浙教版八下数学第二章：一元二次方程培优训练（一）
一．基础巩固：
1．某市2011年平均房价为每平方米12000元．连续两年增长后，2013年平均房价达到每平方米15500元，设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．15500（1+x）2=12000 B．15500（1﹣x）2=12000
C．12000（1﹣x）2=15500 D．12000（1+x）2=15500
2．已知1是关于的一元二次方程的一个根，则m的值是（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．无法确定
3．已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的范围是( )
A．k＞ B．k＜ C．k≤且k≠0 D．k＜且k≠0
4．若关于的一元二次方程的两根分别为，，则p、q的值分别是（ ）
A．3、2 B．3、2 C．2、3 D．2、3
5．关于x的一元二次方程（其中a为常数）的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．可能有实数根，也可能没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
6．若一元二次方程x2+x－2=0的解为x1、x2，则x1?x2的值是（ ）
A．1 B．—1 C．2 D．—2
7．如果三角形的两边长分别是方程x2﹣8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（ ）
A．5.5 B．5 C．4.5 D．4
8.已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，则a－b值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
9.关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是( )
A．0 B．8 C．4±2 D．0或8
10.关于的方程的根的情况描述正确的是（ ）
A．为任何实数，方程都没有实数根
B．为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
C．为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D．根据的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
11．若是一元二次方程的两个根，则的值是 ；的值是
12．已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2x-4=0的两个实数根，则=
13．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，则的值是___________
14．若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________
15．若关于x的一元二次方程kx2+4x+3=0有实根，则k的非负整数值__________
16．已知x=﹣2是方程x2+mx﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是
17已知关于x的方程，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③．则正确结论的序号是 ．（填上你认为正确结论的所有序号）
关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1(a，m，b均为常数，a≠0)，则方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的解是__________
19.解方程：＋(3 x－5y－10)2＝0的解是_________________
20.已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为
二．探索提高：
1．先化简再求值：，其中x是方程的根.
2．已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个解与方程解相同．
（1）求k的值；（2）求方程x2＋kx－2＝0的另一个根．
3．已知是方程的一个根，求的值．
4．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）在（1）的条件下，化简：．
5．已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）求证：不可能是此方程的实数根．
6．已知关于x的一元二次方程的一个根为2.
（1）求m的值及另一根；
（2）若该方程的两个根分别是等腰三角形的两条边的长，求此等腰三角形的周长．
7．已知：关于的一元二次方程．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设上述方程的两个实数根分别为x1、x2，求：当取哪些整数时，x1、x2均为整数；
（3）设上述方程的两个实数根分别为x1、x2，若，求k的值．
8．某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每千克降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克樱桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
9.已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1、x2.
(1)求k的取值范围； (2)若＝x1x2－1，求k的值．
10.如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x2＋17) cm，正六边形的边长为(x2＋2x) cm(其中x>0)．求这两段铁丝的总长．
11.已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．
(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝2，求m的值和此时方程的两根。
浙教版八下数学第二章：一元二次方程培优训练（一）答案
一．基础巩固：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
A
A
D
A
A
D
B
3，-1 12. 13. 2或7 14. 15. 1 16. 3
17. ①② 18. x1＝－4，x2＝－1 19.x1＝，x2＝2 . 20. 1
二．探索提高：
1.原式，当时，原式
2.试题分析：（1）由题,可以先把的解求出来,x=2,然后代入一元二次方程, 4+2k-2=0，求得k的值-1；（2）方法一:由(1)知k=-1,代入一元二次方程,有x2-x-2=0,求解得x1=2,x2=-1;方法二:方程一元二次方程根与系数关系，，一个根是2, =-2,所以另外一个根为-1.
试题解析：（1）方程两边同乘以x-1得，x+1=3（x-1）， x=2，
经检验是原方程的解，所以x=2, 把x=2代入方程x2+kx-2=0，
得4+2k-2=0， 所以k=-1．
（2）方法一:由(1)知k=-1,代入一元二次方程,
有x2-x-2=0, (x+1)(x-2)=0,
求解得x1=2,x2=-1.
方法二:方程一元二次方程根与系数关系，，一个根是2, =-2,所以另外一个根为-1.
3.试题分析：一般的思路是将a代入方程x2-x-1=0，得到a2-a-1=0，然后解出a，再代入所求的式子中，但是这种方法对于此题太过繁琐，因为a是无理数，可以考虑整体代换，由题目条件，a是方程x2-x-1=0的一个根，根据根的定义，将其代入方程，有a2-a-1=0,而要求的式子中含有代数式a2-a,将a2-a看成一个整体，则a2-a=1代入要求的式子中，计算得到结果.试题解析：方法一：∵a是方程x2-x-1=0的一个根，
∴将a代入方程，有a2-a-1=0，
用求根公式解之，得到，，
当时，，
当时，，
∴.
方法二：(整体代换)∵a是方程x2-x-1=0的一个根，
∴将a代入方程，有a2-a-1=0，即a2-a=1，
将a2-a=1代入，有.
4.试题分析：(1)一元二次方程有两个不相等的实数根等价于根的判别式大于等于零，由题，△= b2-4ac=（﹣2）2﹣4m>0，12-4m>0，m<3.(2)去绝对值和去根号是一个难点，要理解掌握绝对值和去根号的知识方法，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，去绝对值之前要判断这个数的正负，去根号有公式，从而转化成去绝对值的问题.
试题解析：(1)∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,
∴△= b2-4ac=（﹣2）2﹣4m>0，12-4m>0，m<3.
(2) ∵m<3, ∴m-3<0,4-m>0,
∴.
5.试题分析：（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，一元二次方程根判别式， ，即＝解得，（2）把代入一元二次方程的左边，左边=，通过配方得到左边＝，而右边=0, 左边右边，从而得证
试题解析：(1)∵关于的方程有两个不相等的实数根,
∴. ∴.
(2)∵当时，左边=
．
而右边=0,∴左边右边．∴不可能是此方程的实数根．
6.试题分析：(1)把一个根2代入一元二次方程得到关于m的方程，解得，再把代入得一元二次方程为，解方程可得另一根．
（2）当长度为2的线段为等腰三角形底边时，则腰长为3，满足三角形的三边关系，此时三角形的周长为2+3+3=8；当长度为3的线段为等腰三角形底边时，则腰长为2，也满足三角形的三边关系，此时三角形的周长为2+2+3=7.
试题解析：（1）∵关于x的一元二次方程的一个根为2，
∴. ∴.
∴一元二次方程为.解得. ∴，方程另一根为3.
（2）当长度为2的线段为等腰三角形底边时，则腰长为3，此时三角形的周长为2+3+3=8；当长度为3的线段为等腰三角形底边时，则腰长为2，此时三角形的周长为2+2+3=7.
考点：1．一元二次方程的根 2．等腰三角形定义 3．三角形的三边关系．
7.试题分析：(1)一元二次方程存在的条件是二次项系数不为零，根据题意，kx2+2x+2-k=0是关于x的一元二次方程，所以k≠0;(2)根据求根公式，可以将方程的解求出来，，，，要使得方程的根为整数，只要要求是整数即可，进而只要要求为整数，k是2的因数，所以k=±1或者k=±2；(3)方法一：由（2）可以得到 ，，所以，分类讨论，①当时，此方程无解；②当时，解得；方法二：可以根据根与系数关系，进行求解，具体详见解析.
试题解析：(1) ∵方程是关于x的一元二次方程,
∴实数k的取值范围是k≠0.
(2)△= b2-4ac=4-4k（2-k）=k2-2k+1=（k-1）2 ,
由求根公式，得, ∴，,
∵要求两个实数根x1、x2是整数，
∴为整数，即是整数，
∴k是2的因数， k=±1或者k=±2.
(3)方法一：由（2）可以得到 ，，
∴，分类讨论:
①当时，此方程无解；
②当时，解得；
方法二：根据题意，,两边平方，有,
整理得，
由根与系数的关系，，
∴，
整理，得8k-4=0，k=.
8.试题分析：(1) 根据题意，设每千克核桃应降价x元，进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每千克降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，降价后售价是（60-x）元，每千克的利润为（60-40-x）元，销售量为（100+10x）千克，等量关系是每千克利润×销售量=平均每天利润2240元，列方程（60-40-x）（100+10x）=2240，解方程x=4或者x=6；（2）由（1）知应降价4元或6元，∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元, 此时，售价为：60﹣6=54（元），，打九折.
试题解析：(1) 根据题意，设每千克核桃应降价x元，则降价后售价是（60-x）元，每千克的利润为（60-40-x）元，销售量为（100+10x）千克，等量关系是每千克利润×销售量=平均每天利润2240元，由此可列方程：
（60-40-x）（100+10x）=2240,
2000+200x-100x-10x=2240,
x2﹣10x+24=0,
x=4或者x=6，
答：每千克核桃应降价4元或6元.
(2) 由（1）知应降价4元或6元，
∵要尽可能让利于顾客，
∴每千克核桃应降价6元,
此时，售价为：60﹣6=54（元），，打九折.
答：该店应按原售价的九折出售.
9.解 (1)依题意，b2－4ac≥0，即[－2(k－1)]2－4k2≥0，－8k＋4≥0，解得k≤.
(2)解法一：依题意，得x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2.
以下分两种情况讨论：
①当x1＋x2≥0时，则有x1＋x2＝x1x2－1，即2(k－1)＝k2－1，解得k1＝k2＝1.
∵k≤，∴k1＝k2＝1不合题意，舍去．
②x1＋x2<0时，则有x1＋x2＝－，即2(k－1)＝－，解得k1＝1，k2＝－3.
∵k≤，∴k＝－3.
综合①、②可知k＝－3.
解法二：依题意可知x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2.
由(1)可知k≤.
∴2(k－1)<0，即x1＋x2<0，
∴－2(k－1)＝k2－1，
解得k1＝1，k2＝－3. ∵k≤，∴k＝－3.
10.解 由已知得，正五边形周长为5(x2＋17) cm，正六边形周长为6(x2＋2x) cm.
因为正五边形和正六边形的周长相等，
所以5(x2＋17)＝6(x2＋2x)．
整理得x2＋12x－85＝0，配方得(x＋6)2＝121，
解得x1＝5，x2＝－17(舍去)．
故正五边形的周长为5×(52＋17)＝210(cm)．
又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420 cm.
答：这两段铁丝的总长为420 cm.
11.解：（1）证明：由关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0得
△=（m+3）2－4（m+1）=（m+1）2+4，
∵无论m取何值，（m+1）2＋4恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根。
（2）∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=－（m+3），x1?x2=m+1。
∵|x1－x2|＝2， ∴（x1－x2）2=8，即（x1＋x2）2－4x1x2=8。
∴[－（m+3）]2－4（m+1）=8，即m2＋2m－3=0。
解得：m1=－3，m2=1。
当m=－3时，原方程化为：x2－2=0，解得：x1= ，x2=－。
当m=1时，原方程化为：x2＋4x＋2=0，解得：x1=－2+ ，x2=－2－。
浙教版八下数学第二章：一元二次方程培优训练（二）
一．探索提高：
1．已知，，且，则的值为（ ）
A．2 B．-2 C．-1 D．0
设关于的方程，有两个不相等的实数根、，且，
那么实数的取值范围是 ( )
A、 B、 C、 D、
3.某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了，第三季度的产值又比第二季度的产
值增长了，则第三季度的产值比第一季度增长了（ ）
A、 B、 C、 D、
4.方程|xy |+|x+y|=1的整数解的组数为（ ）
A.8 B. 6 C. 4 D. 2
5.设、是方程的两个实根，若恰有成立，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或 1
6.方程的较大根为，方程的较小根为，则
7.方程组的解是
8已知、、、、这五个数据，其中、是方程的两个根，则这五个数据的标准差是
9.定义一种运算：当时，；当时，，则方程的解是
10.方程较小的一个根是________
11.如果关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是___________________
二．能力提速：
12.解方程：x2－3x－＝2．
找出能使二次三项式可以因式分解(在整数范围内)的整数值, 并且将其
进行因式分解.
14.先化简，再求值：,其中a2-a=0
15．在实数范围内解下列方程：（1）（2）
16.若n＞0，关于x的方程x2－（m－2n）x＋mn＝0有两个相等的正实数根．求的值．
17.关于的方程有实数根
⑴ 求的取值范围；
⑵ 是否存在实数，使方程有两个不等实根且它们的倒数和等于0？若存在，求出的值，若不存在说明理由。
18.已知:关于x的方程有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;(2)若、是这个方程的两个实数根,求:的值.
(3)根据(2)的结果你能得出什么结论?
19.已知、均为实数，且满足，，
求：代数式的值。
20.已知关于x的方程有两个正整数根（m?是整数）。
△ABC的三边a、b、c满足，，。
求：⑴ m的值；⑵ △ABC的面积。
.设是不小于的实数，关于的方程有两个不相
等的实数根、，（1）若，求r 值；（2）求的最大值。
浙教版八下数学第二章：一元二次方程培优训练（二）答案
一．探索提高：
题号
1
2
3
4
5
答案
B
D
D
B
A
2008 7. 或 8. 9.
10. 11. －≤k＜且k≠0
二．能力提速：
12.解方程：x2－3x－＝2．
找出能使二次三项式可以因式分解(在整数范围内)的整数值, 并且将其
进行因式分解.
14.先化简，再求值：,其中a2-a=0
15．解下列方程：（1）（2）
16.若n＞0，关于x的方程x2－（m－2n）x＋mn＝0有两个相等的正实数根．求的值．
17.关于的方程有实数根
⑴ 求的取值范围；
⑵ 是否存在实数，使方程有两个不等实根且它们的倒数和等于0？若存在，求出的值，若不存在说明理由。
解 ：(1)△=4+4k ∵方程有两个不等实根 ∴△＞0即4+4k＞0
∴k＞-1
(2)由根与系数关系可知
∴=
(3)由(1)可知, k＞-1时,的植与 k无关.
19.由已知条件可知和是方程的两个实数根，
， 或（4分）
当，时，、是方程的两个根
∵
∴此方程没有实数根 （3分）
当，时，、是方程的两个根
∵ ∴此方程有实数根，这时
∴
20解：（1）方程有两个实数根，则，解方程得
，．由题意，得 即
故．
（2）把代入两等式，化简得，，
当时，．
当时，、是方程的两根，而△＞0，由韦达定理得，
＞0，＞0，则＞0、＞0．
①，时，由于
故△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，S△ABC＝．
②，时，因，故不能构成三角形，不合题意，舍去．
③，时，因＞，故能构成三角形．
S△ABC＝
综上，△ABC的面积为1或．
21.解：方程有两个不相等的实数根
由题意知：
（1）
（2）
取最大值为
