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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第4章 平行四边形
4.1多边形（2）
【知识重点】
1、n边形的内角和为(n2)×180°(n≥3).
2、任何多边形的外角和为360°.
【经典例题】
【例1】如图，已知，那么的度数为
【例2】求下列多边形的边数，若一个边形的内角和是外角和的倍，则 ．
【例3】一个多边形剪去一个内角后，得到一个内角和为1980°的新多边形，求原多边形的边数．
【基础训练】
1．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
2．如图是一个凹多边形， ， ， ， ；求 的值．
3．八边形的外角和是（ ）
A．360° B．720° C．1080° D．1440°
4．如果一个多边形的每一个外角都是45°，那么这个多边形的内角和是（ ）
A．540° B．720° C．1080° D．1260°
5．如图，已知∠1+2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
6．菲菲为了推理出七边形的内角和，将七边形的某一个顶点分别与其他各顶点相连，这样把原来的七边形分割成了（ ）个三角形，最终求出七边形内角和是900°．
A．4 B．5 C．6 D．7
7．一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和将（ ）
A．增加180° B．减少180°
C．不变 D．以上三种情况都有可能
8．正八边形的每个内角等于 度.
9．如果一个多边形的每个外角都等于，那么这个多边形是 边形．
10．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D＝ ．
11．如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F=33°，则∠E= ．
12．如图，在五边形ABCDE中满足 AB∥CD，求图形中的x的值.
【培优训练】
13．将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（ ）
A．360° B．540° C．720° D．730°
14．将一张五边形的纸片沿一条直线剪成两个多边形,那么这两个多边形的内角和之和不可能是（ ）
A．540° B．720° C．900° D．1080°
15．一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为 1，3，3，2，则这个六边形的周长是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
16．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数为 ．
17．已知多边形的内角和与其某一个外角的度数总和为1350°，则这个多边形的边数为 ，其外角的度数为 °，这个多边形一共有 条对角线。
18．一个多边形的内角和比它外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
19．如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠1＝60°．
（1）求∠FAD的度数；
（2）AB与ED有怎样的位置关系？为什么？
20．如图，已知五边形ABCDE．AB=CD，∠ABC=∠BCD，对角线BE，CE分别平分∠ABC，∠BCD．
（1）求证：△ABE≌ ODCE．
（2）当∠A=80°，∠ABC=140°时，求∠AED的度数．
21．把20根长度相等的木条分成三部分，分别用其中两部分木条首尾相连做成两个边数相等的多边形，再用剩下的一部分木条首尾相连做成一个多边形．
（1）求这三个多边形的内角和；
（2）如果前两个多边形的边数和大于后一个多边形的边数，求这三个多边形的边数．
22．已知：如图，边形.
（1）求证：边形的内角和等于；
（2）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻的外角的3倍还大20°，求这个多边形的内角和；
（3）粗心的小明在计算一个多边形的内角和时，误把一个外角也加进去了，得其和为1180°，这个多加的外角度数为 ，多边形的边数为 .
【直击中考】
23．一个正n边形的一个外角等于36°，则n＝ ．
24．如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3：2，则 ．
25．一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为 .
26．如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则 度.
27．为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五边形的五个顶点），则图中∠A的度数是 度
28．已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第4章 平行四边形（解析版）
4.1多边形（2）
【知识重点】
1、n边形的内角和为(n2)×180°(n≥3).
2、任何多边形的外角和为360°.
【经典例题】
【例1】如图，已知，那么的度数为
【答案】80°
【解析】根据多边形外角和的性质可得，
又∵
∴．
故答案为：80°．
【分析】利用多边形的外角和求解即可。
【例2】求下列多边形的边数，若一个边形的内角和是外角和的倍，则 ．
【答案】8
【解析】设这个正多边形的边数为n，由题意得：
，
解得．
故答案为：8．
【分析】多边形内角和公式（n-2）×180°，外角和等于360°，依据题意列出方程并解之即可.
【例3】一个多边形剪去一个内角后，得到一个内角和为1980°的新多边形，求原多边形的边数．
【答案】解：设新的多边形的边数为n，
∵新的多边形的内角和是1980°，
∴180°×（n﹣2）＝1980°，
解得：n＝13，
∵一个多边形从某一个顶点出发截去一个角后所形成的新的多边形是十三边形，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为12，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为13，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为14，
∴原多边形的边数可能是：12或13或14．
【分析】 设新的多边形的边数为n， 由 多边形的内角和公式，可得方程180°×（n﹣2）＝1980°，从而求出新多边形边数，当一个多边形剪去一个内角后，原多边形的边数比新多边形的边数多1、少1或相同，据此求解即可.
【基础训练】
1．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】设这个多边形的边数是n，
则有（n﹣2）×180°＝360°×3，
解得n＝8．
故答案为：B．
2．八边形的外角和是（ ）
A．360° B．720° C．1080° D．1440°
【答案】A
【解析】八边形的外角和是360°，
故答案为：A．
3．如果一个多边形的每一个外角都是45°，那么这个多边形的内角和是（ ）
A．540° B．720° C．1080° D．1260°
【答案】C
【解析】多边形的边数为：360°÷45°＝8，
多边形的内角和是：（8﹣2） 180°＝1080°.
故答案为：C.
4．如图，已知∠1+2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【答案】B
【解析】由题意得：
∠1+2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∵∠1+2+∠3+∠4＝280°，
∴∠5＝360°﹣280°＝80°，
故答案为：B．
5．菲菲为了推理出七边形的内角和，将七边形的某一个顶点分别与其他各顶点相连，这样把原来的七边形分割成了（ ）个三角形，最终求出七边形内角和是900°．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】将七边形分割成7－2＝5个三角形，以此得到多边形内角和，
故B符合题意．
故答案为：B．
6．一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和将（ ）
A．增加180° B．减少180°
C．不变 D．以上三种情况都有可能
【答案】D
【解析】如图所示，
共有三种截法，得到的图形分别是五边形、四边形和三角形，得到的内角和分别是增加180°，不变和减少180°；
故答案为：D.
7．正八边形的每个内角等于 度.
【答案】135
【解析】∵正八边形的外角和为360°，
∴正八边形的每个外角的度数：，
∴正八边形的每个内角：.
故答案为：135.
8．如果一个多边形的每个外角都等于，那么这个多边形是 边形．
【答案】六
【解析】∵多边形的外角和为，每一个外角都等于，
∴多边形的边数为．
故答案为：6．
9．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D＝ ．
【答案】225°
【解析】连接AD，BC，
在四边形ABCD中，∠DAE+∠EAB＋∠ABF＋∠FBC＋∠DCF+∠BCF+∠CDE+∠ADE＝360°，
∵∠DEA=105°，∠BFC=120°，
∴∠DAE+∠ADE=180°-105°=75°，∠FBC+∠BCF=180°-120°=60°，
∴∠EAB＋∠ABF＋∠DCF+∠CDE＝360°-75°-60°=225°.
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝225.
故答案为：225°.
10．如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F=33°，则∠E= ．
【答案】82°
【解析】如图，过F作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴FH∥AB∥CD，
∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，
∴可设∠ABF=∠EBF=α=∠BFH，∠DCG=∠ECG=β=∠CFH，
∴∠ECF=180°﹣β，∠BFC=∠BFH﹣∠CFH=α﹣β，
∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC=360°﹣α﹣（180°﹣β）=180°﹣（α﹣β）=180°﹣∠BFC，
即∠E+2∠BFC=180°，①
又∵∠E﹣∠BFC=33°，
∴∠BFC=∠E﹣33°，②
∴由①②可得，∠E+2（∠E﹣33°）=180°，
解得∠E=82°.
故答案为：82°.
11.如图是一个凹多边形， ， ， ， ；求 的值．
【答案】证明：连接
∵ ，
∴ ，
∵ ，
， ， ，
∴ ．
12．如图，在五边形ABCDE中满足 AB∥CD，求图形中的x的值.
【答案】解：∵AB∥CD，∠C＝60°，
∴∠B＝180°﹣60°＝120°，
∴（5﹣2）×180°＝x+150°+125°+60°+120°，
∴x＝85°.
【培优训练】
13．将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（ ）
A．360° B．540° C．720° D．730°
【答案】D
【解析】①将长方形沿对角线剪开，得到两个三角形，两个多边形的内角和：180°+180°=360°；
②将长方形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180°+360°=540°；
③将长方形沿一组对边剪开，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：180°+540°=720°，
④将长方形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个五边形，其内角和为：180°+540°=720°，
故答案为：D.
14．将一张五边形的纸片沿一条直线剪成两个多边形,那么这两个多边形的内角和之和不可能是（ ）
A．540° B．720° C．900° D．1080°
【答案】D
【解析】①将五边形沿对角线剪开，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180°+360°=540°；
②将五边形从一顶点剪向对边，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：360°+360°=720°，也可能得到一个三角形和一个五边形，两个多边形的和为180°+540°=720°
③将五边形沿一组对边剪开，得到一个四边形和一个五边形，两个多边形的内角和为：360°+540°=900°，
④将五边形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个六边形，其内角和为：180°+720°=900°；
故答案为：D.
15．一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为 1，3，3，2，则这个六边形的周长是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【解析】如图所示，
分别作边AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、I．
因为六边形ABCDEF的六个角都是120°，
所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．
所以 都是等边三角形．
所以
所以六边形的周长为3+1+4+2+2+3=15；
故答案为：C．
16．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数为 ．
【答案】540°
【解析】如图，连接BF，
∵∠AOG=∠BOF，
∴∠A+∠G=∠OBF+∠OFB，
在五边形BCDEF中，
∵∠FBC+∠C+∠D+∠E+∠EFB=540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
故答案为：540°.
17．已知多边形的内角和与其某一个外角的度数总和为1350°，则这个多边形的边数为 ，其外角的度数为 °，这个多边形一共有 条对角线。
【答案】9；90；27
【解析】设边数为n
则
∴
∵n为正整数
∴n=9
∴其外角为
这个多边形一共有条对角线
故答案为：9；90；27.
18．一个多边形的内角和比它外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
【答案】解：设这个多边形的边数为n． 根据题意，得(n-2)180°=3×360°-180°． 解得n=7． 答：这个多边形的边数是7．
19．如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠1＝60°．
（1）求∠FAD的度数；
（2）AB与ED有怎样的位置关系？为什么？
【答案】（1）解：由于六边形的内角和为，六边形的内角都相等，
每个内角的度数为，
，
；
（2）解：四边形的内角和为，，，
，
，
．
20．如图，已知五边形ABCDE．AB=CD，∠ABC=∠BCD，对角线BE，CE分别平分∠ABC，∠BCD．
（1）求证：△ABE≌ ODCE．
（2）当∠A=80°，∠ABC=140°时，求∠AED的度数．
【答案】（1）证明：∵BE，CE分别是∠ABC，∠BCD的角平分线．
∴∠ABE＝∠CBE，∠BCE＝∠DCE，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABE＝∠DCE，∠EBC＝∠ECB，
∴BE＝CE，
∴△ABE≌△DCE（SAS）．
（2）解：∵△ABE≌△DCE，∴∠A＝∠D＝80°，
∵∠ABC＝140°，∴∠ABC＝∠BCD＝140°，
∵五边形ABCDE的内角和是540°，
∴∠AED＝540° ∠A ∠D ∠ABC ∠BCD
＝540° 80° 80° 140° 140°＝100°．
21．把20根长度相等的木条分成三部分，分别用其中两部分木条首尾相连做成两个边数相等的多边形，再用剩下的一部分木条首尾相连做成一个多边形．
（1）求这三个多边形的内角和；
（2）如果前两个多边形的边数和大于后一个多边形的边数，求这三个多边形的边数．
【答案】（1）解：设两个边数相等的多边形是m边形，另一个多边形是n边形（，，m，n为正整数），则，
∴这三个多边形的内角和为
；
（2）解：由题意，得：，，
∴，解得：
∵，
∴，解得：，
∴，
∵a，b为正整数，
∴，；，；，，
答：这三个多边形的边数是6、6、8或7、7、6或8、8、4．
22．已知：如图，边形.
（1）求证：边形的内角和等于；
（2）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻的外角的3倍还大20°，求这个多边形的内角和；
（3）粗心的小明在计算一个多边形的内角和时，误把一个外角也加进去了，得其和为1180°，这个多加的外角度数为 ，多边形的边数为 .
【答案】（1）证明：如图：
∵从n边形的一个顶点可以作（n 3）条对角线，
∴（n 3）条对角线把n边形分成（n 2）个三角形，
∵这（n 2）个三角形的内角和都等于180°，
∴n边形的内角和是（n 2） 180°，
∴∠A1＋∠A2＋∠A3＋＋…＋∠An＝（n 2） 180°
（2）解：设多边形的一个外角为α°，则与其相邻的内角为（3α＋20）°，
由题意，得（3α＋20）＋α＝180，
解得α＝40，
即多边形的每个外角为40°，
∵多边形的外角和为360°，
∴多边形的边数为360°÷40°＝9，
内角和为（9 2）×180°＝1260°，
答：这个多边形的内角和为1260°；
（3）解：设多边形的边数为n，多加的外角度数为α，则
（n 2） 180°＝1180° α，
∵1180°＝6×180°＋100°，内角和应是180°的倍数，
∴小明多加的一个外角为100°，
∴这是6＋2＝8边形的内角和．
答：这个外角的度数是100°，该多边形的边数是8．
【直击中考】
23．（2022·西宁）一个正n边形的一个外角等于36°，则n＝ ．
【答案】10
【解析】n=360°÷36°=10．
故答案为10．
24．（2022·菏泽）如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3：2，则 ．
【答案】5
【解析】∵正边形的一个内角度数与其外角度数的比是3：2，
∴设多边形的一个内角为3x度，一个外角则为2x度，
∴3x+2x＝180°，
解得x＝36°，
∴一个外角为2x＝72°，
360°÷72°＝5，
∴n＝5，
故答案为：5．
25．（2022·眉山）一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为 .
【答案】11
【解析】根据题意可得：，
解得： .
故答案为：11.
26．（2022·株洲）如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则 度.
【答案】48
【解析】∵四边形ABCDE是正五边形，∠EAO是一个外角
∴
在△AEO中：
故答案为：48.
27．（2021·湖州）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五边形的五个顶点），则图中∠A的度数是 度
【答案】36
【解析】如图，
∵正五角星（A，B，C，D，E是正五边形的五个顶点），
∴五边形FGHMN是正五边形，∠A=∠B=∠D，
∴，
∴∠A=∠B=（180°-108°）÷2=36°.
故答案为：36.
28．（2018·宁波）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解析】∵正多边形的一个外角等于40°且外角和为360°，
∴这个正多边形的边数为：360°÷40°=9.
故答案为：D.
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