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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第4章 平行四边形
4.6反证法
【知识重点】
一、反证法:在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理、公理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.
二、反证法步骤：
三、宜用反证法证明的题型
（1）以否定性判断作为结论的命题；
（2）某些定理的逆命题；
（3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题；
（4）关于“唯一性”结论的命题；
（5）解决整除性问题；
（6）一些不等量命题的证明；
（7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段；
（8）涉及各种“无限”结论的命题等等.
【经典例题】
【例1】用反证法证明下列问题。
如图，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE相交于点O。
求证：BD和CE不可能互相平分。
【例2】已知x，y＞0，且x＋y＞2.
求证： ， 中至少有一个小于2.
【基础训练】
1．“在中，和的对边分别是a和b．若，则”．用反证法证明时，应假设（ ）
A． B． C． D．
2．用反证法证明命题“在中，若，则”时，首先应假设（ ）
A． B． C． D．
3．用反证法证明“a＞b”时，应假设（ ）
A．a＜b B．a≤b C．a＝b D．a≥b
4．用反证法证明“在△ABC中，若AB=AC，则∠B<90°"时，应假设（ ）
A．∠B≠90° B．∠B=90° C．∠B>90° D．∠B≥90°
5．反证法证明“钝角三角形中必有一个角小于45°”先应假设 .
6．用反证法证明“树在道边而多子，此必苦李”时，应首先假设： 。
7．用反证法证明：“多边形中最多有三个锐角”的第一步是：假设
8．已知：如图，直线a，b被c所截，∠1，∠2是同位角，且∠1≠∠2.
求证：a不平行于b.
9．如图，已知AB∥CD，CD⊥EF，垂足为N，AB与EF交于点M，求证：AB⊥EF．（用反证法证明）
10．请用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数．
【培优训练】
11．用反证法证明命题：“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，应假设（ ）
A．没有一个锐角不大于45° B．至多有一个锐角大于45°
C．两个锐角都不大于45° D．两个锐角都小于45°
12．用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．有一个内角小于60°
13．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°“时，第一步应先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于60° B．三角形中有一个内角大于60°
C．三角形的三个内角都小于60° D．三角形的三个内角都大于60°
14．已知 中， ，求证： ，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴ ，这与三角形内角和为 矛盾②因此假设不成立．∴③假设在 中， ④由 ，得 ，即 ．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
15．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设
16．“三角形中至少有一个内角大于等于60°”，这个命题用反证法证明应假设
17．试用举反例的方法说明下列命题是假命题．
举例：如果ab＜0，那么a+b＜0
反例：设a=4，b=﹣3，ab=4×（﹣3）=﹣12＜0，而a+b=4+（﹣3）=1＞0
所以，这个命题是假命题．
（1）如果a+b＞0，那么ab＞0；反例：
（2）如果a是无理数，b是无理数，那么a+b是无理数．反例：
（3）两个三角形中，两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等．反例：
（画出图形，并加以说明）
18．如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是内角平分线，AM是BC边上的中线，求证：点M不与点D重合
19．用反证法证明：若二次方程8x2﹣（k﹣1）x+k﹣7=0有两个不等实数根，则两根不可能互为倒数．
20．设a，b，c是不全相等的任意整数，若x＝a2－bc，y＝b2－ac，z＝c2－ab.求证：x，y，z中至少有一个大于零．
21．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.
求证：a>0，b>0，c>0.
22．如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形叫做正多边形，如正三角形就是等边三角形，正四边形就是正方形，如下图，就是一组正多边形，
（1）观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：
正多边形边数 3 4 5 6 …… n
∠α的度数
……
（2）根据规律，计算正八边形中的∠α的度数.
（3）是否存在正n边形使得∠α=21°？若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由.
【直击中考】
23．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例.反例中的n可以为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．
24．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（ ）
A．a=﹣2 B．a=﹣1 C．a=1 D．a=2
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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第4章 平行四边形（解析版）
4.6反证法
【知识重点】
一、反证法:在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理、公理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.
二、反证法步骤：
三、宜用反证法证明的题型
（1）以否定性判断作为结论的命题；
（2）某些定理的逆命题；
（3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题；
（4）关于“唯一性”结论的命题；
（5）解决整除性问题；
（6）一些不等量命题的证明；
（7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段；
（8）涉及各种“无限”结论的命题等等.
【经典例题】
【例1】用反证法证明下列问题。
如图，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE相交于点O。
求证：BD和CE不可能互相平分。
【答案】证明：连结DE假设BD和CE互相平分，则四边形EBCD是平行四边形，∴BE∥CD.
∵在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，
∴AC不可能平行于AB，与BE∥CD矛盾，故假设不成立，原命题正确，
即BD和CE不可能互相平分。
【分析】用“反证法”证明命题应先假设结论的反面成立，然后经过推理得出的结论与假设矛盾，从而证明问题的一种方法，先连结DE，则先假设BD和CE互相平分，利用平行四边形的判定定理，结合平行线的定义，即可证明.
【例2】已知x，y＞0，且x＋y＞2.
求证： ， 中至少有一个小于2.
【答案】证明：假设 ， 都不小于2.
即 ≥2， ≥2.
∵x＞0，y＞0，
∴1＋x≥2y，1＋y≥2x.
∴2＋x＋y≥2(x＋y)，
即x＋y≤2，与已知x＋y＞2矛盾．
∴ ， 中至少有一个小于2.
【分析】根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立。
【基础训练】
1．“在中，和的对边分别是a和b．若，则”．用反证法证明时，应假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】命题“在中，和的对边分别是a和b．若，则”中，结论为“”，
因此反证法证明时，应假设，
故答案为：B．
2．用反证法证明命题“在中，若，则”时，首先应假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】用反证法证明命题“若在△ABC中，，则”时，首先应假设∠B=∠C，
故答案为：D．
3．用反证法证明“a＞b”时，应假设（ ）
A．a＜b B．a≤b C．a＝b D．a≥b
【答案】B
【解析】 用反证法证明“a＞b”时，应假设a≤b .
故答案为：B.
4．用反证法证明“在△ABC中，若AB=AC，则∠B<90°"时，应假设（ ）
A．∠B≠90° B．∠B=90° C．∠B>90° D．∠B≥90°
【答案】D
【解析】∵在△ABC中，若AB=AC，则∠B<90°，
∴反证法第一步需假设∠B≥90°.
故答案为：D.
5．反证法证明“钝角三角形中必有一个角小于45°”先应假设 .
【答案】钝角三角形中的两个锐角都大于或等于45°
【解析】第一步应假设结论不成立，即钝角三角形中的两个锐角都大于或等于45°.
故答案为：钝角三角形中的两个锐角都大于或等于45°.
6．用反证法证明“树在道边而多子，此必苦李”时，应首先假设： 。
【答案】李子为甜李
【解析】∵需证明：此必苦李，而反证法假设原命题的逆命题正确，
∴应假设：李子为甜李.
故答案为：李子为甜李.
7．用反证法证明：“多边形中最多有三个锐角”的第一步是：假设
【答案】至少有四个角是锐角
【解析】根据反证法的第一步：假设结论不成立，则有
假设多边形的内角中至少有四个角是锐角.
故答案为：至少有四个角是锐角.
8．已知：如图，直线a，b被c所截，∠1，∠2是同位角，且∠1≠∠2.
求证：a不平行于b.
【答案】证明：假设 ，则 ，
这与已知 相矛盾， 假设不成立， 不平行于 .
9．如图，已知AB∥CD，CD⊥EF，垂足为N，AB与EF交于点M，求证：AB⊥EF．（用反证法证明）
【答案】证明：假设AB与EF不垂直，则∠AME≠90°，
∵AB∥CD，
∴∠AME=∠CNE，
∴∠CNE≠90°，
这与CD⊥EF相矛盾，
∴AB⊥EF．
10．请用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数．
【答案】证明：假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为2n+1，另一个奇数为2p+1，（n、p为整数），
则（2n+1）（2p+1）=2（2np+n+p）+l，
∵无论n、p取何值，2（2np+n+p）+1都是奇数，这与已知中两个奇数的乘积为偶数相矛盾，
所以假设不成立，
∴这两个整数中至少一个是偶数．
【培优训练】
11．用反证法证明命题：“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，应假设（ ）
A．没有一个锐角不大于45° B．至多有一个锐角大于45°
C．两个锐角都不大于45° D．两个锐角都小于45°
【答案】A
【解析】用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°，即没有一个锐角不大于45°.
故答案为：A.
12．用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．有一个内角小于60°
【答案】A
【解析】用反证法证明“三角形至少有一个内角小于或等于60° ”时，
应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即每一个内角都大于60°.
故答案为：A.
13．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°“时，第一步应先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于60° B．三角形中有一个内角大于60°
C．三角形的三个内角都小于60° D．三角形的三个内角都大于60°
【答案】C
【解析】用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°“时，第一步应先假设三角形的三个内角都小于60° .
故答案为：C.
14．已知 中， ，求证： ，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴ ，这与三角形内角和为 矛盾②因此假设不成立．∴③假设在 中， ④由 ，得 ，即 ．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
【答案】D
【解析】证明：假设在△ABC中，∠B≥90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，
∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，
∴因此假设不成立，
∴∠B＜90°，
∴运用反证法证明这个命题的四个步骤顺序为：③④①②.
故答案为：D.
15．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设
【答案】一个三角形中有两个角是直角
【解析】用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设一个三角形中有两个角是直角．
故答案为：一个三角形中有两个角是直角．
16．“三角形中至少有一个内角大于等于60°”，这个命题用反证法证明应假设
【答案】 三角形中三个内角都小于60°
【解析】∵三角形中至少有一个内角大于等于60°，
∴第一步应假设结论不成立，
即三角形中三个内角都小于60°．
故答案为：三角形中三个内角都小于60°．
17．试用举反例的方法说明下列命题是假命题．
举例：如果ab＜0，那么a+b＜0
反例：设a=4，b=﹣3，ab=4×（﹣3）=﹣12＜0，而a+b=4+（﹣3）=1＞0
所以，这个命题是假命题．
（1）如果a+b＞0，那么ab＞0；反例：
（2）如果a是无理数，b是无理数，那么a+b是无理数．反例：
（3）两个三角形中，两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等．反例：
（画出图形，并加以说明）
【答案】解：（1）取a=2，b=﹣1，则a+b=1＞0，但ab=﹣2＜0．所以此命题是假命题．
（2）取a=1+，b=1﹣，a、b均为无理数．但a+b=2是有理数，所以此命题是假命题．
（3）如图所示，在△ABC与△ABD中，AB=AB，AD=AC，∠ABD=∠ABC，但△ABC与△ABD显然不全等．
所以此命题是假命题．
18．如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是内角平分线，AM是BC边上的中线，求证：点M不与点D重合
【答案】解：假设点M与点D重合．
延长AM到N，使AM=MN，连接BN；
在△AMC和△NMB中，
，
∴△AMC≌△NMB（SAS）；
∴∠MAC=∠MNB，BN=AC；
根据M在线段CD上，则∠BAM＞∠MAC，
∴∠MNB＜∠BAM，
∴BN＞AB，
即AC＞AB；与AB＞AC相矛盾．
因而M与点D重合是错误的．
所以点M与点D不重合．
19．用反证法证明：若二次方程8x2﹣（k﹣1）x+k﹣7=0有两个不等实数根，则两根不可能互为倒数．
【答案】证明：假设若二次方程8x2﹣（k﹣1）x+k﹣7=0有两个不等实数根，且两根互为倒数，
设两根为x1，x2，由题意可得：x1 x2==1，
解得：k=15，
故8x2﹣（15﹣1）x+18﹣7=0
即4x2﹣7x+4=0
则b2﹣4ac=49﹣64=﹣15＜0，
此方程无实数根，故假设不成立，原命题正确，
即若二次方程8x2﹣（k﹣1）x+k﹣7=0有两个不等实数根，则两根不可能互为倒数．
20．设a，b，c是不全相等的任意整数，若x＝a2－bc，y＝b2－ac，z＝c2－ab.求证：x，y，z中至少有一个大于零．
【答案】解：假设x≤0，y≤0，z≤0，则x＋y＋z≤0.∵x＋y＋z＝a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝ ，又∵a，b，c是不全相等的任意整数，∴x＋y＋z＝ ＞0，这与“x＋y＋z≤0”矛盾．∴假设不成立．∴x，y，z中至少有一个大于零．
21．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.
求证：a>0，b>0，c>0.
【答案】用反证法：假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，可得c>－(a＋b)，又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立．因此a>0，b>0，c>0成立．
22．如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形叫做正多边形，如正三角形就是等边三角形，正四边形就是正方形，如下图，就是一组正多边形，
（1）观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：
正多边形边数 3 4 5 6 …… n
∠α的度数
……
（2）根据规律，计算正八边形中的∠α的度数.
（3）是否存在正n边形使得∠α=21°？若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：
正多边形边数 3 4 5 6 … n
∠α的度数 60° 45° 36° 30° … （ ）°
（2）根据规律，计算正八边形中的∠α=（ ）°=22.5°；
（3）不存在，理由如下：
设存在正n边形使得∠α=21°，
得∠α=21°=（ ）°.
解得n=8 ，n是正整数，n=8 （不符合题意要舍去），
不存在正n边形使得∠α=21°.
【直击中考】
23．（2019·常州）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例.反例中的n可以为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．
【答案】A
【解析】当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，
所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2.
故答案为：A.
24．（2012·温州）下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（ ）
A．a=﹣2 B．a=﹣1 C．a=1 D．a=2
【答案】A
【解析】用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a=﹣2，
∵（﹣2）2＞1，但是a=﹣2＜1，∴A正确；
故选：A．
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