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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第4章 平行四边形（解析版）
4.2平行四边形及其性质（2）
【知识重点】
1、夹在两条平行线间的平行线段相等，夹在两条平行线间的垂线段相等.
2、两条平行线中，一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，叫做这两条平行线之间的距离.
【经典例题】
【例1】如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定
【答案】C
【解析】∵直线AB∥CD，P是AB上的动点，
∴当点P的位置变化时，
点P到CD的距离不变即△PCD的边CD上的高不变.
∴△PCD的面积不变.
故答案为：C.
【分析】根据平行线间的距离相等，可知当点P的位置变化时，CD不变且CD边上的高也不变，根据三角形的面积公式即可判断.
【例2】如图所示，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法中错误的是（ ）
A．CE∥FG
B．CE=FG
C．A，B两点之间的距离就是线段AB的长
D．直线a，b之间的距离就是线段CD的长
【答案】D
【解析】A、∵CE⊥b，FG⊥b，∴CE∥FG，正确，不符合题意；
B、∵AB∥CD， CE∥FG，∴四边形FGEC为平行四边形，∴CE=FG，正确，不符合题意；
C、 A，B两点之间的距离就是线段AB的长，正确，不符合题意；
D、∵CD不是a与b之间的垂线段，∴ 直线a，b之间的距离不是是线段CD的长，错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】同垂直于一条直线的两直线平行，依此判断A；先证明四边形FGEC为平行四边形，则可得出CE=FG，从而判断B；连接两点之间的距离为线段的长，依此判断C；两平行线间的垂线段的长度为两平行线之间的距离，依此判断D.
.
【例3】已知三条相互平行的直线l1，l2，l3，其中l1，l2之间的距离为2cm，l2，l3之间的距离为3cm，则l1与l3之间的距离为 。
【答案】1cm或5cm
【解析】当直线l2直线在l1与l3之间时，
l1与l3之间的距离为：2+3=5（cm），
当直线l1直线在l2与l3之间时，
l1与l3之间的距离为：3-1=1（cm），
综上， l1与l3之间的距离为1cm或5cm.
故答案为：1cm或5cm .
【分析】分两种情况讨论，即当直线l2直线在l1与l3之间时和当直线l1直线在l2与l3之间时，根据平行线的距离分别求解即可.
【例4】如图，四边形ABCD是一个平行四边形，BE⊥CD于点E，BF⊥AD于点F.
（1）平行线AD与BC之间的距离是线段 的长度。
（2）若BE=2cm，BF=4cm，则平行线AB与CD之间的距离为 。
（3）若AB=6cm，AD=4cm，∠ABC=150°，则平行四边形ABCD的面积为 。
（4）若AB=6cm，AD=4cm，AB和CD之间的距离为2cm，则AD与BC之间的距离为 。
【答案】（1）BF （2）2cm （3）12cm2 （4）3cm
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
又BF⊥AD，
∴BF⊥BC，
∴BF是AD和BC之间的距离.
故答案为：BF.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
又BE⊥CD，
∴BE⊥AB，
∴BE是AB和CD之间的距离，
即平行线AB与CD之间的距离为2cm.
故答案为：2cm.
(3)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，BC=AD=4cm，
∴∠C=180°-∠ABC=30°，
∴BE=BC=2cm，
∴平行四边形ABCD的面积=AB×BE=6×2=12cm2.
(4)∵平行四边形ABCD的面积=AD×BF=AB×BE=12cm2，
∴BF=12÷4=3cm，
即AD和BC之间的距离为3cm.
故答案为：3cm.
【分析】(1)根据平行四边形的性质得出BC∥AD，然后根据平行线间的距离的定义得出BE是AB和CD之间的距离，即可解答；
(2)利用(1)的方法得出BE是AB和CD之间的距离，即可解答；
(3)根据平行线的性质求出∠C的度数，然后根据含30°角的直角三角形的性质求出BE的长，最后计算面积即可；
(4)根据等积法求出BF长，则可根据平行线间的距离定义解答即可.
【基础训练】
1．如图，在中，，下列说法不正确的是（ ）
A．表示的是A、E两点间的距离 B．表示的是A点到的距离
C．表示的是与间的距离 D．表示的是与间的距离
【答案】D
【解析】A、AE表示的是A、E两点间的距离，不符合题意；
B、AE表示的是A点到BC的距离，不符合题意；
C、AE表示的是AD与BC间的距离，不符合题意；
D、AE表示的是AD与BC间的距离，符合题意.
故答案为：D.
2．如图，已知直线a//b//c，直线d与直线a，b，c分别垂直，垂足是点C，B， A．若AB＝2，AC＝5，则直线a，b的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】∵直线a//b//c，直线d与直线a，b，c分别垂直，
∴AB的长为平行线b与c的距离，AC的长为平行线a与c的距离，
直线a，b的距离是BC=AC-AB=5-2=3．
故答案为：B．
3．如图，直线l1∥l2，线段AB的端点A，B分别在直线11和12上，AB＝6.点C在直线12上，∠ABC＝30°，则这两条直线的距离是（ ）
A．3 B．6 C．2 D．3
【答案】A
【解析】如图，过点A作AH⊥BC于H.
在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，AB＝6，∠ABH＝30°，
∴AH＝ AB＝3，
故答案为：A.
4．如图，四边形中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABO＝5cm2，S△DCO为（ ）
A．5cm2 B．4cm2 C．3cm2 D．2cm2
【答案】A
【解析】分别过点A、D作、，如下图：
∵
∴
又∵，
∴
∵，
∴
故答案为：A
5．在□ABCD 中，∠A=150°，AB=8cm,BC=10cm,若点 P 是□ABCD 上 AD 上任意一点，那么△PBC
的面积是
【答案】
【解析】作AE⊥BC于E，
∵四边形ABCD是平行四边形，且∠BAD=150 ，
∴∠ABC=180 150 =30 ，
在Rt△ABE中，AB=8cm，∠AEB=90 ，∠ABC=30 ，
∴AE= AB=4cm，
∵ （ ） ．
故答案为： 20 ．
6．在 ABCD中，AB＝15，AD＝9，AB和CD之间的距离为6，则AD和BC之间的距离为 。
【答案】10
【解析】由题意得，S四边形ABCD=AB×DE=BC×DF，
∴15×6=9×DF，∴DF=10，即AD与BC之间的距离为10．
7．如图所示，a∥b，点A，E，F在直线a上，点B，C，D在直线b上，BC=EF，△ABC与△DEF的面积相等吗？为什么？
【答案】解：△ABC和△DEF的面积相等。理由如下：
如图，过点A作AH1⊥直线b，垂足为点H1，过点D作DH2⊥直线a，垂足为点H2，设△ABC和△DEF的面积分别为S1和S2，
则S1=BCAH1，S2=EF·DH2
∵a∥b，AH1⊥直线b，DH2⊥直线a，
AHI=DH2
又∵BC=EF，
S1=S2，即△ABC与△DEF的面积相等。
8．如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB=4cm，S△ABC=12cm2，求△ABD中AB边上的高．
【答案】解：S△ABC= AB BC= ×4 BC=12，
解得 BC=6，
∵AB∥CD，
∴点D到AB边的距离等于BC的长度，
∴△ABD中AB边上的高等于6cm
【培优训练】
9．在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为，b与c间的距离为，则a与c间的距离为（ ）cm．
A．3 B．7 C．3或7 D．2或3
【答案】C
【解析】①当直线c在直线a、b外时，
∵a与b间的距离为，b与c间的距离为，
∴a与c间的距离为；
②直线c在直线a、b之间时，
∵a与b间的距离为，b与c间的距离为，
∴a与c间的距离为；
综上，a与c间的距离为或，
故答案为：C．
10．如下图中，，cm，cm，若点P是上CD上任意一点，那么的面积是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过C作CH⊥AB于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D=30°，CD∥AB，
在Rt△CHB中，BC=8cm，∠ABC=30°，则CH= BC=4cm，
∵AB=12cm，
∴的面积是×12×4=24cm2，
故答案为：C．
11．如图， ，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为 ， ， 上的动点，连接AB、AC、BC，AC与 交于点D， ，则BD的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值，
此时，AD=CD，∠ABC=90°，
∴BD=AD=BD= AC=2，
∴BD的最小值为2．
故答案为：A．
12．如图，，，．下面给出四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①②③④
【答案】D
【解析】由已知可得，四边形ABCD和四边形BDFE都是平行四边形，故AB=CD，BE=DF，AC=EF；
又因为ABCD和BDFE同底同高，所以面积相等；
由AC=EF可得AE=CF，则根据等底等高，S△ABE=S△DCF．
故答案为：D．
13．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=8，∠B=60°，∠BAD 与∠CDA的角平分线AE、BF相交于点G，且交BC于点E、F，则图中阴影部分的面积是 .
【答案】
【解析】过G作GH⊥AD于点H，交BC于点I，如图所示，
∴，，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠DAE=∠BAE，
∴∠AEB=∠BAE，
∴BE=AB=6，
同理可得CF=AB=CD=6，
∴EF=BE+CF-BC=6+6-8=4，
∵AD∥BC，
∴，
∴，
∴，，
则，，
∴.
故答案为：.
14．如图，在△ABC中，D是AB上任意一点，E是BC的中点，过C作CF∥AB，交DE的延长线于F，连BF，CD若∠FDB=30°，∠ABC=45°，BC=2 ，则DF= 。
【答案】4
【解析】如图，作CH⊥DB，FK⊥DB，
∵CF∥AB，
∴CH=FK，
∵∠ABC=45°，
∴CH=HB，
在Rt△BHC中，由勾股定理得，BH2=CH2+BH2，
∴CH=BC=2=FK，
在Rt△DFK中，∠FDB=30°，
∴DF=2FK=2×2=4；
故答案为：4.
15．如图，直线l1、l2、l3分别过正方形ABCD的三个顶点A，B，D，且相互平行，若l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为1，则该正方形的面积是 ．
【答案】5
【解析】过点B作BE⊥l1于E，过点D作DF⊥l1于F，
∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为1，l1∥l2∥l3，
∴DF=2，BE=1，∠DFA=∠AEB=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∴∠DAF+∠BAE=90°，
∴∠ADF=∠BAE，
在△ADF和△BAE中，
，
∴△ADF≌△BAE（AAS）∴AE=DF=2，
在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=12+22=5，
∴S正方形ABCD=5．
故答案为：5．
16．如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=1，则AB与CD之间的距离等于 ．
【答案】2
【解析】过O作OF⊥AB，OG⊥CD，
∵AO为∠BAC的平分线，且OE⊥AC，OF⊥AB，
∴OE=OF=1，
∵CO为∠BAC的平分线，且OE⊥AC，OG⊥CD，
∴OG=OE=1，∴FG=OF+OG=2，
∵AB∥CD，
∴AB与CD之间的距离等于2，
故答案为：2
17．有这样的一个定理：夹在两条平行线间的平行线段相等．下面经历探索与应用的过程．
（1）探索：
已知：如图1，AD∥BC，AB∥CD．求证：AB=CD．
应用此定理进行证明求解．
（2）应用一、已知：如图2，AD∥BC，AD＜BC，AB=CD．求证：∠B=∠C；
（3）应用二、已知：如图3，AD∥BC，AC⊥BD，AC=4，BD=3．求：AD与BC两条线段的和．
【答案】（1）证明：如图1，
连接AC，
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA
∵AB∥CD．∴∠BAC=∠DCA
在△ABC和△CDA中， ，
∴△ABC≌△CDA（ASA），
∴AB=CD；
（2）证明：如图2，
作DE∥AB交BC于点E，
∵AD∥BC，
∴AB=DE
∵AB=CD，
∴DE=CD，
∴∠DEC=∠C
∵DE∥AB，
∴∠B=∠DEC，
∴∠B=∠C；
（3）解：如图3，
作DF∥AC交BC的延长线于点F
∵AD∥BC，∴AC=DF、AD=CF，
∵DF∥AC，∴∠BDF=∠BEC，
∵AC⊥BD，∴∠BDF=∠BEC=90°，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：BF=5，
故BC+AD=BC+CF=BF=5．
18．如图
如图1，已知直线m∥n，点A，B在直线n上，点C，P在直线m上。
（1）写出图1中面积相等的各对三角形： 。
（2）如图1，A，B，C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有 与△ABC的面积相等。
（3）如图2，一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC（或BC的延长线）于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积？
【答案】（1）△CAB与△PAB，△BCP与△APC，△ACO与△BPO
（2）△PAB
（3）解：能。连结EC，过点D作直线DM∥EC交BC的延长线于点M，连结EM，线段EM所在的直线即为所求的直线。
【解析】（1）∵m∥n，
∴点C，P到直线n的距离与点A，B到直线m的距离相等.
又∵同底等高的三角形的面积相等，
∴图1中符合条件的三角形有：△CAB与△PAB，△BCP与
△APC，△ACO与△BPO.
故答案为△CAB与△PAB，△BCP与△APC，△ACO与△BPO.
（2）∵m∥n，点C，P到直线n的距离是相等的，
∴△ABC与△PAB的公共边AB上的高相等，
∴总有△PAB与△ABC的面积相等。
故答案为△PAB。
【直击中考】
19．（2018·铜仁）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离为（ ）
A．1cm B．3cm C．5cm或3cm D．1cm或3cm
【答案】C
【解析】当直线c在a、b之间时，
∵a、b、c是三条平行直线，
而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，
∴a与c的距离=4-1=3（cm）；
当直线c不在a、b之间时，
∵a、b、c是三条平行直线，
而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，
∴a与c的距离=4+1=5（cm），
综上所述，a与c的距离为3cm或5cm．
故答案为：C．
20．（2020·铜仁）设 ， ， 是同一平面内三条互相平行的直线，已知 与 的距离是 ， 与 的距离是 ，则 与 的距离等于 .
【答案】7或17
【解析】分两种情况：
①当 在 ， 之间时，如图：
与 的距离是 ， 与 的距离是 ，
与 的距离为 .
②当 在 ， 同侧时，如图：
与 的距离是 ， 与 的距离是 ，
与 的距离为 .
综上所述， 与 的距离为 或 .
故答案为：7或17.
21．（2013·宿迁）在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1．过点C作直线l∥AB，P为直线l上一点，且AP=AB．则点P到BC所在直线的距离是（ ）
A．1 B．1或
C．1或 D． 或
【答案】D
【解析】①如图，延长AC，做PD⊥BC交点为D，PE⊥AC，交点为E，
∵CP∥AB，
∴∠PCD=∠CBA=45°，
∴四边形CDPE是正方形，
则CD=DP=PE=EC，
∵在等腰直角△ABC中，AC=BC=1，AB=AP，
∴AB= = ，
∴AP= ；
∴在直角△AEP中，（1+EC）2+EP2=AP2
∴（1+DP）2+DP2=（ ）2，
解得，DP= ；
②如图，延长BC，作PD⊥BC，交点为D，延长CA，作PE⊥CA于点E，
同理可证，四边形CDPE是正方形，
∴CD=DP=PE=EC，
同理可得，在直角△AEP中，（EC﹣1）2+EP2=AP2，
∴（PD﹣1）2+PD2=（ ）2，
解得，PD= ；
故选D．
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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第4章 平行四边形
4.2平行四边形及其性质（2）
【知识重点】
1、夹在两条平行线间的平行线段相等，夹在两条平行线间的垂线段相等.
2、两条平行线中，一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，叫做这两条平行线之间的距离.
【经典例题】
【例1】如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定
【例2】如图所示，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法中错误的是（ ）
A．CE∥FG
B．CE=FG
C．A，B两点之间的距离就是线段AB的长
D．直线a，b之间的距离就是线段CD的长
【例3】已知三条相互平行的直线l1，l2，l3，其中l1，l2之间的距离为2cm，l2，l3之间的距离为3cm，则l1与l3之间的距离为 。
【例4】如图，四边形ABCD是一个平行四边形，BE⊥CD于点E，BF⊥AD于点F.
（1）平行线AD与BC之间的距离是线段 的长度。
（2）若BE=2cm，BF=4cm，则平行线AB与CD之间的距离为 。
（3）若AB=6cm，AD=4cm，∠ABC=150°，则平行四边形ABCD的面积为 。
（4）若AB=6cm，AD=4cm，AB和CD之间的距离为2cm，则AD与BC之间的距离为 。
【基础训练】
1．如图，在中，，下列说法不正确的是（ ）
A．表示的是A、E两点间的距离 B．表示的是A点到的距离
C．表示的是与间的距离 D．表示的是与间的距离
2．如图，已知直线a//b//c，直线d与直线a，b，c分别垂直，垂足是点C，B， A．若AB＝2，AC＝5，则直线a，b的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，直线l1∥l2，线段AB的端点A，B分别在直线11和12上，AB＝6.点C在直线12上，∠ABC＝30°，则这两条直线的距离是（ ）
A．3 B．6 C．2 D．3
4．如图，四边形中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABO＝5cm2，S△DCO为（ ）
A．5cm2 B．4cm2 C．3cm2 D．2cm2
5．在□ABCD 中，∠A=150°，AB=8cm,BC=10cm,若点 P 是□ABCD 上 AD 上任意一点，那么△PBC
的面积是
6．在 ABCD中，AB＝15，AD＝9，AB和CD之间的距离为6，则AD和BC之间的距离为 。
7．如图所示，a∥b，点A，E，F在直线a上，点B，C，D在直线b上，BC=EF，△ABC与△DEF的面积相等吗？为什么？
8．如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB=4cm，S△ABC=12cm2，求△ABD中AB边上的高．
【培优训练】
9．在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为，b与c间的距离为，则a与c间的距离为（ ）cm．
A．3 B．7 C．3或7 D．2或3
10．如下图中，，cm，cm，若点P是上CD上任意一点，那么的面积是( )
A． B． C． D．
11．如图， ，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为 ， ， 上的动点，连接AB、AC、BC，AC与 交于点D， ，则BD的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．如图，，，．下面给出四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①②③④
13．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=8，∠B=60°，∠BAD 与∠CDA的角平分线AE、BF相交于点G，且交BC于点E、F，则图中阴影部分的面积是 .
14．如图，在△ABC中，D是AB上任意一点，E是BC的中点，过C作CF∥AB，交DE的延长线于F，连BF，CD若∠FDB=30°，∠ABC=45°，BC=2 ，则DF= 。
15．如图，直线l1、l2、l3分别过正方形ABCD的三个顶点A，B，D，且相互平行，若l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为1，则该正方形的面积是 ．
16．如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=1，则AB与CD之间的距离等于 ．
17．有这样的一个定理：夹在两条平行线间的平行线段相等．下面经历探索与应用的过程．
（1）探索：
已知：如图1，AD∥BC，AB∥CD．求证：AB=CD．
应用此定理进行证明求解．
（2）应用一、已知：如图2，AD∥BC，AD＜BC，AB=CD．求证：∠B=∠C；
（3）应用二、已知：如图3，AD∥BC，AC⊥BD，AC=4，BD=3．求：AD与BC两条线段的和．
18．如图
如图1，已知直线m∥n，点A，B在直线n上，点C，P在直线m上。
（1）写出图1中面积相等的各对三角形： 。
（2）如图1，A，B，C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有 与△ABC的面积相等。
（3）如图2，一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC（或BC的延长线）于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积？
【直击中考】
19．在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离为（ ）
A．1cm B．3cm C．5cm或3cm D．1cm或3cm
20．设 ， ， 是同一平面内三条互相平行的直线，已知 与 的距离是 ， 与 的距离是 ，则 与 的距离等于 .
21．在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1．过点C作直线l∥AB，P为直线l上一点，且AP=AB．则点P到BC所在直线的距离是（ ）
A．1 B．1或
C．1或 D． 或
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