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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第4章 平行四边形
4.2平行四边形及其性质（1）
【知识重点】
1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2、平行四边形的表示：平行四边形用符号“□”表示，平行四边形ABCD可记做“□ABCD”.
3、平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，平行四边形的对边相等.
【经典例题】
【例1】在平行四边形ABCD中，有两个内角的度数比为1：5，则平行四边形ABCD中较小内角的度数为 ．
【例2】如图，在□ABCD中，AD=12cm，AB=8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长 ．
【例3】如图，在中，点、在对角线上，且，连接、．求证：，．
【基础训练】
1．若平行四边形中两内角的度数比为2：3，则其中较小的内角是（ ）
A． B． C． D．
2．在平行四边形ABCD中，如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．平行四边形相邻两角中，其中一个角的度数与另一个角的度数之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
4．平行四边形不一定具有的特征是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线相等 D．内角和为360°
5．如图，四边形ABCD为平行四边形，作的平分线AE，交边于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，的周长为，的周长为，则对角线的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于E，AF⊥DE于F，已知∠DAF＝58°，则∠B＝ ．
8．已知中，，且AB的长是周长的，那么 ．
9．在平行四边形中，，则的度数是 ．
10．如图，已知E、F别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的两点，且∠CBF＝∠ADE，求证：△ADE≌△CBF．
11．已知：如图，在中，过点B，D分别作对角线的垂线，垂足为点E，F．
求证：．
12．已知: ,AE⊥BC于E,CF⊥AD于F，求证：BE=DF.
【培优训练】
13．如图，在中，平分交于点E．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在平行四边形中，平分，，，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
15．如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0， 2），（-1，-1）（2， -1），则顶点D的坐标是（ ）
A．（-3， 2） B．（3， -2） C．（3， 2） D．（2， 2）
16．如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交AD于点F；分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G：连接AG并延长，交BC于点E．连接BF，若，，则AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
17．如图，在□ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则的值是（ ）
A． B． C． D．
18．如图，平行四边形中，和的平分线交于E、F两点，则的长是 ．
19．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝ ．
20．如图，□ABCD中，∠ABC＝120°，点E，F分别在AB，BC的延长线上，EF⊥AB于点E，FDAC，CE＝1，则EF的长是 ．
21．如图，将平行四边形进行折叠，折叠后恰好经过点C得到，若，则线段的长度为 ．
22．如图，在中，和的角平分线与相交于点，且点恰好落在上；
（1）求证：
（2）若，求的周长．
23．如图，在中，，过点A作于点E，连接BE，延长EA至点F，使，连接DF．求证：．
24．如图，在中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，，连接DE，求DE的长．
【直击中考】
25．在□ABCD中（如图），连接AC，已知∠BAC=40°，∠ACB=80°，则∠BCD=（ ）
A．80° B．100° C．120° D．140°
26．如图，在中，，若，则的度数是 .
27．如图，在□ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
28．如图，在△ABC中，∠A=40°，AB=AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作 BCDE，则∠E的度数为( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
29．如图，在□ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F。
求证：AE＝CF。
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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第4章 平行四边形（解析版）
4.2平行四边形及其性质（1）
【知识重点】
1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2、平行四边形的表示：平行四边形用符号“□”表示，平行四边形ABCD可记做“□ABCD”.
3、平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，平行四边形的对边相等.
【经典例题】
【例1】在平行四边形ABCD中，有两个内角的度数比为1：5，则平行四边形ABCD中较小内角的度数为 ．
【答案】30°或30度
【解析】不妨设∠A：∠B＝5：1，即∠A＝5∠B，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∴6∠B＝180°，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝150°，
∴ ABCD中较小内角为30°，
故答案是：30°．
【分析】先求出AD∥BC，再求出∠A＝150°，最后计算求解即可。
【例2】如图，在□ABCD中，AD=12cm，AB=8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长 ．
【答案】4cm
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=12cm，AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵AE平分∠BAD，
∴∠3=∠1，
∴∠2=∠3，
∴BE=AB=8（cm），
∴CE=BC-BE=4（cm）．
故答案为：4cm．
【分析】先利用平行四边形和角平分线的定义可得∠2=∠3，从而得到BE=AB=8，最后利用线段的和差求出CE的长即可。
【例3】如图，在□ABCD中，点、在对角线上，且，连接、．求证：，．
【答案】解：∵四边形是平行四边形，
∴，.
∴.
又∵，
∴（SAS），
∴，.
∴.
∴.
【分析】 由平行四边形的性质可得，，利用平行线的性质可得，根据SAS证明，可得，，即得，根据平行线的判定即证结论.
【基础训练】
1．若平行四边形中两内角的度数比为2：3，则其中较小的内角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，设，，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
解得：，
，
即其中较小的内角是，
故答案为：D．
2．在平行四边形ABCD中，如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴，
故答案为：D
3．平行四边形相邻两角中，其中一个角的度数与另一个角的度数之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得
x+y=180°
即
故答案为：C．
4．平行四边形不一定具有的特征是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线相等 D．内角和为360°
【答案】C
【解析】A、平行四边形的两组对边分别平行，故此选项不符合题意；
B、平行四边形的两组对角分别相等，故此选项不符合题意；
C、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，故此选项符合题意；
D、平行四边形内角和为360°，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
5．如图，四边形ABCD为平行四边形，作的平分线AE，交边于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠BAD=∠C，
∴∠BAD+∠B=180°，∠BAE=∠DEA=30°，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAD=2∠BAE=60°，
∴∠C=60°．
故答案为：B．
6．如图，□ABCD的周长为，的周长为，则对角线的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ABCD的周长是36cm，
∴AB+BC＝18cm，
∵△ABC的周长是28cm，
∴AB+BC+AC＝28cm，
∴AC＝（AB+BC+AC）﹣（AB+BC）＝28﹣18＝10（cm）．
故答案为：C．
7．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于E，AF⊥DE于F，已知∠DAF＝58°，则∠B＝ ．
【答案】64°
【解析】在Rt△ADF中，∠DAF=58°，∠AFD=90°，
∴∠ADE=32°，
又∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠ADE=64°，
∴∠B=∠ADC=64°．
故答案为：64°．
8．已知□ABCD中，，且AB的长是周长的，那么 ．
【答案】10
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵AB＝6，且AB的长是四边形ABCD周长的，
∴四边形ABCD周长为：6÷＝32，
∴AB＋BC＝×32＝16，
∴BC＝16 AB＝16 6＝10．
故答案为10．
9．在平行四边形中，，则的度数是 ．
【答案】140°
【解析】如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝40°，
∴∠B＝140°，
故答案为：140°.
10．如图，已知E、F别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的两点，且∠CBF＝∠ADE，求证：△ADE≌△CBF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD=BC．
又∵∠CBF=∠ADE，∴△ADE≌△CBF（ASA）．
11．已知：如图，在□ABCD中，过点B，D分别作对角线的垂线，垂足为点E，F．
求证：．
【答案】证明：∵在□ABCD中，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
又∵∠AEB=∠CFD=90°，
∴，
∴．
12．已知:□ABCD ,AE⊥BC于E,CF⊥AD于F，求证：BE=DF.
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴△ABE≌△CDF,
∴BE=DF.
【培优训练】
13．如图，在□ABCD中，平分交于点E．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∴∠B+∠BCD=180°，
∵∠B=46°，
∴∠BCD=134°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=67°，
∴∠BCE=∠CED=67°，
∴∠AEC=113°，
故答案为：B．
14．如图，在平行四边形中，平分，，，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC＝8，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠DEC，
∴CE＝DC，
∵BC＝8，BE＝3，
∴CD＝CE＝8 3＝5，
故答案为：A．
15．如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0， 2），（-1，-1）（2， -1），则顶点D的坐标是（ ）
A．（-3， 2） B．（3， -2） C．（3， 2） D．（2， 2）
【答案】C
【解析】的顶点A，B，C的坐标分别是，，，
，
∵轴，，
轴，
，故C符合题意．
故答案为：C．
16．如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交AD于点F；分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G：连接AG并延长，交BC于点E．连接BF，若，，则AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】B
【解析】设与交于点，
由作图知，，平分，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
故答案为：B．
17．如图，在□ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，过点B作BH⊥AD于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC+∠DAB＝180°，
∵∠ADC＝105°，
∴∠DAB＝75°，
∵AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA＝75°，
∴∠BDA＝30°，
∴BD＝2BH＝AD，DH＝BH，
∴AH＝2BH﹣BH，
∵∠EBA＝60°，
∴∠BEA＝180°﹣∠DAB﹣∠ABE＝45°，
∴∠EBH＝45°＝∠BEH，
∴BH＝EH，
∴DE＝BH﹣BH，AE＝3BH﹣BH，
∴＝
故答案为：D.
18．如图，平行四边形中，和的平分线交于E、F两点，则的长是 ．
【答案】2
【解析】∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
又∵AD∥CB，
∴∠AEB＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
则BE＝AB＝4；
同理可得，CF＝CD＝4，
∴EF＝BE＋CF BC＝BE＋CF AD＝4＋4 6＝2．
故答案为：2．
19．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝ ．
【答案】．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，AB∥CD，
∴∠GCE＝∠B＝60°，
∵E是BC的中点，
∴CE＝BE＝2，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥DG，
∴∠G＝90°，
∴CG＝CE＝1，
∴EG＝CG＝，DG＝CD＋CG＝3＋1＝4，
∴DE＝；
故答案为．
20．如图，□ABCD中，∠ABC＝120°，点E，F分别在AB，BC的延长线上，EF⊥AB于点E，FDAC，CE＝1，则EF的长是 ．
【答案】
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，BC∥AD，
∵FD∥AC，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴CF＝BC＝AD，即点C为BF中点，
∴BF＝2CE＝2，
∵EF⊥AB，
∴∠FEA＝90°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠FBE＝60°，
∴∠BFE＝30°，
∴BE＝BF＝1，
∴EF=，
故答案为：．
21．如图，将平行四边形进行折叠，折叠后恰好经过点C得到，若，则线段的长度为 ．
【答案】12
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，AB＝CD＝DE＋CE＝9，ABCD
∴∠BAC＝∠ACD＝90°
∴∠ECD'＝90°
∵将平行四边形ABCD进行折叠，折叠后AD恰好经过点C得到AD'，
∴D'E＝DE＝5，AD＝AD'
∴CD'＝＝3
∴AD'＝AC＋3＝AD＝BC
∵BC2＝AB2＋AC2，
∴（AC＋3）2＝81＋AC2，
∴AC＝12
故答案为：12．
22．如图，在□ABCD中，和的角平分线与相交于点，且点恰好落在上；
（1）求证：
（2）若，求的周长．
【答案】（1）证明：分别平分和
，
（2）解：
平分
同理可证
23．如图，在中，，过点A作于点E，连接BE，延长EA至点F，使，连接DF．求证：．
【答案】证明：，
，
四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
24．如图，在□ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，，连接DE，求DE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵点F为DC的延长线上的一点，∴AB∥DF，∴∠BAE＝∠CFE，∠ECF＝∠EBA，∵E为BC中点，∴BE＝CE，则在△BAE和△CFE中， ，∴△BAE≌△CFE（），∴AB＝CF，∴CF＝CD；
（2）解：由（1）得：CF＝CD，△BAE≌△CFE，∴AE＝EF，DF＝2CD，∵AB＝CD，∴DF＝2AB，∵AD＝2AB，∴AD＝DF，∵AE＝EF，∴DE⊥AF在中，，∴
【直击中考】
25．（2022·湘潭）在□ABCD中（如图），连接AC，已知∠BAC=40°，∠ACB=80°，则∠BCD=（ ）
A．80° B．100° C．120° D．140°
【答案】C
【解析】∵∠B=180°-∠BAC-∠ACB
=180°-40°-80°
=60°，
∵ ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠BCD=180°-∠B=180°-60°=120°.
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B的度数，由平行四边形的性质得出AB∥CD，然后由平行线的性质求∠BCD的度数即可.
26．（2022·淮安）如图，在□ABCD中，，若，则的度数是 .
【答案】40°
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：40°.
27．（2022·内江）如图，在□ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，
∴∠ABM＝∠CMB，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM＝∠CBM，
∴∠CBM＝∠CMB，
∴MC＝BC＝8，
∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4.
故答案为：B.
28．（2020·温州）如图，在△ABC中，∠A=40°，AB=AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作 BCDE，则∠E的度数为( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【解析】 在 中， ， ，
，
四边形 是平行四边形，
．
故答案为： ．
29．（2018·衢州）如图，在□ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F。
求证：AE＝CF。
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∴∠BAE=∠DCF
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°
∴△ABE≌△CDF
∴AE=CF
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