第一章 二次根式导学案（共三小节）

八年级下数学第一章导学案及答案：
1.1二次根式
【课前预习导学】
1.在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．
2. 正方形的面积为,则它的边长为_____.
3.一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的 ；
记作： ；算术平方根为__________．
4.在实数范围内，有意义，则s的取值范围是 ．
5.判断下列各式哪些是二次根式?（在横线上填上“是”或者“不是”）
⑴ ⑵ ⑶ ⑷

6. 当时，则二次根式的值是 .
【课外资料导学】
的由来
第一个被发现的无理数是，当时，毕达格拉斯学派的一个叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1:x=x:2,那么x就叫1和2的比例中项），怎么也想不出这个比例中项的值，后来，，他画一边长为1的正方形 ，设对角线为x，则x的平方为2，那么x必定是确定的数．但它是整数还是分数呢？显然，2是1的平方和2的平方之间的数，因而不是整数．那么会不会是分数呢？毕达格拉斯学派用归谬法证明了这个数不是有理数，它就是无理数．无理数的发现，对以整数为基础的毕氏哲学是一次致命的打击，以至于有一段时间，他们费了很大的精力，将此事保密，不准外传，并将希帕索斯本人也扔到大海中淹死了．但是，人们很快发现了 、 等更多的无理数，无理数的存在也被更多的人所知．
【课中生成导学】
1. 二次根式应满足两个条件：（1）形式上必须是的形式；（2）被开方数必须是 数．
如：是二次根式，其中隐含着a的取值范围为 ．
2.代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数；（2）分式的分母不为0；（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0,如中a的取值范围为 ．
【课堂测评导学】(10分)
1．下列各式中，不是二次根式的是（ ）
A． B. C. D.
2．若二次根式有意义,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
3.若有意义，则的取值范围是 .
4.若二次根式，则的值为 .
5.求下列二次根式中字母的取值范围：
（1）； 　(2) ；　(3) ；　(4) .
【课后拓展导学】
若,均为实数，且，求代数式的值．
1.2二次根式的性质（1）
【课前预习导学】
1. 的算术平方根可表示为 ，其结果为 .
2.完成以下填空
； ；.
3.完成以下填空
（1） ； ；
（2） .
4. 计算：
【课外资料导学】
“二次根式”是《数学课程标准》中“数与代数”领域的重要内容，它与已学内容“实数”、“整式”、“勾股定理”紧密联系，同时也是以后将要学习的“解直角三角形”、“一元二次方程”、“二次函数”等内容的重要基础，并为学习高中数学中的不等式、函数以及解析几何等的大部分做好准备.本章通过对二次根式的概念、性质和运算法则、运算规律等的探究，发展学生的思维能力，有效改变学生的学习方式，使学生掌握认识事物的一般规律.本章内容不论在知识、数学思考方法上，还是在对学生的能力培养上都是非常重要的.
【课中生成导学】
1. 是一个________ 数. 2. ________（a≥0）.
3.在二次根式的运算时，要熟练地利用公式及进行计算.
4. 二次根式化简：
5.分清 与 () 2
（1）中字母的取值范围是________，其结果为________；
（2）() 2中字母的取值范围是________，其结果为________.
【课堂测评导学】(10分)
1．判断题（对的打“∨”，错的打“×”）
（1）（）2=- （ ）； （2）= （ ）；
（3）（-）2=- （ ）； （4）（2）2=2×=1 （ ）．
2．（）2-=________； 4．+（-）2=________．
3．，则的取值范围为 ( )
A. B. C. D.一切有理数
4. 实数a在数轴上的位置如图所示，则 化简后为
A． 7 B． －7 C． 2a－15 D． 无法确定
5.计算：-|-|．
【课后拓展导学】
实数范围内分解因式：
（2）计算：
1.2二次根式的性质（2）
【课前预习导学】
1.二次根式的性质1: 是个非负数
当时，表示的 ，因此 0（填“”）;
当时，表示 的算数平方根，因此 0.
2.二次根式的性质2：
（1）= ； （2） ；
（3） ； （4） = .
3.二次根式的性质3：
（1）= ； （2） ；
（3） ； （4） = .
4.计算：=_______.
【课外资料导学】
毕达哥拉斯（Pythagoras，572 BC—497 BC）古希腊数学家、哲学家.无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学！最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用的，是生活在2500年前的毕达哥拉斯.毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛（今希腊东部小岛），自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学.以后因为向往东方的智慧，经过万水千山来到巴比伦、印度和埃及（有争议），吸收了阿拉伯文明和印度文明（公元前480年）.
【课中生成导学】
二次根式的两个性质：（1） （2）
（温馨提示：请仔细观察这两个性质的取值范围）.
2.上述这两个二次根式中的是乘除的关系，而不是加减的关系如：
（1）
（2）
这2题其正确吗？
（温馨提示：二次根式并没有这样加减的两个性质）.
3.最简二次根式的定义：
（1）被开方数中不含开的尽方的因数或因式；
（2）分母中不含有根号；
（3）根号中不含有分母.
如：是最简二次根式吗？
4.被开方数是带分数时要把其化成假分数再去计算如：中被开方数是带分数,要先化假分数，再得出结果为 .
【课堂测评导学】(10分)
1.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）．
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. Dv
3.化简得（ ）
A. 22 B. ±22 C. ±308 D. 308
4.如果，则实数m的取值范围是 .
5．填一填：
（1）=______; （2）=_______;
（3）=________; （4）=_____;
【课后拓展导学】
化简：（1）

（2）
1.3二次根式的运算（1）
【课前预习导学】
1.计算：
（1）×=______ =_______
（2） × =_______ =_______
（3） × =_______ =_______
2.根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空：
（1）×_____
（2）×____
（3） ×__
3.计算： ； .
【课外资料导学】
用二次根式巧设密码
在日常生活中经常会用到密码，如取款、上网等都需要密码，有的人把自己的出生年月作为密码，有的人把生活中的重要数字或自己认为吉利的数字作为密码，这样很容易被知情人窃用，有一种用“二次根式”产生密码的方法，如对于二次根式，计算的结果是11，中间加一位数字0，于是就得到一个六位数的密码“121011”，对于二次根式，用上述方法产生的密码是081009，请你参照上述方法自己设计一个密码 .（写出一个即可）
【课中生成导学】
1.二次根式的两个性质：（1）
（2）
2.二次根式的乘除运算的一般步骤：
（1）运用法则，化归为根号内的实数运算；
（2）完成根号内乘除运算；
（3）化简二次根式.
【课堂测评导学】(10分)
1.计算： .
2.已知一个三角形的底边长为cm,底边上的高为cm，则此三角形的面积为： .
3.如果，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 可以取一切实数
4.计算：（1） (2)
5.已知，求xy的值.
【课后拓展导学】
把下列各式中根号外的因式移到根号里面
（1） （2） （3）

1.3二次根式的运算（2）
【课前预习导学】
1.已学过的整式的乘法公式和法则有:
2.计算下列各式：
（1）2x+3x= ； （2）2x2-3x2+5x2= ； （3）x+2x+3y= .
3.化简下列各式：
=_______；=_______；=______；=________；=________.
4.计算下列各式．
(1) 2+3 （2）（-3）÷2
【课外资料导学】二次根式混合运算的解题技巧(1)确定运算顺序；
(2)灵活运用运算定律；
(3)正确使用乘法公式；(4)大多数分母有理化要及时；
(5)在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化.
其中分母有理化有两种方法：? I.分母是单项式? 如: ? II.分母是多项式? 要利用平方差公式? 如? 二次根式计算不难，主要是要靠仔细，平时要多加练习哦.掌握了解题方法，再加上灵活运用，再难的题也会快速解出来！
【课中生成导学】
1.学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
（1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．
（2）二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用．
（3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.
2.（1）常见的非负数形式有： ；
（2）几个非负数之和等于 0，则这几个非负数都为0.

【课堂测评导学】(10分)
1.计算＋之值为（ ）
A．5 　　B．3 　　C．3　　 D． 9
2.计算的结果是 ．
3.计算：
（1） （2）
4. 先化简，再求值：（）÷a，其中a=.
【课后拓展导学】
已知△ABC的三边长分别为a、b、c, 且a、b、c满足a2 －6a+9+，则△ABC的形状是 三角形．
1.3二次根式的运算（3）
【课前预习导学】
1. 计算：（+6）（3-）=
2.若的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ）
A. B. C. 1 D. 3
3.如图，一道斜坡BC与AC的长度之比为1:10.
(1)若AC=24m,则BC=_______
(2)若BC=6m,则AC=_______
【课外资料导学】
剪纸是中国最为流行的民间艺术之一，剪纸常用于宗教仪式，装饰和造型艺术等方面.在过去，人们经常用纸做成形态各异的物像和人像，与死者一起下葬或葬礼上燃烧，这一习俗在中国境外有时仍可见到.剪纸艺术一般都有象征意义，也是这种仪式的一部分；此外剪纸还被用作祭祀祖先和神仙所用供品的装饰物.
现在，剪纸更多地是用于装饰. 剪纸可用于点缀墙壁、门窗、房柱、镜子、灯和灯笼等，也可为礼品作点缀之用，甚至剪纸本身也可作为礼物赠送他人.人们以前还常把剪纸作绣花和喷漆艺术的模型.
在农村，剪纸通常是由妇女、姑娘们来做.在过去，这可是每个女孩所必须掌握的手工艺术，并且还被人们来品评新娘的一个标准.而职业的剪纸艺人则常常是男人，因为只有男人才能在作坊里一起劳作并挣工钱.
【课中生成导学】
1.斜坡的竖直高度和对应的水平宽度的比叫做 ．
2.在日常生活和生产实际中，我们在解决一些问题，尤其是涉及直角三角形边长计算的问
题时经常用到二次根式及其运算．
【课堂测评导学】(10分)
1．在Rt△ABC，∠C=Rt∠，AB=c，BC=a，AC=b．
（1）若a：c=，则a：b=______;
（2）若a：b=：，C=2，则b=______．
2．如图，一道斜坡的坡比为1：8，已知AC=16，则斜坡AB的长为______m．
3．在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=10，则△ABC的面积为______．
4．如图，架在消防车上的云梯AB的坡比为1：0.8，已知云梯AB的长为m，云梯底部离地面1.5m（即BC=1.5m）．求云梯顶端离地面的距离AE．
【课后拓展导学】
已知均为正数，且、、是一个三角形的三条边的长，求这个三角形的面积．
答案：
1.1二次根式
【课前预习导学】
1． 2． 3． 平方根 4． 5．是 不是 是 不是
6.1
【课中生成导学】
非负
【课堂测评导学】
1．B 2．C 3． 4． 4或-2 5. 为任何实数
【课后拓展导学】
-2
1.2二次根式的性质(1)
【课前预习导学】
1． 3 2． 5 3．（1）7 7 （2） 4．
【课中生成导学】
1.非负 2. 3. 4. 5.（1）任何实数 （2）
【课堂测评导学】
1．×√×× 2． 0 10 3． A 4． A 5.
【课后拓展导学】
(1) (2)4
1.2二次根式的性质(2)
【课前预习导学】
1．算术平方根 > 0 = 2．9 0 3 3．9 0 3 4.
【课中生成导学】
4.
【课堂测评导学】
1．C 2．B 3．D 4． 5.（1）182 （2） （3） （4）
【课后拓展导学】
(1)
(2)
1.3二次根式的运算(1)
【课前预习导学】
1．（1）6 6 （2）20 20 （3） 60 60 2．（1）= （2）= （3） =
3． 6
【课中生成导学】
【课堂测评导学】
1． 2． 3． B 4．45 6 5. -2
【课后拓展导学】
（1） （2） （3）
1.3二次根式的运算(2)
【课前预习导学】
1． 2．（1） （2） （3）
3．2 0.01 4．（1） （2）
【课中生成导学】
【课堂测评导学】
1． A 2． 3 3．(1) -4 (2) 4．原式==
【课后拓展导学】
直角
1.3二次根式的运算(3)
【课前预习导学】
1． 2．C 3．(1)2.4 (2)60
【课中生成导学】
1. 坡比
【课堂测评导学】
1．（1） （2） 2． 3． 4． 16.5
【课后拓展导学】
1.5ab