关于x的方程x2+k2﹣16=0和x2﹣3k+12=0有相同的实数根，那么k的值是（ ）
A、﹣7 B、﹣7或4
C、7 D、4
7、若 ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0，则方程解（ ）
A、必有一根为1 B、必有两相等实根
C、必有一根为﹣1 D、没有实数根
考点：一元二次方程的解；根的判别式。
分析：根据 ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0，即可得出x=﹣1时，a﹣b+c=0即可得出答案．
解答：解：∵ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0，
∴x=﹣1时，a﹣b+c=0，
∴方程必有一根为﹣1．
故选：C．
点评：此题考查了一元二次方程的解，根据已知求出x=﹣1时，a﹣b+c=0是解题关键．
8、若方程没有实数根，则m等于（ ）
A、﹣2 B、2
C、5 D、3
考点：解一元二次方程-因式分解法；根的判别式；分式方程的解。
分析：先把分式方程去分母化为一元二次方程，再根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值．
解答：解：原方程化简为：x2﹣（7+m）x+10+5m=0 （1）
∴△=b2﹣4ac=（7+m）2﹣4（10+5m）=m2﹣6m+9=（m﹣3）2≥0
∴方程（1）有实数根．
但原方程为分式方程，x≠5
方程（1）变形得到（x﹣5）（x﹣2﹣m）=0
得到x1=5，x2=2+m．
而x1=5为原方程的增根，当x2=5时，得到m=3
所以m=3时，原方程没有实数根．
故选D．
点评：总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
2、分式方程中分母不为0．
9、若关于x的方程ax2+2（a﹣b）x+（b﹣a）=0有两个相等的实数根，则a：b等于（ ）
A、﹣1或2 B、﹣2或1
C、﹣或1 D、1或
考点：解一元二次方程-因式分解法；根的判别式。
专题：整体思想。
分析：本题是根的判别式与解方程的综合应用，本题中根据根与系数的关系会出现关于a、b的二元二次方程，但是由于求解的结果是a：b，所以可以利用整体的思想进行求解．
解答：解：∵关于x的方程ax2+2（a﹣b）x+（b﹣a）=0有两个相等的实数根，
∴△=[2（a﹣b）]2﹣4×a×+（b﹣a）=0，
整理得2a2﹣3ab+b2=0，
即（2a﹣b）（a﹣b）=0
∴2a=b或a=b
a：b等于1或．
故选D．
点评：本题根据方程有两个相等的实数根可以列出关于待定系数的方程，求解的时候可以利用整体的思想求出要求的整体，这是本题的难点．
10、方程（3﹣x）（x+7）=12的根的情况是（ ）
A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根
C、没有实数根 D、根的情况无法确定
11、已知实数a，b，若a＞b，，则ab的最大值是（ ）
A、1 B、
C、2 D、
考点：换元法解一元二次方程；根的判别式。
专题：计算题。
分析：设a﹣b=x，ab=t，再将转化成a﹣b，ab的形式，从而求出a﹣b，ab的值，再确定出ab的最大值．
解答：解：设a﹣b=x，ab=t，=
∴，
△=b2﹣4ac=8﹣8t≥0，
∴t≤1
仅当时，a﹣b=2，ab=1成立，
故选A．
点评：本题考查了用换元法解一元二次方程以及根的判别式，是基础知识要熟练掌握．
12、关于x的方程x2+2kx+k﹣1=0的根的情况描述正确的是（ ）
A、k为任何实数，方程都没有实数根 B、k为任何实数，方程都有两个不相等的实数拫
C、k为任何实数，方程都有两个相等的实数根 D、根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
13、关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A、0 B、8
C、4±2 D、0或8
考点：根的判别式。
专题：计算题。
分析：根据一元二次方程根的判别式的意义，由程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，则有△=0，得到关于m的方程，解方程即可．
解答：解：∵一元二次方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即（m﹣2）2﹣4×1×（m+1）=0，
整理，得m2﹣8m=0，
解得m1=0，m2=8．
故选D．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
14、下列四个结论中，正确的是（ ）
A、方程x+=﹣2有两个不相等的实数根 B、方程x+=1有两个不相等的实数根
C、方程x+=2有两个不相等的实数根 D、方程x+=a（其中a为常数，且|a|＞2）有两个不相等的实数根
考点：根的判别式。
专题：计算题。
分析：把所给方程整理为一元二次方程的一般形式，判断解的个数即可．
解答：解：A、整理得：x2+2x+1=0，△=0，∴原方程有2个相等的实数根，故错误，不合题意；
B、整理得：x2﹣x+1=0，△＜0，∴原方程没有实数根，故错误，不合题意；
C、整理得：x2﹣2x+1=0，△=0，∴原方程有2个相等的实数根，故错误，不合题意；
D、整理得：x2﹣ax+1=0，△＞0，∴原方程有2个b不相等的实数根，故正确，符合题意．
故选D．
点评：考查方程的实数根的问题；用到的知识点为：一元二次方程根的判别式大于0，方程有2个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有2个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．
15、关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解，则k的取值范围是（ ）
A、k≥4 B、k≤4
C、k＞4 D、k=4
16、已知关于x的一元二次方程（a﹣l）x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A、a＜2 B、a＞2
C、a＜2且a≠l D、a＜﹣2
考点：根的判别式。
专题：计算题。
分析：利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出a的取值范围．
解答：解：△=4﹣4（a﹣1）
=8﹣4a＞0
得：a＜2．
又a﹣1≠0
∴a＜2且a≠1．
故选C．
点评：本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两不等的实数根，得到判别式大于零，求出a的取值范围，同时方程是一元二次方程，二次项系数不为零．
17、一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（ ）
A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根
C、只有一个实数根 D、没有实数根
考点：根的判别式；解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题。
分析：先把原方程变形为：x2﹣2x=0，然后计算△，得到△=4＞0，根据△的含义即可判断方程根的情况．
解答：解：原方程变形为：x2﹣2x=0，
∵△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选A．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0，（a≠0）根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，原方程有两个不相等的实数根；当△=0，原方程有两个相等的实数根；当△＜0，原方程没有实数根．
18、已知关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0（m≠0）有两个实数根，则下列关于判别式n2﹣4mk的判断正确的是（ ）
A、n2﹣4mk＜0 B、n2﹣4mk=0
C、n2﹣4mk＞0 D、n2﹣4mk≥0
考点：根的判别式。
专题：计算题。
分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0，（a≠0）根的判别式△=b2﹣4ac直接得到答案．
解答：解：∵关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0（m≠0）有两个实数根，
∴△=n2﹣4mk≥0，
故选D．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0，（a≠0）根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，原方程有两个不相等的实数根；当△=0，原方程有两个相等的实数根；当△＜0，原方程没有实数根．
19、一元二次方程x2+x+=0的根的情况是（ ）
A、有两个不等的实数根 B、有两个相等的实数根
C、无实数根 D、无法确定
20、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2﹣4ac满足的条件是（ ）
A、b2﹣4ac=0 B、b2﹣4ac＞0
C、b2﹣4ac＜0 D、b2﹣4ac≥0
考点：根的判别式。
分析：已知一元二次方程的根的情况，就可知根的判别式△=b2﹣4ac值的符号．
解答：解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac＞0．故选B．
点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
二、填空题（共5小题）
21、若二次方程ax2+2（2a﹣1）x+4（a﹣3）=0至少有一个整数根，则自然数a= 1，3，6，10 ．
考点：一元二次方程的整数根与有理根；根的判别式。
专题：计算题。
分析：由原方程至少有一个整数根，得到a≠0，△=4（2a﹣1）2﹣4a?4（a﹣3）=4（8a+1）为完全平方数，可设8a+1=（2m+1）2（m为自然数），从而得到，把它代入原方程然后利用求根公式解得，由于x1，x2中至少有一个整数，m为自然数，利用整数的整除性即可求出m的值，最后计算出对应的a的值．
解答：解：∵原方程至少有一个整数根，
∴a≠0，△=4（2a﹣1）2﹣4a?4（a﹣3）=4（8a+1）为完全平方数，
设8a+1=（2m+1）2（m为自然数），
∴代入原方程，得，
解之得，，
∵x1，x2中至少有一个整数，
∴m|4或（m+1）|4，
又∵m为自然数，
∴m=1，2，4或m+1=2，4．
∴m=1，2，3，4，
∴a=1，3，6，10．
故答案为：1，3，6，10．
点评：本题考查了一元二次方程有整数根的条件：判别式△=b2﹣4ac为完全平方数．也考查了利用求根公式解一元二次方程以及整数的整除性质．
22、若整数m使方程x2﹣mx+m+2006=0的根为非零整数，则这样的整数m的个数为 5个 ．
考点：一元二次方程的整数根与有理根；根的判别式。
分析：利用根与系数的关系得出两根之间的关系，利用因数分解得出所有的可能．
解答：解：假设方程的两个根分别为a，b，
那么a+b=m，ab=m+2006，
ab=a+b+2006，
ab﹣a﹣b+1=2007，
（a﹣1）（b﹣1）=2007=1×2007=3×669=9×223=（﹣9）×（﹣223）=（﹣3）×（﹣669）=（﹣1）×（﹣2007），
后面的六个乘式是2007所有的整数分解式由于a﹣1，b﹣1都是整数，
因为方程的根a、b为非零整数，所以（a﹣1）（b﹣1）=（﹣1）×（﹣2007）不成立，
所以a﹣1，b﹣1也只能对应上述五种情况，
其中每对应一种分解式，都有一个不同的m=a+b，所以m的个数为5．
故填：5个．
点评：此题主要考查了一元二次方程方程根与系数的关系，以及整数解的求法，题目难度不大．
23、已知方程a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15=0（其中a为非负整数）至少有一个整数根．那么a= 1，3或5 ．
考点：一元二次方程的整数根与有理根；解一元二次方程-公式法；根的判别式。
专题：常规题型。
分析：利用根的判别式得出关于a的式子，然后求出两根，利用倍数与约数求出a的值．
解答：解：显然a≠0．故原方程为关于x的二次方程．
△=[﹣（3a2﹣8a）]2﹣4a2（2a2﹣13a+15），
=[a（a+2）]2
是完全平方式．
故x=
即x1==2﹣，x2==1﹣．
从而，由倍数约数分析法知
a=1，3或5．
点评：此题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及方程根的求法和数据的倍数与约数．
24、设a、b、c是实数，且a2﹣bc﹣8a+7=0，b2+c2+bc﹣6a+6=0，则a的取值范围是 1≤a≤9 ．
考点：完全平方公式；根的判别式。
专题：计算题。
分析：把a2﹣bc﹣8a+7=0变形为bc=a2﹣8a+7的形式，再把b2+c2+bc﹣6a+6=0化为完全平方公式的形式，求出以b、c为根的一元二次方程，根据根的判别式即可求出a的取值范围．
解答：解：∵由a2﹣bc﹣8a+7=0得，bc=a2﹣8a+7…①，
把①代入b2+c2+bc﹣6a+6=0得，（b+c）2=6a﹣6+bc=6a﹣6+a2﹣8a+7=a2﹣2a+1=（a﹣1）2，
∴b+c=±（a﹣1），故b、c为方程x2±（a﹣1）x+a2﹣8a+7=0的两实根，
∴△≥0，
∴（a﹣1）2﹣4（a2﹣8a+7）≥0，
∴a2﹣10a+9≤0，
∴1≤a≤9．
故答案为：1≤a≤9．
点评：本题考查的是完全平方公式及一元二次方程根的判别式，能把方程化为完全平方公式的形式是解答此题的关键．
25、已知关于x的方程x3+（1﹣a）x2﹣2ax+a2=0有且只有一个实根．则实数a的取值范围是 ．
三、解答题（共4小题）
26、已知一个两位数，其十位与个位数字分别为p、q，二次函数y=x2+qx+p的图象与x轴交于不同的两点A、B，顶点为C，且S△ABC≤1，
（1）求q2﹣4p的取值范围；
（2）求出所有这样的两位数．
考点：带余数除法；根的判别式。
专题：探究型。
分析：（1）设出A、B的坐标，根据二次函数与x轴的交点横坐标是相应一元二次方程的解，利用一元二次方程根与系数的关系求出A、B两点的距离，再根据二次函数的顶点坐标公式求出顶点的纵坐标，利用以上条件表示出三角形的面积公式，进而得出q2﹣4p的取值范围；
（2）根据0＜q2﹣4p≤4，得出q2﹣4p=1，2，3，4，然后推出q2﹣4p=1，或q2﹣4p=4，从而推出的值．
解答：解：（1）设A（x1，0），B（x2，0），（x1≠x2），
则x1、x2是方程x2+qx+p=0的两个不同的实根，
所以x1+x2=﹣q，x1x2=p，q2﹣4p＞0，
又（yc表示点C的纵坐标），所以
S△ABC=，
从而（q2﹣4p）3≤64，q2﹣4p≤4，
故0＜q2﹣4p≤4；
（2）由（1）知，q2﹣4p=1，2，3，4，
因为q2被4除余数为0或1，
故q2﹣4p被4除余数也是0或1，
从而q2﹣4p=1，或q2﹣4p=4，
这两个方程中符合题意的整数解有：
，，，．
故所有两位数为23，65，34，86．
点评：此题考查了二次函数的与一元二次方程的关系，带余数的除法及根的判别式，三角形的面积公式，涉及面较广，难度较大．
27、是否存在质数p．q，使得关于x的一元二次方程px2﹣qx+p=O有有理数根？
考点：质数与合数；根的判别式。
专题：探究型。
分析：先设方程有有理数根，则判别式为平方数．令△=q2﹣4p2=n2，再把此方程化为完全平方的形式，再根据q﹣n与q+n同为偶数列出关于n、p、q的方程组，用p表示出q，再根据q﹣n与q+n同为偶数而p．q为质数可知p=2，代入关于p、q的式子，求出符合条件的p、q的对应值，代入原方程求出方程的根，再根据有理数的概念进行解答即可．
解答：解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令△=q2﹣4p2=n2，
规定其中n是一个非负整数．则（q﹣n）（q+n）=4p2．（5分）
由于1≤q﹣n≤q+n，且q﹣n与q+n同奇偶，故同为偶数，
因此，有如下几种可能情形：、、、、
消去n，解得．（10分）
对于第1，3种情形，p=2，从而q=5；
对于第2，5种情形，p=2，从而q=4（不合题意，舍去）；
对于第4种情形，q是合数（不合题意，舍去）．
又当p=2，q=5时，方程为2x2﹣5x+2=0，它的根为，它们都是有理数．
综上所述，存在满足题设的质数．（15分）
点评：本题考查的是质数与合数的概念、根的判别式、奇数与偶数，涉及面较广，难度较大．
28、已知a，b，c是三个两两不同的奇质数，方程有两个相等的实数根．
（1）求a的最小值；
（2）当a达到最小时，解这个方程．
考点：质数与合数；根的判别式。
分析：（1）首先由方程有两个相等的实数根，可得：△=5（a+1）2﹣900（b+c）=0，即可得到：（a+1）2=22×32×5（b+c），则可求得a+1的最小值，得到a的最小值；
（2）将最小值代入方程，求解即可．
解答：解：（1）∵方程有两个相等的实数根，
∴△=5（a+1）2﹣900（b+c）=0，
∴（a+1）2=22×32×5（b+c），
∴5（b+c）应为完全平方数，最小值为52×22，
∴a+1的最小值为60，
∴a的最小值为59；
（2）∵a=59时，b+c=20，
则原方程为：20x2+60x+225=0，
解得：x=﹣．
点评：此题考查了一元二次方程的判别式和质数的意义．解此题的关键是抓住判别式△=0．
29、已知a是正整数，如果关于x的方程x3+（a+17）x2+（38﹣a）x﹣56=0的根都是整数，求a的值及方程的整数根．
