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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第4章 平行四边形（解析版）
4.5三角形的中位线
【知识重点】
1.三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
3.三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形，三条中位线组成的新三角形是原三角形周长的一半，面积是原三角形的四分之一.
4.顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形.
【经典例题】
【例1】下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
已知：如图，中，D、E分别是的中点． 求证：∥，且．
方法一 证明：如图，延长至点F，使，连接． 方法二 证明：如图，过点C作∥交的延长线于F．
【答案】证明∶方法一：如图，延长至点F，使，连接．
∵点E为AC的中点，
∴AE=CE，
∵∠AED=∠CEF，DE=EF，
∴△ADE≌△CFE，
∴CF=AD，∠A=∠ECF，
∴AB∥CF，即BD∥CF，
∵点D为AB的中点，
∴BD=AD=CF，
∴四边形BCFD为平行四边形，
∴DF=BC，DF∥BC，
∵，
∴∥，且．
方法二：过点C作∥交的延长线于F．
∴∠A=∠ECF，
∵点E为AC的中点，
∴AE=CE，
∵∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CFE，
∴CF=AD，DE=EF，
∵点D为AB的中点，
∴BD=AD=CF，
∵CF∥BD，
∴四边形BCFD为平行四边形，
∴DF=BC，DF∥BC，
∵，
∴∥，且．
【分析】利用平行四边形的判定方法和性质求解即可。
【例2】如图，在中，已知，，平分，于点，为中点．求的长．
【答案】解：如图，延长交于点．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，．
∴是的中点．
∵，，
∴．
∵为的中点，
∴为的中位线．
∴．
【分析】做辅助线，根据等腰三角形三线合一的性质可得 是的中点 ，通过线段的加减可得FC，再根据中位线定理即可解得DE。
【例3如图，△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作等腰△ABM和等腰△CAN，AM=AB AC=AN，∠MAB=∠CAN.D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，EF.求证：DE=EF。
【答案】证明：如图，连结BN，CM.
AM=AB，AC=AN， ∠MAB=∠CAN，
∠MAB+∠CAB=∠CAN+∠CAB，
即∠MAC=∠BAN.△MAC≌△BAN（SAS）.
MC=BN.又D，E，F分别为MB，BC，CN的中点，
DE=MC，EF=BN，
DE=EF.
【分析】连结BN，CM，利用等腰三角形的性质及等边对等角可推出∠MAC=∠BAN，利用SAS可证得△MAC≌△BAN，利用全等三角形的性质可证得MC=BN；再利用三角形的中位线定理及等量代换可证得结论.
【基础训练】
1．如图，为了测量池塘边、两地之间的距离，在线段的同侧取一点，连结并延长至点，连结并延长至点，使得、分别是、的中点，若，则线段的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵A、B分别是CD、CE的中点，
∴AB是△CDE的中位线，
故答案为：C.
2．如图，在四边形ABCD中，，点E、F分别是AC、AD的中点，且，若，，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】A
【解析】∵，，，
∴．
∵点E是AC的中点，
∴，
∵，
∴．
∵点E、F分别是AC、AD的中点，
∴．
∴．
故答案为：A．
3．如图，是的中线，，分别是，的中点，连接EF．若，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【解析】∵是的中线，，
∴，
∵点E，F分别是，的中点，
∴，
故答案为：B．
4．如图，，分别是的边，的中点，点是线段上的一点，且，若，，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】B
【解析】在Rt△AFB中，，D是AB的中点，AB=6，
则，
，
∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
，
故答案为：B．
5．三角形的三条中位线的长分别是3，4，5，则这个三角形的周长是 ．
【答案】24
【解析】∵三角形的三条中位线的长分别是3，4，5，
∴三角形的三条边的长分别是6，8，10，
∴这个三角形的周长＝6+8+10＝24.
故答案为：24.
6．如图，的对角线AC、BD相交于点O，P是AB边上的中点，且，则BC的长为 ；
【答案】4
【解析】∵，
∴OA=OC，
∴O是AC的中点，
∵P是AB边上的中点，
∴OP是△ABC的中位线，
∴BC=2OP=2×2=4，
故答案为：4．
7．已知一个三角形各边的比为2︰3︰4，连接各边中点所得的三角形的周长为18cm，那么原三角形最短的边的长为 cm．
【答案】8
【解析】根据三角形的中位线定理可得原三角形的周长为36cm，
又因三角形各边的比为2︰3︰4，
所以三角形最短的边的长为36× =8cm.
8．如图，在中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，，，求四边形DECF的周长．
【答案】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，，，
∴，，
∴四边形DECF的周长．
9．如图，CD是△ABC的中线，E为CD上一点，连接AE并延长至点F，使 ，连接BF，CF，若CF∥AB．求证：四边形DBFC是平行四边形．
【答案】证明：∵CD为△ABC的中线，
∴ ．
∵ ，
∴DE为△ABF的中位线，
∴ ，即：
又∵AB∥CF，即： ，
∴四边形DBFC是平行四边形
10．如图，已知等边的边长为4，点D、E分别是、的中点，过点D作，交的延长线于点F，求的长．
【答案】解： 等边的边长为4，
点D、E分别是、的中点，
【培优训练】
11．如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：B．
12．如图，在 中， 分别是 的中点， 分别是 的中点，且 ，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 分别是 的中点
同理：
故答案为：C.
13．如图，在中，，线段绕点B旋转到，连接，E为的中点，连接，设的最大值为m，最小值为n，则（ ）
A．3.6 B．4.8 C．5 D．6
【答案】D
【解析】由旋转的性质可得出．
如图，取的中点F，连接．
∵，
∴，
∴是等边三角形．
∵E、F分别是的中点，
∴．
如图，当在上方时，
此时，如果C、E、F三点共线，则有最大值，最大值为，即；
如图，当在下方时，
此时，如果C、E、F三点共线时，有最小值，最小值为，即，
∴．
故答案为：D.
14．如图，在中，，是的中点，延长至点，使，连接，为中点，连接若，，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【解析】在中，
，，，
．
为中线，
．
∵F为DE中点，BE=BC，即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，
则．
故答案为：A.
15．如图，在正方形中，．E、F分别为边的中点，连接，点N、M分别为的中点，连接，则的长度为 ．
【答案】3
【解析】连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵M为DE的中点，
∴，
在中，
∴，
∴，，
∴，
∵点N为AF的中点，
∴，
∵F为BC的中点，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
16．如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为 ．
【答案】
【解析】如图，∵点C为坐标平面内一点，，
∴C在⊙B上，且半径为，
在x轴上取OD=OA=6，连接CD，
∵AM=CM，OD=OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM=CD，
∴即当OM最大时，CD最大，而D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB=OD=6，∠BOD=90°，
∴BD=，
∴CD=，且C（2，8），
∴OM=CD，即OM的最大值为，
∵M是AC的中点，则M（4，4）.
故答案为：（4，4）.
17．如图，已知△ABC（AB > AC）中，∠BAC = 60°，AC = 4，D为BC边上的中点，过点D的直线DF将△ABC的周长平分且交AB于点F，则DF的长为 ．
【答案】
【解析】如图：
延长延长BA至E，使AE=AC=4，取BE的中点F，连接DF，连接CE，过点A作AG⊥CE于点G，
∵D为BC边上的中点，∴BD=CD，
∵EF=BF，∴BD+BF=CD+AE+FA=CD+EF，
∴直线DF将△ABC的周长平分，
∵AE=AC=4，∠BAC=60°，
∴∠ACE=∠E=30°，
∴AG=AE=2，
∴EG=，
∵AE=AC，AG⊥CE，
∴GE=CE，
∵D为BC的中点，F为BE的中点，
∴FD为△BCE的中位线，
∴DF=CE=EG=.
故答案为：.
18．如图，在 中， 是对角线， ，点 是 的中点， 平分 ， 于点 ，连接 已知 ， ，则 的长为 .
【答案】
【解析】如图，延长AB 、 CF交于点H ，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
平分 ，
，
在 和 中，
，
≌ ，
， ，
，
点E是BC的中点， ，
，
故答案为： .
19．四边形 是平行四边形，对角线 交于点 ，点 是 边上一点， 连接 ，求证： .
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O为BD中点，
∵∠ADB=90°，AE=DE，
∴∠DAE=∠ADE，
∴∠DAE+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=90°，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE=BE，
∴AE=BE，即E为AB中点，
∴DE为三角形ABD的中位线，
∴OE= AD.
20．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，求MN的长度．
【答案】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，
在△BNA和△BNE中，
，
∴△BNA≌△BNE，
∴BA=BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），
∴MN是△ADE的中位线，
∴MN= DE，
∵BE+CD=AB+AC=19﹣BC=19﹣7=12，
∴DE=BE+CD﹣BC=5，
∴MN= DE= ．
21．如图，在中，，相交于点，，，，，，连接，与相交于点，连接．
（1）求的长；
（2）求证：；
（3）求的长．
【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，即，
在中，
根据勾股定理可得：，
即，
∴．
（2）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
（3）解：如图所示，过点P作交于点F，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴是的中位线，且，
在，根据勾股定理可得：
，即，
∴．
22．如图1，点是线段上一点，分别以、为直角边，在同侧作等腰直角三角形和，点、分别是斜边、的中点，点是线段的中点，连接、.
（1）观察猜想，图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：将图1中的绕着点顺时针旋转，如图2，点、、依然分别是、、的中点，请判断（1）中结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
（3）若将图1中和都换成等边三角形，将图1中的绕着点顺时针旋转，如图3，点、、P依然分别是、、的中点，请判断（1）中结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
【答案】（1）PM＝PN；PM⊥PN
（2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下：
如图所示，连接AE，BD两者交于点O，设BC与AE交于H，MP与AE交于G
∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=∠BCE+∠ECD=∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，
∵∠BHO=∠AHC，
∴∠BOH=∠ACH=90°，
∴∠HOD=90°，
同理得，PM∥BD，，PN∥AE，
∴PM=PN，∠OGP+∠GOD=180°，∠OGP+∠MPN=180°，
∴∠MPN=∠GOD=90°，
∴PM⊥PN；
（3）解：（1）中结论不成立，PM=PN，∠MPN=120°，
如图所示，连接AE，BD两者交于点O，设BC与AE交于H，MP与AE交于G
∵△ACB和△DCE都是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=∠BCE+∠ECD=∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，
∵∠BHO=∠AHC，
∴∠BOH=∠ACH=60°，
∴∠HOD=120°
同理得，PM∥BD，，PN∥AE，
∴PM=PN，∠OGP+∠GOD=180°，∠OGP+∠MPN=180°，
∴∠MPN=∠GOD=120°.
【解析】（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACE=∠ECD=90°，
∴△ACE≌△BCD（SAS），∠AEC+∠EAC=90°
∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，
∴∠BDC+∠EAC=90°，
∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P是线段AD的中点，
∴PM，PN分别是三角形ABD和三角形ADE的中位线，
∴，PM∥BD，，PN∥AE，
∴PM=PN，∠NPD=∠EAD，∠MPA=∠BDA，
∴∠NPD+∠MPA=90°，
∴∠MPN=90°，
∴PM⊥PN.
【直击中考】
23．（2022·丽水）如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点.若AB=6，BC=8，则四边形BDEF的周长是（ ）
A．28 B．14 C．10 D．7
【答案】B
【解析】∵D、E分别是AC和BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AB=BF=3，
同理EF=BC=BD=4，
∴四边形BDEF的周长 =BF+DE+EF+BD=3+3+4+4=14.
故答案为：B.
24．（2020·宁波）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE=BC，连结DE，F为DE中点，连结BF.若AC=8，BC=6，则BF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】B
【解析】∵∠ACB=90°，
∴AB= ，
∵CD为中线，
∴CD=AB=5，
∵BE=BC，F为DE中点，
∴BF为△CDF的中位线，
∴BF=CD=2.5，
故答案为：B.
25．（2022·宁波）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE=AD，DF=2，则BD的长为( )
A． B．3 C． D．4
【答案】D
【解析】∵△ABC是直角三角形， D为斜边AC的中点，
∴AD=BD=CD，
∵AE=AD，
∴AE=BD，
∵D为AC的中点，F为EC的中点，
∴DF为△ACE的中位线，
∴AE=2DF=4，
∴BD=AE=4.
故答案为：D.
26．（2022·安顺）如图，在中，，，是边的中点，是边上一点，若平分的周长，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】延长CF至F，使CF=CA，
∵∠BCA=120°，
∴∠ACF=60°，
∴△CFA是等边三角形，
∴AF=AC=2，
∵D是AB的中点，E是BC的一点， 平分的周长，
∴AC+CE+AD=BE+BD，AD=BD，
∴AC+CE=BE，
∵AC=CF，
∴CF+CE=BE，
即EF=EB，
∴ED是△ABF的中位线，
∴ED=FA=.
故答案为：C.
27．（2017·宁波）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD、CD于G、F两点．若M、N分别是DG、CE的中点，则MN的长为 （ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】C
【解析】取DF、CF中点K、H，连接MK、NH、CM，作MO⊥NH（如下图）.
∵四边形ABCD是边长为6的正方形，BE=4.
∴AE=DF=2，CF=BE=4.
∴△DGF∽△BGE
∴==.
∴GF=2，EF=4.
又∵M、N、K、H、都是中点，
∴MK=GF=1，NH=EF=3.KF=DF=1，FH=CF=2，
∴MK=OH=1.KH=MO=3
∴NO=2.
在Rt△MON中，
∴MN= = = .
故答案为C.
28．（2022·西藏）如图，如果要测量池塘两端A，B的距离，可以在池塘外取一点C，连接AC，BC，点D，E分别是AC，BC的中点，测得DE的长为25米，则AB的长为 米．
【答案】50
【解析】∵D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴AB=2DE=2×25=50（米）.
故答案为：50.
29．（2022·台州）如图，在 △ABC中， ∠ACB=90° ， D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为 ．
【答案】10
【解析】∵在Rt△ABC中，点D为AB的中点，
∴CD=AB，
∵点E，F是CB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=AB，
∴CD=EF=10.
故答案为：10.
30．（2022·镇江）如图，在和中，，、、分别为、、的中点，若，则 ．
【答案】1
【解析】∵Rt△ABC中，点E是AB的中点，DE=1，
∴AB=2DE=2，
∵点F、G分别是AC、BC中点，
∴
故答案为：1.
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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第4章 平行四边形
4.5三角形的中位线
【知识重点】
1.三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
3.三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形，三条中位线组成的新三角形是原三角形周长的一半，面积是原三角形的四分之一.
4.顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形.
【经典例题】
【例1】下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
已知：如图，中，D、E分别是的中点． 求证：∥，且．
方法一 证明：如图，延长至点F，使，连接． 方法二 证明：如图，过点C作∥交的延长线于F．
【例2】如图，在中，已知，，平分，于点，为中点．求的长．
【例3】如图，△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作等腰△ABM和等腰△CAN，AM=AB AC=AN，∠MAB=∠CAN.D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，EF.求证：DE=EF。
【基础训练】
1．如图，为了测量池塘边、两地之间的距离，在线段的同侧取一点，连结并延长至点，连结并延长至点，使得、分别是、的中点，若，则线段的长度是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在四边形ABCD中，，点E、F分别是AC、AD的中点，且，若，，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．8
3．如图，是的中线，，分别是，的中点，连接EF．若，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．4
4．如图，，分别是的边，的中点，点是线段上的一点，且，若，，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
5．三角形的三条中位线的长分别是3，4，5，则这个三角形的周长是 ．
6．如图，的对角线AC、BD相交于点O，P是AB边上的中点，且，则BC的长为 ；
7．已知一个三角形各边的比为2︰3︰4，连接各边中点所得的三角形的周长为18cm，那么原三角形最短的边的长为 cm．
8．如图，在中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，，，求四边形DECF的周长．
9．如图，CD是△ABC的中线，E为CD上一点，连接AE并延长至点F，使 ，连接BF，CF，若CF∥AB．求证：四边形DBFC是平行四边形．
10．如图，已知等边的边长为4，点D、E分别是、的中点，过点D作，交的延长线于点F，求的长．
【培优训练】
11．如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．如图，在 中， 分别是 的中点， 分别是 的中点，且 ，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
13．如图，在中，，线段绕点B旋转到，连接，E为的中点，连接，设的最大值为m，最小值为n，则（ ）
A．3.6 B．4.8 C．5 D．6
14．如图，在中，，是的中点，延长至点，使，连接，为中点，连接若，，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．6 D．8
15．如图，在正方形中，．E、F分别为边的中点，连接，点N、M分别为的中点，连接，则的长度为 ．
16．如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为 ．
17．如图，已知△ABC（AB > AC）中，∠BAC = 60°，AC = 4，D为BC边上的中点，过点D的直线DF将△ABC的周长平分且交AB于点F，则DF的长为 ．
18．如图，在 中， 是对角线， ，点 是 的中点， 平分 ， 于点 ，连接 已知 ， ，则 的长为 .
19．四边形 是平行四边形，对角线 交于点 ，点 是 边上一点， 连接 ，求证： .
20．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，求MN的长度．
21．如图，在中，，相交于点，，，，，，连接，与相交于点，连接．
（1）求的长；
（2）求证：；
（3）求的长．
22．如图1，点是线段上一点，分别以、为直角边，在同侧作等腰直角三角形和，点、分别是斜边、的中点，点是线段的中点，连接、.
（1）观察猜想，图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：将图1中的绕着点顺时针旋转，如图2，点、、依然分别是、、的中点，请判断（1）中结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
（3）若将图1中和都换成等边三角形，将图1中的绕着点顺时针旋转，如图3，点、、P依然分别是、、的中点，请判断（1）中结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
【直击中考】
23．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点.若AB=6，BC=8，则四边形BDEF的周长是（ ）
A．28 B．14 C．10 D．7
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE=BC，连结DE，F为DE中点，连结BF.若AC=8，BC=6，则BF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
25．如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE=AD，DF=2，则BD的长为( )
A． B．3 C． D．4
26．如图，在中，，，是边的中点，是边上一点，若平分的周长，则的长为（ ）
A． B． C． D．
27．如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD、CD于G、F两点．若M、N分别是DG、CE的中点，则MN的长为 （ ）
A．3 B． C． D．4
28．如图，如果要测量池塘两端A，B的距离，可以在池塘外取一点C，连接AC，BC，点D，E分别是AC，BC的中点，测得DE的长为25米，则AB的长为 米．
29．如图，在 △ABC中， ∠ACB=90° ， D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为 ．
30．如图，在和中，，、、分别为、、的中点，若，则 ．
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