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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第4章 平行四边形（解析版）
4.2平行四边形及其性质（3）
【知识重点】
1.平行四边形的对角线 互相平分 ，同时将这个平行四边形分成 4 个面积相等的三角形.
2.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
则有AO= CO ，BO= DO
【经典例题】
【例1】如图，的对角线，交于点，若，，，则的周长为
A．14 B．17 C．18 D．19
【答案】D
【解析】 四边形ABCD是平行四边形，
， ， ，
∴△ABC的周长 ，
故答案为：D．
【分析】由平行四边形的性质可得，，，根据△OBC的周长=BC+OC+OB即可求解.
【例2】如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是（ ）
A．10 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，
在△AOB中：4﹣3＜AB＜4+3，
即1＜AB＜7，
∴AB的长可能为6．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的性质可得OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，再利用三角形三边的关系求解即可。
【例3】如图，在周长为16cm的ABCD 中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AB于E，则△ADE的周长为 cm．
【答案】8
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，OB=OD，
∵OE⊥BD，
∴DE=BE，
∵ ABCD为16cm，
∴AD+AB=AD+AE+BE=AD+AE+DE=8cm，
∴△ADE的周长是8cm.
故答案为：8.
【分析】根据平行四边形的性质可得AD=BC，AB=CD，OB=OD，结合题意可得OE为BD的垂直平分线，则DE=BE，根据周长的意义可得AD+AB=AD+AE+BE=AD+AE+DE=8cm，进而可得△ADE的周长.
【例4】如图，平行四边形的对角线与相交于点，，垂足为，，，，则的长为 ．
【答案】
【解析】 四边形ABCD是平行四边形， ， ，
， ，
，
，
，
在 中， ， ，
，
.
故答案为：.
【分析】根据平行四边形的性质可得AO=AC=3，BO=BD=5，利用勾股定理逆定理知△AOB为直角三角形，且∠BAC=90°，利用勾股定理可得BC，然后根据等面积法可得AE的长.
【例5】如图，在 中，对角线，交于点，若，求与的长．
【答案】解：四边形是平行四边形，，
，，
，
，
，
，
【分析】根据平行四边形的性质可得CE=AC=2，BE=BD，根据垂直的概念可得∠ACB=90°，利用勾股定理可得BC、BE，进而可得BD.
【基础训练】
1．平行四边形的对角线一定具有的性质是（ ）
A．相等 B．互相平分
C．互相垂直 D．互相垂直且相等
【答案】B
【解析】平行四边形的对角线互相平分，
故选：B．
2．在平行四边形 中，对角线 相交于点 ，若 ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图
∵平行四边形ABCD,
∴AO=4,BD=5
∴ 的周长=AB+AO+BO=6+4+5=15
故答案为：C
3． ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AB=5，△OCD的周长为16，则AC与BD的和是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．22
【答案】D
【解析】如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，
∴CD=AB=5，
∵△OCD的周长为16，
∴DO+CO=16-5=11，
故AC+BD=2（DO+CO）=22，
故答案为：D.
4．在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=10，那么BC的取值范围是（ ）
A．8【答案】D
【解析】如图
∵ ABCD，AC=8，BD=10，
∴OB=BD=5，OC=AC=4
∴5-4＜BC＜5+4，即1＜BC＜9
故答案为：D
5．如图所示，在平面直角坐标系内，原点O恰好是 ABCD对角线的交点．若A点坐标为(2，3)，则C点坐标为( )
A．(－3，－2) B．(－2，3) C．(－2，－3) D．(2，－3)
【答案】C
【解析】已知原点O恰好是 ABCD对角线的交点，可得点C与点A关于原点对称，又因关于原点对称的两个点的坐标，横纵坐标互为相反数，A点坐标为（2，3），即可得C点坐标为（-2，-3）．故答案为：C
6．如图, ABCD的对角线交于点O，且AB=5, OCD的周长为23,则 ABCD的两条对角线长的和是 .
【答案】36
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AB=5，
∴OB=OD=BD，OA=OC=AC，CD=AB=5，
∵△ OCD的周长 =OD+OC+CD=23，
∴OC+OD=18，
即BD+AC=18，
∴BD+AC=36.
故答案为：36.
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于一点O，AB=11，△OCD的周长为27，则AC+BD=
【答案】32
【解析】∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于一点O，AB=11，
∴CD=11，
∵△OCD的周长为27，
∴CO+DO=27-11=16，
∴AC+BD=32．
8．如图，平行四边形 中， 、 相交于点 ，若 ， ，则 的周长为 .
【答案】14
【解析】∵平行四边形ABCD，
∴AC=2CO，BD=2BO，AD=BC=6
∵AC+BD=16
∴2CO+2BO=16，即CO+BO=8
∴△BOC的周长=OB+OC+BC=8+6=14
故答案为：14
9．已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，线段EF过点O交AD于点E，交BC于点F.求证：OE=OF.
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF.
10．如图所示，在 □ ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作一条直线分别交AB，CD于点E，F.
（1）求证：OE=OF；
（2）若四边形BCFE的周长为15，AB=6，BC=5，求OE的长.
【答案】（1）证明：在 □ ABCD中，
∵AC与BD相交于点O，
∴OA=OC，AB∥CD.
∠OAE=∠OCF
在△OAE和△OCF中，
∵
∴△OAE≌△OCF（ASA），∴OE=OF.
（2）解：∵△OAE≌△OCF，
CF=AE，∴BE+CF=AB=6
又∵四边形BCFE的周长=BE+CF+EF+BC=15，
EF=2OE=4，
∴OE=2.
【培优训练】
11．如图，EF过□ABCD对角线的交点O交AD于点E，交BC于点F,若□ABCD的周长为18，OE=1.5,则四边形EFCD的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
【答案】C
【解析】∵平行四边形ABCD，周长为18
∴OB=OD，AD∥BC，BC+CD=9
∴∠OBF=∠ODE
在△OBF和△ODE中，
∴△OBF≌△ODE（ASA）
∴OE=OF=1.5，DE=BF
∵四边形EFCD的周长为：DE+FC+EF+CD=BF+FC+2OE+CD=BC+CD+2OE=9+2×1.5=12.
故答案为：C.
12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD和交于点O，BC＝8，DB＝12，AC＝20，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．48 B．40 C．24 D．96
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形
∴，∴
∵，
∴
∴三角形OBC为直角三角形且∠OBC=90°
∴
∴
故答案为：D.
13．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B． C． D．6
【答案】B
【解析】作AM⊥BC于M，如图所示：
则∠AMB=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAM=30°，
∴BM=AB=×4=2，AM=BM=2，
∴S平行四边形ABCD=BC AM=12，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BO=DO，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴S△BOE=S△DOF，
∴图中阴影部分的面积= S△BOE+S△AOF= S△DOF+S△AOF= S△AOD = S平行四边形ABCD=3，
故答案为：B．
14．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE=4，DE=3，AB=5，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接，
平行四边形ABCD中，OE⊥AC
垂直平分，
AE=4，DE=3，AB=5，
，，
，，
，
是直角三角形，是等腰直角三角形，
．
故答案为：B．
15．如图，AC是□ABCD的对角线，将□ABCD折叠，使得点A与点C重合，再将其打开展平，得折痕EF，EF与AC交于点O，G为CF的中点，连接OG、CE．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】①∵A点沿EF对折后与C点重合
∴EF垂直平分AC(对称轴垂直平分对应点的连线)
∴AO=CO
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠CFO=∠AEO
∵AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，∠CFO=∠AEO
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF
∴AB-AE=CD-CF即DF=BE，故①符合题意
②∵EF垂直平分AC
∴AE=CE(垂直平分线上的点到两边距离相等)
∴∠CAE=∠ACE，
∵AB∥CD，
∴∠CAD=∠CAE，
∴
③∵EF⊥AC
∴△COF是直角三角形
∵G为CF的中点
∴，故③符合题意
④△CBE和四边形ABCD等高，但得不到它们的底BE和AB的数量关系，故④不符合题意．
①②③符合题意，④不符合题意
故答案为：B
16．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长是30，OE=3，则四边形ABFE的周长是 ．
【答案】21
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，对角线的交点为O，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF，AE=CF，
∵平行四边形ABCD的周长为30，
∴AB+BC=×30=15，
∴四边形ABFE的周长为：
AB+AE+BF+EF
=AB+BF+CF+2OE
=AB+BC+2×3
=15+6
=21，
故答案为：21．
17．如图，在平行四边形OABC中，、，若，直线l经过D点并且把平行四边形OABC的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式是 ．
【答案】
【解析】∵平行四边形OABC的顶点坐标分别为，、，
∴，
∵将平行四边形OABC的面积分成相等的两部分的直线一定过平行四边形OABC的对称中心Q，（对角线的交点）且OQ=BQ
∴平行四边形OABC的对称中心，
设直线l的解析式为，
把，代入，
得，解得
∴该直线的函数表达式为．
故答案为：．
18．如图，已知在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，E，F分别在线段OD，OB上，且OE=OF，连结CE，AF.
（1）求证：CE=AF；
（2）若∠DBA=45°，AB=1，求直线AD与BC之间的距离．
【答案】（1）证明：在□ABCD中，OC=OA
∵OE=OF，∠DOC =∠AOB
∴△EOC≌△FOA
∴CE=AF
（2）解：∵ AC⊥AB ∴∠CAB=90°，
∵∠DBA=45°， ∴∠AOB=45°
∴OA=AB=1， ∴ AC=2OA=2
∴ BC=
设AD、BC之间的距离为h，则h=
19．在中，.
（1）若，，求；
（2）若，，求的周长.
【答案】（1）解：∵中，BD=10，AC=26，
∴OD=5，OA=13，
∵AD=12
∴AD2+OD2=OA2，
∴是直角三角形，
即∠ADO=90°，
∴=ADBD=120.
答：等于120.
（2）解：如图，过点D作AC的垂线，交AC与点E，
在中，ABDC，ADBC
∴∠ADC+∠BCD=180，∠DCA=∠DAC
∵，，
∴∠BCD=75°，
∴，
∵∠CDE=90°-30°=60°，∠ADE=∠ADC-∠CDE=45°，
∴是等腰直角三角形，
∴DE=AD=12=6，
∵在Rt中，，
∴DC=2DE=26=12，
∴的周长=2(AD+DC)
=2(12+12)
=24+24.
答：的周长为24+24.
20．在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，F为对角线AC上一点，连接DE、BF，若∠ADE与∠CBF的平分线DG、BG交于AC上一点G，连接EG.
（1）如图1，点B、G、D在同一直线上，若∠CBF＝90°，CD＝3，EG＝2，求CE的长；
（2）如图2，若AG＝AB，∠DEG＝∠BCD，求证：AD＝BF+DE.
【答案】（1）解：如图，点B、G、D在同一直线上，
∵DG、BG分别是∠ADE与∠CBF的角平分线，且∠CBF＝90°，
∴∠CBD=45°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD=45°，
∴∠BDE=∠ADB=45°，
∴∠BED= ，
∴三角形BDE是等腰直角三角形， ，
在平行四边形ABCD中，则BD=DG，
∴线段EG是等腰直角三角形BDE的中线，
∴EG⊥BD，
∵ ，
∴ ，
在直角三角形CDE中，由勾股定理得
；
（2）证明：如图，在AD上取一点M，使得DM=DE，连接MG，
在△DMG和△DEG中，有
，
∴△DMG≌△DEG，
∴∠DMG=∠DEG=∠BCD，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠DMG=∠BAD，
∴MG∥AB，
∴∠BAF=∠AGM，
∵AG＝AB，
∴∠AGB=∠ABG，
∵∠ABG=∠ABF+∠FBG，∠AGB=∠GBC+∠BCG，
又∵∠FBG=∠GBC，
∴∠ABF=∠BCG，
∵AD∥BC，
∴∠BCG=∠MAG=∠ABF，
在△AMG和△BFA中，有
∴ ，
∴△AMG≌△BFA，
∴AM=BF，
∴AD=AM+MD=BF+DE.
【直击中考】
21．（2021·遵义）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A．OB＝OD B．AB＝BC
C．AC⊥BD D．∠ABD＝∠CBD
【答案】A
【解析】平行四边形对角线互相平分，A正确，符合题意；
平行四边形邻边不一定相等，B错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定互相垂直，C错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定平分内角，D错误，不符合题意.
故答案为：A.
22．（2019·柳州）如图，在□ABCD中，全等三角形的对数共有( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC：OD=OB，OA=OC：
∵OD=OB，OA=OC，∠AOD=∠BOC：
∴△AOD≌△COB(SAS)；①同理可得出△AOB≌△COD(SAS)；②
∵BC=AD，CD=AB，BD=BD：
∴△ABD≌△CDB(SSS)；③同理可得：△ACD≌△CAB(SSS).④
因此本题共有4对全等三角形。
故答案为：C。
23．（2016·丽水）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（ ）
A．13 B．17 C．20 D．26
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，
∴△OBC的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17．
故选：B．
24．（2022·广州）如图，在□ABCD中，AD=10，对角线AC 与BD相交于点O，AC+BD=22，则△BOC的周长为
【答案】21
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC=AC，BO=OD=BD，BC=AD=10，
∵AC+BD=22，
∴OC+BO=11，
∵BC=10，
∴△BOC的周长=OC+OB+BC=16+10=21．
故答案为：21．
25．（2021·嘉兴）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2 ，则AH的长为 ．
【答案】
【解析】在Rt△BAC中，
AC=，
∵ ABCD ，
∴OA=AC=，
∴OB=，
∴OA×AB=OB×AH，
∴AH=，
故答案为： .
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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第4章 平行四边形
4.2平行四边形及其性质（3）
【知识重点】
1.平行四边形的对角线 ，同时将这个平行四边形分成 个面积相等的三角形.
2.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
则有AO= ，BO=
【经典例题】
【例1】如图，的对角线，交于点，若，，，则的周长为
A．14 B．17 C．18 D．19
【例2】如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是（ ）
A．10 B．8 C．7 D．6
【例3】如图，在周长为16cm的ABCD 中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AB于E，则△ADE的周长为 cm．
【例4】如图，平行四边形的对角线与相交于点，，垂足为，，，，则的长为 ．
【例5】如图，在 中，对角线，交于点，若，求与的长．
【基础训练】
1．平行四边形的对角线一定具有的性质是（ ）
A．相等 B．互相平分
C．互相垂直 D．互相垂直且相等
2．在平行四边形 中，对角线 相交于点 ，若 ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
3． ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AB=5，△OCD的周长为16，则AC与BD的和是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．22
4．在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=10，那么BC的取值范围是（ ）
A．85．如图所示，在平面直角坐标系内，原点O恰好是 ABCD对角线的交点．若A点坐标为(2，3)，则C点坐标为( )
A．(－3，－2) B．(－2，3) C．(－2，－3) D．(2，－3)
6．如图, ABCD的对角线交于点O，且AB=5, OCD的周长为23,则 ABCD的两条对角线长的和是 .
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于一点O，AB=11，△OCD的周长为27，则AC+BD=
8．如图，平行四边形 中， 、 相交于点 ，若 ， ，则 的周长为 .
9．已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，线段EF过点O交AD于点E，交BC于点F.求证：OE=OF.
10．如图所示，在 □ ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作一条直线分别交AB，CD于点E，F.
（1）求证：OE=OF；
（2）若四边形BCFE的周长为15，AB=6，BC=5，求OE的长.
【培优训练】
11．如图，EF过□ABCD对角线的交点O交AD于点E，交BC于点F,若□ABCD的周长为18，OE=1.5,则四边形EFCD的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD和交于点O，BC＝8，DB＝12，AC＝20，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．48 B．40 C．24 D．96
13．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B． C． D．6
14．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE=4，DE=3，AB=5，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，AC是□ABCD的对角线，将□ABCD折叠，使得点A与点C重合，再将其打开展平，得折痕EF，EF与AC交于点O，G为CF的中点，连接OG、CE．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
16．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长是30，OE=3，则四边形ABFE的周长是 ．
17．如图，在平行四边形OABC中，、，若，直线l经过D点并且把平行四边形OABC的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式是 ．
18．如图，已知在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，E，F分别在线段OD，OB上，且OE=OF，连结CE，AF.
（1）求证：CE=AF；
（2）若∠DBA=45°，AB=1，求直线AD与BC之间的距离．
19．在中，.
（1）若，，求；
（2）若，，求的周长.
20．在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，F为对角线AC上一点，连接DE、BF，若∠ADE与∠CBF的平分线DG、BG交于AC上一点G，连接EG.
（1）如图1，点B、G、D在同一直线上，若∠CBF＝90°，CD＝3，EG＝2，求CE的长；
（2）如图2，若AG＝AB，∠DEG＝∠BCD，求证：AD＝BF+DE.
【直击中考】
21．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A．OB＝OD B．AB＝BC
C．AC⊥BD D．∠ABD＝∠CBD
22．如图，在□ABCD中，全等三角形的对数共有( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
23．如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（ ）
A．13 B．17 C．20 D．26
24．如图，在□ABCD中，AD=10，对角线AC 与BD相交于点O，AC+BD=22，则△BOC的周长为
25．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2 ，则AH的长为 ．
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