2023年浙教版数学八年级下册1.3 二次根式的运算 同步测试
一、单选题
1．（2022八下·抚远期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、，不符合题意；
B、和不是同类二次根式，无法合并，不符合题意；
C、和不是同类二次根式，无法合并，不符合题意；
D、，符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据二次根式的乘法法则对A判断；根据二次根式加减法对B、C判断；根据二次根式的除法对C进行判断.
2．（2022八下·顺平期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】A.，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的加减、二次根式的乘除分别计算，再判断即可.
3．（2022八下·黄冈月考）在化简时，甲、乙两位同学的解答如下：
甲：；
乙：.
这两位同学的解法，你认为（ ）
A．两人解法都对 B．甲错乙对
C．甲对乙错 D．两人都错
【答案】B
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：甲进行分母有理化时不能确定，故不能直接进行分母的有理化，故甲错误；
乙分子因式分解，再与分母约分，故乙正确，
故答案为：B.
【分析】分别对甲、乙化简的过程进行判断，甲在进行分母有理化时，没有对进行判断，因而错误，即可得出正确答案.
4．（2022八下·江津期中）估计 的值应在（ ）
A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：=6+，
∵2＜＜3，
∴8＜6+＜9，
∴的值在8和9之间.
故答案为：B.
【分析】利用二次根式的混合运算顺序和法则进行化简得出原式=6+，再根据2＜＜3，得出8＜6+＜9，即可得出答案.
5．（2022八下·高青期中）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图：
由题意知：S正方形ABCH=HC2=16cm2，S正方形LMEF=LM2=LF2=12cm2，
∴HC=4cm，LM=LF=cm．
∴S空白部分=S矩形HLFG+S矩形MCEF=HL LF+MC ME=HL LF+MC LF
=（HL+MC） LF
=（HC-LM） LF
=
=cm2．
故答案为：C．
【分析】根据正方形的面积及正方形的性质，可求出HC=4cm，LM=LF=cm．根据S空白部分=S矩形HLFG+S矩形MCEF=HL LF+MC ME=HL LF+MC LF=（HL+MC） LF=（HC-LM） LF即可求解.
6．（2021八下·枣阳期末）我国宋代数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记 ，那么三角形的面积为 .如图，在 中， ， ， 所对的边分别记为a，b，c，若 ， ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C．24 D．
【答案】A
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：由 ， ， ，
得 .
所以三角形的面积
，
故答案为：A.
【分析】由题意把a、b、c的值代入计算即可求解.
7．（2020八下·田东期中）一个长方体的体积是 ，长是 ，宽是 ，则它的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：∵长方体的体积是 ，长是 ，宽是 ，
则它的高 ，
故答案为：D.
【分析】根据长方体的体积=长×宽×高，进行解答即可.
8．（2022八下·泰安期末）下列各组二次根式，是同类二次根式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A．，，被开方数不相同，与不是同类二次根式，不符合题意；
B．，，被开方数不相同，与不是同类二次根式，不符合题意；
C．，，被开方数相同，与是同类二次根式，符合题意；
D．，与被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据同类二次根式的定义逐项判断即可。
9．（2022八下·临西期末）若＋2 ＋＝10，则x的值为（ ）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
【答案】C
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】＋2 ＋＝10，
，
5，
，
∴x=2，
故答案为：C.
【分析】利用二次根式的性质和二次根式的加法运算求解即可。
10．下列各式中，不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式；二次根式的乘除法；分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：选项A，故选项A正确；
选项B，故选项B正确；需要注意的是，不是最简二次根式，在做题的过程中要化到最简；
选项C，，故选项C错误；
选项D，，故选项D正确.
故答案为：C.
【分析】选项A，利用二次根式的性质将、化成最简二次根式后进行计算；选项B，将被开方数先进行计算得，然后化成最简二次根式；选项C，将分子化成最简二次根式，然后合并同类二次根式；选项D，直接分母有理化，分子分母同时乘以，然后利用完全平放式进行计算．
二、填空题
11．（2022八下·虎林期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ．
【答案】
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解： 而与最简二次根式是同类二次根式，
故答案为：
【分析】先把化简，再根据同类二次根式的定义得出，求出即可。
12．（2022八下·巴彦期末）计算的结果为 ．
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】利用二次根式的减法法则计算求解即可。
13．（2022八下·无为期末）已知 ，则的值为 ．
【答案】12
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
将代入得：
．
故答案为：12
【分析】先求出x的值，再将x的值代入计算即可。
14．（2022八下·西双版纳期末）已如，．则 ．
【答案】
【知识点】代数式求值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴x2﹣y2＝
故答案为：．
【分析】利用平方差公式，将，代入计算求解即可。
15．（2022八下·呼和浩特期末）在中，已知，，则其周长为 ．
【答案】或
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：根据题意得：该平行四边形的周长为 ，
故答案为：．
【分析】根据题意求出即可作答。
16．（2021八下·阳春期末）分母有理化：＝ ．
【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
故答案为：．
【分析】利用平方差公式计算求解即可。
三、计算题
17．（2022八下·涿州期末）计算
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式＝
（4）解：原式．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减法则计算即可；
（2）利用平方差公式计算即可；
（3）先计算二次根式的乘法，再进行二次根式的的加减即可；
（4）先化简二次根式，再利用二次根式的混合运算计算即可.
四、解答题
18．（2022八下·韩城期末）已知在△ABC中，∠C=90°，BC=2+1，AC=2-1，求AB的长．
【答案】解：∵中，，
∴．
【知识点】二次根式的混合运算；勾股定理
【解析】【分析】利用勾股定理，列式计算求出AB的长.
19．（2022八下·澄城期中）小明家装修，电视背景墙长BC为 m，宽AB为 m，中间要镶一个长为2 m宽为 m的长方形大理石图案（图中阴影部分）.除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，求壁布的面积（结果化为最简二次根式）
【答案】解：由题意可得：
，
答：壁布的面积为4 m2.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据壁布的面积=背景墙的面积-大理石图案的面积列出式子，然后根据二次根式的乘法法则以及减法法则进行计算.
20．（2022八下·黄冈期中）已知等式成立，化简|x－6|＋的值．
【答案】解：等式成立，
|x－6|＋
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【分析】利用二次根式的除法法则，可得到关于x的不等式组，求出不等式组的解集，可得到x的取值范围，可得到x-6＜0，x-2＞0，再化简绝对值，然后合并同类项.
五、综合题
21．（2022八下·灌云期末）像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
（1）化简：①= ；②= ．
（2）计算：．
【答案】（1）；
（2）解：∵，∴===2021．
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：（1）①，故答案为：；②=，故答案为：．
【分析】（1）利用分母有理化的计算方法求解即可；
（2）先利用分母有理化化简，再计算即可。
22．（2022八下·临汾期末）
（1）计算：．
（2）下面是夏红同学对题目的计算过程，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：已知，求的值．
原式第一步
第二步
第三步
所代入上式，得
原式 第四步
第五步
． 第六步
任务一：填空：
①在化简步骤中，第 步是进行分式的通分．
②第 步开始出错，这一错误的原因是 ．
任务二：请直接写出该题计算后的正确结果 ．
【答案】（1）解：原式=6+5－1=10．
（2）一；五；分子没有乘；原式 =．
【知识点】分式的化简求值；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用平方差公式展开，再计算即可；
（2）先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
23．（2022八下·兴国期末）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（Ⅰ）．
以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
（Ⅱ）还可以用以下方法化简
．
（1）请用不同的方法化简．
①参照（Ⅰ）式，化简；
②参照（Ⅱ）式，化简；
（2）化简：
【答案】（1）解：①；
②；
（2）解：．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）①根据（Ⅰ）的计算方法求解即可；
②根据（Ⅱ）的计算方法求解即可；
（2）先利用分母有理化化简，再计算即可。
24．（2022八下·厦门期中）同学们学过数轴知道数轴上点与实数一一对应，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是P.
（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算P的值；
（2）若原点为O且，求P的值.
【答案】（1）解：以B为原点，，，
∴点A表示0-=-，点C表示：，
∴P表示的数为；
∴点P的值为
（2）解：分两种情况，
当点O在点C的左侧时，
∵，
∴点C表示，
∵，
∴点B表示：，
∵，
∴点A表示： ，
点P表示：，
当点O在点C的右侧时，
∵，
∴点C表示，
∵，
∴点B表示：，
∵，
∴点A表示： ，
点P表示：，
∴点P的值为或.
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）以B为原点，由，，根据数轴上两点间的距离，可求出点A表示-，点C表示，从而求出P值；
（2）分两种情况，当点O在点C的左侧时或当点O在点C的右侧时， 根据两点间的距离分别求出A、B、C表示的数，再计算P值即可.
25．（2021八下·长兴期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t(单位：s)和高度h(单位：m)近似满足公式t= (不考虑风速的影响)．
（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；
（2）t2是t1的多少倍？
（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？
【答案】（1）解：当h=50时，t1= = (秒)
当h=100时，t2= = =2 (秒)
（2）解： ∵ ，∴t2是t1的 倍
（3）解：当t=1.5时，1.5= ，得h=11.25，∴下落的高度是11.25米
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）将h=50代入公式进行计算可求出t1的值；将t=100代入公式计算可求出t2的值.
（2）利用（1）中计算的结果可求出t2与t1的比值，即可求解.
（3）将t=1.5代入公式计算求出h的值.
26．（2020八下·滨江开学考）已知 中， ， ， .
（1）分别化简 ， ；
（2）试在4×4的方格纸上画出 ，使它的顶点都在方格的顶点上（每个小方格的边长为1）；并求点B到 边的距离.
【答案】（1）解：4 =4× =2 ，
= × = × = ；
（2）解：如图所示：
AB=1，BC= ，AC=
∴ 即为所求；
△ABC的面积为 1×2=1
∴点B到 边的距离为1×2÷AC= .
【知识点】二次根式的应用；勾股定理
【解析】【分析】（1）首先化简 和 ，再分别计算乘法即可；
（2）根据勾股定理画出AC= ，再确定B的位置，既要使AB=1，又要使BC= 即可，以BA为底，确定AB上的高为2，求出三角形的面积，从而求出结论.
1 / 12023年浙教版数学八年级下册1.3 二次根式的运算 同步测试
一、单选题
1．（2022八下·抚远期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022八下·顺平期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022八下·黄冈月考）在化简时，甲、乙两位同学的解答如下：
甲：；
乙：.
这两位同学的解法，你认为（ ）
A．两人解法都对 B．甲错乙对
C．甲对乙错 D．两人都错
4．（2022八下·江津期中）估计 的值应在（ ）
A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间
5．（2022八下·高青期中）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021八下·枣阳期末）我国宋代数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记 ，那么三角形的面积为 .如图，在 中， ， ， 所对的边分别记为a，b，c，若 ， ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C．24 D．
7．（2020八下·田东期中）一个长方体的体积是 ，长是 ，宽是 ，则它的高是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022八下·泰安期末）下列各组二次根式，是同类二次根式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
9．（2022八下·临西期末）若＋2 ＋＝10，则x的值为（ ）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
10．下列各式中，不成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022八下·虎林期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ．
12．（2022八下·巴彦期末）计算的结果为 ．
13．（2022八下·无为期末）已知 ，则的值为 ．
14．（2022八下·西双版纳期末）已如，．则 ．
15．（2022八下·呼和浩特期末）在中，已知，，则其周长为 ．
16．（2021八下·阳春期末）分母有理化：＝ ．
三、计算题
17．（2022八下·涿州期末）计算
（1）
（2）
（3）
（4）
四、解答题
18．（2022八下·韩城期末）已知在△ABC中，∠C=90°，BC=2+1，AC=2-1，求AB的长．
19．（2022八下·澄城期中）小明家装修，电视背景墙长BC为 m，宽AB为 m，中间要镶一个长为2 m宽为 m的长方形大理石图案（图中阴影部分）.除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，求壁布的面积（结果化为最简二次根式）
20．（2022八下·黄冈期中）已知等式成立，化简|x－6|＋的值．
五、综合题
21．（2022八下·灌云期末）像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
（1）化简：①= ；②= ．
（2）计算：．
22．（2022八下·临汾期末）
（1）计算：．
（2）下面是夏红同学对题目的计算过程，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：已知，求的值．
原式第一步
第二步
第三步
所代入上式，得
原式 第四步
第五步
． 第六步
任务一：填空：
①在化简步骤中，第 步是进行分式的通分．
②第 步开始出错，这一错误的原因是 ．
任务二：请直接写出该题计算后的正确结果 ．
23．（2022八下·兴国期末）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（Ⅰ）．
以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
（Ⅱ）还可以用以下方法化简
．
（1）请用不同的方法化简．
①参照（Ⅰ）式，化简；
②参照（Ⅱ）式，化简；
（2）化简：
24．（2022八下·厦门期中）同学们学过数轴知道数轴上点与实数一一对应，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是P.
（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算P的值；
（2）若原点为O且，求P的值.
25．（2021八下·长兴期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t(单位：s)和高度h(单位：m)近似满足公式t= (不考虑风速的影响)．
（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；
（2）t2是t1的多少倍？
（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？
26．（2020八下·滨江开学考）已知 中， ， ， .
（1）分别化简 ， ；
（2）试在4×4的方格纸上画出 ，使它的顶点都在方格的顶点上（每个小方格的边长为1）；并求点B到 边的距离.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、，不符合题意；
B、和不是同类二次根式，无法合并，不符合题意；
C、和不是同类二次根式，无法合并，不符合题意；
D、，符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据二次根式的乘法法则对A判断；根据二次根式加减法对B、C判断；根据二次根式的除法对C进行判断.
2．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】A.，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的加减、二次根式的乘除分别计算，再判断即可.
3．【答案】B
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：甲进行分母有理化时不能确定，故不能直接进行分母的有理化，故甲错误；
乙分子因式分解，再与分母约分，故乙正确，
故答案为：B.
【分析】分别对甲、乙化简的过程进行判断，甲在进行分母有理化时，没有对进行判断，因而错误，即可得出正确答案.
4．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：=6+，
∵2＜＜3，
∴8＜6+＜9，
∴的值在8和9之间.
故答案为：B.
【分析】利用二次根式的混合运算顺序和法则进行化简得出原式=6+，再根据2＜＜3，得出8＜6+＜9，即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】二次根式的应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图：
由题意知：S正方形ABCH=HC2=16cm2，S正方形LMEF=LM2=LF2=12cm2，
∴HC=4cm，LM=LF=cm．
∴S空白部分=S矩形HLFG+S矩形MCEF=HL LF+MC ME=HL LF+MC LF
=（HL+MC） LF
=（HC-LM） LF
=
=cm2．
故答案为：C．
【分析】根据正方形的面积及正方形的性质，可求出HC=4cm，LM=LF=cm．根据S空白部分=S矩形HLFG+S矩形MCEF=HL LF+MC ME=HL LF+MC LF=（HL+MC） LF=（HC-LM） LF即可求解.
6．【答案】A
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：由 ， ， ，
得 .
所以三角形的面积
，
故答案为：A.
【分析】由题意把a、b、c的值代入计算即可求解.
7．【答案】D
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：∵长方体的体积是 ，长是 ，宽是 ，
则它的高 ，
故答案为：D.
【分析】根据长方体的体积=长×宽×高，进行解答即可.
8．【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A．，，被开方数不相同，与不是同类二次根式，不符合题意；
B．，，被开方数不相同，与不是同类二次根式，不符合题意；
C．，，被开方数相同，与是同类二次根式，符合题意；
D．，与被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据同类二次根式的定义逐项判断即可。
9．【答案】C
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】＋2 ＋＝10，
，
5，
，
∴x=2，
故答案为：C.
【分析】利用二次根式的性质和二次根式的加法运算求解即可。
10．【答案】C
【知识点】最简二次根式；二次根式的乘除法；分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：选项A，故选项A正确；
选项B，故选项B正确；需要注意的是，不是最简二次根式，在做题的过程中要化到最简；
选项C，，故选项C错误；
选项D，，故选项D正确.
故答案为：C.
【分析】选项A，利用二次根式的性质将、化成最简二次根式后进行计算；选项B，将被开方数先进行计算得，然后化成最简二次根式；选项C，将分子化成最简二次根式，然后合并同类二次根式；选项D，直接分母有理化，分子分母同时乘以，然后利用完全平放式进行计算．
11．【答案】
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解： 而与最简二次根式是同类二次根式，
故答案为：
【分析】先把化简，再根据同类二次根式的定义得出，求出即可。
12．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】利用二次根式的减法法则计算求解即可。
13．【答案】12
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
将代入得：
．
故答案为：12
【分析】先求出x的值，再将x的值代入计算即可。
14．【答案】
【知识点】代数式求值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴x2﹣y2＝
故答案为：．
【分析】利用平方差公式，将，代入计算求解即可。
15．【答案】或
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：根据题意得：该平行四边形的周长为 ，
故答案为：．
【分析】根据题意求出即可作答。
16．【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
故答案为：．
【分析】利用平方差公式计算求解即可。
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式＝
（4）解：原式．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减法则计算即可；
（2）利用平方差公式计算即可；
（3）先计算二次根式的乘法，再进行二次根式的的加减即可；
（4）先化简二次根式，再利用二次根式的混合运算计算即可.
18．【答案】解：∵中，，
∴．
【知识点】二次根式的混合运算；勾股定理
【解析】【分析】利用勾股定理，列式计算求出AB的长.
19．【答案】解：由题意可得：
，
答：壁布的面积为4 m2.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据壁布的面积=背景墙的面积-大理石图案的面积列出式子，然后根据二次根式的乘法法则以及减法法则进行计算.
20．【答案】解：等式成立，
|x－6|＋
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【分析】利用二次根式的除法法则，可得到关于x的不等式组，求出不等式组的解集，可得到x的取值范围，可得到x-6＜0，x-2＞0，再化简绝对值，然后合并同类项.
21．【答案】（1）；
（2）解：∵，∴===2021．
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：（1）①，故答案为：；②=，故答案为：．
【分析】（1）利用分母有理化的计算方法求解即可；
（2）先利用分母有理化化简，再计算即可。
22．【答案】（1）解：原式=6+5－1=10．
（2）一；五；分子没有乘；原式 =．
【知识点】分式的化简求值；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用平方差公式展开，再计算即可；
（2）先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
23．【答案】（1）解：①；
②；
（2）解：．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）①根据（Ⅰ）的计算方法求解即可；
②根据（Ⅱ）的计算方法求解即可；
（2）先利用分母有理化化简，再计算即可。
24．【答案】（1）解：以B为原点，，，
∴点A表示0-=-，点C表示：，
∴P表示的数为；
∴点P的值为
（2）解：分两种情况，
当点O在点C的左侧时，
∵，
∴点C表示，
∵，
∴点B表示：，
∵，
∴点A表示： ，
点P表示：，
当点O在点C的右侧时，
∵，
∴点C表示，
∵，
∴点B表示：，
∵，
∴点A表示： ，
点P表示：，
∴点P的值为或.
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）以B为原点，由，，根据数轴上两点间的距离，可求出点A表示-，点C表示，从而求出P值；
（2）分两种情况，当点O在点C的左侧时或当点O在点C的右侧时， 根据两点间的距离分别求出A、B、C表示的数，再计算P值即可.
25．【答案】（1）解：当h=50时，t1= = (秒)
当h=100时，t2= = =2 (秒)
（2）解： ∵ ，∴t2是t1的 倍
（3）解：当t=1.5时，1.5= ，得h=11.25，∴下落的高度是11.25米
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）将h=50代入公式进行计算可求出t1的值；将t=100代入公式计算可求出t2的值.
（2）利用（1）中计算的结果可求出t2与t1的比值，即可求解.
（3）将t=1.5代入公式计算求出h的值.
26．【答案】（1）解：4 =4× =2 ，
= × = × = ；
（2）解：如图所示：
AB=1，BC= ，AC=
∴ 即为所求；
△ABC的面积为 1×2=1
∴点B到 边的距离为1×2÷AC= .
【知识点】二次根式的应用；勾股定理
【解析】【分析】（1）首先化简 和 ，再分别计算乘法即可；
（2）根据勾股定理画出AC= ，再确定B的位置，既要使AB=1，又要使BC= 即可，以BA为底，确定AB上的高为2，求出三角形的面积，从而求出结论.
1 / 1
