2023年浙教版数学八年级下册第一章 二次根式（进阶版）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八上·嘉定期中）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、 ，所以 不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、 不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、 ，所以 是同类二次根式，故本选项符合题意；
D、 ，所以 不是同类二次根式，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】先化简， 再根据同类项二次根式的定义逐项判断即可。
2．（2020八上·平和月考）下列代数式能作为二次根式被开方数的是（ ）
A．3﹣π B．a C．a2+1 D．2x+4
【答案】C
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A、3﹣π＜0，则3﹣a不能作为二次根式被开方数，故此选项不符合题意；
B、a的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故此选项不符合题意；
C、a2+1一定大于0，能作为二次根式被开方数，故此选项错符合题意；
D、2x+4的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据二次根式被开方数为非负数求解即可。
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】选项D符合平方差公式，计算也是正确的，故选D．
【分析】能够根据题意判断计算二次根式的正确性是深刻理解二次根式加减法法则的重要体现．
4．（2022九上·仁寿月考）设实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A．－a＋b B．2a＋b C．3a＋b D．b
【答案】A
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；整式的加减运算；二次根式的性质与化简；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：
∴
∴
故答案为：A
【分析】利用数轴可知a＜b，a+b＞0，先化简绝对值，再合并同类项.
5．（2022九上·淇滨开学考）直线l：（m、n为常数）的图象如图，化简：得（ ）
A． B．5 C．-1 D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；一次函数图象、性质与系数的关系；绝对值的非负性；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：直线：（m、n为常数）的图象可知，
，．
故答案为：D.
【分析】根据一次函数的图象可得n-2<0，m-3>0，然后根据二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，再合并同类项即可.
6．已知a= ，b= ，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
【答案】C
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：；
；
∴a与b互为倒数.
故答案为：C.
【分析】本题利用分母有理化，得出，再观察a与b的关系。
7．（2020八下·龙口期中）设等式 在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则 的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】代数式求值；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】由于根号下的数要是非负数，
∴a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，
a（x-a）≥0和x-a≥0可以得到a≥0，
a（y-a）≥0和a-y≥0可以得到a≤0，
所以a只能等于0，代入等式得
=0，
所以有x=-y，
即：y=-x，
由于x，y，a是两两不同的实数，
∴x＞0，y＜0．
将x=-y代入原式得：
原式= ．
故答案为：B．
【分析】根据根号下的数是非负数，得到a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x，把y=-x代入原式即可求出答案。
8．下列各实数中最大的一个是（ ）
A．5× B． C． D． +
【答案】C
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：A中5× = = ＜1；
B中∵π=3.14159＞3.141，
∴ ＜1；
C中 = = = （ -1）＞1；
D中∵ ＜ =0.25，
∴2 ＜0.5，
∴0.3+2 +0.2＜1，即（ + ）2＜1，
∴ + ＜1．
故答案为：C
【分析】先利用将根号外因式移到根号内、分母有理化、放缩法、平方法对各选项进行判断，据此即可答案。
9．（2020八上·深圳期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 ，设x= ，易知 > ，故x>0，由x2= = =2，解得x= ，即 。根据以上方法，化简 后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5- D．5-3
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】设x=,易知，故x＜0，由x2==，解得x=..，=
故答案为：D
【分析】将利用平方再开方的方式化简，进行分母有理化，最后用二次根式运算法则即可求出答案。
10．（2020九下·德州期中）已知 ， ， 表示取三个数中最大的那个数﹒例如：当 ， ， ， = ， ， =81﹒当 ， ， = 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：当 ， ， = 时，
若 ，解得：x= ，此时 ，此时符合题意；
若 ，解得：x= ，此时 ，此时不符合题意；
若x= ，此时 ，此时不符合题意，
综上，x= ，
故答案为：B.
【分析】直接利用已知分别分析得出正确的答案．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022九上·峨眉山期末）已知（x，y均为实数），则y的最大值是 .
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；偶次幂的非负性；算数平方根的非负性
【解析】【解答】解： ， ， ，
.
，
.
的最大值为 .
故答案为： .
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数建立不等式组，求解可得x的取值范围，根据算术平方根的非负性可得y≥0，将所给方程两边同时平方，结合偶数次幂的非负性可得，求解可得y的取值范围，从而即可得出答案.
12．（2018七上·杭州期中）若实数a，b，c满足关系式 ，则c的平方根为 .
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得
， ，
，
∴
，
，
的平方根为 。
故答案为： 。
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式组，求解得出a+b=9，然后整体代入化简得出，整体代入即可算出C的值进而即可求出其平方根。
13．（2022八下·梧州期中）若 ，则 .
【答案】-2023
【知识点】二次根式有意义的条件；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵
∴ ，解得
∴
∴原方程可以化为：
∴
故答案为：-2023.
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-2023≥0，则x≥2023，|2022-x|=x-2022，则原方程可化为=2022，然后给两边同时平方并变形可得结果.
14．（2021八下·宜州期中）已知， ，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是 .
【答案】2027
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由二次函数的性质，则
，
当 时， ；
当 时， ；
∴对应的y值的总和是：
=
= ；
故答案为：2027.
【分析】首先对解析式化简可得y=|x-3|+4-x，然后分x≤3，x>3去掉绝对值，据此计算即可.
15．（2021八下·合肥期末）阅读理解：对于任意正整数a，b，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（a、b均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为 ．
【答案】3
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：由题中结论可得
即：当时，有最小值为3，
故答案为：3．
【分析】将原式化为，然后根据题中材料所给结论，可得3，即可求解.
16．（2019八上·浦东月考）已知a、b是正整数，如果有序数对(a, b)能使得2 的值也是整数，那么称（a,b）是2 的一个“理想数对”。如（1，1）使得2 =4，（4，4）使得2 所以（1,1）和（4，4）都是2 的“理想数对”，请你再写出一个2 的“理想数对”： .
【答案】（1，4）（此题答案不唯一，见详解）
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】当a=1，b=4时，
2
故成立，
所以答案可以是：（1，4）.
此题答案也可以为（4，1）.
【分析】因为2 的值也是整数，所以要使 、 开的尽，所以a、b必须是一个整数的平方，因为2 的值也是整数， 的化简结果应无分母或者分母为2.
三、计算题（共4题，共23分）
17．（2022八下·官渡期末）计算下列各题
（1）；
（2）；
（3）
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减法运算方法求解即可；
（2）利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可；
（3）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再计算即可。
18．（2022八下·康巴什期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可；
（2）利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可。
19．（2020八上·上海期中）先化简，再求值： ，其中x＝1，y＝2．
【答案】解：
=
=
=
=
=
=
=
= ；
将 代入得：原式= ．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据平方差公式、分母有理化、二次根式的性质进行化简运算，代入x和y的值，求出答案即可。
20．已知：x＝ ，y＝ ，求 的值．
【答案】解：x＝5＋2 ，y＝5－2 ，xy＝1，x＋y＝10，x－y＝4 ，原式＝ ＝
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先把x、y分别分母有理化，得到，.将原分式化简得到，将x、y的值分别代入，化简求值即可. 也可利用，计算出xy及x+y、x-y的值，再整体代入也可. 本题考查二次根式的化简，分式的化简，熟练掌握对应的性质，准确计算是关键.
四、综合题
21．（2020八下·随县期末）在进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如 ， ， 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
①
②
③
以上这种化简的方法称之为分母有理化.
还可以用以下方法化简：
④
（1）请你根据上面的方法化简： ； ；
（2）请参照③式，化简 ；
（3）请参照④式，化简 ；
（4）化简：
【答案】（1）；
（2）解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式 ，
，
，
【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化
【解析】【解答】解：（1） ，
，
故答案为： ， ；
【分析】（1）将 的分子分母乘以2， 的分子分母乘以3，最后利用二次根式的性质进行化简；
（2）将 的分子分母同乘以 进行化简；
（3）将 中的分子2化为 ，进而求解；
（4）先将各项进行分母有理化，最后合并即可.
22．（2020八下·江夏月考）如图，在平面直角坐标系中，点A( ,0),AB⊥ 轴,且AB=10,点C（0，b）, ,b满足 .点P（t,0）是线段AO上一点（不包含A,O）
（1）当t=5时，求PB：PC的值；
（2）当PC+PB最小时，求t的值;
（3）请根据以上的启发，解决如下问题:正数m,n满足m+n=10,且正数 = ，则正数 的最小值= .
【答案】（1）
，解得
将 代入得，
当 时，则
轴
故 的值为 ；
（2）如图1，作点B关于x轴的对称点 ，过点 作 轴于点D，连接 ， 交x轴于点
由轴对称的性质得：
由两点之间线段最短得：当点P与点 重合时， 最小，最小值为
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
故当 最小时，t的值为15；
（3）
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；算数平方根的非负性
【解析】【解答】（3）由（1）知，
因此，对于 可参照（2）的方法，画出如图2，其中，点B与点 关于x轴对称， 轴，
则
由（2）可知， 的最小值为
即 的最小值为
故答案为： .
【分析】（1）先根据二次根式的被开方数的非负性求出a、b的值，从而可得OA、OC的长，再利用勾股定理分别求出PB、PC的长，从而可得出答案；（2）如图（见解析），作点B关于x轴的对称点 ，从而可得 的长，再根据两点之间线段最短确认 最小时点P的位置，然后根据等腰直角三角形的性质求解即可得；（3）先根据题（1）得出 的式子，可发现与所求的 的形式完全一样，因此，参照题（2）的方法，画出图形，利用几何方法求解即可（与题（2）的思路完全相同）.
23．（2020八下·公主岭月考）阅读理解：
二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如：化简 ．
解：将分子、分母同乘以 得： ．
（1）类比应用：
①化简： ；
②化简： ．
（2）拓展延伸：宽与长的比是 的矩形叫黄金矩形．
如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．
①求黄金矩形ABCD的长BC；
②如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；
③在图②中，连结AE，求点D到线段AE的距离．
【答案】（1）；2
（2）解：①∵宽与长的比是 的矩形叫黄金矩形，
若黄金矩形ABCD的宽AB=1，
则黄金矩形ABCD的长BC= = = ；
②矩形DCEF为黄金矩形，理由是：
由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1，
根据黄金矩形的性质可得：AD=BC= ，
∴FD=EC=AD-AF= = ，
∴ = ，
故矩形DCEF为黄金矩形；
③连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G，
∵AB=EF=1，AD= ，
∴AE= ，
在△AED中，
S△AED = ，
即 ，则 ，
解得DG= ，
∴点D到线段AE的距离为 .
【知识点】二次根式的混合运算；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）类比应用：
①根据题意可得：
= ；
②根据题意可得：
=
=
=
=2；
【分析】（1）分母有理化，利用平方差公式进行计算求解即可；
（2） 根据黄金矩形的性质 ，三角形的面积公式及勾股定理进行求解即可。
24．（2020八下·江苏月考）甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1.
细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：
（ ）2＋1＝2，S1＝ ；（ ）2＋1＝3，S2＝ ；（ ）2＋1＝4，S3＝ ；….
（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律，并计算出OA10的长；
（2）求出 的值.
【答案】（1）解：∵OA1=1= ，OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，
∴OA22= =1+1=2，
∴OA2= ， ，
∵OA32= =（ ）2＋1＝3，
∴ ， ，
∵OA42= =（ ）2＋1＝4，
∴OA4=2， ，
，
∴ ， ，
∴OA102= =10，
∴OA10= ，
∴含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律为： ，OA10的长为 ；
（2）解：由（1）知： ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ = = .
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理分别求出OA22、OA32，OA42及OA2、OA3、OA4得到OAn2及OAn对应的S值，再计算得到OA10；（2）由（1）知 ，分别求出S1、S2、S3、 、S10，将结果代入代数式计算即可.
1 / 12023年浙教版数学八年级下册第一章 二次根式（进阶版）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八上·嘉定期中）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020八上·平和月考）下列代数式能作为二次根式被开方数的是（ ）
A．3﹣π B．a C．a2+1 D．2x+4
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022九上·仁寿月考）设实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A．－a＋b B．2a＋b C．3a＋b D．b
5．（2022九上·淇滨开学考）直线l：（m、n为常数）的图象如图，化简：得（ ）
A． B．5 C．-1 D．
6．已知a= ，b= ，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
7．（2020八下·龙口期中）设等式 在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则 的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
8．下列各实数中最大的一个是（ ）
A．5× B． C． D． +
9．（2020八上·深圳期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 ，设x= ，易知 > ，故x>0，由x2= = =2，解得x= ，即 。根据以上方法，化简 后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5- D．5-3
10．（2020九下·德州期中）已知 ， ， 表示取三个数中最大的那个数﹒例如：当 ， ， ， = ， ， =81﹒当 ， ， = 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022九上·峨眉山期末）已知（x，y均为实数），则y的最大值是 .
12．（2018七上·杭州期中）若实数a，b，c满足关系式 ，则c的平方根为 .
13．（2022八下·梧州期中）若 ，则 .
14．（2021八下·宜州期中）已知， ，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是 .
15．（2021八下·合肥期末）阅读理解：对于任意正整数a，b，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（a、b均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为 ．
16．（2019八上·浦东月考）已知a、b是正整数，如果有序数对(a, b)能使得2 的值也是整数，那么称（a,b）是2 的一个“理想数对”。如（1，1）使得2 =4，（4，4）使得2 所以（1,1）和（4，4）都是2 的“理想数对”，请你再写出一个2 的“理想数对”： .
三、计算题（共4题，共23分）
17．（2022八下·官渡期末）计算下列各题
（1）；
（2）；
（3）
18．（2022八下·康巴什期末）计算：
（1）
（2）
19．（2020八上·上海期中）先化简，再求值： ，其中x＝1，y＝2．
20．已知：x＝ ，y＝ ，求 的值．
四、综合题
21．（2020八下·随县期末）在进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如 ， ， 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
①
②
③
以上这种化简的方法称之为分母有理化.
还可以用以下方法化简：
④
（1）请你根据上面的方法化简： ； ；
（2）请参照③式，化简 ；
（3）请参照④式，化简 ；
（4）化简：
22．（2020八下·江夏月考）如图，在平面直角坐标系中，点A( ,0),AB⊥ 轴,且AB=10,点C（0，b）, ,b满足 .点P（t,0）是线段AO上一点（不包含A,O）
（1）当t=5时，求PB：PC的值；
（2）当PC+PB最小时，求t的值;
（3）请根据以上的启发，解决如下问题:正数m,n满足m+n=10,且正数 = ，则正数 的最小值= .
23．（2020八下·公主岭月考）阅读理解：
二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如：化简 ．
解：将分子、分母同乘以 得： ．
（1）类比应用：
①化简： ；
②化简： ．
（2）拓展延伸：宽与长的比是 的矩形叫黄金矩形．
如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．
①求黄金矩形ABCD的长BC；
②如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；
③在图②中，连结AE，求点D到线段AE的距离．
24．（2020八下·江苏月考）甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1.
细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：
（ ）2＋1＝2，S1＝ ；（ ）2＋1＝3，S2＝ ；（ ）2＋1＝4，S3＝ ；….
（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律，并计算出OA10的长；
（2）求出 的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、 ，所以 不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、 不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、 ，所以 是同类二次根式，故本选项符合题意；
D、 ，所以 不是同类二次根式，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】先化简， 再根据同类项二次根式的定义逐项判断即可。
2．【答案】C
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A、3﹣π＜0，则3﹣a不能作为二次根式被开方数，故此选项不符合题意；
B、a的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故此选项不符合题意；
C、a2+1一定大于0，能作为二次根式被开方数，故此选项错符合题意；
D、2x+4的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据二次根式被开方数为非负数求解即可。
3．【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】选项D符合平方差公式，计算也是正确的，故选D．
【分析】能够根据题意判断计算二次根式的正确性是深刻理解二次根式加减法法则的重要体现．
4．【答案】A
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；整式的加减运算；二次根式的性质与化简；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：
∴
∴
故答案为：A
【分析】利用数轴可知a＜b，a+b＞0，先化简绝对值，再合并同类项.
5．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；一次函数图象、性质与系数的关系；绝对值的非负性；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：直线：（m、n为常数）的图象可知，
，．
故答案为：D.
【分析】根据一次函数的图象可得n-2<0，m-3>0，然后根据二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，再合并同类项即可.
6．【答案】C
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：；
；
∴a与b互为倒数.
故答案为：C.
【分析】本题利用分母有理化，得出，再观察a与b的关系。
7．【答案】B
【知识点】代数式求值；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】由于根号下的数要是非负数，
∴a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，
a（x-a）≥0和x-a≥0可以得到a≥0，
a（y-a）≥0和a-y≥0可以得到a≤0，
所以a只能等于0，代入等式得
=0，
所以有x=-y，
即：y=-x，
由于x，y，a是两两不同的实数，
∴x＞0，y＜0．
将x=-y代入原式得：
原式= ．
故答案为：B．
【分析】根据根号下的数是非负数，得到a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x，把y=-x代入原式即可求出答案。
8．【答案】C
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：A中5× = = ＜1；
B中∵π=3.14159＞3.141，
∴ ＜1；
C中 = = = （ -1）＞1；
D中∵ ＜ =0.25，
∴2 ＜0.5，
∴0.3+2 +0.2＜1，即（ + ）2＜1，
∴ + ＜1．
故答案为：C
【分析】先利用将根号外因式移到根号内、分母有理化、放缩法、平方法对各选项进行判断，据此即可答案。
9．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】设x=,易知，故x＜0，由x2==，解得x=..，=
故答案为：D
【分析】将利用平方再开方的方式化简，进行分母有理化，最后用二次根式运算法则即可求出答案。
10．【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：当 ， ， = 时，
若 ，解得：x= ，此时 ，此时符合题意；
若 ，解得：x= ，此时 ，此时不符合题意；
若x= ，此时 ，此时不符合题意，
综上，x= ，
故答案为：B.
【分析】直接利用已知分别分析得出正确的答案．
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；偶次幂的非负性；算数平方根的非负性
【解析】【解答】解： ， ， ，
.
，
.
的最大值为 .
故答案为： .
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数建立不等式组，求解可得x的取值范围，根据算术平方根的非负性可得y≥0，将所给方程两边同时平方，结合偶数次幂的非负性可得，求解可得y的取值范围，从而即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得
， ，
，
∴
，
，
的平方根为 。
故答案为： 。
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式组，求解得出a+b=9，然后整体代入化简得出，整体代入即可算出C的值进而即可求出其平方根。
13．【答案】-2023
【知识点】二次根式有意义的条件；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵
∴ ，解得
∴
∴原方程可以化为：
∴
故答案为：-2023.
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-2023≥0，则x≥2023，|2022-x|=x-2022，则原方程可化为=2022，然后给两边同时平方并变形可得结果.
14．【答案】2027
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由二次函数的性质，则
，
当 时， ；
当 时， ；
∴对应的y值的总和是：
=
= ；
故答案为：2027.
【分析】首先对解析式化简可得y=|x-3|+4-x，然后分x≤3，x>3去掉绝对值，据此计算即可.
15．【答案】3
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：由题中结论可得
即：当时，有最小值为3，
故答案为：3．
【分析】将原式化为，然后根据题中材料所给结论，可得3，即可求解.
16．【答案】（1，4）（此题答案不唯一，见详解）
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】当a=1，b=4时，
2
故成立，
所以答案可以是：（1，4）.
此题答案也可以为（4，1）.
【分析】因为2 的值也是整数，所以要使 、 开的尽，所以a、b必须是一个整数的平方，因为2 的值也是整数， 的化简结果应无分母或者分母为2.
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减法运算方法求解即可；
（2）利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可；
（3）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再计算即可。
18．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可；
（2）利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可。
19．【答案】解：
=
=
=
=
=
=
=
= ；
将 代入得：原式= ．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据平方差公式、分母有理化、二次根式的性质进行化简运算，代入x和y的值，求出答案即可。
20．【答案】解：x＝5＋2 ，y＝5－2 ，xy＝1，x＋y＝10，x－y＝4 ，原式＝ ＝
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先把x、y分别分母有理化，得到，.将原分式化简得到，将x、y的值分别代入，化简求值即可. 也可利用，计算出xy及x+y、x-y的值，再整体代入也可. 本题考查二次根式的化简，分式的化简，熟练掌握对应的性质，准确计算是关键.
21．【答案】（1）；
（2）解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式 ，
，
，
【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化
【解析】【解答】解：（1） ，
，
故答案为： ， ；
【分析】（1）将 的分子分母乘以2， 的分子分母乘以3，最后利用二次根式的性质进行化简；
（2）将 的分子分母同乘以 进行化简；
（3）将 中的分子2化为 ，进而求解；
（4）先将各项进行分母有理化，最后合并即可.
22．【答案】（1）
，解得
将 代入得，
当 时，则
轴
故 的值为 ；
（2）如图1，作点B关于x轴的对称点 ，过点 作 轴于点D，连接 ， 交x轴于点
由轴对称的性质得：
由两点之间线段最短得：当点P与点 重合时， 最小，最小值为
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
故当 最小时，t的值为15；
（3）
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；算数平方根的非负性
【解析】【解答】（3）由（1）知，
因此，对于 可参照（2）的方法，画出如图2，其中，点B与点 关于x轴对称， 轴，
则
由（2）可知， 的最小值为
即 的最小值为
故答案为： .
【分析】（1）先根据二次根式的被开方数的非负性求出a、b的值，从而可得OA、OC的长，再利用勾股定理分别求出PB、PC的长，从而可得出答案；（2）如图（见解析），作点B关于x轴的对称点 ，从而可得 的长，再根据两点之间线段最短确认 最小时点P的位置，然后根据等腰直角三角形的性质求解即可得；（3）先根据题（1）得出 的式子，可发现与所求的 的形式完全一样，因此，参照题（2）的方法，画出图形，利用几何方法求解即可（与题（2）的思路完全相同）.
23．【答案】（1）；2
（2）解：①∵宽与长的比是 的矩形叫黄金矩形，
若黄金矩形ABCD的宽AB=1，
则黄金矩形ABCD的长BC= = = ；
②矩形DCEF为黄金矩形，理由是：
由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1，
根据黄金矩形的性质可得：AD=BC= ，
∴FD=EC=AD-AF= = ，
∴ = ，
故矩形DCEF为黄金矩形；
③连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G，
∵AB=EF=1，AD= ，
∴AE= ，
在△AED中，
S△AED = ，
即 ，则 ，
解得DG= ，
∴点D到线段AE的距离为 .
【知识点】二次根式的混合运算；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）类比应用：
①根据题意可得：
= ；
②根据题意可得：
=
=
=
=2；
【分析】（1）分母有理化，利用平方差公式进行计算求解即可；
（2） 根据黄金矩形的性质 ，三角形的面积公式及勾股定理进行求解即可。
24．【答案】（1）解：∵OA1=1= ，OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，
∴OA22= =1+1=2，
∴OA2= ， ，
∵OA32= =（ ）2＋1＝3，
∴ ， ，
∵OA42= =（ ）2＋1＝4，
∴OA4=2， ，
，
∴ ， ，
∴OA102= =10，
∴OA10= ，
∴含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律为： ，OA10的长为 ；
（2）解：由（1）知： ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ = = .
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理分别求出OA22、OA32，OA42及OA2、OA3、OA4得到OAn2及OAn对应的S值，再计算得到OA10；（2）由（1）知 ，分别求出S1、S2、S3、 、S10，将结果代入代数式计算即可.
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