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2023年浙教版数学八年级下册2.2一元二次方程的解法 同步测试
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八上·路南期中）已知，则的值等于（ ）
A．8 B．2 C． 3 D． 8
2．（2022八下·定远期末）如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022八下·莱芜期末）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022八下·高青期中）已知方程，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（ ）
A．6 B．9 C．2 D．
5．（2022八下·蚌埠期末）一元二次方程与的所有实数根的和等于（ ）
A．2 B．-4 C．4 D．3
6．如果一元二次方程x2+px+q=0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A．p2-4q≥0 B．p2-4q≤0 C．p2-4q>0 D．p2-4q<0
7．（2022八上·闵行期中）下列选项中的数是一元二次方程的根的是（ ）
A． B．5 C． D．4
8．（2022八上·闵行期中）已知a、b、c是三角形三边的长，则关于x的一元二次方程的实数根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根；
C．没有实数根 D．无法确定
9．（2022八上·黄浦期中）下列方程中，无实数根的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022八下·莱芜期末）已知三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．12 B．13 C．12或13 D．15
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022九上·柳城期中）用配方法解方程时，方程的两边同时加上 ，使得方程左边配成一个完全平方式．
12．（2021八下·南开期末）将方程 配方为 ，其结果是 ．
13．（2022七下·阳信期末）若，则x的所有可能值之和是 ．
14．（2022八上·嘉定期中）关于的一元二次方程有两个实数根，的取值范围是 ．
15．（2022八下·拱墅期中）如果关于 的一元二次方程 没有实数根，那么 的最小整数值是 .
16．（2022八下·诸暨期中）已知等腰三角形的每条边长都是一元二次方程 的根，则这个三角形的周长为 ；
三、解答题（共9题，共66分）
17．（2022八下·泰安期末）按照指定方法解下列方程：
（1）（公式法）；
（2）（配方法）；
（3）（因式分解法）．
18．（2022八下·定海期末）用配方法解一元二次方程：小明同学的解题过程如下：
解： ， ， ， ，．
小明的解题过程是否正确？若正确，请回答“对”；若错误，请写出你的解题过程．
19．用判别式判别下列方程根的情况（不要求解方程）
（1）2x2- x+1=0；
（2）-3x2+6x-7=0.
20．（2022八下·靖西期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+2）x+k2+2k＝0．求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
21．（2022八下·长沙竞赛）设 为质数，m为整数，满足 ，求 和m的所有可取值.
22．（2022八下·环翠期末）已知关于x的方程x2+2mx+n=0（m、n是常数）有两个相等的实数根．
（1）求证：；
（2）求证：．
23．（2021八下·北仑期中）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值；
（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值；
（3）请为a选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根．
24．（2023九上·丛台月考）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程的求根公式时，对于的情况，她是这样做的：
由于，方程变形为：
，……第一步
，……第二步
，……第三步
，……第四步
．……第五步
（1）嘉淇的解法从第 步开始出现错误；事实上，当时，方程的求根公式是 ；
（2）用配方法解方程：．
25．（2022八下·义乌期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝ c，这时我们把关于x的形如ax2+ cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）试判断方程 是否为 “勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】代数式求值；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴
故答案为：D．
【分析】先求出x的值，再将x的值代入计算即可。
2．【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，且方程可以用直接开平方法求解，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出，再计算求解即可。
3．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2-6x+4=0，
∴x2-6x=-4，
∴x2-6x+9=-4+9，即（x-3）2=5．
故答案为：D．
【分析】利用配方法的计算方法和步骤求解即可。
4．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】设印刷不清的数字是a，
（x-p）2=7，
x2-2px+p2=7，
∴x2-2px=7-p2，
∴x2-2px+4=11-p2，
∵方程x2-6x+4=□，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成（x-p）2=7的形式，
∴-2p=-6，a=11-p2，
∴p=3，a=11-32=2，
即印刷不清的数字是2，
故答案为：C．
【分析】由（x-p）2=7可得x2-2px+4=11-p2，可设x2-6x+4=a，根据题意可得-2p=-6，a=11-p2，据此即可求解.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程中，
∴该方程有两个不相等的实数根，根据根与系数的关系求出两根之和为3．
方程中 ，所以该方程无解．
∴方程与一共只有两个实数根，即所有实数根的和3．
故答案为：D．
【分析】先求出该方程有两个不相等的实数根，根据根与系数的关系求出两根之和为3．再求解即可。
6．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ =p2-4q≥0，
∴一元二次方程x2+px+q=0的根为x=，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的求根公式x=（b2-4ac≥0），得出一元二次方程x2+px+q=0的根为x=（p2-4q≥0），即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
移项得，
因式分解得，
所以或，
解得或．
故答案为：C．
【分析】利用十字相乘法解出方程，即可判断.
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系
【解析】【解答】解：，
∵a、b、c是三角形三边的长，
∴，
∴，
∴原方程没有实数根，
故答案为：C．
【分析】先求出判别式，由三角形三边关系可知△＜0，继而得解.
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，故A不符合题意．
B、∵ ，
∴该一元二次方程没有实数根，故B符合题意．
C、∵ ，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，故C不符合题意．
D、∵ ，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程根的判别式逐项判断即可。
10．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵，
即（x﹣3）（x﹣4）=0，
∴x﹣3=0或x﹣4=0，
解得：x=3或x=4，
当x=3时，则三角形的三边3+3=6，无法构成三角形，舍去；
当x=4时，这个三角形的周长为3+4+6=13，
故答案为：B．
【分析】先求出方程的解，再利用三角形三边的关系求出第三边的长，最后利用三角形的周长公式计算即可。
11．【答案】4
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：可由，
得，
用配方法解方程时，方程的两边同时加上4，使得方程左边配成一个完全平方式．
故答案为：4．
【分析】在方程的两边加上一次项系数一半的平方，即可完成配方.
12．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∴
故答案为： ．
【分析】将一元二次方程的二次项系数化为1，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方可得。
13．【答案】2
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
（x-1）2=9
x-1=±3
x=1±3，
∴x1=4，x2=-2，
∴x的所有可能值之和是4-2=2，
故答案为：2．
【分析】利用直接开平方法的计算方法求解即可。
14．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得 且 ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式组求解即可。
15．【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：整理得 ，
根据题意得 且 ，
解得 ，
所以a的最小整数值2
故答案为：2.
【分析】根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"并结合一元二次方程的定义可得关于a的不等式，解这个不等式求出a的范围，由不等式的意义可求解.
16．【答案】6或12或15
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵x2-7x+10=0，
∴（x-2）（x-5）=0，
∴x-2=0或x-5=0，
∴x1=2，x2=5，
当腰为2，底边为5时，2+2=4<5，不能构成三角形；
当腰为5，底边为2时，等腰三角形的周长为2+5+5=12；
当腰为2，底边为2时，等腰三角形的周长为2+2+2=6，
当腰为5，底边为5时，等腰三角形的周长为5+5+5=15.
故答案为：6或12或15.
【分析】根据因式分解法求出方程的解为x1=2，x2=5，根据等腰三角形的性质及题意可分四种情况：①当腰为2，底边为5时，②当腰为5，底边为2时，③当腰为2，底边为2时或当腰为5，④底边为5时，利用三角形的三边关系分别解答即可.
17．【答案】（1）解：，，，，，；
（2）解：方程整理得：，配方得：，即，开方得：，解得：，；
（3）解：方程整理得：，分解因式得：，可得或，解得：，．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用公式法的计算方法求解一元二次方程即可；
（2）利用配方法的计算方法求出一元二次方程的解即可；
（3）利用因式分解法的计算方法求出一元二次方程的解即可。
18．【答案】解：小明的解题过程不正确，
正确的解题过程如下：
，
，
，
，
，
，
或，
，．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】首先方程两边都除以2，将二次项系数化为1，然后将常数项移至右边，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方“”，再对左边的式子利用完全平方公式分解，右边合并同类项，接下来利用直接开平方法进行计算即可.
19．【答案】（1）解：∵a=2，b=-，c=1，
∴ =（-）2-4×2×1=0，
∴方程有两个相等的实数根；
（2）解：∵a=-3，b=6，c=-7，
∴ =62-4×（-3）×（-7）=-48＜0，
∴方程没有实数根.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】先确定a，b，c的值，再求出根的判别式 的值，即可得出答案.
20．【答案】证明：∵a＝1，b＝2k+2，c＝k2+2k
∴Δ＝（2k+2）2﹣4（k2+2k）
＝（4k2+8k+4）﹣（4k2+8k）
＝4，
∴Δ＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】先计算出判别式△的值，再进行判断即可.
21．【答案】解：设 为质数，m为整数，满足 ，
∴ ，
，
∴ ，
∵m为整数， 为质数，
∴1+4P为平方数9
∴1+4P=9，
∴P=2， .
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】对已知条件变形可得m2-m(p-2)+1-p-p3=0，根据求根公式表示出m，根据m为整数，p为质数可得1+4P=9，求出p的值，进而可得m的值.
22．【答案】（1）证明：∵关于x的方程x2+2mx+n=0有两个相等的实数根，∴Δ=（2m）2-4n=0，∴m2=n；
（2）证明：∵n=m2，∴m+n=m+m2=(m+)2-，∵(m+)2≥0，∴m+n≥-．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式可得Δ=（2m）2-4n=0，所以m2=n，从而得证；
（2）将m2=n代入m+n，再利用配方法求解即可。
23．【答案】（1）解：∵方程的一个根为x＝﹣1，
∴a﹣3+4+3＝0，
∴a＝﹣4．
（2）解：由题意△≥0且a≠3，
∴16﹣12（a﹣3）≥0， 解得a≤ ，且a≠3
∵a是正整数， ∴a＝1或2或4．
（3）解：当a＝4时，方程为x2﹣4x+3＝0，
解得x＝3或1
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）将x=-1代入方程，建立关于a的方程，解方程求出a的值.
（2）利用一元二次方程的定义可知a-3≠0，根据方程有实数根，可得到b2-4ac≥0，由此建立关于a的不等式组，求出不等式组的解集，然后求出整数a的值.
（3）从整数a中选取一个a的值，代入方程，利用因式分解法求出方程的解.
24．【答案】（1）四；
（2）解：
移项得：
配方得：即，
∴x-1=±5，
∴，．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）根据过程得，嘉淇的解法从第四步开始出现错误；因为正数的平方根有两个，应为；
当时，方程的求根公式是；
故答案为：四；；
【分析】利用配方法求解一元二次方程的步骤和方法求解即可。
25．【答案】（1）解： ∵a=1，b=1
∴c=，
∴
∴ 方程 是“勾系一元二次方程”.
（2）证明：由题意，得△＝2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0，
∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0必有实数根；
（3）解：当x＝﹣1时，有a﹣ c+b＝0，即a+b＝ c，
∵2（a+b）+ c＝12，∴c＝2 ，∴a+b＝4，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2=16∴ab＝4，∴S△ABC＝ ab＝2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用“勾系一元二次方程”的定义，利用勾股定理求出c的值，然后求出的值，即可作出判断.
（2）利用一元二次方程根的判别式，求出b2-4ac的值，再证明b2-4ac≥0，即可求解.
（3）利用“勾系一元二次方程”的定义，将x=1代入方程，可得到a+b与x的关系，再求出a+b的值，然后求出ab的值，利用三角形的面积公式求出△ABC的面积.
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2023年浙教版数学八年级下册2.2一元二次方程的解法 同步测试
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八上·路南期中）已知，则的值等于（ ）
A．8 B．2 C． 3 D． 8
【答案】D
【知识点】代数式求值；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴
故答案为：D．
【分析】先求出x的值，再将x的值代入计算即可。
2．（2022八下·定远期末）如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，且方程可以用直接开平方法求解，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出，再计算求解即可。
3．（2022八下·莱芜期末）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2-6x+4=0，
∴x2-6x=-4，
∴x2-6x+9=-4+9，即（x-3）2=5．
故答案为：D．
【分析】利用配方法的计算方法和步骤求解即可。
4．（2022八下·高青期中）已知方程，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（ ）
A．6 B．9 C．2 D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】设印刷不清的数字是a，
（x-p）2=7，
x2-2px+p2=7，
∴x2-2px=7-p2，
∴x2-2px+4=11-p2，
∵方程x2-6x+4=□，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成（x-p）2=7的形式，
∴-2p=-6，a=11-p2，
∴p=3，a=11-32=2，
即印刷不清的数字是2，
故答案为：C．
【分析】由（x-p）2=7可得x2-2px+4=11-p2，可设x2-6x+4=a，根据题意可得-2p=-6，a=11-p2，据此即可求解.
5．（2022八下·蚌埠期末）一元二次方程与的所有实数根的和等于（ ）
A．2 B．-4 C．4 D．3
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程中，
∴该方程有两个不相等的实数根，根据根与系数的关系求出两根之和为3．
方程中 ，所以该方程无解．
∴方程与一共只有两个实数根，即所有实数根的和3．
故答案为：D．
【分析】先求出该方程有两个不相等的实数根，根据根与系数的关系求出两根之和为3．再求解即可。
6．如果一元二次方程x2+px+q=0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A．p2-4q≥0 B．p2-4q≤0 C．p2-4q>0 D．p2-4q<0
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ =p2-4q≥0，
∴一元二次方程x2+px+q=0的根为x=，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的求根公式x=（b2-4ac≥0），得出一元二次方程x2+px+q=0的根为x=（p2-4q≥0），即可得出答案.
7．（2022八上·闵行期中）下列选项中的数是一元二次方程的根的是（ ）
A． B．5 C． D．4
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
移项得，
因式分解得，
所以或，
解得或．
故答案为：C．
【分析】利用十字相乘法解出方程，即可判断.
8．（2022八上·闵行期中）已知a、b、c是三角形三边的长，则关于x的一元二次方程的实数根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根；
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系
【解析】【解答】解：，
∵a、b、c是三角形三边的长，
∴，
∴，
∴原方程没有实数根，
故答案为：C．
【分析】先求出判别式，由三角形三边关系可知△＜0，继而得解.
9．（2022八上·黄浦期中）下列方程中，无实数根的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，故A不符合题意．
B、∵ ，
∴该一元二次方程没有实数根，故B符合题意．
C、∵ ，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，故C不符合题意．
D、∵ ，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程根的判别式逐项判断即可。
10．（2022八下·莱芜期末）已知三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．12 B．13 C．12或13 D．15
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵，
即（x﹣3）（x﹣4）=0，
∴x﹣3=0或x﹣4=0，
解得：x=3或x=4，
当x=3时，则三角形的三边3+3=6，无法构成三角形，舍去；
当x=4时，这个三角形的周长为3+4+6=13，
故答案为：B．
【分析】先求出方程的解，再利用三角形三边的关系求出第三边的长，最后利用三角形的周长公式计算即可。
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022九上·柳城期中）用配方法解方程时，方程的两边同时加上 ，使得方程左边配成一个完全平方式．
【答案】4
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：可由，
得，
用配方法解方程时，方程的两边同时加上4，使得方程左边配成一个完全平方式．
故答案为：4．
【分析】在方程的两边加上一次项系数一半的平方，即可完成配方.
12．（2021八下·南开期末）将方程 配方为 ，其结果是 ．
【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∴
故答案为： ．
【分析】将一元二次方程的二次项系数化为1，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方可得。
13．（2022七下·阳信期末）若，则x的所有可能值之和是 ．
【答案】2
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
（x-1）2=9
x-1=±3
x=1±3，
∴x1=4，x2=-2，
∴x的所有可能值之和是4-2=2，
故答案为：2．
【分析】利用直接开平方法的计算方法求解即可。
14．（2022八上·嘉定期中）关于的一元二次方程有两个实数根，的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得 且 ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式组求解即可。
15．（2022八下·拱墅期中）如果关于 的一元二次方程 没有实数根，那么 的最小整数值是 .
【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：整理得 ，
根据题意得 且 ，
解得 ，
所以a的最小整数值2
故答案为：2.
【分析】根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"并结合一元二次方程的定义可得关于a的不等式，解这个不等式求出a的范围，由不等式的意义可求解.
16．（2022八下·诸暨期中）已知等腰三角形的每条边长都是一元二次方程 的根，则这个三角形的周长为 ；
【答案】6或12或15
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵x2-7x+10=0，
∴（x-2）（x-5）=0，
∴x-2=0或x-5=0，
∴x1=2，x2=5，
当腰为2，底边为5时，2+2=4<5，不能构成三角形；
当腰为5，底边为2时，等腰三角形的周长为2+5+5=12；
当腰为2，底边为2时，等腰三角形的周长为2+2+2=6，
当腰为5，底边为5时，等腰三角形的周长为5+5+5=15.
故答案为：6或12或15.
【分析】根据因式分解法求出方程的解为x1=2，x2=5，根据等腰三角形的性质及题意可分四种情况：①当腰为2，底边为5时，②当腰为5，底边为2时，③当腰为2，底边为2时或当腰为5，④底边为5时，利用三角形的三边关系分别解答即可.
三、解答题（共9题，共66分）
17．（2022八下·泰安期末）按照指定方法解下列方程：
（1）（公式法）；
（2）（配方法）；
（3）（因式分解法）．
【答案】（1）解：，，，，，；
（2）解：方程整理得：，配方得：，即，开方得：，解得：，；
（3）解：方程整理得：，分解因式得：，可得或，解得：，．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用公式法的计算方法求解一元二次方程即可；
（2）利用配方法的计算方法求出一元二次方程的解即可；
（3）利用因式分解法的计算方法求出一元二次方程的解即可。
18．（2022八下·定海期末）用配方法解一元二次方程：小明同学的解题过程如下：
解： ， ， ， ，．
小明的解题过程是否正确？若正确，请回答“对”；若错误，请写出你的解题过程．
【答案】解：小明的解题过程不正确，
正确的解题过程如下：
，
，
，
，
，
，
或，
，．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】首先方程两边都除以2，将二次项系数化为1，然后将常数项移至右边，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方“”，再对左边的式子利用完全平方公式分解，右边合并同类项，接下来利用直接开平方法进行计算即可.
19．用判别式判别下列方程根的情况（不要求解方程）
（1）2x2- x+1=0；
（2）-3x2+6x-7=0.
【答案】（1）解：∵a=2，b=-，c=1，
∴ =（-）2-4×2×1=0，
∴方程有两个相等的实数根；
（2）解：∵a=-3，b=6，c=-7，
∴ =62-4×（-3）×（-7）=-48＜0，
∴方程没有实数根.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】先确定a，b，c的值，再求出根的判别式 的值，即可得出答案.
20．（2022八下·靖西期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+2）x+k2+2k＝0．求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
【答案】证明：∵a＝1，b＝2k+2，c＝k2+2k
∴Δ＝（2k+2）2﹣4（k2+2k）
＝（4k2+8k+4）﹣（4k2+8k）
＝4，
∴Δ＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】先计算出判别式△的值，再进行判断即可.
21．（2022八下·长沙竞赛）设 为质数，m为整数，满足 ，求 和m的所有可取值.
【答案】解：设 为质数，m为整数，满足 ，
∴ ，
，
∴ ，
∵m为整数， 为质数，
∴1+4P为平方数9
∴1+4P=9，
∴P=2， .
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】对已知条件变形可得m2-m(p-2)+1-p-p3=0，根据求根公式表示出m，根据m为整数，p为质数可得1+4P=9，求出p的值，进而可得m的值.
22．（2022八下·环翠期末）已知关于x的方程x2+2mx+n=0（m、n是常数）有两个相等的实数根．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明：∵关于x的方程x2+2mx+n=0有两个相等的实数根，∴Δ=（2m）2-4n=0，∴m2=n；
（2）证明：∵n=m2，∴m+n=m+m2=(m+)2-，∵(m+)2≥0，∴m+n≥-．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式可得Δ=（2m）2-4n=0，所以m2=n，从而得证；
（2）将m2=n代入m+n，再利用配方法求解即可。
23．（2021八下·北仑期中）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值；
（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值；
（3）请为a选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根．
【答案】（1）解：∵方程的一个根为x＝﹣1，
∴a﹣3+4+3＝0，
∴a＝﹣4．
（2）解：由题意△≥0且a≠3，
∴16﹣12（a﹣3）≥0， 解得a≤ ，且a≠3
∵a是正整数， ∴a＝1或2或4．
（3）解：当a＝4时，方程为x2﹣4x+3＝0，
解得x＝3或1
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）将x=-1代入方程，建立关于a的方程，解方程求出a的值.
（2）利用一元二次方程的定义可知a-3≠0，根据方程有实数根，可得到b2-4ac≥0，由此建立关于a的不等式组，求出不等式组的解集，然后求出整数a的值.
（3）从整数a中选取一个a的值，代入方程，利用因式分解法求出方程的解.
24．（2023九上·丛台月考）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程的求根公式时，对于的情况，她是这样做的：
由于，方程变形为：
，……第一步
，……第二步
，……第三步
，……第四步
．……第五步
（1）嘉淇的解法从第 步开始出现错误；事实上，当时，方程的求根公式是 ；
（2）用配方法解方程：．
【答案】（1）四；
（2）解：
移项得：
配方得：即，
∴x-1=±5，
∴，．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）根据过程得，嘉淇的解法从第四步开始出现错误；因为正数的平方根有两个，应为；
当时，方程的求根公式是；
故答案为：四；；
【分析】利用配方法求解一元二次方程的步骤和方法求解即可。
25．（2022八下·义乌期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝ c，这时我们把关于x的形如ax2+ cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）试判断方程 是否为 “勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积．
【答案】（1）解： ∵a=1，b=1
∴c=，
∴
∴ 方程 是“勾系一元二次方程”.
（2）证明：由题意，得△＝2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0，
∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0必有实数根；
（3）解：当x＝﹣1时，有a﹣ c+b＝0，即a+b＝ c，
∵2（a+b）+ c＝12，∴c＝2 ，∴a+b＝4，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2=16∴ab＝4，∴S△ABC＝ ab＝2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用“勾系一元二次方程”的定义，利用勾股定理求出c的值，然后求出的值，即可作出判断.
（2）利用一元二次方程根的判别式，求出b2-4ac的值，再证明b2-4ac≥0，即可求解.
（3）利用“勾系一元二次方程”的定义，将x=1代入方程，可得到a+b与x的关系，再求出a+b的值，然后求出ab的值，利用三角形的面积公式求出△ABC的面积.
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