2023年浙教版数学八年级下册第二章 一元二次方程（进阶版）
一、单选题
1．（2019九上·江岸月考）下列说法：
若一元二次方程 有一个根是 ，则代数式 的值是 若 ，则 是一元二次方程 的一个根 若 ，则一元二次方程 有不相等的两个实数根 当m取整数 或1时，关于x的一元二次方程 与 的解都是整数.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022九上·永年期中）将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是4，一次项系数是-7，常数项是2的方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022九上·西安月考）已知关于x的一元二次方程（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（ ）．
A．1可能是方程的根 B．可能是方程的根
C．0可能是方程的根 D．1和-1都是方程的根
4．（2019九上·富顺月考）对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 （ ）
A． B． C． D． 或-1
5．（2022九上·永年期中）已知方程，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（ ）
A．6 B．9 C．2 D．-2
6．（2022九上·孝义期中）用直接开平方法解方程时，可以将其转化为或，其依据的数学知识是（ ）
A．完全平方公式 B．平方根的意义
C．等式的性质 D．一元二次方程的求根公式
7．（2022九上·海珠期中）下列命题：① 若b＝a＋c时，一元二次方程一定有实数根；② 若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等实数根；③ 若二次函数，当取、（）时，函数值相等，则当x取时函数值为0；④ 若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2022九上·尧都期中）在应用一元二次方程解决问题时，老师展示出一张图片如图所示，在矩形纸片上截去两个同样大小的圆，要求使两圆的面积和是剩余面积的一半，已知矩形的长和宽分别为和，圆的半径为，根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022九上·嘉鱼月考）已知关于x的方程的两实数根为，，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．﹣1或3
二、填空题
10．（2020九上·达拉特旗月考）等腰三角形的三边的长是a 、b、4，其中a、b是方程x2-6x+c=0两个根，则此三角形的三边长是 ．
11．（2021九上·海安月考）已知关于x的方程 ，其中p、q都是实数.若方程有三个不同的实数根 、 、 ，且 ，则q的值为 .
12．（2022八下·长兴月考）商家通常依据“利好系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c=a+k（b-a），这里的k被称为利好系数．经验表明，最佳利好系数k恰好使得
，据此可得，最佳利好系数k的值等于 ．
13．（2022九上·铁岭月考）关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：
①当m＝0时，方程只有一个实数解；
②当m≠0时，方程有两个不相等的实数解；
③无论m取何值，方程都有一个负数解．
其中正确的是 （填序号）．
14．（2022九上·恩施月考）餐桌桌面是长为160cm 、宽为100cm 的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面1.4倍，且四周垂下来的桌布宽相等，小强想帮妈妈求出四周垂下来的桌布宽，如果设四周垂下来的桌布宽为xcm，所列方程应为 ．
15．（2022八下·北仑期中）随着国内新冠疫情逐步得到控制，人们的口罩储备逐渐充足，市场的口罩需求量在逐渐减少，某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为
三、计算题
16．（2022九上·武清期中）解下列方程
（1）
（2）
（3）
四、解答题
17．（2022九上·西安月考）阅读下面的材料，解答问题．
材料：解含绝对值的方程：．
解：分两种情况：
①当时，原方程化为，解得，（舍去）；
②当时，原方程化为，解得，（舍去）．
综上所述，原方程的解是，．
请参照上述方法解方程．
18．（2022九上·荣县月考）直播带货逐渐走进了人们的生活，某电商在APP上对一款成本价为40/件的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每星期可卖出300件，通过市场调查发现，每件小商品的售价每降价元，每星期可多卖出10件，在顾客得实惠的前提下，电商还想获得元利润，每件小商品的售价应定为多少元？这时电商每月能售出小商品多少件？
五、综合题
19．（2022九上·晋江月考）定义：若关于x的一元二次方程＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实数根为（），分别以为横坐标和纵坐标得到点M（），则称点M为该一元二次方程的知行点．
（1）若一元二次方程为﹣2x＝0，请直接写出该方程的知行点M的坐标为 ；
（2）若关于x的一元二次方程为﹣2（m﹣1）x＋﹣2m＝0．
①求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的知行点M的坐标；
②直线：y＝x＋5与x轴交于点A，直线过点B（1，0），且与相交于点C（﹣1，4），若由①得到的点M在△ABC的内部，求m的取值范围；
（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程＋bx＋c＝0的知行点M始终在直线y＝kx＋3（2﹣k）的图象上．若有，请直接写出b，c的值；若没有，请说明理由．
20．（2021九上·隆昌期中）阅读材料：
材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2则x1+x2＝﹣ ，x1x2＝ .
材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求 的值.
解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn＝﹣1，所以 ＝﹣3.
根据上述材料解决以下问题：
（1）材料理解：一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ .
（2）类比探究：已知实数m，n满足7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值：
（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足19s2+99s+1＝0，t2+99t+19＝0，且st≠1.求 的值.
21．（2022九上·西安月考）关于x的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式．现列表探究的变形：
变形 s t p
-1 5 0
0 4 5
1 q 8
2 2 9
回答下列问题：
（1）表格中q的值为 ．
（2）观察上述探究过程，表格中s与t满足的等量关系为 ．
（3）记的两个变形为和，求的值．
22．（2021八下·鼓楼期末）
（1）用配方法解一元二次方程除了课本的方法，也可以用下面的配方方式：
将 两边同时乘以 并移项，得到 ，两边再同时加上 ，得（ ▲ ）2 .请用这样的方法解方程： ；
（2）华裔数学家罗博深在2019年提出了一种全新的一元二次方程解法，对于 ，将等式左边进行因式分解，得到以下形式：
（从这里可以看出方程的解为 ， ）
即
因为 ，所以 、 的平均数为 ，不妨设 ， ，
利用 ，得 ，所以 ，即能求出 的值.
举例如下：解一元二次方程 ，由于 ，所以方程的两个根为 ，而 ，解得 ，所以方程的解为 ， .
请运用以上方法解如下方程① ；②
23．（2021九上·南昌期中）
（1）【课本再现】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排场比赛．
①共有 场比赛；
②设比赛组织者应邀请个队参赛，每个队要与其他 个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛 场，列方程： ．
（2）【小试牛刀】
参加一次聚会的每两人都要握手一次，所有人共握手了10次，有多少人参加聚会？
（3）【综合运用】
将，，，……，，共个点每两个点连一条线段共得到条线段，将，，，……，．共个点每两个点连一条线段共得到条线段，问能否为整数？写出你的结论，并说明理由．
24．（2021九上·江阴月考）如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm.
（1）点 P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由.
（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点 Q沿射线 CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：①若一元二次方程x2+bx+a=0有一个根是-a（a≠0），则a2+b×（-a）+a=0
整理得出：a（a-b+1）=0，则代数式a-b=-1，正确；
②若a+b+c=0，则x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，不正确；
③若b=2a+3c，那么△=b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=（2a+2c）2+5c2，
当a≠0，c=-a时，△＞0；当a≠0，c=0时，△＞0；当a≠c≠0时，△＞0，
∴△＞0，正确；
④∵关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0有解，
则m≠0，
∴△≥0
mx2-4x+4=0，
∴△=16-16m≥0，即m≤1；
x2-4mx+4m2-4m-5=0，
△=16m2-16m2+16m+20≥0，
∴4m+5≥0，m≥-
；
∴-
≤m≤1，而m是整数，
所以m=1，m=0（舍去），m=-1（一个为x2-4x+4=0，另一个为x2+4x+3=0，冲突，故舍去），
当m=1时，mx2-4x+4=0即x2-4x+4=0，方程的解是x1=x2=2；
x2-4mx+4m2-4m-5=0即x2-4x-5=0，方程的解是x1=5，x2=-1；
当m=0时，mx2-4x+4=0时，方程是-4x+4=0不是一元二次方程，故舍去.
故m=1，故不符合题意；
故正确的有2个，
故答案为：B.
【分析】①根据方程根的定义将x= a代入方程得出a b的值即可；
②利用a＋b＋c＝0，即x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根得出答案，③利用b＝2a＋3c，算出方程根的判别式的值，分析判别式的值得出即可；
④根据关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0有解，得出根与判别式△≥0，且m≠0，从而列出关于m不等式，求解求得m的范围，再根据m是整数，即可得到m的可能取到的几个值，然后对每个值进行检验，是否符合使两个一元二次方程的解都是整数即可确定m的值，综上所述即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、化为一般式为，二次项系数是4，一次项系数是-7，常数项是2，符合题意；
B、化为一般式为，二次项系数是4，一次项系数是-7，常数项是-2，不符合题意；
C、化为一般式为，二次项系数是4，一次项系数是7，常数项是-2，不符合题意；
D、化为一般式为，二次项系数是4，一次项系数是7，常数项是2，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程的定义求解即可。
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程 （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，
∴ 且 ，
∴ ，
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故A选项正确，不符合题意；
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故B选项正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ 和 不能同时是方程 的根，故D选项错误，符合题意；
当 时， ，
∴ ，
∴当 ， 时， 是方程 的根，故C选项正确，不符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据方程有两个相等的实数根可得△=(2q)2-4(p+1)2=0且p+1≠0，化简可得q=±(p+1)，当q=p+1时，有1+p-q=0，此时x=-1，据此判断A；当q=-(p+1)时，有1+p+q=0，此时x=1，据此判断B；根据p+1≠0可得p+1≠-(p+1)，据此判断D；当x=0时，p=0，q=±1，据此判断C.
4．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： ，即 ，
解得：
经检验 是分式方程的解；
当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： 代入公式得： ，
解得： （舍去），
经检验 是分式方程的解，
综上，所求方程的解为 或-1．
故答案为：D.
【分析】分 和 两种情况将所求方程变形，求出解即可．
5．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】设印刷不清的数字是a，
（x-p）2=7，
x2-2px+p2=7，
∴x2-2px=7-p2，
∴x2-2px+4=11-p2，
∵方程x2-6x+4=□，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成（x-p）2=7的形式，
∴-2p=-6，a=11-p2，
∴p=3，a=11-32=2，
即印刷不清的数字是2，
故答案为：C．
【分析】设印刷不清的数字是a，将方程化为一般式，再根据待定系数法可得-2p=-6，a=11-p2，求出p、a的值即可。
6．【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：用直接开平方法解方程时，可以将其转化为或，其依据的数学知识是平方根的意义．
故答案为：B．
【分析】用直接开平方法解形如（x+a）2=b（b≥0）的一元二次方程，根据平方根的定义可得（x+a）2=，继而得解.
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的其他应用；真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵b＝a＋c，∴
所以，一元二次方程一定有实数根，①符合题意
方程有两个不相等的实数根，
∴此方程为一元二次方程，且，
当时，方程为一元一次方程，不含有两个不等实数根，②不符合题意
二次函数的对称轴为
当取、（）时，函数值相等，则
当x取时，即，，函数值不一定为0，③不符合题意；
当时，二次函数的图像与轴的公共点的个数是2
当时，二次函数的图像过原点，此时与坐标交点个数为2，
当时，二次函数的图像与y轴有一个交点，与x轴有两个交点，此时与坐标交点个数为3，④符合题意
正确的个数为2
故答案为：B
【分析】根据真命题的定义，一元二次方程的根的判别式及一元二次方程的根与系数的关系逐项判断即可。
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：C．
【分析】根据题意直接列出方程即可。
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的方程的两实数根为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∵方程有两个实数根，
∴，解得：，
∴m=-3．
故答案为：A
【分析】由根与系数的关系可得，代入可得关于m方程并解之，由方程有两个实数根，可得△≥0，从而确定m值.
10．【答案】2，4，4或3，3，4
【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： 是方程 的两个根，
，
由等腰三角形的定义，分以下三种情况：（1）若 ，这个三角形是等腰三角形，
则 ，
此时三角形的三边长是 ，满足三角形的三边关系定理；（2）若 ，这个三角形是等腰三角形，
则 ，
此时三角形的三边长是 ，满足三角形的三边关系定理；（3）若 ，这个三角形是等腰三角形，
则 ，
此时三角形的三边长是 ，满足三角形的三边关系定理；
综上，此三角形的三边长是 或 ，
故答案为： 或 ．
【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得a+b=6，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系求解即可。
11．【答案】3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：依题意，
设
方程有三个不同的实数根 、 、 ，
则 与 的图象有三个不同的交点，
，对称轴为
则 与 的图象有三个不同的交点，
则 经过 的顶点
设 ，则
即
设 是 的两根，
则
即
，
解得
.
故答案为：3.
【分析】设y1=x2+2px-3p2+5，y2=±q，根据方程有三个不同的实数根可得y=-q经过y1的顶点，设x3=-p，据此可得q与p的关系，根据根与系数的关系可得x1+x2=-2p，x1x2=10-7p2，x3=-p，然后结合可得p2=2，根据判别式求出p的范围，进而可得q的值.
12．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴3（c-a）2=（b-a）（b-c）
∵c=a+k（b-a），
∴c-a=k（b-a），
∴3（c-a）2=3
=（b-a）（b-c），
∵b＞a，即b-a≠0，
∴3k2（b-a）=b-c，
∴3k2（b-a）=b-a-k（b-a），
∴3k2=1-k，即3k2+k-1=0，
整理，解得：k=
或
，
又∵0≤k≤1，
∴ k=
.
故答案为：.
【分析】先由得3（c-a）2=（b-a）（b-c），再由c=a+k（b-a）得c-a=k（b-a），即可得3
=（b-a）（b-c），再利用b-a≠0进行化简得3k2（b-a）=b-c，把c=a+k（b-a）代入得到关于k的一元二次方程3k2+k-1=0，解出k值，最后通过0≤k≤1求得符合条件的k值即可.
13．【答案】①③
【知识点】一元一次方程的解；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： ①当m＝0时，方程化为x+1=0，解得x=-1，只有一个实数解，故①正确；
②当m≠0时，方程是一元二次方程，△=（2m-1）2≥0，方程有两个实数解，故②错误；
③ mx2+x﹣m+1＝（x+1）（mx-m+1）=0，
∴（x+1）=0或（mx-m+1）=0，
∴x=-1，
∴无论m取何值，方程都有一个负数解，故③正确．
故答案为：①③.
【分析】 ①把m＝0代入方程化为x+1=0，解得x=-1，只有一个实数解，即可判断①正确；
②当m≠0时，方程是一元二次方程，根据根的判别式得出方程有两个实数解，即可判断②错误；
③ 把方程因式分解变形为mx2+x﹣m+1＝（x+1）（mx-m+1）=0，得出方程有一个根为x=-1，
即可判断③正确．
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设四周垂下来的桌布宽为xcm，
依题意得：桌布面积为：160×100×1.4，
桌布的长为：160+2x，宽为：100+2x，
所列方程应为：．
故答案为：．
【分析】根据四周垂下来的桌布宽相等，可表示出桌布的长和宽，再根据桌布的面积=桌面的面积×1.4，据此列方程即可.
15．【答案】10%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】设七八月份的口罩产量的月平均减少率为x，
由题意，得：100（1﹣x）2＝81，
整理，解得：x＝0.1，或x＝1.9（不合题意，舍去），
∴该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为10%．
故答案为：10%．
【分析】设七八月份的口罩产量的月平均减少率为x，根据产量减少前×（1-减少率）n=产量减少后，可列出关于x的方程为100（1﹣x）2＝81，解之并确定符合题意的x值即可解决问题.
16．【答案】（1）解：
方程可变为，，
开平方得，，
即或，
解得，，
（2）解：
由题意得，，
则，
∴，
即，
（3）解：
可变为，
则或
解得，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用直接开平方法求解一元二次方程即可；
（2）利用公式法求解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法求解一元二次方程即可。
17．【答案】解：①当 ，即 时，
原方程可化为 ，即 ，
分解因式得 ，
可得 或 ，解得 ， ．
②当 ，即 时，
原方程可化为 ，即 ，
分解因式得 ，
可得 或 ，解得 （舍去）， （舍去），
则原方程的解为 ， ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】模仿例题分两种情况：①当 ，②当 ，据此分别解方程即可.
18．【答案】解：设每件商品售价应定为元，则每件商品的销售利润为元，每月的销售量为（件），
依题意得：，
解得．
∵在顾客得实惠的前提下，
∴，
当时，
答：每件小商品的售价应定为元，这时电商每月能售出小商品件．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 设每件商品售价应定为元，则每件商品的销售利润为元，每月的销售量为（件）， 根据总利润=单件的利润×销售量列出方程并解之即可.
19．【答案】（1）(0，2)
（2）解：①
∵，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，
解得：，
方程的知行点为．
②
∵直线与x轴交于点A，
∴A（-5，0），
由①得，M（m-2，m），
令m-2=x，m=y，
∴y=x+2，
∴点M在直线y=x+2上，刚好和△ABC的边BC交于点（0，2）
令y=0，则x+2=0，
∴x=-2，
∴；
∴；
（3）存在，
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：（1），
，
解得，
∴该方程的知行点M的坐标为(0，2)；
故答案为：(0，2)；
（3）存在．
直线，过定点，
∴两个根为，
∴，
∴．
【分析】（1）因式分解法求出方程的两根，根据一元二次方程的知行点定义即可解决问题；
（2）①由判别式（△>0，方程有两个不相等的实数根；△=0，方程有两个相等的实数根；△<0，方程没有实数根） 即可得出不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根 ；解这个一元二次方程得出方程的两根，进而根据知行点定义写出一元二次方程的知行点；
②易得点A的坐标，计算点M所在直线与直线AB的交点，根据点M在△ABC内部列不等关系，并解出不等式的解集即可；
（3）整理直线解析式y=kx+3（2-k），可知其过定点M（3，6），根据题意，该定点是方程的知行点，可知方程的两个根分别为3和6，最后利用根与系数的关系（）解决问题即可.
20．【答案】（1）-2；-
（2）∵7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，
∴m、n可看作方程7x2﹣7x﹣1＝0，
∴m+n＝1，mn＝﹣ ，
∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣ ×1＝﹣ ；
（3）把t2+99t+19＝0变形为19 （ ）2+99 +1＝0，
实数s和 可看作方程19x2+99x+1＝0的两根，
∴s+ ＝﹣ ，s ＝ ，
∴ ＝s+4 + ＝﹣ +4× ＝﹣ .
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）x1+x2＝﹣ ＝﹣2，x1x2＝﹣ ；
故答案为：﹣2；﹣ ；
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系“ x1+x2＝﹣ ，x1x2＝ ”进行求解；
（2）利用m、n满足的等式，可将m、n可看作方程7x2﹣7x﹣1＝0 的两个根，根据根与系数的关系可得m+n＝1，mn＝﹣ ， 再将原式变形为m2n+mn2＝mn（m+n） ，然后代入计算即可；
（3） 把t2+99t+19＝0变形为19 ()2+99 +1＝0， 可知实数s和 可看作方程19x2+99x+1＝0的两根，可得s+ ＝﹣ ，s ＝ ，将原式变形为s+4 + ，然后代入计算即可.
21．【答案】（1）3
（2）s+t=4
（3）解：由（2）的结论得到 ， ，
所以 ，即 ，
∴ ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）解：∵ ，
∴ ，
即 ，
∴q=3；
故答案为：3
（2）解：观察上述探究过程，表格中s与t满足的等量关系为 ；
故答案为：
【分析】（1）把原方程化为，然后将方程左边分解因式即可求解；
（2）利用表格中的数据得到s+t的值等于一次项系数的相反数；
（3）由（2）的结论得到 ， ，可求出 ， 从而求解.
22．【答案】（1）解：2ax+b； ，
两边同时乘以12再加25，移项得：
.
.
，
（2）解：① .
.
方程的两个根为 ，
而 ，解得 ，
， .
② .
两边同时除以3得： ，
.
方程的两个根为 ，
而 解得 ，
， .
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴ ，
故答案为：
【分析】（1）利用完全平方公式将等号左边因式分解即可得出结论； 将方程两边同时乘以12再加25，然后移项，再将方程左边写成完全平方式，然后利用直接开平方法解方程即可；
（2）①模仿例题解方程即可；② 先将方程两边同时除以3 ，再仿照例题解方程即可.
23．【答案】（1）28；x-1；；
（2）解：设有人参加聚会，
根据题意，得：，
解得，（舍去）
答：一共有人参加聚会；
（3）解：依题意得，，
，
∵n为正整数，
∴当时，；
当时，；
∴当或时，为整数．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：（1）①共有场比赛；
②可设比赛组织者应邀请x队参赛，那么每个队要与其他（x-1）个队各赛一场，又由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲对的比赛是同一场比赛，所以全部的比赛一共有x（x-1）场比赛，
根据题意，列出相应方程：x（x-1）=28，
故答案为：28；②（x-1），，；
【分析】（1）①共有场比赛；②可设比赛组织者应邀请x队参赛，那么每个队要与其他（x-1）个队各赛一场，可得共有x（x-1）场比赛，从而列出方程；
（2）设有人参加聚会，可得每人握手x（x-1）次，可得共握手x（x-1）次，根据握手总次数列出方程并解之即可；
（3）根据题意分别表示出y1和y2，然后求出为整数时的n值即可.
24．【答案】（1）解：设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分
由题意知：AP=x，BQ=2x，则BP=6﹣x，
∴ (6﹣x) 2x= × ×6×8，
∴x2﹣6x+12=0.
∵b2﹣4ac＜0，
此方程无解，
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）解：设t秒后，△PBQ的面积为1.分三种情况讨论：
①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时，此时0＜t≤4.
由题意知： (6﹣t)(8﹣2t)=1，整理得：t2﹣10t+23=0，解得：t1=5+ （不合题意，应舍去），t2=5﹣ ；
②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时，此时4＜t≤6，由题意知： (6﹣t)(2t﹣8)=1，整理得：t2﹣10t+25=0，解得：t1=t2=5.
③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时，此时t＞6，由题意知： (t﹣6)(2t﹣8)=1，整理得：t2﹣10t+25=0，解得：t1=5+ ，t2=5- （不合题意，应舍去）.
综上所述：经过5- 秒、5秒或5+ 秒后，△PBQ的面积为1cm2.
故答案为：（1）不能；（2）5﹣ 秒、5秒或5+ 秒.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，由题意知：AP=x，BQ=2x，则BP=6-x，结合题意可得(6-x)·2x=××6×8，据此判断；
（2）设t秒后，△PBQ的面积为1，当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时，此时0＜t≤4，由题意可得：(6-t)(8-2t)=1，求解即可；同理可求出点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上；点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上，对应的t的值.
1 / 12023年浙教版数学八年级下册第二章 一元二次方程（进阶版）
一、单选题
1．（2019九上·江岸月考）下列说法：
若一元二次方程 有一个根是 ，则代数式 的值是 若 ，则 是一元二次方程 的一个根 若 ，则一元二次方程 有不相等的两个实数根 当m取整数 或1时，关于x的一元二次方程 与 的解都是整数.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：①若一元二次方程x2+bx+a=0有一个根是-a（a≠0），则a2+b×（-a）+a=0
整理得出：a（a-b+1）=0，则代数式a-b=-1，正确；
②若a+b+c=0，则x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，不正确；
③若b=2a+3c，那么△=b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=（2a+2c）2+5c2，
当a≠0，c=-a时，△＞0；当a≠0，c=0时，△＞0；当a≠c≠0时，△＞0，
∴△＞0，正确；
④∵关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0有解，
则m≠0，
∴△≥0
mx2-4x+4=0，
∴△=16-16m≥0，即m≤1；
x2-4mx+4m2-4m-5=0，
△=16m2-16m2+16m+20≥0，
∴4m+5≥0，m≥-
；
∴-
≤m≤1，而m是整数，
所以m=1，m=0（舍去），m=-1（一个为x2-4x+4=0，另一个为x2+4x+3=0，冲突，故舍去），
当m=1时，mx2-4x+4=0即x2-4x+4=0，方程的解是x1=x2=2；
x2-4mx+4m2-4m-5=0即x2-4x-5=0，方程的解是x1=5，x2=-1；
当m=0时，mx2-4x+4=0时，方程是-4x+4=0不是一元二次方程，故舍去.
故m=1，故不符合题意；
故正确的有2个，
故答案为：B.
【分析】①根据方程根的定义将x= a代入方程得出a b的值即可；
②利用a＋b＋c＝0，即x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根得出答案，③利用b＝2a＋3c，算出方程根的判别式的值，分析判别式的值得出即可；
④根据关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0有解，得出根与判别式△≥0，且m≠0，从而列出关于m不等式，求解求得m的范围，再根据m是整数，即可得到m的可能取到的几个值，然后对每个值进行检验，是否符合使两个一元二次方程的解都是整数即可确定m的值，综上所述即可得出答案.
2．（2022九上·永年期中）将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是4，一次项系数是-7，常数项是2的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、化为一般式为，二次项系数是4，一次项系数是-7，常数项是2，符合题意；
B、化为一般式为，二次项系数是4，一次项系数是-7，常数项是-2，不符合题意；
C、化为一般式为，二次项系数是4，一次项系数是7，常数项是-2，不符合题意；
D、化为一般式为，二次项系数是4，一次项系数是7，常数项是2，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程的定义求解即可。
3．（2022九上·西安月考）已知关于x的一元二次方程（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（ ）．
A．1可能是方程的根 B．可能是方程的根
C．0可能是方程的根 D．1和-1都是方程的根
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程 （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，
∴ 且 ，
∴ ，
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故A选项正确，不符合题意；
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故B选项正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ 和 不能同时是方程 的根，故D选项错误，符合题意；
当 时， ，
∴ ，
∴当 ， 时， 是方程 的根，故C选项正确，不符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据方程有两个相等的实数根可得△=(2q)2-4(p+1)2=0且p+1≠0，化简可得q=±(p+1)，当q=p+1时，有1+p-q=0，此时x=-1，据此判断A；当q=-(p+1)时，有1+p+q=0，此时x=1，据此判断B；根据p+1≠0可得p+1≠-(p+1)，据此判断D；当x=0时，p=0，q=±1，据此判断C.
4．（2019九上·富顺月考）对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 （ ）
A． B． C． D． 或-1
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： ，即 ，
解得：
经检验 是分式方程的解；
当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： 代入公式得： ，
解得： （舍去），
经检验 是分式方程的解，
综上，所求方程的解为 或-1．
故答案为：D.
【分析】分 和 两种情况将所求方程变形，求出解即可．
5．（2022九上·永年期中）已知方程，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（ ）
A．6 B．9 C．2 D．-2
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】设印刷不清的数字是a，
（x-p）2=7，
x2-2px+p2=7，
∴x2-2px=7-p2，
∴x2-2px+4=11-p2，
∵方程x2-6x+4=□，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成（x-p）2=7的形式，
∴-2p=-6，a=11-p2，
∴p=3，a=11-32=2，
即印刷不清的数字是2，
故答案为：C．
【分析】设印刷不清的数字是a，将方程化为一般式，再根据待定系数法可得-2p=-6，a=11-p2，求出p、a的值即可。
6．（2022九上·孝义期中）用直接开平方法解方程时，可以将其转化为或，其依据的数学知识是（ ）
A．完全平方公式 B．平方根的意义
C．等式的性质 D．一元二次方程的求根公式
【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：用直接开平方法解方程时，可以将其转化为或，其依据的数学知识是平方根的意义．
故答案为：B．
【分析】用直接开平方法解形如（x+a）2=b（b≥0）的一元二次方程，根据平方根的定义可得（x+a）2=，继而得解.
7．（2022九上·海珠期中）下列命题：① 若b＝a＋c时，一元二次方程一定有实数根；② 若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等实数根；③ 若二次函数，当取、（）时，函数值相等，则当x取时函数值为0；④ 若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的其他应用；真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵b＝a＋c，∴
所以，一元二次方程一定有实数根，①符合题意
方程有两个不相等的实数根，
∴此方程为一元二次方程，且，
当时，方程为一元一次方程，不含有两个不等实数根，②不符合题意
二次函数的对称轴为
当取、（）时，函数值相等，则
当x取时，即，，函数值不一定为0，③不符合题意；
当时，二次函数的图像与轴的公共点的个数是2
当时，二次函数的图像过原点，此时与坐标交点个数为2，
当时，二次函数的图像与y轴有一个交点，与x轴有两个交点，此时与坐标交点个数为3，④符合题意
正确的个数为2
故答案为：B
【分析】根据真命题的定义，一元二次方程的根的判别式及一元二次方程的根与系数的关系逐项判断即可。
8．（2022九上·尧都期中）在应用一元二次方程解决问题时，老师展示出一张图片如图所示，在矩形纸片上截去两个同样大小的圆，要求使两圆的面积和是剩余面积的一半，已知矩形的长和宽分别为和，圆的半径为，根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：C．
【分析】根据题意直接列出方程即可。
9．（2022九上·嘉鱼月考）已知关于x的方程的两实数根为，，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．﹣1或3
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的方程的两实数根为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∵方程有两个实数根，
∴，解得：，
∴m=-3．
故答案为：A
【分析】由根与系数的关系可得，代入可得关于m方程并解之，由方程有两个实数根，可得△≥0，从而确定m值.
二、填空题
10．（2020九上·达拉特旗月考）等腰三角形的三边的长是a 、b、4，其中a、b是方程x2-6x+c=0两个根，则此三角形的三边长是 ．
【答案】2，4，4或3，3，4
【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： 是方程 的两个根，
，
由等腰三角形的定义，分以下三种情况：（1）若 ，这个三角形是等腰三角形，
则 ，
此时三角形的三边长是 ，满足三角形的三边关系定理；（2）若 ，这个三角形是等腰三角形，
则 ，
此时三角形的三边长是 ，满足三角形的三边关系定理；（3）若 ，这个三角形是等腰三角形，
则 ，
此时三角形的三边长是 ，满足三角形的三边关系定理；
综上，此三角形的三边长是 或 ，
故答案为： 或 ．
【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得a+b=6，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系求解即可。
11．（2021九上·海安月考）已知关于x的方程 ，其中p、q都是实数.若方程有三个不同的实数根 、 、 ，且 ，则q的值为 .
【答案】3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：依题意，
设
方程有三个不同的实数根 、 、 ，
则 与 的图象有三个不同的交点，
，对称轴为
则 与 的图象有三个不同的交点，
则 经过 的顶点
设 ，则
即
设 是 的两根，
则
即
，
解得
.
故答案为：3.
【分析】设y1=x2+2px-3p2+5，y2=±q，根据方程有三个不同的实数根可得y=-q经过y1的顶点，设x3=-p，据此可得q与p的关系，根据根与系数的关系可得x1+x2=-2p，x1x2=10-7p2，x3=-p，然后结合可得p2=2，根据判别式求出p的范围，进而可得q的值.
12．（2022八下·长兴月考）商家通常依据“利好系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c=a+k（b-a），这里的k被称为利好系数．经验表明，最佳利好系数k恰好使得
，据此可得，最佳利好系数k的值等于 ．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴3（c-a）2=（b-a）（b-c）
∵c=a+k（b-a），
∴c-a=k（b-a），
∴3（c-a）2=3
=（b-a）（b-c），
∵b＞a，即b-a≠0，
∴3k2（b-a）=b-c，
∴3k2（b-a）=b-a-k（b-a），
∴3k2=1-k，即3k2+k-1=0，
整理，解得：k=
或
，
又∵0≤k≤1，
∴ k=
.
故答案为：.
【分析】先由得3（c-a）2=（b-a）（b-c），再由c=a+k（b-a）得c-a=k（b-a），即可得3
=（b-a）（b-c），再利用b-a≠0进行化简得3k2（b-a）=b-c，把c=a+k（b-a）代入得到关于k的一元二次方程3k2+k-1=0，解出k值，最后通过0≤k≤1求得符合条件的k值即可.
13．（2022九上·铁岭月考）关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：
①当m＝0时，方程只有一个实数解；
②当m≠0时，方程有两个不相等的实数解；
③无论m取何值，方程都有一个负数解．
其中正确的是 （填序号）．
【答案】①③
【知识点】一元一次方程的解；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： ①当m＝0时，方程化为x+1=0，解得x=-1，只有一个实数解，故①正确；
②当m≠0时，方程是一元二次方程，△=（2m-1）2≥0，方程有两个实数解，故②错误；
③ mx2+x﹣m+1＝（x+1）（mx-m+1）=0，
∴（x+1）=0或（mx-m+1）=0，
∴x=-1，
∴无论m取何值，方程都有一个负数解，故③正确．
故答案为：①③.
【分析】 ①把m＝0代入方程化为x+1=0，解得x=-1，只有一个实数解，即可判断①正确；
②当m≠0时，方程是一元二次方程，根据根的判别式得出方程有两个实数解，即可判断②错误；
③ 把方程因式分解变形为mx2+x﹣m+1＝（x+1）（mx-m+1）=0，得出方程有一个根为x=-1，
即可判断③正确．
14．（2022九上·恩施月考）餐桌桌面是长为160cm 、宽为100cm 的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面1.4倍，且四周垂下来的桌布宽相等，小强想帮妈妈求出四周垂下来的桌布宽，如果设四周垂下来的桌布宽为xcm，所列方程应为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设四周垂下来的桌布宽为xcm，
依题意得：桌布面积为：160×100×1.4，
桌布的长为：160+2x，宽为：100+2x，
所列方程应为：．
故答案为：．
【分析】根据四周垂下来的桌布宽相等，可表示出桌布的长和宽，再根据桌布的面积=桌面的面积×1.4，据此列方程即可.
15．（2022八下·北仑期中）随着国内新冠疫情逐步得到控制，人们的口罩储备逐渐充足，市场的口罩需求量在逐渐减少，某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为
【答案】10%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】设七八月份的口罩产量的月平均减少率为x，
由题意，得：100（1﹣x）2＝81，
整理，解得：x＝0.1，或x＝1.9（不合题意，舍去），
∴该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为10%．
故答案为：10%．
【分析】设七八月份的口罩产量的月平均减少率为x，根据产量减少前×（1-减少率）n=产量减少后，可列出关于x的方程为100（1﹣x）2＝81，解之并确定符合题意的x值即可解决问题.
三、计算题
16．（2022九上·武清期中）解下列方程
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：
方程可变为，，
开平方得，，
即或，
解得，，
（2）解：
由题意得，，
则，
∴，
即，
（3）解：
可变为，
则或
解得，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用直接开平方法求解一元二次方程即可；
（2）利用公式法求解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法求解一元二次方程即可。
四、解答题
17．（2022九上·西安月考）阅读下面的材料，解答问题．
材料：解含绝对值的方程：．
解：分两种情况：
①当时，原方程化为，解得，（舍去）；
②当时，原方程化为，解得，（舍去）．
综上所述，原方程的解是，．
请参照上述方法解方程．
【答案】解：①当 ，即 时，
原方程可化为 ，即 ，
分解因式得 ，
可得 或 ，解得 ， ．
②当 ，即 时，
原方程可化为 ，即 ，
分解因式得 ，
可得 或 ，解得 （舍去）， （舍去），
则原方程的解为 ， ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】模仿例题分两种情况：①当 ，②当 ，据此分别解方程即可.
18．（2022九上·荣县月考）直播带货逐渐走进了人们的生活，某电商在APP上对一款成本价为40/件的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每星期可卖出300件，通过市场调查发现，每件小商品的售价每降价元，每星期可多卖出10件，在顾客得实惠的前提下，电商还想获得元利润，每件小商品的售价应定为多少元？这时电商每月能售出小商品多少件？
【答案】解：设每件商品售价应定为元，则每件商品的销售利润为元，每月的销售量为（件），
依题意得：，
解得．
∵在顾客得实惠的前提下，
∴，
当时，
答：每件小商品的售价应定为元，这时电商每月能售出小商品件．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 设每件商品售价应定为元，则每件商品的销售利润为元，每月的销售量为（件）， 根据总利润=单件的利润×销售量列出方程并解之即可.
五、综合题
19．（2022九上·晋江月考）定义：若关于x的一元二次方程＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实数根为（），分别以为横坐标和纵坐标得到点M（），则称点M为该一元二次方程的知行点．
（1）若一元二次方程为﹣2x＝0，请直接写出该方程的知行点M的坐标为 ；
（2）若关于x的一元二次方程为﹣2（m﹣1）x＋﹣2m＝0．
①求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的知行点M的坐标；
②直线：y＝x＋5与x轴交于点A，直线过点B（1，0），且与相交于点C（﹣1，4），若由①得到的点M在△ABC的内部，求m的取值范围；
（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程＋bx＋c＝0的知行点M始终在直线y＝kx＋3（2﹣k）的图象上．若有，请直接写出b，c的值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）(0，2)
（2）解：①
∵，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，
解得：，
方程的知行点为．
②
∵直线与x轴交于点A，
∴A（-5，0），
由①得，M（m-2，m），
令m-2=x，m=y，
∴y=x+2，
∴点M在直线y=x+2上，刚好和△ABC的边BC交于点（0，2）
令y=0，则x+2=0，
∴x=-2，
∴；
∴；
（3）存在，
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：（1），
，
解得，
∴该方程的知行点M的坐标为(0，2)；
故答案为：(0，2)；
（3）存在．
直线，过定点，
∴两个根为，
∴，
∴．
【分析】（1）因式分解法求出方程的两根，根据一元二次方程的知行点定义即可解决问题；
（2）①由判别式（△>0，方程有两个不相等的实数根；△=0，方程有两个相等的实数根；△<0，方程没有实数根） 即可得出不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根 ；解这个一元二次方程得出方程的两根，进而根据知行点定义写出一元二次方程的知行点；
②易得点A的坐标，计算点M所在直线与直线AB的交点，根据点M在△ABC内部列不等关系，并解出不等式的解集即可；
（3）整理直线解析式y=kx+3（2-k），可知其过定点M（3，6），根据题意，该定点是方程的知行点，可知方程的两个根分别为3和6，最后利用根与系数的关系（）解决问题即可.
20．（2021九上·隆昌期中）阅读材料：
材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2则x1+x2＝﹣ ，x1x2＝ .
材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求 的值.
解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn＝﹣1，所以 ＝﹣3.
根据上述材料解决以下问题：
（1）材料理解：一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ .
（2）类比探究：已知实数m，n满足7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值：
（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足19s2+99s+1＝0，t2+99t+19＝0，且st≠1.求 的值.
【答案】（1）-2；-
（2）∵7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，
∴m、n可看作方程7x2﹣7x﹣1＝0，
∴m+n＝1，mn＝﹣ ，
∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣ ×1＝﹣ ；
（3）把t2+99t+19＝0变形为19 （ ）2+99 +1＝0，
实数s和 可看作方程19x2+99x+1＝0的两根，
∴s+ ＝﹣ ，s ＝ ，
∴ ＝s+4 + ＝﹣ +4× ＝﹣ .
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）x1+x2＝﹣ ＝﹣2，x1x2＝﹣ ；
故答案为：﹣2；﹣ ；
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系“ x1+x2＝﹣ ，x1x2＝ ”进行求解；
（2）利用m、n满足的等式，可将m、n可看作方程7x2﹣7x﹣1＝0 的两个根，根据根与系数的关系可得m+n＝1，mn＝﹣ ， 再将原式变形为m2n+mn2＝mn（m+n） ，然后代入计算即可；
（3） 把t2+99t+19＝0变形为19 ()2+99 +1＝0， 可知实数s和 可看作方程19x2+99x+1＝0的两根，可得s+ ＝﹣ ，s ＝ ，将原式变形为s+4 + ，然后代入计算即可.
21．（2022九上·西安月考）关于x的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式．现列表探究的变形：
变形 s t p
-1 5 0
0 4 5
1 q 8
2 2 9
回答下列问题：
（1）表格中q的值为 ．
（2）观察上述探究过程，表格中s与t满足的等量关系为 ．
（3）记的两个变形为和，求的值．
【答案】（1）3
（2）s+t=4
（3）解：由（2）的结论得到 ， ，
所以 ，即 ，
∴ ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）解：∵ ，
∴ ，
即 ，
∴q=3；
故答案为：3
（2）解：观察上述探究过程，表格中s与t满足的等量关系为 ；
故答案为：
【分析】（1）把原方程化为，然后将方程左边分解因式即可求解；
（2）利用表格中的数据得到s+t的值等于一次项系数的相反数；
（3）由（2）的结论得到 ， ，可求出 ， 从而求解.
22．（2021八下·鼓楼期末）
（1）用配方法解一元二次方程除了课本的方法，也可以用下面的配方方式：
将 两边同时乘以 并移项，得到 ，两边再同时加上 ，得（ ▲ ）2 .请用这样的方法解方程： ；
（2）华裔数学家罗博深在2019年提出了一种全新的一元二次方程解法，对于 ，将等式左边进行因式分解，得到以下形式：
（从这里可以看出方程的解为 ， ）
即
因为 ，所以 、 的平均数为 ，不妨设 ， ，
利用 ，得 ，所以 ，即能求出 的值.
举例如下：解一元二次方程 ，由于 ，所以方程的两个根为 ，而 ，解得 ，所以方程的解为 ， .
请运用以上方法解如下方程① ；②
【答案】（1）解：2ax+b； ，
两边同时乘以12再加25，移项得：
.
.
，
（2）解：① .
.
方程的两个根为 ，
而 ，解得 ，
， .
② .
两边同时除以3得： ，
.
方程的两个根为 ，
而 解得 ，
， .
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴ ，
故答案为：
【分析】（1）利用完全平方公式将等号左边因式分解即可得出结论； 将方程两边同时乘以12再加25，然后移项，再将方程左边写成完全平方式，然后利用直接开平方法解方程即可；
（2）①模仿例题解方程即可；② 先将方程两边同时除以3 ，再仿照例题解方程即可.
23．（2021九上·南昌期中）
（1）【课本再现】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排场比赛．
①共有 场比赛；
②设比赛组织者应邀请个队参赛，每个队要与其他 个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛 场，列方程： ．
（2）【小试牛刀】
参加一次聚会的每两人都要握手一次，所有人共握手了10次，有多少人参加聚会？
（3）【综合运用】
将，，，……，，共个点每两个点连一条线段共得到条线段，将，，，……，．共个点每两个点连一条线段共得到条线段，问能否为整数？写出你的结论，并说明理由．
【答案】（1）28；x-1；；
（2）解：设有人参加聚会，
根据题意，得：，
解得，（舍去）
答：一共有人参加聚会；
（3）解：依题意得，，
，
∵n为正整数，
∴当时，；
当时，；
∴当或时，为整数．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：（1）①共有场比赛；
②可设比赛组织者应邀请x队参赛，那么每个队要与其他（x-1）个队各赛一场，又由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲对的比赛是同一场比赛，所以全部的比赛一共有x（x-1）场比赛，
根据题意，列出相应方程：x（x-1）=28，
故答案为：28；②（x-1），，；
【分析】（1）①共有场比赛；②可设比赛组织者应邀请x队参赛，那么每个队要与其他（x-1）个队各赛一场，可得共有x（x-1）场比赛，从而列出方程；
（2）设有人参加聚会，可得每人握手x（x-1）次，可得共握手x（x-1）次，根据握手总次数列出方程并解之即可；
（3）根据题意分别表示出y1和y2，然后求出为整数时的n值即可.
24．（2021九上·江阴月考）如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm.
（1）点 P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由.
（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点 Q沿射线 CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？
【答案】（1）解：设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分
由题意知：AP=x，BQ=2x，则BP=6﹣x，
∴ (6﹣x) 2x= × ×6×8，
∴x2﹣6x+12=0.
∵b2﹣4ac＜0，
此方程无解，
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）解：设t秒后，△PBQ的面积为1.分三种情况讨论：
①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时，此时0＜t≤4.
由题意知： (6﹣t)(8﹣2t)=1，整理得：t2﹣10t+23=0，解得：t1=5+ （不合题意，应舍去），t2=5﹣ ；
②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时，此时4＜t≤6，由题意知： (6﹣t)(2t﹣8)=1，整理得：t2﹣10t+25=0，解得：t1=t2=5.
③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时，此时t＞6，由题意知： (t﹣6)(2t﹣8)=1，整理得：t2﹣10t+25=0，解得：t1=5+ ，t2=5- （不合题意，应舍去）.
综上所述：经过5- 秒、5秒或5+ 秒后，△PBQ的面积为1cm2.
故答案为：（1）不能；（2）5﹣ 秒、5秒或5+ 秒.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，由题意知：AP=x，BQ=2x，则BP=6-x，结合题意可得(6-x)·2x=××6×8，据此判断；
（2）设t秒后，△PBQ的面积为1，当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时，此时0＜t≤4，由题意可得：(6-t)(8-2t)=1，求解即可；同理可求出点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上；点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上，对应的t的值.
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