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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第4章 平行四边形（解析版）
4.1多边形（1）
【知识重点】
一、多边形
在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段(线段的条数不小于3)首尾顺次相接形成的图形叫做多边形.
二、构成多边形的元素
组成多边形的各条线段叫做多边形的边.边数为n的多边形叫n边形(n为正整数，且n≥3).
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的外角.多边形每一个内角的顶点叫做多边形的顶点，连结多边形不相邻两个顶点的线段叫做多变形的对角线.
三、四边形的内角和
四边形的内角和等于360°.
【经典例题】
【例1】若从边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设多边形有 条边，
则 ，
解得 ，
故答案为：D．
【分析】设多边形有 条边，根据题意列出方程，再求出n的值即可。
【例2】如图，小丽的一块四边形玩具片破了一角，小丽想知道破掉的∠C的度数，她量了∠A，∠B，∠D的度数，就知道了∠C的度数，其原因是( )
A．四边形外角和是360° B．四边形外角和是180°
C．四边形内角和是360° D．四边形内角和是180°
【答案】C
【解析】延长AD，BE交于点C，
∵ABCD是四边形，
∴∠C=360°-∠A-∠B-∠C，
故答案为：C.
【分析】延长AD，BE交于点C，可知ABCD是四边形，再利用四边形的内角和为360°，可求出∠C的度数.
【例3】在四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C：∠D=1：2：4：5，则∠C等于（ ）
A．60° B．100° C．120° D．150°
【答案】C
【解析】设 ∠A =x°，则 ∠B =2x°， ∠C =4x°， ∠D=5x°
∵∠A +∠B +∠C+∠D=360°
∴x+2x+4x+5x=360
∴x=30
∴∠C =4x°=120°
故答案为：C.
【分析】利用比例，设出未知数，然后通过四边形的内角和为360°，得出方程x+2x+4x+5x=360，然后得出结果。
【例4】如图，在四边形中，，与，相邻的外角都是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在四边形ABCD中，，
相邻的外角度数为：，
.
故答案为：A.
【分析】根据邻补角的概念可得与∠C相邻的外角的度数为70°，然后根据四边形外角和为360°进行计算.
【例5】一个十二边形有 条对角线.
【答案】54
【解析】∵边形共有 条对角线，
∴一个十二边形共有 条对角线.
故答案为：54.
【分析】n边形共有 条对角线，据此计算.
【基础训练】
1．过某个多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】C
【解析】∵过n边形的一个顶点的所有对角线将这个多边形分成（n-2）个三角形，
∴过某个多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形是5+2=7.
故答案为：C.
2．四边形不具有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是( )
A．四边形的边长 B．四边形的周长
C．四边形的某些角的大小 D．四边形的内角和
【答案】C
【解析】当四边形形状改变时，发生变化的是四边形的内角的度数，
故答案为：C．
3．如图所示，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】B
【解析】①两个都是四边形，内角和相同，符合题意；
②一个三角形，一个五边形，内角和不相同，不符合题意；
③两个都是三角形，内角和相同，符合题意；
④一个三角形，一个四边形，内角和不相同，不符合题意；
故答案为：B.
4．在四边形ABCD中，∠A+∠C=160°，∠B比∠D大60°，则∠B为（ ）
A．70° B．80° C．120° D．130
【答案】D
【解析】设 ∠B = x°，则∠D =（ x-60）°
∵∠A+∠B+∠C+∠D= 360°
∴160+x+x-60=360
∴x=130°
即∠B = 130°
故答案为：D.
5．下列多边形中，内角和为360°的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由多边形内角和公式可得，
（n﹣2） 180°=360°，
解得n=4，是四边形，
故答案为：B.
6．一个四边形四个内角的度数之比为1：1：0.6：1，则该四边形最小内角的度数为（ ）．
A．75° B．70° C．65° D．60°
【答案】D
【解析】∵一个四边形四个内角的度数之比为1：1：0.6：1
设四个内角的度数分别为x，x，0.6x，x
∴x+x+0.6x+x=360°
解之：x=100°，
∴该四边形最小内角的度数为0.6×100=60°.
故答案为：D.
7．一个八边形的对角线共有 条．
【答案】20
【解析】八边形的对角线条数是： ，
故答案为：20．
8．如图， 的度数为 ．
【答案】
【解析】由多边形的外角和定理知，
∠1+∠2+∠3+∠4=360°，
故答案是：360°．
9．从一个 边形的同一个顶点出发，分别连结这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割为 个三角形，则 的值是 .
【答案】8
【解析】设多边形有n条边，
则n 2=6，
解得n=8.
故答案为8.
10．一个四边形的外角和等于 度。
【答案】360
【解析】∵多边形的外角和等于360°，
∴一个四边形的外角和等于360°；
故答案为：360.
11．在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小。
【答案】解：设∠A=x，则∠B=x+20°，∠C=2x
解得x=70°.
∠A=70°，∠B=90°，∠C=140°.
12．已知从m边形的一个顶点出发可以画4条对角线；从n边形的一个顶点出发的所有对角线把n边形分成6个三角形．求的值．
【答案】解：∵从m边形的一个顶点出发可以画4条对角线；从n边形的一个顶点出发的所有对角线把n边形分成6个三角形．
∴m=4+3=7，n=6+2=8，
，
当m=7，n=8时，原式．
【培优训练】
13．在四边形 中，设 ， ，则( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】在四边形ABCD中，
，
， ，
，
.
故答案为：B.
14．如图，在四边形中，，将沿翻折，得到.若，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，∠A=120°，∠C=70°，
∴∠BME=120°，∠ENB=70°，
∵将△BMN沿MN翻折得△EMN，
∴∠EMN=∠BMN=60°，∠ENM=∠MNB=35°， ∠B=∠E
∴∠E=∠B=180°-60°-35°=85°，
∴∠D=360°-120°-70°-85°=85°.
故答案为：C.
15．若n边形恰好有n条对角线，则n= ．
【答案】5
【解析】依题意有n（n 3）＝n，
∴n（n 3）＝2n，
整理，得n2 5n＝0，
即n（n 5）＝0，
解得n＝0（不合题意，舍去）或n＝5．
故答案为：5．
16．对正方形剪一刀能得到 边形．
【答案】3，4，5
【解析】沿对角线剪一刀，得两个三角形，即三角形，
沿对边上的两点剪一刀，得两个梯形，或两个矩形，即四边形；
沿相邻两边上的点剪一刀，得一个三角形，一个五边形即五边形
17．一个多边形的对角线的条数是20条，多边形的边数为 ．
【答案】8
【解析】设多边形的边数是x，
这个多边形有x个角，每个角可以去连接除自己和相邻的两个以外的所有角，得到一条对角线，可以连 条，则一共可以连接 条对角线，除去重复的是 条，
列式： ，解得 ， （舍去），
故答案是：8．
18．凸n边形的对角线的条数记作an(n≥4)，例如：a4=2，那么：①a5= ；②a6-a5= ；③an+1-an= (n≥4，用含n的代数式表示).
【答案】5；4；n-1
【解析】①a5= ；
②a6-a5= ；
③an+1-an=
.
故答案为：① 5；② 4；③ n-1
19．如图，在四边形中，，，，连接，，则以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 .（填序号）
【答案】①②④
【解析】
由四边形的内角和为360°，
，故①正确
过点A作交BC于点E，交CD的延长线于点F，
又，
∴四边形AECF为矩形，
∴，
又∴，
∴，
又∵，
∴≌（AAS），
∴，AE=AF，
∴矩形AECF为正方形，AC为对角线
∴，故②正确
且AC=，BD=，
而，
故，故③不正确
，，而，
∴，故④正确，
故答案为：①②④.
20．如图所示，在四边形ABCD中，∠A－∠C＝∠D－∠B，求证：AD∥BC.
【答案】证明：∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，又∠A－∠C＝∠D－∠B，∴∠A＋∠B＝∠C＋∠D，∴2∠A＋2∠B＝360°，∴∠A＋∠B＝180°，∴AD∥BC.
21．如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°．
【答案】证明：连接AC．
∵AB=20，BC=15，∠B=90°，
∴由勾股定理，得AC2=202+152=625．
又CD=7，AD=24，
∴CD2+AD2=625，
∴AC2=CD2+AD2，
∴∠D=90°．
∴∠A+∠C=360°﹣180°=180°．
22．探索归纳：
（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于( )
A．90° B．135° C．270° D．315°
（2）如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是
（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由．
【答案】（1）C
（2）220°
（3）∠1+∠2=180°+∠A
（4）∵△EFP是由△EFA折叠得到的，
∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF
∴∠1=180°﹣2∠AFE，∠2=180°﹣2∠AEF
∴∠1+∠2=360°﹣2（∠AFE+∠AEF）
又∵∠AFE+∠AEF=180°﹣∠A，
∴∠1+∠2=360°﹣2（180°﹣∠A）=2∠A．
【解析】（1）：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°
∴∠1+∠2=360°﹣（∠A+∠B）=360°﹣90°=270°．
∴∠1+∠2等于270°．
故选C；
（2）∠1+∠2=180°+40°=220°，
故答案是：220°；
（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2=180°+∠A
23．在四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=80°
（1）如图1，若∠B=∠C，试求出∠C的度数；
（2）如图2，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
（3）如图3，若∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，试求出∠BEC的度数。
【答案】（1）解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠B=∠C，
∠B=∠C=（360°-∠A-∠D）÷2=70°
（2）解：∵BE∥AD，
∴∠BEC=∠D=80°，∠ABE+∠A=180°，
∠ABE=180°-∠A=180°-140°=40°
又∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABE=40°，
∠C=180°-∠EBC-∠BEC=180°-40°-80°=60°
（3）解：∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D=360°-140°-80°=140°
∵∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，
∠EBC=∠ABC，∠BCE=∠BCD，
∠EBC+∠BCE=（∠ABC+∠BCD）=×140°=70°，
∠BEC=180°-（∠EBC+∠BCE）=180°-70°=110°
24．Pn表示n边形的对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些交点都不重合，那么Pn与n的关系式是：Pn= （n2﹣an+b）（其中a，b是常数，n≥4）
（1）通过画图，可得：四边形时，P4= ；五边形时，P5=
（2）请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a，b的值．
【答案】（1）1；5
（2）解：将（1）中的数值代入公式，
得： ，
解得：
【解析】（1）画出图形如下．
由画形，可得：
当n=4时，P4=1；当n=5时，P5=5．
故答案为：1；5．
【直击中考】
25．（2012·茂名）从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】设多边形有n条边，
则n﹣2=6，
解得n=8．
故选C．
26．（2022·柳州）如图，四边形 的内角和等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】四边形 的内角和为 ．
故答案为：C.
27．（2022·河北）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为 ， ，则正确的是（）
A． B．
C． D．无法比较 与 的大小
【答案】A
【解析】∵多边形的外角和为 ，
∴△ABC与四边形BCDE的外角和 与 均为 ，
∴ ，
故答案为：A．
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4.1多边形（1）
【知识重点】
一、多边形
在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段(线段的条数不小于3)首尾顺次相接形成的图形叫做多边形.
二、构成多边形的元素
组成多边形的各条线段叫做多边形的边.边数为n的多边形叫n边形(n为正整数，且n≥3).
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的外角.多边形每一个内角的顶点叫做多边形的顶点，连结多边形不相邻两个顶点的线段叫做多变形的对角线.
三、四边形的内角和
四边形的内角和等于360°.
【经典例题】
【例1】若从边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【例2】如图，小丽的一块四边形玩具片破了一角，小丽想知道破掉的∠C的度数，她量了∠A，∠B，∠D的度数，就知道了∠C的度数，其原因是( )
A．四边形外角和是360° B．四边形外角和是180°
C．四边形内角和是360° D．四边形内角和是180°
【例3】在四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C：∠D=1：2：4：5，则∠C等于（ ）
A．60° B．100° C．120° D．150°
【例4】如图，在四边形中，，与，相邻的外角都是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例5】一个十二边形有 条对角线.
【基础训练】
1．过某个多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
2．四边形不具有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是( )
A．四边形的边长 B．四边形的周长
C．四边形的某些角的大小 D．四边形的内角和
3．如图所示，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
4．在四边形ABCD中，∠A+∠C=160°，∠B比∠D大60°，则∠B为（ ）
A．70° B．80° C．120° D．130
5．下列多边形中，内角和为360°的图形是（ ）
A． B． C． D．
6．一个四边形四个内角的度数之比为1：1：0.6：1，则该四边形最小内角的度数为（ ）．
A．75° B．70° C．65° D．60°
7．一个八边形的对角线共有 条．
8．如图， 的度数为 ．
9．从一个 边形的同一个顶点出发，分别连结这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割为 个三角形，则 的值是 .
10．一个四边形的外角和等于 度。
11．在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小。
12．已知从m边形的一个顶点出发可以画4条对角线；从n边形的一个顶点出发的所有对角线把n边形分成6个三角形．求的值．
【培优训练】
13．在四边形 中，设 ， ，则( )
A． B．
C． D．
14．如图，在四边形中，，将沿翻折，得到.若，则的度数为( )
A． B． C． D．
15．若n边形恰好有n条对角线，则n= ．
16．对正方形剪一刀能得到 边形．
17．一个多边形的对角线的条数是20条，多边形的边数为 ．
18．凸n边形的对角线的条数记作an(n≥4)，例如：a4=2，那么：①a5= ；②a6-a5= ；③an+1-an= (n≥4，用含n的代数式表示).
19．如图，在四边形中，，，，连接，，则以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 .（填序号）
20．如图所示，在四边形ABCD中，∠A－∠C＝∠D－∠B，求证：AD∥BC.
21．如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°．
22．探索归纳：
（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于( )
A．90° B．135° C．270° D．315°
（2）如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是
（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由．
23．在四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=80°
（1）如图1，若∠B=∠C，试求出∠C的度数；
（2）如图2，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
（3）如图3，若∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，试求出∠BEC的度数。
24．Pn表示n边形的对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些交点都不重合，那么Pn与n的关系式是：Pn= （n2﹣an+b）（其中a，b是常数，n≥4）
（1）通过画图，可得：四边形时，P4= ；五边形时，P5=
（2）请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a，b的值．
【直击中考】
25．从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
26．如图，四边形 的内角和等于（ ）
A． B． C． D．
27．如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为 ， ，则正确的是（）
A． B．
C． D．无法比较 与 的大小
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