2023年浙教版数学八年级下册1.2二次根式的性质 同步测试
一、单选题
1．（2022八下·威县期末）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用最简二次根式的定义对每个选项计算求解即可。
2．（2022八下·顺平期末）下列二次根式中，不是最简二次根式的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A．是最简二次根式，故A不符合题意；
B．是最简二次根式，故B不符合题意；
C．，故C符合题意；
D．是最简二次根式，故D不符合题意．
【分析】最简二次根式满足两个条件：①被开方数中不含分母，②被开方数中不能含有开方开的尽的因数或因式；据此解答即可.
3．（2022八下·顺平期末）若取1.414，则与最接近的整数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】因为，
所以接近的整数是7，
故答案为：B．
【分析】由于，将 ≈1.414代入求值即可判断.
4．（2022八下·东川期末）若成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的性质可得，再求出m的取值范围即可。
5．（2022八下·冠县期末）当时，= （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵x＞2，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的性质求解即可。
6．（2022八下·沂南期末）若成立，则a，b满足的条件是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．a，b异号
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：B
【分析】根据二次根式的性质逐项判断即可。
7．（2022八下·广州期末）（ ）
A．-2.25 B．-1.5 C．1.5 D．2.25
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的性质求解即可。
8．（2022八下·虎林期末）化简二次根式得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：解：由题意得：
，
∵a＜0，
∴b3＜0，
∴b＜0，
∴
，
故答案为：A．
【分析】根据二次根式有意义的条件证得b的取值范围，再分母有理化即可解得。
9．（2022八下·涿州期末）下面的计算和推导过程中，
∵， （第一步）
∴， （第二步）
∵， （第三步）
∴， （第四步）
其中首先错误的一步是（ ）
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵
∴首先错误的一步是第三步．
故答案为：C．
【分析】 由于是负数，而是正数，故第三步出现错误.
10．（2022八下·呼和浩特期末）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】因为，所以A不符合题意；
因为，所以B不符合题意；
因为，所以C不符合题意；
因为，所以D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的性质，计算求解即可。
二、填空题
11．（2022八下·丰南期末）化简： ．
【答案】5-π
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】，
故答案为：5-π．
【分析】利用二次根式的性质求解即可。
12．（2022八下·博兴期末）将化简成最简二次根式为 ．
【答案】
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：
=
=，
故答案为：．
【分析】根据最简二次根式的定义求解即可。
13．（2022八下·定远期末）已知，化简二次根式的正确结果是
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据题意，xy＞0，
得x和y同号，
又∵中，
∴y＜0，
∴x＜0，y＜0，
则原式=，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出x＜0，y＜0，再根据二次根式的性质化简求解即可。
14．（2022八下·广陵期末）当时，化简代数式＝ ．
【答案】1
【知识点】二次根式的性质与化简；绝对值的非负性；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴
．
故答案为：1.
【分析】根据a的范围可得a-2、1-a的正负，然后根据二次根式的性质“”、绝对值的性质分别化简，再合并同类项即可.
15．（2022八下·邻水期末）化简： ＝ ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： .
故答案为：.
【分析】利用二次根式的性质：，进行计算可得答案.
16．（2022八下·綦江期末）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 .
【答案】-2a+2b
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较；二次根式的性质与化简；绝对值的非负性；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：由题意得：a<0，a b<0，b>0
则
= a+(b a)+b
= a+b a+b
= 2a+2b.
故答案为： 2a+2b.
【分析】根据数轴可得a<0|b|，则a-b<0，然后根据绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，最后合并同类项即可.
三、计算题
17．（2021八下·白云期末）化简： （ ， ）．
【答案】解：原式=
=
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】利用二次根式的性质化简即可。
18．（2019八下·番禺期中）化简
（1） ；
（2） ；
（3）6 ；
【答案】（1）解：原式＝ ；
（2）解：原式＝ ＝ ；
（3）解：原式＝6× ＝2 ．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）分子、分母都乘以 ，再进一步化简可得；（2）先化简，再约分即可得；（3）先化简，再计算乘法即可得．
19．
化简：
【答案】解：
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据二次根式的性质及乘法法则，分步解答即可。
四、综合题
20．计算：
（1） =
（2）( )2=
（3） =
（4） =
【答案】（1）
（2）2022
（3）6
（4）
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【分析】根据二次根式的性质得出，再根据绝对值的性质进行计算，即可得出答案.
21．（2022八下·灌云期末）是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答以下问题：
（1）化简： ， ；
（2）已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简．
【答案】（1）3；π-3
（2）解：由数轴得：a＜b＜0＜c，∴c-a＞0，b-c＜0，∴=-（c-a）+c-b=-c+a+c-b=a-b
【知识点】二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：（1）解：
=3=|3-π|=π-3故答案为：3；π-3．
【分析】（1）利用二次根式的性质求解即可；
（2）先利用二次根式的性质化简，再结合数轴去掉绝对值，最后合并同类项即可。
22．将根号外的数移入根号内并化简：
（1） ；
（2）
【答案】（1）解：根据二次根式的概念， 若有意义，则有
于是，
（2）解：易知 ，于是
【知识点】二次根式的性质与化简；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】（1）根据二次根式的非负性可得 x > 0，再由二次根式的性质可化简；（2）根据二次根式的非负性可得 a 2 > 0，再由二次根式的性质可化简。
23．观察下列等式：
① .
② .
③ .
根据上述等式的规律解次下列问题：
（1）完成第4个等式：
（2）写出你猜想的第 个等式(用含 的代数式表示），并证明其正确性.
【答案】（1）7×9
（2）解：第n个等式： .
证明：
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）；
故答案为：7×9；
【分析】（1）根据平方差公式将被开方数写成两个数的和与这两个数的差的积，进而根据二次根式的性质化简即可得出答案；
（2）通过数据变化规律，发现等式左边是一个二次根式，其被开方数是两个数的平方差，被减数的底数是（2n）2+1，减数的底数就是（4n），等式的右边是两个连续奇数的乘积，第一个奇数是（2n-1），第二个奇数是（2n+1，），根据总结的规律写出结论，进而根据（1）的解法进行证明即可.
24．观察下列各式及其验算过程：
=2 ，验证： = = =2 ；
=3 ，验证： = = =3
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
【答案】（1）解：∵ =2 ， =3 ，
∴ =4 =4 = ，
验证： = = ，正确
（2）解：由（1）中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，
∴ = ，
验证： = = ；正确
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）观察所给的几个式子的特点可得出结论，再利用二次根式的性质化简来验证；
（2）由（1）可得规律；再利用分式的加减运算和二次根式的性质化简可验证.
1 / 12023年浙教版数学八年级下册1.2二次根式的性质 同步测试
一、单选题
1．（2022八下·威县期末）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022八下·顺平期末）下列二次根式中，不是最简二次根式的为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022八下·顺平期末）若取1.414，则与最接近的整数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
4．（2022八下·东川期末）若成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022八下·冠县期末）当时，= （ ）
A． B． C． D．
6．（2022八下·沂南期末）若成立，则a，b满足的条件是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．a，b异号
7．（2022八下·广州期末）（ ）
A．-2.25 B．-1.5 C．1.5 D．2.25
8．（2022八下·虎林期末）化简二次根式得（ ）
A． B． C． D．
9．（2022八下·涿州期末）下面的计算和推导过程中，
∵， （第一步）
∴， （第二步）
∵， （第三步）
∴， （第四步）
其中首先错误的一步是（ ）
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
10．（2022八下·呼和浩特期末）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2022八下·丰南期末）化简： ．
12．（2022八下·博兴期末）将化简成最简二次根式为 ．
13．（2022八下·定远期末）已知，化简二次根式的正确结果是
14．（2022八下·广陵期末）当时，化简代数式＝ ．
15．（2022八下·邻水期末）化简： ＝ ．
16．（2022八下·綦江期末）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 .
三、计算题
17．（2021八下·白云期末）化简： （ ， ）．
18．（2019八下·番禺期中）化简
（1） ；
（2） ；
（3）6 ；
19．
化简：
四、综合题
20．计算：
（1） =
（2）( )2=
（3） =
（4） =
21．（2022八下·灌云期末）是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答以下问题：
（1）化简： ， ；
（2）已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简．
22．将根号外的数移入根号内并化简：
（1） ；
（2）
23．观察下列等式：
① .
② .
③ .
根据上述等式的规律解次下列问题：
（1）完成第4个等式：
（2）写出你猜想的第 个等式(用含 的代数式表示），并证明其正确性.
24．观察下列各式及其验算过程：
=2 ，验证： = = =2 ；
=3 ，验证： = = =3
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用最简二次根式的定义对每个选项计算求解即可。
2．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A．是最简二次根式，故A不符合题意；
B．是最简二次根式，故B不符合题意；
C．，故C符合题意；
D．是最简二次根式，故D不符合题意．
【分析】最简二次根式满足两个条件：①被开方数中不含分母，②被开方数中不能含有开方开的尽的因数或因式；据此解答即可.
3．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】因为，
所以接近的整数是7，
故答案为：B．
【分析】由于，将 ≈1.414代入求值即可判断.
4．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的性质可得，再求出m的取值范围即可。
5．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵x＞2，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的性质求解即可。
6．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：B
【分析】根据二次根式的性质逐项判断即可。
7．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的性质求解即可。
8．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：解：由题意得：
，
∵a＜0，
∴b3＜0，
∴b＜0，
∴
，
故答案为：A．
【分析】根据二次根式有意义的条件证得b的取值范围，再分母有理化即可解得。
9．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵
∴首先错误的一步是第三步．
故答案为：C．
【分析】 由于是负数，而是正数，故第三步出现错误.
10．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】因为，所以A不符合题意；
因为，所以B不符合题意；
因为，所以C不符合题意；
因为，所以D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的性质，计算求解即可。
11．【答案】5-π
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】，
故答案为：5-π．
【分析】利用二次根式的性质求解即可。
12．【答案】
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：
=
=，
故答案为：．
【分析】根据最简二次根式的定义求解即可。
13．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据题意，xy＞0，
得x和y同号，
又∵中，
∴y＜0，
∴x＜0，y＜0，
则原式=，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出x＜0，y＜0，再根据二次根式的性质化简求解即可。
14．【答案】1
【知识点】二次根式的性质与化简；绝对值的非负性；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴
．
故答案为：1.
【分析】根据a的范围可得a-2、1-a的正负，然后根据二次根式的性质“”、绝对值的性质分别化简，再合并同类项即可.
15．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： .
故答案为：.
【分析】利用二次根式的性质：，进行计算可得答案.
16．【答案】-2a+2b
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较；二次根式的性质与化简；绝对值的非负性；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：由题意得：a<0，a b<0，b>0
则
= a+(b a)+b
= a+b a+b
= 2a+2b.
故答案为： 2a+2b.
【分析】根据数轴可得a<0|b|，则a-b<0，然后根据绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，最后合并同类项即可.
17．【答案】解：原式=
=
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】利用二次根式的性质化简即可。
18．【答案】（1）解：原式＝ ；
（2）解：原式＝ ＝ ；
（3）解：原式＝6× ＝2 ．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）分子、分母都乘以 ，再进一步化简可得；（2）先化简，再约分即可得；（3）先化简，再计算乘法即可得．
19．【答案】解：
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据二次根式的性质及乘法法则，分步解答即可。
20．【答案】（1）
（2）2022
（3）6
（4）
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【分析】根据二次根式的性质得出，再根据绝对值的性质进行计算，即可得出答案.
21．【答案】（1）3；π-3
（2）解：由数轴得：a＜b＜0＜c，∴c-a＞0，b-c＜0，∴=-（c-a）+c-b=-c+a+c-b=a-b
【知识点】二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：（1）解：
=3=|3-π|=π-3故答案为：3；π-3．
【分析】（1）利用二次根式的性质求解即可；
（2）先利用二次根式的性质化简，再结合数轴去掉绝对值，最后合并同类项即可。
22．【答案】（1）解：根据二次根式的概念， 若有意义，则有
于是，
（2）解：易知 ，于是
【知识点】二次根式的性质与化简；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】（1）根据二次根式的非负性可得 x > 0，再由二次根式的性质可化简；（2）根据二次根式的非负性可得 a 2 > 0，再由二次根式的性质可化简。
23．【答案】（1）7×9
（2）解：第n个等式： .
证明：
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）；
故答案为：7×9；
【分析】（1）根据平方差公式将被开方数写成两个数的和与这两个数的差的积，进而根据二次根式的性质化简即可得出答案；
（2）通过数据变化规律，发现等式左边是一个二次根式，其被开方数是两个数的平方差，被减数的底数是（2n）2+1，减数的底数就是（4n），等式的右边是两个连续奇数的乘积，第一个奇数是（2n-1），第二个奇数是（2n+1，），根据总结的规律写出结论，进而根据（1）的解法进行证明即可.
24．【答案】（1）解：∵ =2 ， =3 ，
∴ =4 =4 = ，
验证： = = ，正确
（2）解：由（1）中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，
∴ = ，
验证： = = ；正确
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）观察所给的几个式子的特点可得出结论，再利用二次根式的性质化简来验证；
（2）由（1）可得规律；再利用分式的加减运算和二次根式的性质化简可验证.
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