方差
一、选择题（共20小题）
1、下列说法中，正确的是（ ）
A、为检测我市正在销售的酸奶质量，应该采用抽样调查的方式 B、在连续5次的数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学数学成绩更稳定
C、某同学连续10次抛掷质量均匀的硬币，3次正面向上，因此正面向上的概率是30% D、“2012年将在我市举办全运会，这期间的每一天都是晴天”是必然事件
2、下列说法正确的个数是（ ）
①要了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式；
②要了解全市居民对环境的保护意识，采抽样调查的方式；
③一个游戏的中奖率是1%，则做100次这这样的游戏一定会中奖；
④若甲组数据的方差S甲2=0.05，乙组数据的方差S乙2=0.1，则乙组数据比甲组数据稳定．
A、0 B、1
C、2 D、3
3、下列说法不正确的是（ ）
A、方差反映了一组数据与其平均数的偏离程度 B、为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法
C、必然事件的概率为1 D、对于简单随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差
4、下表是两个商场1至6月份销售“椰树牌天然椰子汁”的情况（单位：箱）根据以上信息可知（ ）
1月
2月
3月
4月
5月
6月
甲商场
450
440
480
420
576
550
乙商场
480
440
470
490
520
516
A、甲比乙的月平均销售量大 B、甲比乙的月平均销售量小
C、甲比乙的销售稳定 D、乙比甲的销售稳定
5、甲、乙两名同学在相同条件下各射击5次，命中的环数如下表：那么下列结论正确的是（ ）
甲
8
5
7
8
7
乙
7
8
6
8
6
A、甲的平均数是7，方差是1.2 B、乙的平均数是7，方差是1.2
C、甲的平均数是8，方差是1.2 D、乙的平均数是8，方差是0.8
6、某工厂对一个生产小组的零件进行抽样检查，在10天中，这个生产小组每天生产的次品数如下（单位：个）：0，2，0，2，3，0，2，3，1，2．在这10天中，该生产小组生产零件所产生的次品数的（ ）
A、平均数是2 B、众数是3
C、中位数是1.5 D、方差是1.25
7、如果将所给一组数据的每一个数都减去同一个常数，这组数（ ）
A、平均数与方差都改变 B、平均数改变，方差不变
C、平均数不变，方差改变 D、平均数与方差都不变
8、下列说法正确的是（ ）
A、数据3，4，3，4，5，5，5，2的众数是3 B、为了了解参加运动会的运动员的年龄情况，从中抽取了100名运动员，在这里100名运动员是抽取的一个样本
C、如果数据x1，x2，…，xn的平均数是，那么（x1﹣）+（x2﹣）+…+（xn﹣）=0 D、一组数据的方差为s2，将这组数据中的每一个数都乘以5，所得到的一组新数据的方差是5s2
9、甲、乙两人5次射击命中的环数如下：
甲 7 9 8 6 10
乙 7 8 9 8 8
则关于两人5次射击命中环数的平均数甲，乙和方差S2甲，S2乙的结论正确的是（ ）
A、甲=乙，S2甲=S2乙 B、甲＜乙，S2甲＜S2乙
C、甲=乙，S2甲＜S2乙 D、甲=乙，S2甲＞S2乙
10、甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，各选10名学生参加，各班参赛学生每分钟输入汉字个数统计如下表：
输入汉字（个）
132
133
134
135
136
137
众数
中位数
平均数
方差
甲班学生（人）
1
0
1
5
2
1
135
135
135
乙班学生（人）
0
1
4
1
2
2
请你填写上表中乙同学的相关数据（ ）
A、
134
134
135
1.9
B、
134
135
135
1.8
C、
134
134.5
135
1.8
D、
134
135.5
135
1.9
11、下列说法正确的是（ ）
A、随机事件发生的可能性是50% B、一组数据2，3，3，6，8，5的众数与中位数都是3
C、“打开电视，正在播放关于奥运火炬传递的新闻”是必然事件 D、若甲组数据的方差S甲2=0.31，乙组数据的方差S乙2=0.02，则乙组数据比甲组数据稳定
12、对于数据：80，88，85，85，83，83，84．下列说法中错误的有（ ）
A、这组数据的平均数是84；B、这组数据的众数是85；C、这组数据的中位数是84；D、这组数据的方差是36．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
13、下列说法正确的是（ ）
A、一个游戏的中奖概率是，则做10次这样的游戏一定会中奖 B、为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式
C、一组数据6，8，7，8，8，9，10的众数和中位数都是8 D、若甲组数据的方差S2甲=0.01，乙组数据的方差S2乙=0.1，则乙组数据比甲组数据稳定
14、在一次科技知识竞赛中，两组学生成绩统计如下表，通过计算可知两组的方差为S甲2=172，S乙2=256．下列说法：①两组的平均数相同；②甲组学生成绩比乙组学生成绩稳定；③甲组成绩的众数＞乙组成绩的众数；④两组成绩的中位数均为80，但成绩≥80的人数甲组比乙组多，从中位数来看，甲组成绩总体比乙组好；⑤成绩高于或等于90分的人数乙组比甲组多，高分段乙组成绩比甲组好．其中正确的共有（ ）
分数
50
60
70
80
90
100
人
数
甲组
2
5
10
13
14
6
乙组
4
4
16
2
12
12
A、2种 B、3种
C、4种 D、5种
15、在学校对学生进行的晨检体温测量中，学生甲连续10天的体温，在36℃的上下波动的数据为0.2，0.3，0.1，0.1，0，0.2，0.1，0.1，0.1，0，则在10天中该学生的体温波动数据中不正确的是（ ）
A、平均数为0.12 B、众数为0.1
16、甲，乙两班举行班际电脑汉字输入比赛，各选10名选手参赛，各班参赛学生每分钟输入汉字个数统计如下表：
输入汉字个数（个）
132
133
134
135
136
137
甲班人数（人）
1
0
2
4
1
2
乙班人数（人）
0
1
4
1
2
2
通过计算可知两组数据的方差分别为S2甲=2.0，S2乙=2.7，则下列说法：①两组数据的平均数相同；②甲组学生比乙组学生的成绩稳定；③两组学生成绩的中位数相同；④两组学生成绩的众数相同．其中正确的有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
17、一台机床在十天内生产的产品中，每天出现的次品个数依次为（单位：个）0，2，0，2，3，0，2，3，1，2．那么下列说法中：①平均数是2；②众数是3；③中位数是1.5；④方差是1.15．正确的说法有（ ）个．
A、1 B、2
C、3 D、4
18、下列数据是某班六位同学定点投篮（每人投10个）的情况，投进篮筐的个数为6，9，8，4，0，3，这组数据的平均数、中位数和极差分别是（ ）
A、6，6，9 B、6，5，9
C、5，6，6 D、5，5，9
19、甲、乙两人各射击6次，甲所中的环数是8，5，5，a，b，c，且甲所中的环数的平均数是6，众数是8；乙所中的环数的平均数是6，方差是4．根据以上数据，对甲、乙射击成绩的正确判断是（ ）
A、甲射击成绩比乙稳定 B、乙射击成绩比甲稳定
C、甲、乙射击成绩稳定性相同 D、甲、乙射击成绩稳定性无法比较
20、下列说法正确的个数是（ ）
①样本的方差越小，波动性越小，说明样本稳定性越好；②一组数据的众数只有一个；③一组数据的中位数一定是这组数据中的某一数据；④数据：2，2，3，2，2，5的众数为4；⑤一组数据的方差一定是正数．
A、0个 B、1个
C、2个 D、4个
二、填空题（共5小题）
21、若样本x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为10，方差为2，则另一样本x1+2，x2+2，…，xn+2，的平均数为 11 ，方差为 2 ．
22、某一段时间，小芳测得连续五天的日最低气温后，整理得出下表：
日期
一
二
三
四
五
方差
平均气温
最低温度
1
3
2
5
3
由于不小心被墨迹污染了两个数据，这两个数据分别是 4 ， 2 ．
23、样本1，2，3，x，5的平均数=3，则x= 4 ，方差s2= 2 ．
25、已知一组数据的一个样本x1，x2，x3，…xn的平均数是0.24，方差是1.02，那么估计这组数据的总体平均数是 0.24 ，方差是 1.02 ．
三、解答题（共5小题）
26、某公司为了评价甲、乙两位营销员去年的营销业绩，统计了这两人去年12个月的营销业绩（所推销商品的件数）分别如下图所示：
（1）利用图中信息，完成下表：
（2）假若你是公司主管，请你根据（1）中图表信息，应用所学的统计知识，对两人的营销业绩作出评价．
27、某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总分多少排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀，下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据（单位：个）
统计发现两班总分相等，此时有学生建议，可以通过考查数据中的其他信息作为参考，请解答下列问题：
（1）计算两班的优秀率；
（2）求两班比赛数据的中位数；
（3）计算两班比赛数据的方差；
（4）你认为应该定哪一个班为冠军？为什么？
28、有甲、乙两个新品种的水稻，在进行杂交配系时要找出产量较高、稳定性较好的一种，甲、乙两种水稻种植后，各抽取五块稻田获取数据，其亩产量分别如下表：（单位：㎏）
1
2
3
4
5
甲
52
50
51
49
53
乙
51
51
51
48
54
（1）通过计算说明哪一种品种平均单产较高？
（2）通过计算说明哪一种品种稳定性较好？应选哪一种品种做配系？
29、（2011?安徽）一次学科测验，学生得分均为整数，满分10分，成绩达到6分以上为合格．成绩达到9分为优秀．这次测验中甲乙两组学生成绩分布的条形统计图如下：
（1）请补充完成下面的成绩统计分析表：
平均分
方差
中位数
合格率
优秀率
甲组
6.9
2.4
91.7%
16.7%
乙组
1.3
83.3%
8.3%
（2）甲组学生说他们的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们的成绩好于乙组．但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要高于甲组．请你给出三条支持乙组学生观点的理由．
30、水稻种植是嘉兴的传统农业．为了比较甲、乙两种水稻的长势，农技人员从两块试验田中，分别随机抽取5棵植株，将测得的苗高数据绘制成下图：
请你根据统计图所提供的数据，计算平均数和方差，并比较两种水稻的长势．
方差
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、下列说法中，正确的是（ ）
A、为检测我市正在销售的酸奶质量，应该采用抽样调查的方式 B、在连续5次的数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学数学成绩更稳定
C、某同学连续10次抛掷质量均匀的硬币，3次正面向上，因此正面向上的概率是30% D、“2012年将在我市举办全运会，这期间的每一天都是晴天”是必然事件
考点：全面调查与抽样调查；方差；随机事件；概率的意义。
专题：分类讨论。
分析：根据全面调查与抽样调查的区别，方差的定义，概率的意义，必然事件的概念对各选项依次进行判断即可解答．
解答：解：A、为检测我市正在销售的酸奶质量，应该采用抽样调查的方式，不能采取全面调查，正确；
B、应为方差小的同学数学成绩更稳定，故本选项错误；
C、概率应为二分之一，故本选项错误；
D、每一天都是晴天是可能事件，故本选项错误．
故选A．
点评：本题主要考查全面调查与抽样调查的区别，方差的定义，概率的意义，必然事件的概念，熟练掌握定义是解答本题的关键．
2、下列说法正确的个数是（ ）
①要了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式；
②要了解全市居民对环境的保护意识，采抽样调查的方式；
③一个游戏的中奖率是1%，则做100次这这样的游戏一定会中奖；
④若甲组数据的方差S甲2=0.05，乙组数据的方差S乙2=0.1，则乙组数据比甲组数据稳定．
A、0 B、1
C、2 D、3
3、下列说法不正确的是（ ）
A、方差反映了一组数据与其平均数的偏离程度 B、为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法
C、必然事件的概率为1 D、对于简单随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差
考点：全面调查与抽样调查；用样本估计总体；方差；概率的意义。
分析：根据方差的意义，调查方式的选择，概率的意义，样本估计整体的条件找到错误的选项即可．
解答：解：B、不宜采用普查的方法，因为是破坏性检查，得用抽样调查的方法．A、C、D说法都对．故选B．
点评：本题综合考查统计的常识，涉及知识点较多，注意坏性较强的调查要采用抽样调查；用样本估计整体是常用的调查方式．
4、下表是两个商场1至6月份销售“椰树牌天然椰子汁”的情况（单位：箱）根据以上信息可知（ ）
1月
2月
3月
4月
5月
6月
甲商场
450
440
480
420
576
550
乙商场
480
440
470
490
520
516
A、甲比乙的月平均销售量大 B、甲比乙的月平均销售量小
C、甲比乙的销售稳定 D、乙比甲的销售稳定
考点：算术平均数；方差。
专题：计算题。
分析：根据平均数的公式先计算甲和乙的月平均销售，再计算它们的极差，然后进行比较即可．
解答：解：直接运用求自述平均数的公式计算甲和乙的月平均销售，再进行比较．
X甲=（450+440+480+420+576+550）=486，X乙=（480+440+470+490+520+516）=486，所以甲和乙的月平均销售相等．甲的极差=576﹣420=156，乙的极差=520﹣440=80，所以乙比甲的销售稳定．
故选D．
点评：要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可．极差也能反映数据波动的大小．
5、甲、乙两名同学在相同条件下各射击5次，命中的环数如下表：那么下列结论正确的是（ ）
甲
8
5
7
8
7
乙
7
8
6
8
6
A、甲的平均数是7，方差是1.2 B、乙的平均数是7，方差是1.2
C、甲的平均数是8，方差是1.2 D、乙的平均数是8，方差是0.8
6、某工厂对一个生产小组的零件进行抽样检查，在10天中，这个生产小组每天生产的次品数如下（单位：个）：0，2，0，2，3，0，2，3，1，2．在这10天中，该生产小组生产零件所产生的次品数的（ ）
A、平均数是2 B、众数是3
C、中位数是1.5 D、方差是1.25
考点：算术平均数；中位数；众数；方差。
专题：应用题。
分析：熟练掌握平均数，中位数，众数，方差的概念及计算公式即可．
解答：解：（1）由平均数的公式计算得平均数为1.5，故选项A错误；
（2）2出现了四次所以众数为2，故选项B错误；
（3）把这列数从小到大排列得到第5，6个都是2，则中位数是2，故C错误；
（4）方差是1.25，故D正确．
故选D．
点评：此题考查了学生对平均数，中位数，众数，方差的掌握情况．
7、如果将所给一组数据的每一个数都减去同一个常数，这组数（ ）
A、平均数与方差都改变 B、平均数改变，方差不变
C、平均数不变，方差改变 D、平均数与方差都不变
考点：算术平均数；方差。
分析：平均数公式：．当每个数都变小，平均数改变了．而方差反映了了一组数据的波动大小，因每个数与平均数的差值不变，故数据的波动不变，故方差不变．
解答：解：将所给一组数据的每一个数都减去同一个常数，这组数平均数改变，方差不变．
故选B．
点评：考查了对平均数方差概念的理解和掌握情况．
8、下列说法正确的是（ ）
A、数据3，4，3，4，5，5，5，2的众数是3 B、为了了解参加运动会的运动员的年龄情况，从中抽取了100名运动员，在这里100名运动员是抽取的一个样本
C、如果数据x1，x2，…，xn的平均数是，那么（x1﹣）+（x2﹣）+…+（xn﹣）=0 D、一组数据的方差为s2，将这组数据中的每一个数都乘以5，所得到的一组新数据的方差是5s2
9、甲、乙两人5次射击命中的环数如下：
甲 7 9 8 6 10
乙 7 8 9 8 8
则关于两人5次射击命中环数的平均数甲，乙和方差S2甲，S2乙的结论正确的是（ ）
A、甲=乙，S2甲=S2乙 B、甲＜乙，S2甲＜S2乙
C、甲=乙，S2甲＜S2乙 D、甲=乙，S2甲＞S2乙
考点：算术平均数；方差。
专题：常规题型；计算题。
分析：分别用算术平均数的计算方法计算两人的平均数，用方差的计算公式计算出方差，然后比较即可．
解答：解：==8，
==8，
S甲2=【（7﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（6﹣8）2+（10﹣8）2】=2，
S乙2=【（7+8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2】=0.4
故选D．
点评：本题考查了算术平均数的求法及方差的计算方法，计算时要细心仔细，防止出错．
10、甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，各选10名学生参加，各班参赛学生每分钟输入汉字个数统计如下表：
输入汉字（个）
132
133
134
135
136
137
众数
中位数
平均数
方差
甲班学生（人）
1
0
1
5
2
1
135
135
135
乙班学生（人）
0
1
4
1
2
2
请你填写上表中乙同学的相关数据（ ）
A、
134
134
135
1.9
B、
134
135
135
1.8
C、
134
134.5
135
1.8
D、
134
135.5
135
1.9
考点：加权平均数；中位数；众数；方差。
专题：图表型。
分析：平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．因为134是一组数据中出现次数最多的数，故众数为134．中位数为中间两数的算术平均数，即（135+134）÷2．据样本方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，其中n是这个样本的容量，是样本的平均数．
解答：解：由题意知，乙班的平均数=（134+144×4+135+136×2+137×2）÷（1+4+1+2+2）=135，
众数为134，
由于输入字数为134，144的有5人，输入字数为135、136、137的也有5人，所以中位数=（135+134）÷2=134.5．
方差s2=1.8
故选C．
点评：本题考查平均数和中位数、众数．一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．众数是一组数据中出现次数最多的数．
11、下列说法正确的是（ ）
A、随机事件发生的可能性是50% B、一组数据2，3，3，6，8，5的众数与中位数都是3
C、“打开电视，正在播放关于奥运火炬传递的新闻”是必然事件 D、若甲组数据的方差S甲2=0.31，乙组数据的方差S乙2=0.02，则乙组数据比甲组数据稳定
12、对于数据：80，88，85，85，83，83，84．下列说法中错误的有（ ）
A、这组数据的平均数是84；B、这组数据的众数是85；C、这组数据的中位数是84；D、这组数据的方差是36．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：中位数；算术平均数；众数；方差。
分析：本题考查了统计中的平均数、众数、中位数与方差的计算．解题的关键是掌握计算公式或方法．
注意：众数是指出现次数最多的数，在一组数据中有时出现次数最多的会有多个，所以其众数也会有多个．
解答：解：由平均数公式可得这组数据的平均数为84；
在这组数据中83出现了2次，85出现了2次，其他数据均出现了1次，所以众数是83和85；
将这组数据从小到大排列为：80、83、83、84、85、85、88，可得其中位数是84；
其方差S2=[（80﹣84）2+（88﹣84）2+（85﹣84）2+（85﹣84）2+（83﹣84）2+（83﹣84）2+（84﹣84）2]=；
所以②、④错误．
故选B．
点评：将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
13、下列说法正确的是（ ）
A、一个游戏的中奖概率是，则做10次这样的游戏一定会中奖 B、为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式
C、一组数据6，8，7，8，8，9，10的众数和中位数都是8 D、若甲组数据的方差S2甲=0.01，乙组数据的方差S2乙=0.1，则乙组数据比甲组数据稳定
考点：中位数；全面调查与抽样调查；众数；方差；概率的意义。
分析：根据中位数、众数、方差的概念对选项一一分析，选择正确答案即可．
解答：解：A、概率即是在多次重复试验中，比较接近的一个数，所以一个游戏的中奖概率是，则做10次这样的游戏不一定会中奖，故选项错误；
B、容量太大，只能抽样调查，故选项错误；
C、数据8出现3次，次数最多，所以8是众数；数据从小到大排列为6，7，8，8，8，9，10，所以中位数是8，故选项正确；
D、方差越大，说明这组数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，故选项错误．
故选C．
点评：随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；不易采集到的数据的调查方式应采用抽样调查的方式；一组数据中出现次数最多的数为众数；一组数据按顺序排列后，中间的那两个数的平均数或中间的那个数叫做中位数；一组数据的方差越小，稳定性越好．
14、在一次科技知识竞赛中，两组学生成绩统计如下表，通过计算可知两组的方差为S甲2=172，S乙2=256．下列说法：①两组的平均数相同；②甲组学生成绩比乙组学生成绩稳定；③甲组成绩的众数＞乙组成绩的众数；④两组成绩的中位数均为80，但成绩≥80的人数甲组比乙组多，从中位数来看，甲组成绩总体比乙组好；⑤成绩高于或等于90分的人数乙组比甲组多，高分段乙组成绩比甲组好．其中正确的共有（ ）
分数
50
60
70
80
90
100
人
数
甲组
2
5
10
13
14
6
乙组
4
4
16
2
12
12
A、2种 B、3种
C、4种 D、5种
15、在学校对学生进行的晨检体温测量中，学生甲连续10天的体温，在36℃的上下波动的数据为0.2，0.3，0.1，0.1，0，0.2，0.1，0.1，0.1，0，则在10天中该学生的体温波动数据中不正确的是（ ）
A、平均数为0.12 B、众数为0.1
C、中位数为0.1 D、方差为0.02
考点：中位数；算术平均数；众数；方差。
专题：应用题。
分析：根据平均数，众数，中位数，方差的定义解答．
解答：解：A、这一组数的平均数是（0.2+0.3+0.1+0.1+0+0.2+0.1+0.1+0.1+0）÷10=0.12；
B、这一组数据中出现最多的是0.1，
∴众数为0.1；
C、把这一组数从小到大排列中间为0.1，0.1，
∴中位数为0.1；
D、方差为0.02是错误的．
故选D．
点评：将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．中位数把样本数据分成了相同数目的两部分．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
16、甲，乙两班举行班际电脑汉字输入比赛，各选10名选手参赛，各班参赛学生每分钟输入汉字个数统计如下表：
输入汉字个数（个）
132
133
134
135
136
137
甲班人数（人）
1
0
2
4
1
2
乙班人数（人）
0
1
4
1
2
2
通过计算可知两组数据的方差分别为S2甲=2.0，S2乙=2.7，则下列说法：①两组数据的平均数相同；②甲组学生比乙组学生的成绩稳定；③两组学生成绩的中位数相同；④两组学生成绩的众数相同．其中正确的有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：中位数；算术平均数；众数；方差。
专题：图表型。
分析：根据平均数，中位数，众数的计算方法，分别求出，就可以分别判断各个命题的真假．
解答：解：①由平均数的定义知，甲班学生的平均成绩为：=135，乙班学生的平均成绩为：=135，所以他们的平均数相同．
②甲组学生比乙组学生的成绩方差小，∴甲组学生比乙组学生的成绩稳定．
③甲班学生的成绩按从小到大排列：132、134、134、135、135、135、135、136、137、137，可见其中位数是135；乙班学生的成绩按从小到大排列：133、134、134、134、134、135、136、136、137、137，可见其中位数是134.5，所以两组学生成绩的中位数不相同；
④甲班学生成绩的众数是135，乙班学生成绩的众数是134，所以两组学生成绩的众数不相同．
故选B．
点评：要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；对于中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可．方差是反映数据波动大小的量．
17、一台机床在十天内生产的产品中，每天出现的次品个数依次为（单位：个）0，2，0，2，3，0，2，3，1，2．那么下列说法中：①平均数是2；②众数是3；③中位数是1.5；④方差是1.15．正确的说法有（ ）个．
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：中位数；算术平均数；众数；方差。
专题：应用题。
分析：要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；
众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小
解答：解：平均数是=1.5，所以①错误；
众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中2是出现次数最多的，故众数是2，所以②错误；
将这组数据从小到大的顺序排列后，是处于中间位置的数是2，这组数据的中位数是2，所以③错误；
方差是[（0﹣1.5）2+（2﹣1.5）2+（0﹣1.5）2+（2﹣1.5）2+（3﹣1.5）2+（0﹣1.5）2+（2﹣1.5）2+（3﹣1.5）2+（1﹣1.5）2+（2﹣1.5）2]÷10=1.15，所以④正确；
所以正确的说法有1个．
故选A．
点评：本题为统计题，考查平均数、众数、中位数和方差的意义，计算时要细心．
18、下列数据是某班六位同学定点投篮（每人投10个）的情况，投进篮筐的个数为6，9，8，4，0，3，这组数据的平均数、中位数和极差分别是（ ）
A、6，6，9 B、6，5，9
C、5，6，6 D、5，5，9
19、甲、乙两人各射击6次，甲所中的环数是8，5，5，a，b，c，且甲所中的环数的平均数是6，众数是8；乙所中的环数的平均数是6，方差是4．根据以上数据，对甲、乙射击成绩的正确判断是（ ）
A、甲射击成绩比乙稳定 B、乙射击成绩比甲稳定
C、甲、乙射击成绩稳定性相同 D、甲、乙射击成绩稳定性无法比较
考点：众数；算术平均数；方差。
专题：应用题。
分析：要判断甲，乙射击成绩的稳定性就是要比较两人成绩的方差的大小，关键是求甲的方差．甲的这组数中的众数是8就说明a，b，c中至少有两个是8，而平均数是6，则可以得到a，b，c三个数其中一个是2，另两个数是8，求得则甲的方差，再进行比较得出结果．
解答：解：∵这组数中的众数是8
∴a，b，c中至少有两个是8
∵平均数是6
∴a，b，c三个数其中一个是2
∴
∴乙射击成绩比甲稳定．
故选B．
点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
20、下列说法正确的个数是（ ）
①样本的方差越小，波动性越小，说明样本稳定性越好；②一组数据的众数只有一个；③一组数据的中位数一定是这组数据中的某一数据；④数据：2，2，3，2，2，5的众数为4；⑤一组数据的方差一定是正数．
A、0个 B、1个
C、2个 D、4个
二、填空题（共5小题）
21、若样本x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为10，方差为2，则另一样本x1+2，x2+2，…，xn+2，的平均数为 11 ，方差为 2 ．
考点：算术平均数；方差。
分析：利用平均数和方差的定义解答．
解答：解：根据题意，新数据都加了1，所以平均数也加1，即新数据的平均数为11；又因为数据的波动大小没变，所以方差不变，仍然是2．
故填11；2．
点评：本题考查方差、平均数的意义．
22、某一段时间，小芳测得连续五天的日最低气温后，整理得出下表：
日期
一
二
三
四
五
方差
平均气温
最低温度
1
3
2
5
3
由于不小心被墨迹污染了两个数据，这两个数据分别是 4 ， 2 ．
考点：算术平均数；方差。
专题：计算题。
分析：设第五天的气温为x，则根据平均数的计算方法即可求得x的值；根据方差的计算公式：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2求得方差．
解答：解：设第五天的气温为x，
则有（1+3+2+5+x）÷5=3，
解得x=4；
则方差S2=[（1﹣3）2+（3﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2+（4﹣3）2]÷5=2．
故填4；2．
点评：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
23、样本1，2，3，x，5的平均数=3，则x= 4 ，方差s2= 2 ．
考点：算术平均数；方差。
分析：本题可运用平均数的公式：解出x的值，再代入方差的公式中计算得出方差．
解答：解：依题意得：x=3×5﹣1﹣2﹣3﹣5=4；
方差s2=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2．
故填4；2．
点评：本题考查的是平均数和方差的求法．计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．
25、已知一组数据的一个样本x1，x2，x3，…xn的平均数是0.24，方差是1.02，那么估计这组数据的总体平均数是 0.24 ，方差是 1.02 ．
考点：算术平均数；方差。
分析：因为样本可以反映总体的状况，所以可以根据个体的平均数与方差推出总体的平均数与方差．
解答：解：∵样本x1，x2，x3，…xn的平均数是0.24，方差是1.02，
∴总体平均数是0.24，方差是1.02．
故填0.24，1.02．
点评：掌握用样本估计总体的统计思想方法．
三、解答题（共5小题）
26、某公司为了评价甲、乙两位营销员去年的营销业绩，统计了这两人去年12个月的营销业绩（所推销商品的件数）分别如下图所示：
（1）利用图中信息，完成下表：
（2）假若你是公司主管，请你根据（1）中图表信息，应用所学的统计知识，对两人的营销业绩作出评价．
考点：统计表；折线统计图；算术平均数；中位数；众数；方差。
专题：图表型。
分析：（1）将甲、乙中数据分别按从小到大的顺序依次排列，计算出位于中间位置的两个数的平均数，即为中位数；出现次数最多的数即为众数，依据平均数和方差公式即可计算出平均数．
（2）根据平均数、中位数、众数的意义作出评价．
解答：解：（1）将甲中数据分别按从小到大的顺序依次排列为5，5，5，6，6，7，7，7，7，9，10，10．
中位数为中间位置两个数的平均数：（7+7）÷2=7（件），
7出现4次，次数最多，故7次为众数．
甲的方差为：s2=[3×（5﹣7）2+6×（6﹣7）2+4×（7﹣7）2+（9﹣7）2+2×（10﹣7）2]=3（件2）．
将乙中数据分别按从小到大的顺序依次排列为6，6，7，7，8，8，8，9，9，9，9，10．
中位数为中间位置两个数的平均数：（8+8）÷2=8（件），
9出现4次，次数最多，故9次为众数．
乙的平均数为：（6×2+7×2+8×3+9×4+10）12=8（件）；
（2）由于乙的平均数、中位数和众数都比甲大，而方差较小，故乙的波动小，所以乙的营销业绩好些．
点评：本题考查了三个方面的内容：
（1）阅读材料理解图表的能力；
（2）平均数、中位数、众数、方差等统计概念的理解能力；
（2）根据所学统计学知识解决实际问题的能力．
27、某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总分多少排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀，下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据（单位：个）
统计发现两班总分相等，此时有学生建议，可以通过考查数据中的其他信息作为参考，请解答下列问题：
（1）计算两班的优秀率；
（2）求两班比赛数据的中位数；
（3）计算两班比赛数据的方差；
（4）你认为应该定哪一个班为冠军？为什么？
（3）甲班的平均数=（89+100+96+118+97）÷5=100（个），
甲班的方差S甲2=[（89﹣100）2+（100﹣100）2+（96﹣100）2+（118﹣100）2+（97﹣100）2]÷5=94
乙班的平均数=（100+96+110+91+104）÷5=100（个），
乙班的方差S乙2=[（100﹣100）2+（96﹣100）2+（110﹣100）2+（91﹣100）2+（104﹣100）2]÷5=42.6；
∴S甲2＞S乙2
（4）乙班定为冠军．因为乙班5名学生的比赛成绩的优秀率比甲班高，中位数比甲班大，方差比甲班小，综合评定乙班踢毽子水平较好．
点评：本题考查了中位数、平均数和方差等概念以及运用．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动．
一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
28、有甲、乙两个新品种的水稻，在进行杂交配系时要找出产量较高、稳定性较好的一种，甲、乙两种水稻种植后，各抽取五块稻田获取数据，其亩产量分别如下表：（单位：㎏）
1
2
3
4
5
甲
52
50
51
49
53
乙
51
51
51
48
54
（1）通过计算说明哪一种品种平均单产较高？
（2）通过计算说明哪一种品种稳定性较好？应选哪一种品种做配系？
考点：统计表；方差。
专题：应用题。
分析：（1）根据图表直接计算出五块地的平均产量，再进行比较即可．
（2）计算出它们的方差进行比较即可．方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．
解答：解：（1）甲的平均亩产为：（952+50+51+49+53）÷5=51（kg），
乙的亩产为：（51+51+51+48+54）÷5=51（kg），
∴甲乙两种水稻平均单产一样高．
（2）甲的方差为=（（52﹣51）2+（50﹣51）2+（51﹣51）2+（49﹣51）2+（53﹣51）2）=2
乙的方差为=（（51﹣51）2+（51+51）2+（51﹣51）2+（48﹣51）2+（54﹣51）2=3.6
3.6＞2，可见甲种水稻稳定性好
∴选甲种做配系．
点评：本题考查了平均数和方差的计算及其运用．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．
29、（2011?安徽）一次学科测验，学生得分均为整数，满分10分，成绩达到6分以上为合格．成绩达到9分为优秀．这次测验中甲乙两组学生成绩分布的条形统计图如下：
（1）请补充完成下面的成绩统计分析表：
平均分
方差
中位数
合格率
优秀率
甲组
6.9
2.4
91.7%
16.7%
乙组
1.3
83.3%
8.3%
（2）甲组学生说他们的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们的成绩好于乙组．但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要高于甲组．请你给出三条支持乙组学生观点的理由．
考点：条形统计图；加权平均数；中位数；方差。
专题：图表型。
分析：（1）本题需先根据中位数的定义，再结合统计图得出它们的平均数和中位数即可求出答案．
（2）本题需先根据统计图，再结合它们的合格率、优秀率说出它们各自的观点是本题所求的答案．
解答：解：（1）从统计图中可以看出：
甲组：中位数7；
乙组：平均数7，中位数7
（2）①因为乙组学生的平均成绩高于甲组学生的平均成绩，所以乙组学生的成绩好于甲组；
②因为甲乙两组学生成绩的平均分相差不大，而乙组学生的方差低于甲组学生的方差，说明乙组学生成绩的波动性比甲组小，所以乙组学生的成绩好于甲组；
③因为乙组学生成绩的最低分高于甲组学生的最低分，所以乙组学生的成绩好于甲组．
点评：本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
30、水稻种植是嘉兴的传统农业．为了比较甲、乙两种水稻的长势，农技人员从两块试验田中，分别随机抽取5棵植株，将测得的苗高数据绘制成下图：
请你根据统计图所提供的数据，计算平均数和方差，并比较两种水稻的长势．
考点：条形统计图；算术平均数；方差。
专题：图表型。
分析：根据表格中的数据计算平均数和方差，并利用平均数和方差的意义分析水稻的长势．
解答：解：
植株编号
1
2
3
4
5
甲种苗高
7
5
4
5
8
乙种苗高
6
4
5
6
5
∵甲=5.8，乙=5.2，
∴甲种水稻比乙种水稻长得更高一些．
∵S甲2=2.16，S乙2=0.56，
∴乙种水稻比甲种水稻长得更整齐一些．
点评：本题考查了平均数和方差的计算和它们的意义．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
标准差
一、选择题（共20小题）
1、某班5位同学的身高分别为155，160，160，161，169（单位：厘米），这组数据中，下列说法错误的是（ ）
A、众数是160 B、中位数是160
C、平均数是161 D、标准差是2
2、下列说法正确的是（ ）
A、为了检验一批零件的质量，从中抽取10件，在这个问题中，10是抽取的样本 B、如果x1、x2、…、xn的平均数是，那么样本（x1﹣）+（x1﹣）+…+（xn﹣）=0
C、8，9，10，11，11这组数的众数是2 D、一组数据的标准差是这组数据的方差的平方
3、一鞋店试销一种新款女鞋，试销期间卖出情况如下表：
型号
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
数量（双）
3
5
10
15
8
3
2
则下列统计量对鞋店经理来说最有意义的是（ ）
A、平均数 B、众数
C、中位数 D、标准差
4、设x1，x2，x3，…，x10的平均数为，方差为s2，标准差为s，若s=0，则有（ ）
A、=0 B、s2=0且=0
C、x1=x2=…=x10 D、x1=x2=…=x10=0
5、下列判断正确的是（ ）
A、从总体中只能抽出一个样本 B、如果两个样本有s1＜s2，那么前一个的稳定性好
C、方差与标准差有相同的单位 D、利用样本估计总体，其误差与选择样本的容量无关
6、下列说法正确的是（ ）
A、数据8，9，10，9的众数是2 B、数据1，0，﹣1的方差是
C、数据2，4，5，6的中位数是5 D、数据1，0，﹣1的标准差是1
7、如图，下列结论中，不正确的是（ ）
A、a组数据的标准差较大 B、a组数据的方差较大
C、b组数据比较稳定 D、b组数据的标准差较大
8、下列说法：其中正确的个数有（ ）
（1）方差越小，波动性越小，说明稳定性越好
（2）一组数据的众数只有一个
（3）数据2，2，3，2，2，5的众数为4
（4）一组数据的标准差一定是正数．
A、0个 B、1个
C、2个 D、4个
9、某学习小组5位同学参加初中毕业生实验操作考试（满分20分）的平均成绩是16分．其中三位男生的方差为6（分2），两位女生的成绩分别为17分，15分．则这个学习小组5位同学考试分数的标准差为（ ）
A、 B、2
C、 D、6
10、在统计中，样本的标准差可以反映这组数据的（ ）
A、平均状态 B、分布规律
C、离散程度 D、数值大小
11、已知一组数据为：82，84，85，89，80，94，76．则这组数据的标准差（精确到0.01）为（ ）
A、5.47 B、29.92
C、5.40 D、5.630
12、数据0，1，2，3，x的平均数是2，则这组数据的标准差是（ ）
A、2 B、
C、10 D、
13、已知某样本的方差是4，则这个样本的标准差是（ ）
A、2 B、4
C、8 D、16
14、设S是数据x1，…，xn的标准差，Sˊ是x1﹣5，x2﹣5…，xn﹣5的标准差，则有（ ）
A、S=S′ B、S′=S﹣5
C、S′=（S﹣5）2 D、S′=
15、已知某样本的标准差是2，则这个样本的方差是（ ）
A、1 B、
C、2 D、4
16、茶叶厂用甲、乙两台包装机分装质量为400克的茶叶，从它们各自分装的茶叶中分别随机抽取10盒，测得它们实际质量的平均数和标准差分别如表所示，则包装茶叶质量较稳定的包装机为（ ）
甲包装机
乙包装机
平均数（克）
400
400
标准差（克）
5.8
2.4
A、甲 B、乙
C、甲和乙 D、无法确定
17、样本101，98，102，100，99的样本标准差为（ ）
A、0 B、1
C、2 D、
18、数据21，22，23，24，25，…，40的标准差是σ1，数据302，303，304，305，306，…，321的标准差是σ2，则（ ）
A、σ1＜σ2 B、σ1=σ2
C、σ1＞σ2 D、不能确定σ1、σ2的大小
19、一城市准备选购一千株高度大约为2米的某种风景树来进行街道绿化，有四个苗圃基地投标（单株树的价相同），采购小组从四个苗圃中任意抽查了20株树苗的高度，得到下表中的数据．你认为应选（ ）
A、甲苗圃的树苗 B、乙苗圃的树苗
C、丙苗圃的树苗 D、丁苗圃的树苗
20、数据70，71，72，73的标准差是（ ）
A、 B、2
C、 D、
二、填空题（共5小题）
21、计算样本8，9，10，1，12的平均数是 8 ，方差是 14 ，标准差是 ．
22、在一次家庭年收入的调查中，抽查了15个家庭的年收入如下表所示（单位：万元）：
家庭个数
每个家庭的年收入
1
0.9
3
1.0
3
1.2
1
1.3
3
1.4
3
1.6
1
18.2
根据表中提供的信息，填空：
（1）样本的平均数= 2.4 万元；
（2）样本的中位数= 1.3 万元；
（3）样本的标准差= 4.2 万元（结果保留到小数点后第一位）．
（4）你认为在平均数和中位数中，哪一个更能描述这个样本的集中趋势？ 中位数 为什么？ 平均数受到极端值18.2的影响大 ．
23、样本5，4，3，2，1的方差是 2 ；标准差是 ；中位数是 3 ．
24、数据2、3、4、5、6的方差为 2 ，标准差是 ．
25、数据9，10，8，10，9，10，7，9的方差是 1 ，标准差是 1 ．
三、解答题（共5小题）
26、下表是某县统计局随机抽样调查甲、乙两个村10户居民2009年人均纯收入的情况．（单位：千元/人）
甲村被调查户人口数
3
5
4
3
4
5
4
4
3
3
乙村被调查户人口数
6
7
5
5
4
4
4
3
3
2
被调查户人均纯收入
0.9
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
由上表计算得甲村被调查户的人均纯收入≈1 608元，标准差s甲≈416.4，乙村被调查户的人均纯收入≈1 495元，标准差s乙≈411.4．已知该县2006年农民人均纯收入是1 490元，2006年全国农民人均纯收入是2 476元．
（1）根据样本估计这两个村平均每个家庭的人口数；
（2）以上数据说明什么问题，请你根据学过的统计知识，从不同角度加以解释．（注：标准差=）
27、A、B农场各养奶牛200头，为了了解两农场一天牛奶的产量，随意抽取10头奶牛，称得它们的牛奶产量如下：（单位：kg）
A农场：6.5，6.0，6.5，7.9，7.1，7.1，7.8，6.1，8.0，7.1；
B农场：6.8，7.3，7.5，6.6，7.0，7.0，6.6，6.9，6.9，7.0．
（1）根据10头奶牛牛奶产量的平均数，估计A、B农场中200头奶牛一天的牛奶总产量；
（2）如果学校要实行“学生奶”工程，你认为选择哪个农场作为学校的长期供货方最好？为什么？
28、小明和小强在第二学期的数学成绩如统计图，小明四次成绩平均分为85分，标准差为4.2，按照平时，期中，期末的权重分别为20%．30%．50%计算得到他该学期的总评成绩为87分．
（1）求小强这四次成绩的平均分，标准差（精确到0.1）和该学期的总评成绩；
（2）小明和小强的学习成绩谁更好？请说出一个理由．
29、已知一组数据6，3，4，7，6，3，5，6．
（1）这组数据的平均数、众数、中位数；
（2）这组数据的方差和标准差．
30、为了考察某班普通话测试情况，从中抽查了10人的成绩如下（单位：分）：
87，90，98，74，89，90，85，80，90，93．
（1）这个问题中，总体、个体、样本各是什么？
（2）这个问题中，样本平均数、方差、标准差各是多少并估计总体平均数、方差、标准差？（平均数精确到1分，标准差保留三个有效数字）．
标准差
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、某班5位同学的身高分别为155，160，160，161，169（单位：厘米），这组数据中，下列说法错误的是（ ）
A、众数是160 B、中位数是160
C、平均数是161 D、标准差是2
考点：算术平均数；中位数；众数；标准差。
分析：利用众数是出现频数最高的数据即可判断A是对的；
利用中位数的求法，可知B是对的；
利用平均数的求法可知C是对的；
利用方差的公式可求出方差，和标准差=方差的算术平方根，从而对D作出判断．
解答：解：因为众数是出现频数最高的数据即160厘米，所以A是对的；
对于中位数，因题中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的一个数即160厘米，所以B是对的；
根据平均数的公式得平均数为（155+160+160+161+169）=161厘米，故C是对的；
这组数据的方差为：[（155﹣161）2+（160﹣161）2+（160﹣161）2+（161﹣161）2+（169﹣161）2]=102，标准差=方差的算术平方根，所以标准差是，所以D是错误的．
综上，故选D．
点评：本题考查的是平均数、众数、中位数及标准差．要注意，当所给数据有单位时，所求得的平均数、众数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位．
2、下列说法正确的是（ ）
A、为了检验一批零件的质量，从中抽取10件，在这个问题中，10是抽取的样本 B、如果x1、x2、…、xn的平均数是，那么样本（x1﹣）+（x1﹣）+…+（xn﹣）=0
C、8，9，10，11，11这组数的众数是2 D、一组数据的标准差是这组数据的方差的平方
3、一鞋店试销一种新款女鞋，试销期间卖出情况如下表：
型号
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
数量（双）
3
5
10
15
8
3
2
则下列统计量对鞋店经理来说最有意义的是（ ）
A、平均数 B、众数
C、中位数 D、标准差
考点：众数；加权平均数；中位数；标准差。
分析：众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对这个鞋店的经理来说，他最关注的是数据的众数．
解答：解：对这个鞋店的经理来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．
故选B．
点评：考查了众数、平均数、中位数和标准差意义，比较简单．
4、设x1，x2，x3，…，x10的平均数为，方差为s2，标准差为s，若s=0，则有（ ）
A、=0 B、s2=0且=0
C、x1=x2=…=x10 D、x1=x2=…=x10=0
考点：方差；算术平均数；标准差。
专题：应用题。
分析：方差和标准差是反映数据波动的量，方差为0，说明数据没有波动，即数据都相等．
解答：解：∵s=0
∴s2=0
∴S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]÷10=0
∴x1=x2=…=x10=．
故选C．
点评：本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．还利用了非负数的性质：几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0．
5、下列判断正确的是（ ）
A、从总体中只能抽出一个样本 B、如果两个样本有s1＜s2，那么前一个的稳定性好
C、方差与标准差有相同的单位 D、利用样本估计总体，其误差与选择样本的容量无关
6、下列说法正确的是（ ）
A、数据8，9，10，9的众数是2 B、数据1，0，﹣1的方差是
C、数据2，4，5，6的中位数是5 D、数据1，0，﹣1的标准差是1
考点：方差；中位数；众数；标准差。
分析：根据众数、中位数、方差、标准差的概念分析各个选项．
解答：解：（1）数据8，9，10，9的众数是9，所以A错；
（2）数据1，0，﹣1的平均数=（1+0﹣1）÷3=0；则方差=[（1﹣0）2+（0﹣0）2+（﹣1﹣0）2]÷2=，所以B对；
（3）数据2，4，5，6的中位数是4.5，所以C错；
（4）数据1，0，﹣1的方差=，则标准差=，所以D错．
故选B．
点评：理解众数、中位数、方差、标准差的概念是解决本题的关键．一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数；总数个数是偶数的，按从小到大的顺序，取中间的那两个数的平均数便为中位数；一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差；标准差是方差的平方根．
7、如图，下列结论中，不正确的是（ ）
A、a组数据的标准差较大 B、a组数据的方差较大
C、b组数据比较稳定 D、b组数据的标准差较大
8、下列说法：其中正确的个数有（ ）
（1）方差越小，波动性越小，说明稳定性越好
（2）一组数据的众数只有一个
（3）数据2，2，3，2，2，5的众数为4
（4）一组数据的标准差一定是正数．
A、0个 B、1个
C、2个 D、4个
考点：方差；众数；标准差。
分析：根据方差、众数以及标准差的概念解答即可．
解答：解：（1）方差越小，波动性越小，说明稳定性越好，故正确；
（2）一组数据的众数有一个，也可能有2个，故错误；
（3）数据2，2，3，2，2，5的众数为2，故错误；
（4）一组数据的标准差一定是正数，故错误；
故选B．
点评：本题考查了方差、众数以及标准差的知识，解题时来及概念是关键，此题难度不大，只要理解概念即可．
9、某学习小组5位同学参加初中毕业生实验操作考试（满分20分）的平均成绩是16分．其中三位男生的方差为6（分2），两位女生的成绩分别为17分，15分．则这个学习小组5位同学考试分数的标准差为（ ）
A、 B、2
C、 D、6
考点：标准差；方差。
专题：计算题。
分析：根据标准差的概念计算．先设三位男生的成绩，然后得到它们与16的差的平方和，再求5位同学考试分数的方差，最后求标准差．
解答：解：三位男生的方差为6（分2），
设这三个学生的成绩分别为A，B，C，
则5位学生的平均成绩为：（A+B+C+17+15）=16，
所以，A+B+C=80﹣15﹣17=48分，
则这三个学生的平均成绩的也为16，
这三个学生的方差S3=[（A﹣16）2+（B﹣16）2+（C﹣16）2]=6
∴[（A﹣16）2+（B﹣16）2+（C﹣16）2]=6×3=18
这5个学生的方差S5=[（A﹣16）2+（B﹣16）2+（C﹣16）2+（17﹣16）2+（15﹣16）2]=（18+1+1）=4，
而标准差是方差的算术平方根，所以标准差为2．
故选B．
点评：本题考查的是标准差的计算，计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．标准差即方差的算术平方根；注意标差和方差一样都是非负数．
10、在统计中，样本的标准差可以反映这组数据的（ ）
A、平均状态 B、分布规律
C、离散程度 D、数值大小
考点：标准差。
专题：应用题。
分析：根据标准差的概念判断．标准差是反映数据波动大小的量．
解答：解：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，
则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2，
它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．而标准差是方差的算术平方根，
同样也反映了数据的波动情况．
故选C．
点评：本题考查了方差和标准差的意义．它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．而标准差是方差的算术平方根，
11、已知一组数据为：82，84，85，89，80，94，76．则这组数据的标准差（精确到0.01）为（ ）
A、5.47 B、29.92
C、5.40 D、5.630
12、数据0，1，2，3，x的平均数是2，则这组数据的标准差是（ ）
A、2 B、
C、10 D、
考点：标准差；算术平均数。
分析：先由平均数的公式求得x的值，再根据方差的公式计算方差，最后计算标准差．
解答：解：由题意知：=2
解得：x=4
方差S2=[（2）2+（1﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2+（4﹣2）2]=2
∴标准差是方差的平方根即．
故选B．
点评：计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：
（1）计算数据的平均数；
（2）计算偏差，即每个数据与平均数的差；
（3）计算偏差的平方和；
（4）偏差的平方和除以数据个数．
标准差即方差的算术平方根，
注意标差和方差一样都是非负数．
13、已知某样本的方差是4，则这个样本的标准差是（ ）
A、2 B、4
C、8 D、16
考点：标准差；方差。
分析：方差的算术平方根就是标准差．
解答：解：样本的方差是4，所以样本的标准方差==2．
故选A．
点评：正确理解方差和标准差的概念，是解决本题的关键．
14、设S是数据x1，…，xn的标准差，Sˊ是x1﹣5，x2﹣5…，xn﹣5的标准差，则有（ ）
A、S=S′ B、S′=S﹣5
C、S′=（S﹣5）2 D、S′=
15、已知某样本的标准差是2，则这个样本的方差是（ ）
A、1 B、
C、2 D、4
考点：标准差；方差。
分析：根据标准差的概念计算．标准差是方差的算术平方根．
解答：解：由于方差的算术平方根就是标准差，所以样本的方差=22=4．
故选D．
点评：正确理解标准差的概念，是解决本题的关键．标准差是方差的算术平方根．
16、茶叶厂用甲、乙两台包装机分装质量为400克的茶叶，从它们各自分装的茶叶中分别随机抽取10盒，测得它们实际质量的平均数和标准差分别如表所示，则包装茶叶质量较稳定的包装机为（ ）
甲包装机
乙包装机
平均数（克）
400
400
标准差（克）
5.8
2.4
A、甲 B、乙
C、甲和乙 D、无法确定
考点：标准差；算术平均数。
分析：标准差是用来衡量一组数据波动大小的量，标准差越小，则越稳定．
解答：解：∵甲台包装机的标准差＞乙台包装机的标准差，∴乙台包装机包装茶叶质量较稳定，
故选B．
点评：本题考查方差、标准差的意义．
17、样本101，98，102，100，99的样本标准差为（ ）
A、0 B、1
C、2 D、
18、数据21，22，23，24，25，…，40的标准差是σ1，数据302，303，304，305，306，…，321的标准差是σ2，则（ ）
A、σ1＜σ2 B、σ1=σ2
C、σ1＞σ2 D、不能确定σ1、σ2的大小
考点：标准差。
分析：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加了281波动不会变，方差不变，标准差不变．
解答：解：由题意知，设原来的平均数为，每个数据都加了281，则平均数变为+281，
原来的方差s12=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]=σ12，
现在的方差s22=[（x1+281﹣﹣281）2+（x2+281﹣﹣281）2+…+（xn+281﹣﹣281）2]
=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]
=σ22，
∴σ12=σ22，
故选B．
点评：本题说明了当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变．当数据都乘以一个数a时，方差变为原来的a2倍．
19、一城市准备选购一千株高度大约为2米的某种风景树来进行街道绿化，有四个苗圃基地投标（单株树的价相同），采购小组从四个苗圃中任意抽查了20株树苗的高度，得到下表中的数据．你认为应选（ ）
A、甲苗圃的树苗 B、乙苗圃的树苗
C、丙苗圃的树苗 D、丁苗圃的树苗
考点：标准差。
专题：图表型。
分析：根据标准差和平均数的意义进行选择．
解答：解：由于标准差和方差可以反映数据的波动大小，所以甲苗圃与丁苗圃比较合适；
又因为丁苗圃树苗平均高度大于甲苗圃，所以应选丁苗圃的树苗．
故选D．
点评：本题考查了平均数和标准差的意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．标准差即方差的算术平方根．
20、数据70，71，72，73的标准差是（ ）
A、 B、2
C、 D、
二、填空题（共5小题）
21、计算样本8，9，10，1，12的平均数是 8 ，方差是 14 ，标准差是 ．
考点：算术平均数；方差；标准差。
分析：根据平均数、方差、标准差的计算公式计算即可．
解答：解：==8；
S2=[（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2+（1﹣8）2+（12﹣8）2]=14；
标准差=．
故填8，14，．
点评：本题考查了平均数、方差和标准差的定义．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．标准差是方差的算术平方根．
22、在一次家庭年收入的调查中，抽查了15个家庭的年收入如下表所示（单位：万元）：
家庭个数
每个家庭的年收入
1
0.9
3
1.0
3
1.2
1
1.3
3
1.4
3
1.6
1
18.2
根据表中提供的信息，填空：
（1）样本的平均数= 2.4 万元；
（2）样本的中位数= 1.3 万元；
（3）样本的标准差= 4.2 万元（结果保留到小数点后第一位）．
（4）你认为在平均数和中位数中，哪一个更能描述这个样本的集中趋势？ 中位数 为什么？ 平均数受到极端值18.2的影响大 ．
考点：算术平均数；中位数；方差；标准差。
专题：计算题。
分析：（1）要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；
（2）对于中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数即可；
（3）先算方差，再算标准差；
（4）中位数更能描述集中趋势，因为平均数受到极端值18.2的影响大．
解答：解：（1）根据平均数的定义：样本的平均数=（0.9×1+1.0×3+1.2×3+1.3×1+1.4×3+1.6×3+18.2×1）=2.4（万元）；
（2）排序后第8个数为1.3万元，故样本的中位数为1.3（万元）．
（3）先算方差，再算标准差；S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]=17.64，
所以标准差S=4.2万元．
（4）更能描述这个样本的集中趋势是中位数．因为平均数受到极端值18.2的影响大，所以此题要选择中位数描述集中趋势．
故填2.4；1.3；4.2；中位数，平均数受到极端值18.2的影响大．
点评：本题考查统计知识中的平均数、中位数、方差和标准差．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．
方差公式为：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．标准差是方差的算术平方根．
23、样本5，4，3，2，1的方差是 2 ；标准差是 ；中位数是 3 ．
24、数据2、3、4、5、6的方差为 2 ，标准差是 ．
考点：方差；标准差。
分析：先由平均数的公式计算出平均数，再由方差和标准差的公式求解．
解答：解：=（2+3+4+5+6）÷5=4
方差S2=[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（6﹣4）2]÷5=2
标准差s=．
故填2；．
点评：本题考查方差和标准差的定义．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．标准差是方差的算术平方根．
25、数据9，10，8，10，9，10，7，9的方差是 1 ，标准差是 1 ．
考点：方差；标准差。
分析：根据方差和标准差的定义计算即可．
解答：解：∵=（9+10+8+10+9+10+7+9）÷8=9
∴S2=[（9﹣9）2+（10﹣9）2+（8﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（7﹣9）2+（9﹣9）2]=1，
∴S==1．
故填1；1．
点评：本题考查了方差和标准差的计算．
三、解答题（共5小题）
26、下表是某县统计局随机抽样调查甲、乙两个村10户居民2009年人均纯收入的情况．（单位：千元/人）
甲村被调查户人口数
3
5
4
3
4
5
4
4
3
3
乙村被调查户人口数
6
7
5
5
4
4
4
3
3
2
被调查户人均纯收入
0.9
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
由上表计算得甲村被调查户的人均纯收入≈1 608元，标准差s甲≈416.4，乙村被调查户的人均纯收入≈1 495元，标准差s乙≈411.4．已知该县2006年农民人均纯收入是1 490元，2006年全国农民人均纯收入是2 476元．
（1）根据样本估计这两个村平均每个家庭的人口数；
（2）以上数据说明什么问题，请你根据学过的统计知识，从不同角度加以解释．（注：标准差=）
27、A、B农场各养奶牛200头，为了了解两农场一天牛奶的产量，随意抽取10头奶牛，称得它们的牛奶产量如下：（单位：kg）
A农场：6.5，6.0，6.5，7.9，7.1，7.1，7.8，6.1，8.0，7.1；
B农场：6.8，7.3，7.5，6.6，7.0，7.0，6.6，6.9，6.9，7.0．
（1）根据10头奶牛牛奶产量的平均数，估计A、B农场中200头奶牛一天的牛奶总产量；
（2）如果学校要实行“学生奶”工程，你认为选择哪个农场作为学校的长期供货方最好？为什么？
28、小明和小强在第二学期的数学成绩如统计图，小明四次成绩平均分为85分，标准差为4.2，按照平时，期中，期末的权重分别为20%．30%．50%计算得到他该学期的总评成绩为87分．
（1）求小强这四次成绩的平均分，标准差（精确到0.1）和该学期的总评成绩；
（2）小明和小强的学习成绩谁更好？请说出一个理由．
考点：折线统计图；算术平均数；标准差。
专题：计算题。
分析：（1）根据平均数的公式即可求出小强这四次成绩的平均分，利用方差公式即可求出方差，进而求出标准差；根据加权平均数的公式即可求出他的总评成绩；
（2）通过比较（1）中的数据即可求出答案．
解答：解：（1）小强这四次成绩的平均分==85（分），标准差=6.3，
学期总评成绩=×20%+87×30%+94×50%=89（分）；
（2）通过比较两人的标准差可以看出小明的成绩更好．
点评：理解平均数的概念是解决本题的关键．学会看统计图．
29、已知一组数据6，3，4，7，6，3，5，6．
（1）这组数据的平均数、众数、中位数；
（2）这组数据的方差和标准差．
考点：算术平均数；中位数；众数；方差；标准差。
专题：计算题。
分析：（1）众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
（2）根据方差和标准差的公式求解．
解答：解：（1）接从小到大的顺序排列数据：3，3，4，5，6，6，6，7．
平均数=（3×2+4+5+6×3+7）÷8=40÷8=5，众数是6，中位数是（5+6）÷2=5.5；
（2）方差S2=（4+4+1+0+1+l+1+4）÷8=2，标准差S=．
点评：主要考查了平均数，众数，中位数的概念，方差和标准差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．标准差是方差的算术平方根．要掌握这些基本概念才能熟练解题．
30、为了考察某班普通话测试情况，从中抽查了10人的成绩如下（单位：分）：
87，90，98，74，89，90，85，80，90，93．
（1）这个问题中，总体、个体、样本各是什么？
（2）这个问题中，样本平均数、方差、标准差各是多少并估计总体平均数、方差、标准差？（平均数精确到1分，标准差保留三个有效数字）．
