2023年浙教版数学八年级下册2.4一元二次方程根与系数的关系 同步测试
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·威远期中）若x1，x2是一元二次方程x-2x-3=0的两个根，则x1·x2的值是（ ）
A．-2 B．-3 C．2 D．3
2．（2022九上·荣县月考）一元二次方程的两个根为，则等于（ ）.
A． B． C． D．
3．（2022九上·南海月考）已知关于x的一元二次方程的两实数根分别为，则的值为（ ）
A． B．1 C．5 D．
4．（2022九上·永年期中）若一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则的值是（ ）
A．-1 B．3 C．2或-1 D．-3或1
5．（2022九上·五华期中）若m、n是关于x的方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九上·顺庆期末）已知，是一元二次方程的两不相等的实数根，且，则的值是（ ）
A．或-3 B．-3 C． D．
7．（2022九上·历城期中）若是方程的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A．3 B．4 C．-3 D．－4
8．如果关于x的一元二次方程x2﹣4|a|x+4a2﹣1=0的一个根是5，则方程的另一个根是（ ）
A．1 B．5 C．7 D．3或7
9．（2022九上·大田期中）已知，是方程的两个实根，则的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．21
10．（2022九上·西安月考）已知关于的一元二次方程的两根分别为，，则原方程可化为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022九上·铁锋期中）若关于的一元二次方程的两根互为相反数，则 ．
12．（2022九上·长泰期中）一元二次方程的两个解分别为和，则 .
13．（2022九上·湖口期中）若、是方程的两个实数根，则的值为 ．
14．（2022九上·黔东南期中）设a、b为的两个实数根，则＝ .
15．（2022九上·威远期中）已知实数a，b满足a2-a-2022=0， b2-b-2022=0(a≠b)，则2022a+2022b=
16．（2022九上·成都月考）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，等腰的一边长为7，若恰好是另外两边的边长，则的周长为 .
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023九上·榆林期末）已知关于x的一元二次方程的两根、满足，求k的值．
18．（2022九上·榆林月考）已知一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若x1 x2﹣（x1+x2）＝﹣3，求m的值．
19．（2022九上·恩施月考）已知：x1，x2是x2+8x+m＝0的两个实数根，且＝60求．
（1）m的值；
（2）
20．（2022九上·定南期中）已知关于x的方程
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
21．（2022九上·恩施月考）已知方程的两个根分别为和，不解方程，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
22．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有实数根，
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的一个根为1，求m的值；
（3）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．
23．（2022九上·晋江月考）已知关于x的方程．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，求k．
24．（2022九上·江夏月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b（a＜b），AB＝5，a，b是方程x2﹣（m﹣1）x+（m+4）＝0的两根
（1）求a，b；
（2）P，Q两点分别从A，C出发，分别以每秒2个单位，1个单位的速度沿边AC，BC向终点C，B运动，（有一个点达到终点则停止运动），求经过多长时间后PQ＝2？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 若x1，x2是一元二次方程x-2x-3=0的两个根，
∴x1·x2=-3.
故答案为：B
【分析】利用一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=-p，x1·x2=q，即可求解.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两个根为，
∴，
故答案为：D．
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为，则，，继而得解.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程的两实数根分别为，
∴根据根与系数的关系得，，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再将其代入计算即可。
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
根据一元二次方程根与系数的关系可得，，
，
，即，
，
解得：或，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再将其代入可得，即，再求出m的值即可。
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m，n是关于x的方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，再将其代入计算即可。
6．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得△＝＞0，
解得m＞ ，
根据根与系数的关系的，，
∵，
∴，
∴，
整理得，解得，，
∵m＞ ，
∴m的值为.
故答案为：C.
【分析】根据方程有两个不相等的实数根得根的判别式b2-4ac＞0，据此列出不等式求解得出m的取值范围；根据一元二次方程根与系数的关系“”可得，，进而将方程的左边利用完全平方公式变形后整体代入即可得出关于字母m的方程，求解并检验即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： 是方程的一个根，设另一根为
即方程的另一个根是
故答案为：A
【分析】根据根与系数的关系进行解答即可.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为m，
由韦达定理可得：5+m=4|a|，即|a|=①，
5m=4a2﹣1 ②，
把①代入②得：5m=×4﹣1，
整理得：m2﹣10m+21=0，
解得：m=3或m=7，
故选：D．
【分析】设方程的另一个根为m，根据韦达定理可得关于a、m的二元一次方程组，解方程组可得m的值．
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个实根，
∴，；
∴，
∴
.
故答案为：C.
【分析】根据方程根的定义得，根据一元二次方程根与系数的关系得，进而利用配方的方法将待求式子变形为，再逆用乘法分配律变形后整体代入即可算出答案.
10．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为=2，=-3，
∴2-3=-p，2×（-3）=q，
∴p=1，q=-6，
∴原方程为，
∴原方程可化为（x-2）（x+3）=0.
故答案为：D.
【分析】根据根与系数的关系可得2-3=-p，2×(-3)=q，求出p、q的值，然后代入方程中可得关于x的方程，再进行因式分解即可.
11．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设是一元二次方程的两根，
∴，
∵方程的两根互为相反数，
∴，解得：，
当时，原方程为，
此时方程无解；
当时，原方程为，
解得：；
∴．
故答案为：-2
【分析】先求出，再求出，最后分类计算求解即可。
12．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据根与系数的关系得，
所以.
故答案为：2.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2==4，将待求式变形为(x1+x2)，然后代入计算即可.
13．【答案】7
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，
∵是方程的实数根，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：7．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，再将其代入计算即可。
14．【答案】-2024
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a、为的根，
∴，
∴，
∴
，
∵a、b为的两个实数根，
∴，
∴.
故答案为：-2024.
【分析】根据方程解的概念可得a2+a=2021，由根与系数的关系可得a+b=-1，将待求式变形为2024(a+b)，据此计算.
15．【答案】2022
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 实数a，b满足a2-a-2022=0， b2-b-2022=0(a≠b)，
∴a，b是关于x的一元二次方程x2-x-2022=0的两个实数根，
∴a+b=1
∴2022a+2022b=2022（a+b）=2022×1=2022.
故答案为：2022
【分析】利用实数a，b满足a2-a-2022=0， b2-b-2022=0(a≠b)， 可知a，b是关于x的一元二次方程x2-x-2022=0的两个实数根，利用一元二次方程根与系数的关系，可求出a+b的值；将代数式转化为2022（a+b），然后整体代入求值.
16．【答案】17
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：若等腰的腰长为7，
把代入方程得：
，
解得：，
若，则原方程为：，
解得：，
三边为7，7，3（符合题意），
若，则原方程为：，
解得：，
三边为7，7，15（不合题意，舍去），
若等腰底长为7，
则，
解得：，
原方程为：，
解得：，
三边为3，3，7（不合题意，舍去），
综上可知：三边为7，7，3，周长为：，
即这个三角形的周长为17．
故答案为：17．
【分析】若等腰△ABC的腰长为7，把x＝7代入方程x2 2（m＋1）x＋m2＋5＝0得到关于m的一元二次方程，解之，代入原方程求出x1和x2的值，根据三角形的三边关系“三角形任意两边之和大于第三边”，判断三边是否能组成三角形，若等腰△ABC底长为7，根据判别式为0得到关于m的方程，求出x1和x2的值，判断三边是否能组成三角形，找出符合题意的三边，根据三角形的周长等于三角形三边之和即可求解．
17．【答案】解：根据题意，得
， ．
∵
∴ ，
解得 ．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数，可表示出x1+x2，x1x2的值，再将等式转化为（x1+x2）2-2x1x2=5，然后整体代入，可得到关于k的方程，解方程求出k的值.
18．【答案】解：一元二次方程x2+2x-m=0有两个不相等的实数根x1，x2
∴x1+x2=-2，x1x2=-m，
由x1·x2-（x1+x2）=-3 得-m-（-2）=-3，
解得m=5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=-2，x1x2=-m，代入x1·x2-（x1+x2）=-3，得出-m-（-2）=-3，求出m的值即可.
19．【答案】（1）解： x1，x2是x2+8x+m＝0的两个实数根，
解得：
经检验：符合题意.
（2）解：
方程的两个根都为负数，
设
即
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，可表示出x1+x2和x1x2，再将等式根据完全平方公式转化为（x1+x2）2-2x1x2=60，然后代入可得到关于m的方程，解方程求出m的值；
（2）利用m的值可得x1+x2和x1x2的值，由此可推出方程的两个根都为负数；设，两边同时平方，将等式的右边转化为含有x1+x2和x1x2的代数式，将其代入，可求出y的值，即可求解.
20．【答案】（1）解：设方程的另一根为x1，
∵该方程的一个根为1，
∴，
解得．
∴a的值为，该方程的另一根为．
（2）证明：∵，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再求出即可；
（2）利用一元二次方程根的判别式求解即可。
21．【答案】（1）解：
=，
由题意知：，代入上式得：
．
（2）解：
=，
=，
∵，
∴，
∴．
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，求出x1+x2和x1x2的值，再将代数式转化为x1x2-（x1+x2）+1，然后整体代入求值；
（2）先将分式通分，将其转化为含x1+x2和x1x2的代数式，再整体代入求值即可.
22．【答案】解：（1）根据题意得△=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，
解得m≤；
（2）把x=1代入方程得1+2m﹣1+m2=0，
解得m1=0，m2=﹣2，
即m的值为0或﹣2；
（3）存在．
根据题意得α+β=﹣（2m﹣1），αβ=m2，
∵α2+β2﹣αβ=6，
∴（α+β）2﹣3αβ=6，
即（2m﹣1）2﹣3m2=6，
整理得m2﹣4m﹣5=0，解得m1=5，m2=﹣1，
∵m≤；
∴m的值为﹣1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，然后解不等式即可；
（2）把x=1代入原方程可得到关于m的一元二次方程，然后解此一元二次方程即可；
（3）根据根与系数的关系得到α+β=﹣（2m﹣1），αβ=m2，利用α2+β2﹣αβ=6得到（α+β）2﹣3αβ=6，则（2m﹣1）2﹣3m2=6，然后解方程后利用（1）中m的范围确定m的值．
23．【答案】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴ ，即 ，
解得： ；
（2）解：根据题意得： ，
∴ ，
∵方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，
∴ ，
即 ，
整理得： ，
解得： 或-6，
当 时， ，不合题意，舍去
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理
【解析】【分析】（1）当一元二次方程根的判别式△=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，据此得到关于k的一元一次不等式，通过解不等式求得k的取值范围；
（2）由一元二次方程根与系数关系（，）得，整理得 ，进而根据勾股定理得，代入得到关于k的一元二次方程，解这个方程并舍掉不符合题意的值即可得到k值.
24．【答案】（1）解：∵a、b是方程的x2﹣（m﹣1）x+（m+4）＝0两个根，
∴a+b＝m﹣1，ab＝m+4．
又∵a2+b2＝c2，
∴（m﹣1）2﹣2（m+4）＝52
∴m＝8，m＝﹣4（舍去），
∴原方程为x2﹣7x+12＝0，
解得：a＝3，b＝4．
（2）解：设经过x秒后PQ＝2，则CP＝4﹣2x，CQ＝x，由题意得
（4﹣2x）2+x2＝22
解得：x1＝，x2＝2，
答：设经过秒或2秒后PQ＝2．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据根与系数的关系可得a+b＝m-1，ab＝m+4，由a2+b2＝(a+b)2-2ab=c2可得m的值，代入方程中可得关于x的一元二次方程，然后利用因式分解法可得a、b的值；
（2）设经过x秒后PQ＝2，则CP＝4-2x，CQ＝x，根据CP2+CQ2=PQ2可得关于x的方程，求解即可.
1 / 12023年浙教版数学八年级下册2.4一元二次方程根与系数的关系 同步测试
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·威远期中）若x1，x2是一元二次方程x-2x-3=0的两个根，则x1·x2的值是（ ）
A．-2 B．-3 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 若x1，x2是一元二次方程x-2x-3=0的两个根，
∴x1·x2=-3.
故答案为：B
【分析】利用一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=-p，x1·x2=q，即可求解.
2．（2022九上·荣县月考）一元二次方程的两个根为，则等于（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两个根为，
∴，
故答案为：D．
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为，则，，继而得解.
3．（2022九上·南海月考）已知关于x的一元二次方程的两实数根分别为，则的值为（ ）
A． B．1 C．5 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程的两实数根分别为，
∴根据根与系数的关系得，，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再将其代入计算即可。
4．（2022九上·永年期中）若一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则的值是（ ）
A．-1 B．3 C．2或-1 D．-3或1
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
根据一元二次方程根与系数的关系可得，，
，
，即，
，
解得：或，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再将其代入可得，即，再求出m的值即可。
5．（2022九上·五华期中）若m、n是关于x的方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m，n是关于x的方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，再将其代入计算即可。
6．（2022九上·顺庆期末）已知，是一元二次方程的两不相等的实数根，且，则的值是（ ）
A．或-3 B．-3 C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得△＝＞0，
解得m＞ ，
根据根与系数的关系的，，
∵，
∴，
∴，
整理得，解得，，
∵m＞ ，
∴m的值为.
故答案为：C.
【分析】根据方程有两个不相等的实数根得根的判别式b2-4ac＞0，据此列出不等式求解得出m的取值范围；根据一元二次方程根与系数的关系“”可得，，进而将方程的左边利用完全平方公式变形后整体代入即可得出关于字母m的方程，求解并检验即可得出答案.
7．（2022九上·历城期中）若是方程的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A．3 B．4 C．-3 D．－4
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： 是方程的一个根，设另一根为
即方程的另一个根是
故答案为：A
【分析】根据根与系数的关系进行解答即可.
8．如果关于x的一元二次方程x2﹣4|a|x+4a2﹣1=0的一个根是5，则方程的另一个根是（ ）
A．1 B．5 C．7 D．3或7
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为m，
由韦达定理可得：5+m=4|a|，即|a|=①，
5m=4a2﹣1 ②，
把①代入②得：5m=×4﹣1，
整理得：m2﹣10m+21=0，
解得：m=3或m=7，
故选：D．
【分析】设方程的另一个根为m，根据韦达定理可得关于a、m的二元一次方程组，解方程组可得m的值．
9．（2022九上·大田期中）已知，是方程的两个实根，则的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．21
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个实根，
∴，；
∴，
∴
.
故答案为：C.
【分析】根据方程根的定义得，根据一元二次方程根与系数的关系得，进而利用配方的方法将待求式子变形为，再逆用乘法分配律变形后整体代入即可算出答案.
10．（2022九上·西安月考）已知关于的一元二次方程的两根分别为，，则原方程可化为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为=2，=-3，
∴2-3=-p，2×（-3）=q，
∴p=1，q=-6，
∴原方程为，
∴原方程可化为（x-2）（x+3）=0.
故答案为：D.
【分析】根据根与系数的关系可得2-3=-p，2×(-3)=q，求出p、q的值，然后代入方程中可得关于x的方程，再进行因式分解即可.
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022九上·铁锋期中）若关于的一元二次方程的两根互为相反数，则 ．
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设是一元二次方程的两根，
∴，
∵方程的两根互为相反数，
∴，解得：，
当时，原方程为，
此时方程无解；
当时，原方程为，
解得：；
∴．
故答案为：-2
【分析】先求出，再求出，最后分类计算求解即可。
12．（2022九上·长泰期中）一元二次方程的两个解分别为和，则 .
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据根与系数的关系得，
所以.
故答案为：2.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2==4，将待求式变形为(x1+x2)，然后代入计算即可.
13．（2022九上·湖口期中）若、是方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】7
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，
∵是方程的实数根，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：7．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，再将其代入计算即可。
14．（2022九上·黔东南期中）设a、b为的两个实数根，则＝ .
【答案】-2024
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a、为的根，
∴，
∴，
∴
，
∵a、b为的两个实数根，
∴，
∴.
故答案为：-2024.
【分析】根据方程解的概念可得a2+a=2021，由根与系数的关系可得a+b=-1，将待求式变形为2024(a+b)，据此计算.
15．（2022九上·威远期中）已知实数a，b满足a2-a-2022=0， b2-b-2022=0(a≠b)，则2022a+2022b=
【答案】2022
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 实数a，b满足a2-a-2022=0， b2-b-2022=0(a≠b)，
∴a，b是关于x的一元二次方程x2-x-2022=0的两个实数根，
∴a+b=1
∴2022a+2022b=2022（a+b）=2022×1=2022.
故答案为：2022
【分析】利用实数a，b满足a2-a-2022=0， b2-b-2022=0(a≠b)， 可知a，b是关于x的一元二次方程x2-x-2022=0的两个实数根，利用一元二次方程根与系数的关系，可求出a+b的值；将代数式转化为2022（a+b），然后整体代入求值.
16．（2022九上·成都月考）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，等腰的一边长为7，若恰好是另外两边的边长，则的周长为 .
【答案】17
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：若等腰的腰长为7，
把代入方程得：
，
解得：，
若，则原方程为：，
解得：，
三边为7，7，3（符合题意），
若，则原方程为：，
解得：，
三边为7，7，15（不合题意，舍去），
若等腰底长为7，
则，
解得：，
原方程为：，
解得：，
三边为3，3，7（不合题意，舍去），
综上可知：三边为7，7，3，周长为：，
即这个三角形的周长为17．
故答案为：17．
【分析】若等腰△ABC的腰长为7，把x＝7代入方程x2 2（m＋1）x＋m2＋5＝0得到关于m的一元二次方程，解之，代入原方程求出x1和x2的值，根据三角形的三边关系“三角形任意两边之和大于第三边”，判断三边是否能组成三角形，若等腰△ABC底长为7，根据判别式为0得到关于m的方程，求出x1和x2的值，判断三边是否能组成三角形，找出符合题意的三边，根据三角形的周长等于三角形三边之和即可求解．
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023九上·榆林期末）已知关于x的一元二次方程的两根、满足，求k的值．
【答案】解：根据题意，得
， ．
∵
∴ ，
解得 ．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数，可表示出x1+x2，x1x2的值，再将等式转化为（x1+x2）2-2x1x2=5，然后整体代入，可得到关于k的方程，解方程求出k的值.
18．（2022九上·榆林月考）已知一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若x1 x2﹣（x1+x2）＝﹣3，求m的值．
【答案】解：一元二次方程x2+2x-m=0有两个不相等的实数根x1，x2
∴x1+x2=-2，x1x2=-m，
由x1·x2-（x1+x2）=-3 得-m-（-2）=-3，
解得m=5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=-2，x1x2=-m，代入x1·x2-（x1+x2）=-3，得出-m-（-2）=-3，求出m的值即可.
19．（2022九上·恩施月考）已知：x1，x2是x2+8x+m＝0的两个实数根，且＝60求．
（1）m的值；
（2）
【答案】（1）解： x1，x2是x2+8x+m＝0的两个实数根，
解得：
经检验：符合题意.
（2）解：
方程的两个根都为负数，
设
即
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，可表示出x1+x2和x1x2，再将等式根据完全平方公式转化为（x1+x2）2-2x1x2=60，然后代入可得到关于m的方程，解方程求出m的值；
（2）利用m的值可得x1+x2和x1x2的值，由此可推出方程的两个根都为负数；设，两边同时平方，将等式的右边转化为含有x1+x2和x1x2的代数式，将其代入，可求出y的值，即可求解.
20．（2022九上·定南期中）已知关于x的方程
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【答案】（1）解：设方程的另一根为x1，
∵该方程的一个根为1，
∴，
解得．
∴a的值为，该方程的另一根为．
（2）证明：∵，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再求出即可；
（2）利用一元二次方程根的判别式求解即可。
21．（2022九上·恩施月考）已知方程的两个根分别为和，不解方程，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
=，
由题意知：，代入上式得：
．
（2）解：
=，
=，
∵，
∴，
∴．
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，求出x1+x2和x1x2的值，再将代数式转化为x1x2-（x1+x2）+1，然后整体代入求值；
（2）先将分式通分，将其转化为含x1+x2和x1x2的代数式，再整体代入求值即可.
22．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有实数根，
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的一个根为1，求m的值；
（3）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）根据题意得△=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，
解得m≤；
（2）把x=1代入方程得1+2m﹣1+m2=0，
解得m1=0，m2=﹣2，
即m的值为0或﹣2；
（3）存在．
根据题意得α+β=﹣（2m﹣1），αβ=m2，
∵α2+β2﹣αβ=6，
∴（α+β）2﹣3αβ=6，
即（2m﹣1）2﹣3m2=6，
整理得m2﹣4m﹣5=0，解得m1=5，m2=﹣1，
∵m≤；
∴m的值为﹣1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，然后解不等式即可；
（2）把x=1代入原方程可得到关于m的一元二次方程，然后解此一元二次方程即可；
（3）根据根与系数的关系得到α+β=﹣（2m﹣1），αβ=m2，利用α2+β2﹣αβ=6得到（α+β）2﹣3αβ=6，则（2m﹣1）2﹣3m2=6，然后解方程后利用（1）中m的范围确定m的值．
23．（2022九上·晋江月考）已知关于x的方程．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，求k．
【答案】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴ ，即 ，
解得： ；
（2）解：根据题意得： ，
∴ ，
∵方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，
∴ ，
即 ，
整理得： ，
解得： 或-6，
当 时， ，不合题意，舍去
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理
【解析】【分析】（1）当一元二次方程根的判别式△=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，据此得到关于k的一元一次不等式，通过解不等式求得k的取值范围；
（2）由一元二次方程根与系数关系（，）得，整理得 ，进而根据勾股定理得，代入得到关于k的一元二次方程，解这个方程并舍掉不符合题意的值即可得到k值.
24．（2022九上·江夏月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b（a＜b），AB＝5，a，b是方程x2﹣（m﹣1）x+（m+4）＝0的两根
（1）求a，b；
（2）P，Q两点分别从A，C出发，分别以每秒2个单位，1个单位的速度沿边AC，BC向终点C，B运动，（有一个点达到终点则停止运动），求经过多长时间后PQ＝2？
【答案】（1）解：∵a、b是方程的x2﹣（m﹣1）x+（m+4）＝0两个根，
∴a+b＝m﹣1，ab＝m+4．
又∵a2+b2＝c2，
∴（m﹣1）2﹣2（m+4）＝52
∴m＝8，m＝﹣4（舍去），
∴原方程为x2﹣7x+12＝0，
解得：a＝3，b＝4．
（2）解：设经过x秒后PQ＝2，则CP＝4﹣2x，CQ＝x，由题意得
（4﹣2x）2+x2＝22
解得：x1＝，x2＝2，
答：设经过秒或2秒后PQ＝2．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据根与系数的关系可得a+b＝m-1，ab＝m+4，由a2+b2＝(a+b)2-2ab=c2可得m的值，代入方程中可得关于x的一元二次方程，然后利用因式分解法可得a、b的值；
（2）设经过x秒后PQ＝2，则CP＝4-2x，CQ＝x，根据CP2+CQ2=PQ2可得关于x的方程，求解即可.
1 / 1
